CC BY
37
УДК 517.9:539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1
МОРСКАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ПЛАТФОРМА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛЕДОВОЙ НАГРУЗКИ*
П. Е. Товстик1, А. С. Шеховцов2, В. А. Шеховцов3
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, канд. техн. наук, ассистент, a.sheh-411@yandex.ru
3. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, д-р техн. наук, доцент, a.sheh-411@yandex.ru
1. Введение. Конструкция морской стационарной платформы на трубобетон-ной опоре предложена в монографии [1]. Исследованы колебания платформы под действием регулярного или случайного волнения [1-5], ее динамика под действием сейсмической нагрузки [6, 7]. В настоящей работе исследуется статика платформы под действием горизонтальной ледовой нагрузки. Проведен нелинейный расчет платформы, закрепленной на одном трубобетонном стержне. Оказалось, что жесткость такой платформы недостаточна для противодействия большим ледовым нагрузкам. Поэтому предложен вариант платформы, опертой на систему трубобетонных стержней. Такая конструкция выдерживает значительно большую ледовую нагрузку даже в расчете на один стержень. Прочность платформы определяется не развитием пластических деформаций в стержнях, а жесткостью фундамента, при этом в отличие от одного стержня расчет стержневой системы по линейной теории обеспечивает достаточную точность.
2. Описание конструкции. Рассматривается поведение платформы, состоящей из верхнего строения (тело 1), фундамента (тело 0), которые моделируются абсолютно твердыми телами, и опорного блока, состоящего из одного (рис.1,а) или нескольких трубобетонных стержней (рис. 1,6). Фундамент может перемещаться и поворачиваться. Возникающие при этом силы и моменты взаимодействия с грунтом предполагаются зависящими от перемещений фундамента.
Между телами 0 и 1 расположены нелинейно упругие трубобетонные стержни постоянного поперечного сечения. На рис. 1, с показаны положительные направления внутренних усилий и моментов в стержнях. В случае системы стержней трудность в решении задачи заключается в том, что распределение сил и моментов, действующих на отдельные стержни со стороны тел 0 и 1, неизвестно. В то же время перемещения и повороты концов стержней известны, если известны перемещения и повороты тел О и 1. Ограничимся случаем плоской деформации платформы.
Стержень представляет собой трехслойную трубу (см. рис.2). Наружные слои, < г < и гз < г < Г4 = Д, стальные, а внутренний, Г2 < г < гз, —бетонный.
В рамках гипотезы плоских сечений рассмотрим связи между внутренними усилиями и моментами Р, М и дефомациями растяжения оси ео и ее изгиба к (учитываются только продольные деформации и напряжения).
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00244-а, №09-01-92002-ННС-а).
© П. Е. Товстик, А. С. Шеховцов, В. А. Шеховцов, 2012
Рис. 1. Схема платформы.
Рис. 2. Сечение трехслойной трубы.
В линейном приближении указанные связи имеют вид
Р = с£е о, М = скк, (2.1)
где с£, ск — соответствующие жесткости, определяемые по формулам
С£=Е838 + ЕЬ3Ъ, ск = Еа1а + Еь1ъ, (2.2)
Ба = тг(г\ - г| + г22 - г2), Бс = тг(г| - г22), За = (тг/4)(г4 - г34 + г4 - г4), = (тг/4)(г| - г4).
Здесь Е8, Еъ — модули Юнга стали и бетона.
В принятых обозначениях вес единицы длины стержня Е,р равен д8Б8 + дь&ь- где д3 и дь — удельные веса стали и бетона.
и для бетона
В нелинейной области примем следующие зависимости между напряжениями а и деформациями е (в осевом направлении): для стали
— £ь, £ < —£ь,
а = Еь{ £, ~£ь<£< О, (7Ъ = ЕЬ£Ь, (2.4)
О, е > О,
где £ = £о — кг, г — расстояние до нейтральной оси (рис.2). Здесь ея—предел текучести стали, который предполагается одинаковым при растяжении и при сжатии, £ь —предел текучести бетона при сжатии. Формулы (2.3) и (2.4) соответствуют модели Прандтля, причем формула (2.4) фиксирует предположение, что бетон совсем не сопротивляется растяжению.
Теперь внутренние усилия Р и моменты М равны интегралам по сечению Б стержня от соответствующих напряжений:
Р = /р(£о,к) = II <г ¿в, М = /т(ео,к) = Л ™ М- (2-5)
Решая уравнения
Р = /р(е0,к), М = /т(е0,к), (2.6)
по заданным Р и М находим ео и к.
3. Равновесие платформы, опертой на один стержень. Уравнения равновесия элемента стержня имеют вид
dP dQ d,M
—--kQ + bp eos íp = 0, ——b kP + bp sin (f> = 0, ——
ds ds ds
где s —длина дуги оси стержня, отсчитываемая от фундамента, к —ее кривизна, Р — осевая сила (при сжатии Р < 0), Q—перерезывающая сила, М — изгибающий момент, ip — угол поворота оси стержня (см. рис. 1, с).
Пусть и и w — проекции перемещения точек оси стержня на вертикальное и горизонтальное направления. Имеют место геометрические соотношения
du dw dw
— = (1 +£o)cos^, — = (1+£o)siny>, — = К. (3.2)
ds ds ds
На тело 1 действуют приведенные к точке крепления стержня горизонтальная сила F\ (включающая давление льда, ветра и пр.), вертикальная сила веса Р\ и внешний момент Mi, учитывающий эксцентриситет точек приложения сил Р\ и F\. В результате получаем граничные условия при s = Н:
Р = —Р\ eos <р + Fi sin ip, Q = Pi sin <p + eos p, M = M\. (3.3)
При s = 0 зададим граничные условия
и = w = 0, М + h0F1 = cvpo,
(3.4) 109
где cv — угловая жесткость сил взаимодействия фундамента с грунтом, ho — глубина центра поворота. В (3.4) принята простейшая (линейная) модель взаимодействия фундамента с грунтом. Более того, полагая в дальнейшем ho = 0, пренебрегаем влиянием горизонтальной силы на угол поворота фундамента. Нелинейная модель взаимодействия фундамента с грунтом предложена в работе [8].
Для решения краевой задачи (3.1)—(3.4) относительно неизвестных функций Р, Q, М, и, w, (£>, рассмотрим вспомогательную задачу Коши при s = О
Р = -Ро eos ípo + Fi sin ipo, Q = Po sin <p0 + Fi eos ip0, M = M0, , , и = w = 0, <p = (fio = (Mo + h0Fi)/cv,
где Po = P\ + FhH — вес тела 1 вместе со стойкой. В формулах (3.5) величина Мо неизвестна и должна быть подобрана из условия
М{Н) = М1. (3.6)
Остальные граничные условия (3.3) выполняются автоматически, что может служить контролем вычислений. Если фундамент неподвижен, последнее из условий (3.5) заменяем на <р = 0. Силовые соотношения (3.5) найдены из условий равновесия тела 1 вместе со стойкой.
В результате решения задачи (3.1)—(3.4) находим перемещения и углы поворота тела 1, тела 0, а также деформации в стержне и предельную нагрузку, которую выдерживает конструкция.
Найдем ограничения на жесткость cv для конструкции, нагруженной только собственным весом. Положим P\,Fp ф^ 0, F\ = Мi = 0. Предположим сначала, что стержень абсолютно жесткий. Тогда при его наклоне на угол (ро в точке О (см. рис. 1, а) возникает момент Мо = (Pi + FpH/2)Htpo, откуда следует ограничение на жесткость
Сер •
> = (Pi + FpH/2)H. (3.7)
В случае деформируемого стержня численно определяем в линейном приближе-
(2)
нии его угловую жесткость típ из решения вспомогательной краевой задачи, состоящей из уравнений (3.1), (3.2) и условий
Р=-Р0, Q = P0 sin^o, М = М0, u = w = 0, ср = ср0 (s = 0). (3.8)
При этом малая величина (ро задается, а величина Мо подбирается из условия М(Я) = 0. Тогда
42)^М0/^0 при сро —» 0. (3.9)
Теперь получаем более сильное ограничение на жесткость
>CW >с$\ (3.10)
4. Пример расчета при опоре на один стержень. Примем следующие значения параметров (все величины заданы в системе СИ): высота стойки — Н = 250; радиусы слоев — г\ = 4.9, Г2 = 4.95, гз = 5.95, Г4 = Д = 6; вес тела 1 — Р\ = 108; удельный вес стали — д8 = д 7.85 • 103, бетона — дс = д 2.2 • 103; ускорение свободного падения — д = 9.81; модуль Юнга стали — Е3 = 2.06 • 1011, бетона — Ес = 0.1766£^;
предел текучести стали — е8 = 0.00134, бетона — ес = 1.16ея. Примем внешний момент М\ = 0 и плечо ко = 0, а горизонтальную силу Рх и угловую жесткость фундамента с1р будем менять.
Находим жесткость стержня на растяжение се = 1.63 • 1012 и на изгиб ск = 2.46 • 1013, вес единицы длины стержня Рр = 1.003 • 106, вес тела 1 вместе со стержнем Ро = 3.507 • 108, ограничение на угловую жесткость фундамента с^ = 5.634 • Ю10.
В результате интегрирования системы (3.1), (3.2) с граничными условиями (3.8) и М(Н) = 0 получаем ограничение на угловую жесткость фундамента с^ = 6.62 • Ю10.
Приведем теперь результаты интегрирования системы (3.1), (3.2) с граничными условиями (3.5) и М(Н) = М\ = 0 при различных значениях угловой жесткости (2)
Су > с)р VI горизонтальной силы Рх, которую увеличиваем вплоть до опрокидывания платформы.
Таблица 1. Зависимость параметров деформации конструкции от угловой жесткости фундамента и горизонтальной нагрузки
с,р и(Н) ■и>(Н) ф) <Р(Н)
1 2 3 4 5 6
0.30 • 10' -0.03 0.77 0.000 0.005
оо 1.23 • 107 -0.06 4.78 0.000 0.028
1.52 • 107 -0.11 7.20 0.000 0.041
0.28 • 10' -0.04 0.99 0.001 0.005
1012 1.15 • 107 -0.08 5.77 0.004 0.032
1.40 • 107 -0.14 8.01 0.005 0.044
0.26 • 10' -0.04 1.21 0.002 0.006
5•1011 1.06 • 107 -0.11 6.72 0.008 0.036
1.29 • 107 -0.18 9.20 0.011 0.049
0.20 • 10' -0.04 1.86 0.004 0.009
2•1011 0.80 • 107 -0.20 9.63 0.020 0.047
0.96 • ю7 -0.33 12.71 0.025 0.062
0.11 • 10' -0.06 3.21 0.010 0.014
1011 0.37- ю7 -0.46 14.85 0.041 0.067
0.41 • ю7 -0.62 17.46 0.048 0.079
Результаты представлены в табл. 1. В столбце 1 приведены значения угловой жесткости фундамента, в столбце 2 — значения горизонтальной нагрузки на тело 1, в столбцах 3 и 4 — вертикальное и горизонтальное перемещения тела 1, в столбцах 5 и 6 — углы поворота (в радианах) тел 0 и 1 соответственно. Каждому значению с^ в табл. 1 сопоставлены три строки. Первая из них соответствует значению силы Рх, при которой впервые в некоторой области бетон испытывает растягивающие деформации, вторая соответствует появлению пластических деформаций сжатия стали, наконец, в третьей строке приведено предельное значение силы Рх = Р^, соответствующее положение конструкции перед разрушением (опрокидыванием). Представленные результаты позволяют проследить рост деформаций при приближении к критическому значению угловой жесткости фундамента = 6.62 • Ю10
Предельная нагрузка Р^ (табл. 1) численно определялась из условия расходимости вычислительного процесса решения уравнения (3.6) при монотонном увеличении Мо. Для исследования окрестности предельного положения в соответствии с рекомендацией (см. [8]) следует сменить искомый параметр, именно, при решении задачи (3.1)-(3.4) считать момент Мо известным и, подбирая Рх, удовлетворять уравнению (3.6).
На рис. 3 в случае с^ = 2 • 1011 показана окрестность предельной нагрузки = 0.964 • 107 (точка Ь на рисунке). Правее точки Ь положения равновесия неустойчивы, ибо рост прогиба гп(Н) сопровождается падением нагрузки Р\.
Рис. 3. Окрестность предельной нагрузки.
5. Равновесие платформы, опертой на систему стержней. Жесткость конструкции может оказаться недостаточной при наличии большой ледовой нагрузки. Поэтому рассматривается конструкция, содержащая N стержней, соединяющих тела 0 a 1. Перемещения в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления и углы поворота этих тел обозначим через uo,Wo,(po и . w\ .¡.р\. а усилия в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления и момент, действующие на них, — через Хо, Zq, Mo и Xi, Zi, М\. При этом считаем, что на стержни (кроме нагрузок на концах) действуют только силы веса, Тогда из условий статического равновесия следует, что
X0 = X1-PS, Уо=Уь (5.1)
где Ps — суммарный вес стержней.
Как и ранее, примем, что щ = wq = 0, ибо поступательное перемещение не влияет на напряженное состояние платформы. Примем также, что угол поворота фундамента удовлетворяет соотношению
Mo + hoZo = c^(f0. (5.2)
Перемещения и повороты нижнего и верхнего концов i-го стержня соответственно равны
Uoi = Uo + Vi cos tpo, Woi = Wo - Vi sin tpo, (f0i=(f0, Uli = Ul + Vi COS (fi!, lUu = lUi - Vi sin (Pi , (fli = (fl, где через Vi обозначены расстояния, зависящие от взаимного расположения стержней (см. рис. 4, на котором показано горизонтальное сечение системы стержней). Имеют место формулы
N N N
Хо =^2{Poi cos (po-Qoi sin (po), Zo =^2{Poi sin ipo + Qoi eos (fio), Mo =У^(М0—VíPqí),
í=l i=1 Í=1
(5.4)
АУ
Рис. 4• Горизонтальное сечение стержней. N N N
1=1 1=1 i=i
(5.5)
где индекс i указывает на внутренние усилия и моменты у i-го стержня на концах 5 = 0 и 5 = Я.
Основная задача заключается в следующем: величины Х\ = XJ5, Z\ = и Mi = М*, действующие на тело заданы, и нужно найти перемещения и углы поворота обоих тел Ои 1 и напряжения в стержнях.
Пусть сначала перемещения и повороты тел 0 л 1 заданы. По формулам (4.3) находим перемещения и повороты i-го стержня. Для определения внутренних усилий и моментов в нем получаем краевую задачу, состоящую из уравнений (3.1)-(3.2) и граничных условий (5.3). Для ее решения рассматриваем вспомогательную задачу Коши, состоящую из уравнений (3.1)-(3.2) и начальных условий при 5 = 0
u = ui0, w = Wío, (р = (р о, Р = Pío, Q = Qío, М = Mi0, (5.6)
где величины Pi о, Qío и Mi о подбираются из условий (5.3) при s = Н.
Для краткости введем (с соответствующими индексами) векторы обобщенных перемещений u = (u,w,(p) и обобщенных внутренних усилий Р = (Р, Q,M), также обобщенных сил в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления X = (X, Z,M). Тогда условия (4.6) записываются в виде
U = "Що, Р = РгО при 5 = 0. (5.7)
Для определения вектора P¿o получаем уравнение
u(P,o) = U¿1 при s = Н. (5.8)
Уравнение (5.8) решаем методом Ньютона по формуле
P?o+1 = Р?о + (D„Г1 Ко " u(P3,)), D„ = (5.9)
iO
где элементы матрицы Dn находятся в результате численного интегрирования задачи (3.1), (3.2), (5.7). В связи с тем, что в интересующей нас области параметров система (4.8) близка к линейной, метод итераций (5.9) быстро сходится.
После решения задачи (3.1), (3.2), (5.7) векторы Р^о и Рц становятся известными. По формулам (5.4) и (5.5) находим векторы Хо и Хх. Они являются функциями ио = (0,0, уо) и их = (их, ср\). Зафиксируем ср0, тогда для определения их получаем уравнение
Х1(и1) = Х^. (5.10)
Как и уравнение (5.8), уравнение (5.10) решаем методом Ньютона:
и?+1 = и™ + (Б«)"1 (XI - X!«)), Б„ = (5.11)
Теперь в силу формулы (5.4) момент Мо является функцией ср0■ Последним этапом решения задачи является решение уравнения
М0(<ро) = с^ро (5.12)
относительно сро. Как и в п. 3, найдем ограничение на угловую жесткость с^ в
предположении, что платформа наклоняется как твердое тело. Получаем Cf > с^ =
(2)
(— Х\ + Ро/2)Н. Как и в п. 3, ограничение с^ может быть найдено по формуле (3.9), в которой момент Мо находится по описанному выше алгоритму при Z\ = М\ = 0 и
сро « 1.
6. Решение в линейном приближении. Расчеты показывают, что углы сро и ср\ малы, что дает основание для построения линейного приближения. Используя описанный выше алгоритм численно находим производные
<9и>1 <9и>1 дгю\
!Шс аи,т~ дмс о>\и f — т: 1 дсро
дМ0 дМ0 _ (2) _ — — дМ0
атт - дт, дсро '
(6.1)
вычисляемые в недеформировенном положении Z\ = М\ = сро = 0. Тогда при малых отклонениях от положения равновесия
"Ш1 = awzZ-í +агитМ1 +awfcpo, М0 = + аттМ1 + ат^сро. (6.2)
С учетом равенства (5.2) находим
+ аттМ 1
сро =-, (6.3)
с/ — amf
после чего горизонтальный прогиб и> 1 находится по формуле (6.2).
7. Пример расчета при опоре на систему стержней. Рассмотрим опору на семь стержней, таких же, как и в п. 5. Один стержень расположен в центре, а остальные — в вершинах правильного шестиугольника. Расстояние между стержнями равно с1 = 1 (см. рис. 4), а сторона шестиугольника равна 2Н-\-с1 =11 (м). Направление горизонтальной силы Z\ показано на рис.4. Вес тела 1 равен — Х\ = 7 ■ 108. При плоском изгибе два, три и два стержня деформируются одинаково, и расстояния VI
в формулах (5.3) соответственно равны —9.526, 0 и 9.526. Как и в п. 4, при расчетах ограничиваемся случаем М\ = 0, ко = 0. Параметры Z\ и Cf будем менять.
Находим суммарный вес стоек Ря = 1.755 • 109 и ограничение на угловую жесткость фундамента с~р = 3.94 • 1011. По описанному выше алгоритму получаем с{р = 4.22 • 1011.
Приведем значения производных (6.1), используемых при построении приближенного решения (6.2), (6.3), которое будем сравнивать с точным решением:
оШ2 = 1.2396 • 10~8, а«,т = 3.353 • Ю-11, = 268.3,
(7.1)
ят2 = 3.6834, атт = 1.0435, ат/= 4.2209 • 1011.
Ограничимся рассмотрением нагрузок, при которых материалы стоек работают в линейной области, т.е. имеют место соотношения (2.1). Некоторые результаты представлены в табл. 2, где приводятся те же величины, что и в табл. 1. Первые три строки соответствуют случаю, когда фундамент не поворачивается (95(0) = 0, с^ = оо). С ростом горизонтальной нагрузки Рх растут и деформации. Здесь и ниже звездочкой помечена строка, соответствующая границе области применимости формул (2.1), когда впервые появляются пластические деформации. В строках 4, 5 и 6, 7 приведены результаты для с^ = 1012 и для с^ = 0.7 • 1012.
Таблица 2. Параметры деформации в случае опоры на семь стержней
С,р и(Н) ■и>(Н) Ф) <Р(Н)
1 2 3 4 5 6
1 оо 0.50 • 10» -0.002 0.62 0 0.0017
2 1.00 • 108 -0.003 1.24 0 0.0034
3 * 1.87- 108 -0.012 2.32 0 0.0041
4 Ю12 0.50 • 10й -0.09 6.84 (6.85) 0.0232 (0.0232) 0.0259
5 * 0.96 • 108 -0.35 13.12 (13.15) 0.0445 (0.0446) 0.0517
6 0.7 • 10ГА 0.30 • 10й -0.13 8.12 (8.14) 0.0289 (0.0290) 0.0312
7 * 0.66 • 108 -0.64 17.84 (17.91) 0.0635 (0.0637) 0.0685
В столбцах 4 и 5 в скобках приведены результаты, полученные по приближенным формулам (6.3) и (6.2), а при = оо все приведенные цифры в столбце 4, полученные по формуле (6.3), совпадают с точными. Следовательно, в рассматриваемой области приближенные формулы (6.2), (6.3) дают достаточную точность.
8. Обсуждение. Нами приведены результаты воздействия ледовой нагрузки на морские стационарные платформы двух типов — с опорой на один трубобетонный стержень (опора типа 1) и на семь таких стержней (опора типа 2). При опоре на один стержень ледовая нагрузка Р1, ведущая к опрокидыванию конструкции, существенно зависит от угловой жесткости фундамента. При этом нагрузка, при которой нарушается линейная зависимость между деформациями и напряжениями, в 4-5 раз меньше нагрузки опрокидывания. При опоре типа 2 анализ был ограничен областью линейной зависимости между напряжениями и деформациями. При этом приближенные формулы в области линейности деформирования дают достаточную для приложений точность по сравнению с точными численными результатами. Естественно, что при опоре типа 2 деформации существенно меньше. Так, при опоре типа 2 на невра-щающийся фундамент (с^ = оо) нагрузка Р1, при которой нарушается линейность деформирования, в 60 раз больше, чем при опоре типа 1.
Литература
1. Шеховцов В. А. Случайные нелинейные колебания опорных блоков морских стационарных платформ. СПб.: Изд. СПбГАСУ, 2004. 246 с.
2. Товстик П. Е., Шеховцов В. А. Математические модели динамики морских стационарных платформ. Одиночная консоль // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. №2. С. 129143.
3. Tovstik Р. Е., Tovstik Т. М., Shekhovtsov V. A. On the Mariner Fixed Offshore Platform Dynamic Under Random Wave Forces // XXIII Summer school — Conference «Advanced Problems in Mechanics»: Book of Abstracts. St.Petersburg, 2005. P. 91.
4. Товстик П. E., Товстик Т. М., Шеховцов В. А. Моделирование колебаний морской стационарной платформы при случайном волнении // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. №4. С. 61-69.
5. Shekhovtsov V., Tovstik P., Tovstik Т. On the Mariner Fixed Offshore Platform Dynamics under Action of the Random Wave Forces // Magdeburger Mashienenbau Tage: Tagungsband, Magdeburg, 2005. P. 118-126.
6. Shekhovtsov V.A., Tovstik P.E., Tovstik T.M. Dynamics of marine stationary platform under action of seismic loading. // III ECCOMAS. Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering. Corfu, Greece, 2011.
7. Shekhovtsov V.A., Tovstik P.E., Tovstik T.M. Dynamics of marine stationary platform under action of seismic loading // Dynamics of marine stationary platform. Advanced Problems in Mechanics. 39 summer school. St.Petersburg, 2011. P. 492-501.
8. Григолюк Э.И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения по параметру в нелинейных задачах механики деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 232 с.
Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.
ХРОНИКА
16 февраля 2011 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили В. Г. Мельников, С. Н. Шаховал, Г.И.Мельников, Р.Ю.Кравчук (СПбГ ИТМО) с докладом на тему «Динамика реверсивно-симметричных прецессий твердого тела и идентификация инерционных параметров».
Краткое содержание доклада:
Рассматриваются сферические движения тела, содержащие этапы замедленного двухосного вращения в одном направлении и симметричного программного ускоренного вращения в обратном направлении. Угол нутации постоянен, углы прецессии и собственного вращения связаны постоянным передаточным отношением, возможны и другие виды согласования углов. Допускаются полупрограммные движения с произвольным удобным для исполнения замеряемым движением и программным разгоном. Применяются устройства, обеспечивающие одинаковое по модулю трение в повторяющихся положениях. Получены дифференциальные уравнения управляемого движения системы, уравнения Эйлера с аналитическим исключением диссипативных моментов и формулы для вычисления тензора инерции тела с использованием замеров разностей текущих расходов электроэнергии с вычетом омических потерь электроэнергии в контурах двигателя. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-08-01046.
