Ферма Мизеса Текст научной статьи по специальности «Физика»

П. Е. Товстих, А. С. Шеховцов, В. А. Шеховцов ФЕРМА МИЗЕСА*

1. Введение. Ферма Мизеса является примером упругой системы, демонстрирующей нелинейное поведение, бифуркацию и неединственность положения равновесия. Классическая ферма Мизеса [1] состоит из двух сжимаемых, но не изгибаемых стержней. Характерной формой потери устойчивости для нее является прощелкивание в несмежную форму положения равновесия. Ниже дополнительно вводятся в рассмотрение деформации изгиба, в результате чего при определенных условиях в системе может иметь место потеря устойчивости двух типов: типа предельной точки на кривой нагрузка—прогиб и типа бифуркации. Изгиб рассматривается в рамках гипотезы Бернулли—Эйлера. В предположении о малости угла наклона стержней построено приближенное аналитическое решение. Оно сравнивается с точным численным решением, описывающим нелинейный изгиб стержней.

Исследования форм равновесия изогнутых прямолинейных стержней были начаты Л. Эйлером [2] и продолжаются до настоящего времени (см. [3, 4] и др.). В отличие от работ [2-4] учитывается растяжимость оси стержня. Техническим приложением задачи является расчет элементов куполов [5-7].

2. Уравнения равновесия и граничные условия. Рассмотрим ферму Мизеса (рис. 1), состоящую из двух шарнирно опертых по концам O ив узле A одинаковых стержней длины L. В исходном состоянии стержни наклонены под малыми углами а и —а к горизонту. Предполагается, что опоры O не смещаются в горизонтальном направлении, расстояние между ними постоянно и равно 2a, причем a = L cos а. Стержни находятся под действием вертикальной нагрузки интенсивностью q(s), где s —длина дуги оси стержня до деформации. Ограничимся рассмотрением деформаций со смещениями в вертикальной плоскости, причем считаем их симметричными относительно середины конструкции.

О 2 а О

Рис. 1. Ферма Мизеса в исходном положении.

Запишем систему уравнений равновесия элемента стержня в условиях его растяжения и плоского изгиба:

dP0 dQo dM

Hi= ' -*+*-*• lii + (1 + e)Q = °- (2.1,

P = Po cos 9 + Qo sin 9, Q = Qo cos 9 — Po sin 9,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07.01.00250а). © П.Е. Товстик, А.С. Шеховцов, В.А. Шеховцов, 2008

где P(s), Q(s) и M(s) —соответственно, внутренние осевая сила, перерезывающая сила и изгибающий момент, действующие в сечении стержня, Po = const и Qo — проекции внутренних усилий на горизонтальное и вертикальное направления (см. рис. 2), e(s) — деформация растяжения оси.

Рис. 2. Силы и момент, действующие на элемент стержня.

Систему (2.1) следует дополнить геометрическими соотношениями

d0 dx dy .

— = (1+е)к, — = (1+е) cos#, — = (1 + е) sin#, (2.2)

ds ds ds

где x(s), y(s) —декартовы координаты точки на оси стержня, k(s) —кривизна упругой линии, 6(s) —угол наклона оси к горизонту (см. рис. 2). На концах O и A граничные условия имеют вид

x = y = M = 0 при s = 0, (2.3)

x = а = L cos a, Q0 = 0, M = 0 при s = L. (2.4)

Второе из условий (2.4) следует из симметрии решения относительно точки A.

Нашей задачей является построить зависимость между относительным вертикальным перемещением Д узла A и суммарной вертикальной нагрузкой F (при направлении вниз F > 0), где

Д = 1 - F = - [ q(s)ds, (2.5)

L sin a Jo

и определить предельное значение силы F. Критерием устойчивости положения равновесия является неравенство

ж>°- <“>

Ограничимся случаем линейно упругого материала, для которого

' = 4 “ = ¥}' (2'7>

где E — модуль Юнга, S и J — площадь и момент инерции поперечного сечения. В [5, 6] рассмотрен нелинейно упругий материал, для которого связь деформаций е и к с величинами P и M сводится к системе двух нелинейных уравнений, которую приходится решать численно.

Перейдем к безразмерным переменным таким образом, чтобы при малых углах а все величины в системе (2.1), (2.2) имели порядок 1. Положим

(2.8)

в = Ьв, в = а^, (д, д0, Р} = Е^а3(д, д0, Р}, М = £5Ха3М,

д(в) = -£5Х-1а3#9(в), (Р, Р0} = Р^а2^, Р0}.

Ниже значок"опускаем, тогда Р = е/а2. Задача приводится к уравнению

4?у-(1+е)2 (Ро— -Яосовв) =°, 0 = ш?, (2.9)

п2 ав2 \ а0 у

где

Qo = -F [ q(s)ds, є = а2(Р0 cos# + aQ0 sin 6»), ?? = (2-Ю)

при дополнительных условиях

d$ f1

— =0 для s = 0, s = 1, (1 + є) cos в ds = cos a. (2-11)

ds Jo

Параметр Pq является искомым.

Рассмотрим два случая задания вертикальной нагрузки q(s).

3. Сосредоточенная в узле A сила. Пусть в узле A ферма нагружена сосредоточенной вертикальной силой 2F (левый стержень воспринимает половину этой силы). Тогда Qq = —F = const и уравнение (2.9) имеет решение в = во = const, при котором стержень OA остается прямолинейным. Из соотношений (2.9)—(2.11) находим

sin во (cos во — cos a) sin во

Р =-------^-з-----------Д = 1------------;---, P0 = -aF ctg6»0. (3.1)

a3 cos a sin a

При малых a имеют место приближенные соотношения

в0 = aД1, Д1 = 1 — Д, F = f (Д) = Д1(1 — Д2)/2. (3.2)

Функция f(Д), в безразмерном виде описывающая зависимость между величинами (2.5), показана на рис.3,а. Локальный максимум функции /(Д) достигается при Д* = 1/а/З ( точка M1 на рис.3,а) и равен F* =3 3/2. В размерных величинах ему соответствует критическое значение F* силы F:

F* = if (3 3)

Аналогичная формула, дающая в 3 раза большее значение F*, приведена в [7] со ссылкой на работу [8].

Участок M1M2 кривой f(Д), на котором неравенство (2.6) не выполнено, а положения равновесия неустойчивы, показан на рис. 3,а штриховой линией. При F > F* происходит «перескок» M1M3 на устойчивую ветвь M2M4.

Эти результаты не зависят от длины стержня L до тех пор, пока стержень не потеряет устойчивость при продольном сжатии. При малых значениях a в безразмерных

переменных критическая сила сжатия Р** и осевая сила Р*, соответствующая прогибу Д*, равны Р** = —п и Р* = -1/3. Поэтому при

П < П* = 1/3 (3.4)

бифуркация прямолинейной формы равновесия стержня происходит раньше, чем достижение предельной точки М1. Параметр п (см. (2.10)) служит мерой гибкости стержня.

Заметим, что приведенные значения Р* = —1/3 и п* = 1/3 являются предельными при а ^ 0. Например, при а = 0.1 имеем Р* = —0.3328 и п* = 0.3311. В дальнейшем зависимостью величин Р*, Р*, Р**, п* от а будем пренебрегать, считая их равными соответствующим предельным значениям.

Пусть п < п*, т.е. условие (3.4) выполнено. Тогда при некотором в = в* будет иметь место бифуркация прямолинейной формы стержня. В точке бифуркации с относительной погрешностью порядка а2 имеем

$2 1 в

Р** = — ^—, Р* = тг#*, '#* = —, Д* = 1 — &*■ (3.5)

2а

Пусть теперь Д > Д*, т.е. узел А приобретает малое дополнительное смещение вниз. Для анализа окрестности точки бифуруации с той же погрешностью порядка а2 оказывается достаточным рассмотреть уравнения (2.9) в линейном приближении

^_ро0_Е = о. (3.6)

п2 ав2

Его решение имеет вид

$(в) = $0 + С С08(п5), $0 = $* — С, С> 0, (3.7)

причем

$ — С

Ро = -Ч Р = £. (3.8)

$*

Последняя формула означает, что сила Р имеет максимум Р* при в = в* (см. точку М5 на рис.3,Ь). Равенство Р0 = —п = а2е говорит о том, что после бифуркации (в рассматриваемом приближении) сила Р0 и, следовательно, деформация е остаются постоянными. Амплитуду прогиба С находим из соотношения (2.11):

или с2 = 2{г>1 - ('!?* - О2). (3.9)

а2 2 2 4

Устойчивыми являются участки ОМ5 и М2М4 на кривой нагрузка—прогиб (см. рис. 3,Ь). Положения равновесия на участках М5М1М2 и М5М6 неустойчивы. С ростом силы Р при Р > Р* происходит «перескок» М5М3 на устойчивую ветвь.

Этот результат интересно сравнить с известным результатом, установленным еще Л. Эйлером [2], о том, что при осевом сжатии стержень после бифуркации выдерживает возрастающую нагрузку. Здесь же после бифуркации сила Р сразу уменьшается при постоянной осевой силе Ро.

4. Равномерно распределенная нагрузка. Пусть теперь вертикальная нагрузка равномерно распределена по длине стержня. В отличие от рассмотренного выше случая сосредоточенной силы изгибные деформации стержня начинаются при сколь угодно малых значениях нагрузки. Ограничимся решением задачи в линейном приближении, а затем проведем сравнение с точным численным решением. Вместо уравнения (3.6) приходим к уравнению

-Яя?-Р(1 -8) =0, 1?/(0)=1?/(1) = 0, (4.1)

п2 ав2

решение которого имеет вид

$(s) = — — (1 — s + cos(As) Н--------------— sin(As)^) , A = 7г*-----------. (4-2)

Ро \ sin А ) У П

С учетом соотношений Ро = а2е, (2.5) и (2.11) получаем уравнения, связываюшие величины Ро, F и Д:

F2 (1 3 + 2 cos А 5 sin А \ F

2Р° + 1 Р02 (,3 +А2(1+совА) А3 (1 + сое А)) ’ А 1 + 2Р0 '

Расчеты показали, что сила Ро не достигает критического значения, при котором А = п и линейное приближение непригодно. График зависимости Р(Д) в качественном отношении совпадает с показанным на рис. 3,Ь.

Для различных значений параметра гибкости п при ао = 0.1 приведем максимальное значение Р* силы Р и соответствующий относительный прогиб Д* (см. табл. 1).

Таблица 1.

V ре д; F а ± * да

10 0.3848 0.425 0.3848 0.422

5 0.3845 0.425 0.3846 0.423

2 0.3825 0.425 0.3824 0.424

1 0.3711 0.425 0.3708 0.422

0.7 0.3495 0.416 0.3487 0.414

0.5 0.3078 0.390 0.3067 0.387

0.3 0.2221 0.337 0.2212 0.334

0.2 0.1600 0.300 0.1595 0.306

0.1 0.0875 0.268 0.0854 0.289

Через Р*е и Д* обозначены точные значения, найденные при численном интегрировании системы (2.9)—(2.11), а через Р* и Д* —полученные по приближенным формулам (4.3). Видим, что приближенные формулы для Р* дают достаточную для приложений точность. При п < 1 величины Р* и Д* практически от п не зависят. При малых п зависимость Р* от п близка к линейной.

1. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

2. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Госте-хиздат, 1934.

3. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1974. 808 с.

4. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е. Устойчивость сжатого стержня при наличии ограничения на перемещение // Докл. РАН. 2007. Т. 412, №2. С. 112-116.

5. Журавлев А. А. Пространственные деревянные конструкции. Растов-на-Дону, 2003.

6. Товстик П. Е., Шеховцов А. С. Нелинейный изгиб балки из разномодульного материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. №4. С. 47-51.

7. Миряев Б. В., Кузнецов А. А. Местная устойчивость сетчетых деревянных куполов // Изв. ВУЗов. Строительство. 2003. №3. С. 8-11.

8. Wright D. Membrane forces and buckling in Retiqualated Shells // J. Structural Division. Proc. Amer. Soc. Civil Eng. 1965. Vol. 91. NST1. P. 173-201.

Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.