CC BY
7
5. ¡ваницький Я.Л., Штаюра С.Т., Кост1в Р.Б. Оцiнка трiщиностiйкостi матерiалiв при двовюному навантаженнi// MexaHiKa руйнування матерiалiв i мiцнiсть конструкцiй - Львiв: Фiз. мех. iH-т iM. Г.В. Карпенка НАН Укра1ни, 2004. - С. 697-702.
6. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. -J. Appl. Mech., 1957, 24, № 3, P. 361-364.
УДК 517.9 Проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук;
acnip. Т. €. Данилевич - НУ "Львiвська полшехшка "
НЕСТАЦ1ОНАРН1 КОЛИВАННЯ У СИСТЕМ1 ВАЛ-ВАНТАЖ (ПОГЛИНАЧ КОЛИВАНЬ) ТА ВПЛИВ СИЛИ НА АФХ
Дослщжуеться вплив збурювально! сили на нелшшш поперечш коливання вала з пасивним поглиначем коливань. Розглядаються нерезонансний випадок, для якого отримано залежносп АФХ вщ геометричних i фiзико-мexaнiчниx пaрaмeтрiв.
Ключов1 слова: нелшшш поперечш коливання, пасивний поглинач, ампштуд-но-частотна характеристика, рiвняння руху.
Prof. B.I. Sokil;post-graduate T.Ye. Danylevych -NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
Unstationary vibrations in systems billow-load (absorber of vibrations),
and influencing of force on AFC
Influencing of revolting is explored forces on the nonlinear transversal vibrations of billow with the passive absorber of vibrations. Examined unresonance case for which dependences of AFC are collected from geometrical and physical-mechanical parameters.
Keywords: nonlinear transversal vibrations, passive absorber, amplitude frequency characteristic, equalization of motion.
Актуальшсть. Важливою техшчною задачею теори коливань е вр1в-новажування елеменпв машин, як обертаються з постшною чи змшною швидкостями. У процес 1х експлуатацн у вузлах, виникають змшш збуджу-юч1 сили, як спричиняють порушення геометричних розм1р1в, коливання елеменпв машин, зростання динам1чних навантажень на шдшипники тощо. Вр1вноважування стае необхщним для зменшення вказаних небажаних явищ i тим самим створення умов для роботи машин з найменшими в1бращями (коливаннями). Для зменшення ампштуди коливань, а значить зниження ди-нам1чних навантажень пружних систем, використовують р1зноманггш дем-пфери, муфти, амортизатори, поглинач1 коливань, тощо. У робот1, для зниження динам1чних зусиль у поперечнш площин коливань вертикального вала зумовлених невр1вноваженими частинами i перюдичними збуреннями, запропоновано встановлення пасивного поглинача коливань (додаткова ма-са), який частину енергн невр1вноважено! системи поглинае.
Постановка задачi i методика дослiдження. Розрахункова модель вала 1з пасивним поглиначем коливань представлена на рис. 1. Вона охоплюе пружний вал, який здшснюе поперечш коливання i пасивний поглинач коливань, який знаходиться у верхнш частит вала i моделюеться зосередженою масою, яка розмщена м1ж кшцями пружин однаково! жорсткосл.
Динам1чш процеси розглядуваного типу мехашчних систем вивчались [1], де отримано диференщальш р1вняння руху вказано! системи вал-погли-
нач коливань, а також знаидено математичш залежност1, як1 визначають вплив геометричних i ф1зико-мехашчних параметр1в на ампл^удно-частотну характеристику власних коливань системи. Проте таю важливi питання як вплив перюдичного збурення (зовнiшнiх перiодичних сил, сил шерци неврiв-новажених мас) не розглядалося. Тому метою роботи е комплексне досль дження впливу зовнiшнього перiодичного збурення та характеристик пасив-ного поглинача на коливання вала.
Диференщальш рiвняння руху системи вал-поглиач коливань з враху-ванням зовшшнього збурення можна привести до вигляду
Utt (р- s + m + M) + a2uxxxx = еФЦ;,4,4,u,ux,Uxx,uxxt,uxt,6), (1)
■■ 2c
<H + 4 — = F2(u, Ux, Utt), (2)
M
де функци, якi входять у правi частини рiвнянь описано в [1], тшьки Ф(4, cf, Е,, u, ux, uxx, uxxt, uxt,6) додатково враховуе вплив зовтштх перюдичних збурень, тому вона е 2п - перiодичною щодо аргументу 6 = ¡ut, ¡и - частота зовшшнього перюдичного збурення.
Для рiвняння (1) розглядаються крайовi умови, як випливають iз способу закршлення, а саме для закршлення вказаному на рис. 1:
u(0,t) = 0, u(b,t) = 0, Uxx(0,t) = 0,Uxx(b,t) = 0.
В основу аналггичних дослiджень диференщальних рiвнянь (1), (2) покладено принцип одночастотност коливань у нелiнiИних системах з ба-гатьма ступенями вшьносл i розподiленими параметрами та асимптотичний метод побудови розв'язюв деяких клаЫв нелiнiИних диференцiальних рiвнянь з частинними похщними.
Для реальних поглиначiв коливань маса вантажу е малою величиною, тому у першому наближенш розв'язку задачi при вивченнi коливання поглинача за закон руху вала приймаемо закон, який вщповщае Иого лшш матема-тичнiИ моделi. Це дае змогу, виходячи iз конкретного вигляду нелшшно пружних характеристик валу [2] записати для першого наближення праву частину диференщального рiвняння (2)
F2 = Di cos (at + 6) + D2 cos(at + 6) + D3 sin (at + 6). (3)
Вимушеш ж коливання вантажу описуемо залежшстю:
„ ^ cos6 ^ sin26 ^ cos36
4 = D—,-2 - D—--- - D3—--- (4)
2c¡M - a2 2c¡M - 4a2 2c/M - 9a2
де: D1, D2, D3 - коефщенти, що описують фiзико-механiчнi характеристики елеменлв моделi; a - власна частота коливань вала.
Використовуючи наведене вище, перейдемо до дослiдження нель ншних коливань вала, тобто до побудови розв'язку рiвняння (1). Якщо враху-вати, що: у незбуреному рiвняннi (1) (s = 0): а) можливi незатухаючi гармо-
•й • \ЁГХ k б)
нiинi коливання з власними частотами ak =~^2—J —'^ = 1,2,'' б) единим
5. 1нформацшш технологи галузi
297
розв'язком pÍB^HM (1), яке вщповщае pÍBHOBa3Í е розв'язок u (x, t) = 0; в) вщ-
сутш внутрiшнiй резонанс, тобто с ф pcor, де г = 2,3,..., p i q взаемно прос-
q
tí числа; г) функцп, якi визначають форми динамíчноl рiвноваги мають виг-
ляд X (x ) = sinkn x, то вщповщно í3 одночастотним методом перше набли-b
ження асимптотичного розв'язку у формí близькш до частоти вимушувально! сили можна записати у виглядí
u = a sin knn-cos (в + ф), (4)
в якш a i ф повинт бути визначеш íз систем диференщальних рíвнянь [3]:
da s. £ г е., „ ч . , ч . knx , , shrÜ2 cosф
— = sA(а,ф) = -—- I IФ(u,^,y)sin(y)sm——dxdy------, (5)
dt 2nD 0 0 l D a+ v
d^ ^ ^ x £ r \ / n • knx , , £hrD2 sinф
— = £ (a, ф) = со - v - —— IIФ(u, £ у) cos(y) sin - dxdу------,(6)
dt 2nD 0 0 l D с+ v
де D = Ísin2kn-dx,D2 = IsinknXdx, D2 =, у = в + ф. 0 b 0 b
Примггки: 1) Права частина рíвняння £Ф(и,£,в) в режимí гармоншних knx
коливань при u = a sin—-— cos (в + ф) вмщае рíзш гармошки з частотами
±nv ± ma, то у cиcтемí можуть мати мюце резонансш явища при yмовí nv ~ meo .
2) У робот розглядаеться випадок коли зовшшне перюдичне збурення е моночастотним; тому тут i нижче вважаеться, що
, u, ux, uxx, uxxt, uxt, в) = F [Ш , ux, uxx, uxxt, uxt, в)+ Fr sine
3) Для випадку, коли нелшшно-пружш властивост матерíал валу за-довольняють залежност
а = E£ + k1£2¿£ + k2s3, (7)
що, е паралельним поеднанням Гуювського елемента з модулем пружност Е i нелшшного в'язкого елементу з коефщентами ^1>0 i к2>0, £ = ux [2], система рíвнянь (5), (6) набувае вигляду:
knl , /
j „ 1-cos--1 - cos kn/
da Fscosф b Лти ^ ■ /b
dt a+v
2kn
-ж
. l MbsD1q sinф
— sin2kn—knl v 2 b у
2n(2d -a2)
m
/
b . 2knl , ,
-sin--+ knl
2b
sbF smфЛ knl Л ,2 2 cos2(nkl / b
2nk
1-cos-
v z-л-л \ и J
b
2
+Mk nsa
X
3 1 . 3
^ • cos (р + — sm^ + — cos® - 3
nD1 sin(-cos( 4 4 ^ тл sin(cos( — tTD3----2nD3
4 2c / m — a>
2c / m — 9a>
2c / m — 9œ
X
X
1 — cos
f TT ^ ^
lkn V b y y
о 3 8 J 8
3a pn k s
8
b . 21ln 1 - sin 2k---
4kn
b л
-sin 4kl —
b 8 144•kn b
i 4 n +ap2sk —
1 b
v 2 8kn Fs sin(
sin 2knl b y
+ ap3sk4 x
d(
— = œ — v +-
d/ ®+v
1—cos
knl
1 b . n
---sin 2kl —
v 2 8kn b y
2k n
-n
b
l
— sin2kn—knl v 2 b y
л + b . 2knl , ,
—sin--+knl
2b
sbF cos(
v
2nk
1—cos
V
knl b
+Mk 2nqsa2
cos(knl/b )2
4 p
(8)
Г 1 Л ( 3 2 1 л
D1 cos( +— sin( 1 + D31 12cos ( — 9cos( + sin(cos ( +—sin( V 4 У V 4 y
2 2 cos( b <1 — cos kn/h) — Mk nqsa2-D,
s(knK )2
/ 1 P
sin ( cos2 (p+ — cos2 ( — 4 4 y
V
(1 — cos kn/b ).
b J 4 p
На ocHOBi отриманих математичних залежностей прoаналiзуeмo пове-дiнку системи за допомогою амплiтуднo-чаcтoтних характеристик при прохо-дженш через резoнанcнi значення частот зовшшньо1 збурювально1 сили та вплив пасивного поглинача на ампл^уду коливань вала.
" а( t)
al (t) 2.4+ а2 ( t )
/ ^ / V
I
J т
\ * \ ■ / ■ Л
♦ v ■. \
^ r I V
/ v ^ •»
* ♦ M I / . ' ' *\ / • « .
v \ v \ 7 V-y i»\'v ♦ ♦ ♦ «
» \ .* ♦ ■ ■ л », . .r ♦♦ Л - * * % % - v v vWA
0 8 16 24 32 40
Рис. 2. Резонансш upuei для випадку стало'1 амплтуди збурювально'1 сили та збльшення маси пасивного поглинача коливань
x
5. 1нформацшш технологи raiyîi
299
Рис. 3. Амплтудно-частотна характеристика поведтки системи при збтьшент амплтуди пульсуючо'1 зовтшньоХ сили
Висновки: Аналiз отримано! амплпудно-частотно! характеристики системи при проходженш через резонансш значення частот зовшшньо! збу-рювально! сили показуе: при збiльшеннi маси пасивного поглинача (додатко-во! маси) вщбуваеться зменшення значення амплiтуди коливань; зростання величини збурювально! сили приводить до незначного збшьшення амплiтуди коливань; змша фiзико механiчних властивостей матерiалу валу незначним чином впливае на величину резонансного значення амплгтуди.
Лггература
1. Данилевич Т.С., Сеник А.П. Нелшшш коливання одновим1рних пружних систем 1 пасивш 1х поглинач1// Вюник НУ "Льв1вська полгтехшка": Автоматизащя виробничих проце-с1в у машинобудуванш та приладобудуванш. - Льв1в: НУ "Льв1вська пол1техшка". - 2006, вип. 40. - С. 43-48.
2. Агафонов С.А., Георгиевский Д.В. Потеря устойчивости нелинейного вязкоупруго-го стержня под действием следящей силы. - К. Вища шк., 2004. - 13 с.
3. Стеванович К.Р. Поперечные колебания балки лежащей на упругом основании, находящейся под воздействием возмущающей силы с несколькими гармониками, с частотой близкими к первой собственной// Математическая физика. - К.: Наук. думка. - 1973, вип. 13. - С. 236-245.
УДК 517.9 Проф. П.М. Гащук, д-р техн. наук;
астр. 1.1. Назар - НУ "Льв1вська полтехшка"
ВИМУШЕН1 КОЛИВАННЯ РУХОМИХ ОДНОВИМ1РНИХ НЕЛШШНО-ПРУЖНИХ СИСТЕМ I МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ В IX
ДОСЛ1ДЖЕНН1
Розроблено методику дослщження впливу перюдичних збурень на динам1чш процеси рухомих нелшшно-пружних одновим1рних систем. Розглядаеться резонан-сний 1 нерезонансний випадки.
