Нелинейный изгиб балки из разномодульного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4

П. Е. Товстик, А. С. Шеховцов

НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ БАЛКИ ИЗ РАЗНОМОДУЛЬНОГО МАТЕРИАЛА*

1. Введение. Рассматриваемая балка — составная часть сетчатой оболочки, являющейся основным конструктивным элементом куполов для перекрытия пролетов диаметром от 25 м [1]. Балка находится в условиях внецентренного продольного сжатия и поперечного давления.

Исследования формы изогнутой оси балки и ее устойствости были начаты еще Л.Эйлером [2] и продолжаются до настоящего времени [3, 4]. Ниже рассматривается плоский изгиб шарнирно опертой балки (в общем случае, переменного поперечного сечения) при внецентренном продольном сжатии и поперечном давлении. Цель статьи — исследование влияния на несущую способность балки нелинейной упругости материала (в том числе, материала, по разному сопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия).

2. Уравнения равновесия и соотношения упругости. Для балки из разномо- дульного нелинейно-упругого материала невозможно ввести нейтральный слой, поэтому в качестве отсчетного слоя (на котором z = 0, см. рис. 1) возьмем нижний слой и относительно него будем отсчитывать моменты напряжений, действующих в поперечных сечениях. Балка длины L находится в условиях внецентренного сжатия продольной силой Po (при сжатии Po < 0), причем Ьо и Ы —плечи силы Po относительно отсчетного слоя. Задана плотность поперечной нагрузки q(x). Перерезывающие силы Qo, Qi и изгибающие моменты Mo, М1, действующие в крайних сечениях x = 0 и x = Ь, в недеформированном состоянии находим по формулам

(положительные направления сил и моментов показаны на рис. 1). Уравнения равновесия элемента балки (см. рис. 2)

имеют вид

A-(l+eo)KQ + Авт6* = 0, л- + (1 + ео)пР + qcose = 0, л - + (1 + ео)Я = 0, (2.2) ds ds ds

где Р^), Q(s), М—осевая и перерезывающая силы и изгибающий момент в текущем сечении в балки (0 < в < L, в недеформированном состоянии в = х), в — угол наклона касательной к оси Ох, к — кривизна отсчетной линии.

Систему (2.2) следует дополнить геометрическими соотношениями

(2.1)

сЬ' , . гЬ/ , ч

— _ м I СОЯ 0. —-(1| :г0)?т(Л

(2.3)

соотношениями упругости и граничными условиями.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07.01.00250). © П. Е. Товстик, А. С. Шеховцов, 2007

У А

О

/’иг. 2. Вт"

Множитель (1 + £о) учитывает растяжение отсчетной линии. Считая балку нерастяжимой в осевом направлении, следует в (2.2) и (2.3) опустить множитель (1 + £o), однако это не приводит к существенным упрощениям при численном

интегрировании.

Пусть связь напряжения а и деформации £ в продольном направлении задана формулой а = <p(e). Ниже при

рассмотрении примеров считаем

Соотношения (2.4) характерны для деревянных конструкций [5].

В силу гипотезы плоских сечений деформация £(z) слоя, расположенного на расстоянии z от отсчетного, равна £(z) = £ o — Kz, поэтому в силу (2.4) осевое усилие P и изгибающий момент M связаны с деформациями £o и к соотношениями

где интенрирование проводится по площади S поперечного сечения. Формулы (2.5) представляют собой систему уравнений относительно £o и к, которую приходится решать (численно) на каждом шаге численного интегрирования системы (2.2), (2.3).

В крайнем сечении s = 0 должны быть выполнены граничные условия, учитывающие поворот этого сечения на подлежащий определению угол 6o'.

P (0) = Po cos 0o+Qo sin 0o, Q (0) = Qo cos 0o-Po sin 0o, M(0)= Mo, x(0) = y (0) = 0 ,

(2.6)

где Qo и Mo определены в (2.1). Дополняя условия (2.6) условием 0(0) = 0o, приходим к задаче Коши для системы

(2.2), (2,3) относительно неизвестных функций P, Q, M, 9, x, y. Неизвестная величина 9o методом пристрелки подбирается из условия y(L) = 0. Остальные граничные условия при s = L выполняются автоматически из условия равновесия балки в целом.

3. Критическая нагрузка бифуркации. Пусть поперечная нагрузка отсутствует, а форма балки такова, что при ее изгибе существует нейтральный слой (в частности, он существует для балки с постоянным поперечным сечением). Пусть осевая сила приложена в нейтральном слое, т. е. рассматривается центральное сжатие. Тогда при | Po | < |Pt| неизогнутое положение равновесия единственно, а при Po = Pt появляются также смежные изогнутые положения равновесия.

В формулах (2.5) расстояние z будем отсчитывать от нейтрального слоя. Тогда

[[ dS = S, [[ z dS = 0, [[ z2 dS = J, (3.1)

JJS JJS JJS

где S и J — площадь и момент инерции поперечного сечения. Учитывая, что при бифуркации прогиб y и кривизна к бесконечно малы, разложим подынтегральные выражения в ряд по к, сохраняя главные члены. Тогда получим

Po = A(eo)S, M = EtJK, Et = cp' (so), (3.2)

где Et —касательный модуль.

Нагрузка бифуркации Pt < 0 определяется из задачи

Е*^-? *У = 0, у (0) =у (Ь) = 0 .

(3.3)

В случае переменного поперечного сечения как З, так и Ег зависят от х и возможно лишь численное решение задачи (3.3). Если же поперечное сечение постоянно, то величины Рг и бо находятся из системы уравнений

-р* = ЛЛ, р.=<£{ео)в.

Если функция р(е) имеет вид (2.4), нагрузка бифуркации равна

(3.4)

Р* = р°(1 — у), Р0 = "гЛ,

(3.5)

где Р0 — нагрузка при линейном законе упругости, а пареметр п описывает снижение нагрузки, связанное с нелинейностью функции у>(е), и удовлетворяет уравнению

где -вг —деформация сжатия, при которой сжимающее напряжение максимально, а ЕЬ =0.

При любых в > 0 уравнение (3.6) имеет единственный корень п(в) в интересующем нас интервале 0 < п < 1. При в л 1, что соответствует длинной балке, имеем приближенно п — в2, а при в л 1 будет 1 — п — 2/в.

4. Численные результаты. Рассмотрим балку длины Ь = 3 (все величины приводятся в системе единиц СИ), прямоугольного поперечного сечения с размерами

Н = 0.12, Ь = 0.06. Края балки шарнирно оперты. Балка находится под действием осевой сжимающей силы Р (при сжатии Р < 0), приложенной без эксцентриситета (Ьо = Ы = Н/2) и равномерной поперечной нагрузки интенсивностью q = —2000. При- мем следующие значения модулей упругости: Е+ = 1.261-1010, Е- = 1.226Л010, Е+ = 8.83 ■ 1013.

По формулам (3.5) и (3.6) находим критическую нагрузку в линейном приближении Р0 = —1.16 ■ 105 и, с учетом нелинейного закона упругости (2.4), Рг = —1.12 ■ 105.

На рис. 3 представлены прогибы балки при отсутствии сжатия (кривая 0) и при пяти значениях осевой сжимающей силы Р = —2к ■ 104, к = 1, 2, 3,4, 5, меньших (по модулю) критического значения Рг = —1.12 ■ 105. Видим существенный рост прогибов при приближении осевой силы к критическому значению.

Если осевая сила превосходит критическое значение, то при Е- = 0 прогибы продолжают расти вместе с ростом силы (кривая 1 на рис.4). В этом случае балка ведет себя иначе, чем при осевом сжатии цилиндрическая оболочка, у которой можно найти максимальное значение осевой силы (в линейной постановке это точка бифуркации, а в нелинейной постановке с учетом неправильностей — предельная точка). Если же Е- > 0, то как и у оболочки, существует предельное значение силы, превышение которого приводит к разрушению.

Заметим, что при превышении критического значения силы у нелинейной системы (2.2), (2.3) появляются еще два решения (кривые 2 и 3 на рис.4), у которых прогиб направлен в сторону, противоположную направлению поперечной силы д. Решение 2 всегда неустойчиво, а решение 3 в зависимости от соотношения между Р и q может быть устойчивым или неустойчивым. Подробнее этот вопрос обсуждается в [4].

При расчете балок, являющихся элементом строительных конструкций, следует накладывать ограничение на величину максимального прогиба. При этом осевая сила будет существенно меньше критического значения. Для линейно -

упругого материала малый прогиб может быть найден из линейной задачи. Для нелинейно-упругого раз- номодульного материала приходится обращаться к описанной выше нелинейной постановке задачи.

Авторы благодарят В. А. Шеховцова за весьма полезное обсуждение.

Summary

P. E. Tovstik, A. S. Shekhovtsov. Non-linear bending of a beam made of the material with the various elastic moduli for extension and compression.

By using the kinematic hypothesis of Bernoulli—Euler the non-linear deformations of a compressed-bended beam made of the material with the various elastic moduli for extension and compression are studied. The dependence of the design values of the beam loading on its elastic properties is investigated.

Литература

1. Журавлев А. А. Прастранственные деревянные конструкции. Растов-на-Дону, 2003.

2. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Госте- хиздат, 1934.

3. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1974. 808 с.

4. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е. Устойчивость сжатого стержня при наличии ограничения на перемещение // Доклады РАН, 2007. Т.412, №2.

5. Вареник А. С. Устойчивость сжатых элементов деревянных конструкций. Автореф. со- иск. ... канд. техн. наук. Новгород, 1994.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.