НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СТУПЕНЧАТОМ ГИДРОСТАТИЧЕСКОМ ПОДПЯТНИКЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ

УДК 621.9: 621.89

DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-546-556

НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СТУПЕНЧАТОМ ГИДРОСТАТИЧЕСКОМ ПОДПЯТНИКЕ

В.А. Коднянко, А.В. Суровцев, Л.В. Строк, Л.В. Гоголь, С.А. Белякова, О.А. Григорьева

Рассмотрена конструкция и проведено теоретическое исследование нелинейных динамических характеристик ступенчатого гидростатического подпятника. Рассмотрены два режима силового возмущения - ступенчатый и импульсный. Показано, что ступенчатое повышение нагрузок способствует сокращению времени затухания переходных характеристик, что благоприятно сказывается на быстродействии подпятника. При импульсном воздействии длительность переходной характеристики не зависит от высоты импульса и ее можно рассчитывать более простыми линейными методами.

Ключевые слова: ступенчатый гидростатический подпятник, нелинейная динамика, ступенчатое возмущающее воздействие, импульсное возмущающее воздействие.

Ступенчатые гидростатические подпятники отличаются повышенной несущей способностью [1, 2, 3]. На этом основании их конструкции применяют в тяжелых металлорежущих станках и испытательном оборудовании. Кроме того, они конструктивно и технологически проще [4, 5, 6] и им свойственны высокие показатели качества динамики [7, 8, 9].

Исследования ступенчатых подпятников малочисленны ввиду того, что конструкции имеют довольно высокую податливость несущего смазочного слоя [10]. Вместе с тем по несущей способности им нет конкурирующих конструкций, поэтому их исследования по-прежнему актуальны.

Известно, что из-за сложности математических моделей динамики подпятников скольжения исследование их динамического качества обычно проводят при помощи линеаризованных моделей, к которым применяют интегральное преобразование Лапласа, для малых колебаний зазоров и давлений относительно их показателей в устойчивом стационарном положении конструкции [11, 12]. Кроме того, для оценки длительности переходных процессов используют критерии, основанные на действительной части наибольшего корня характеристического уравнения, без учета влияния на динамику других его корней. Исследования колебаний умеренных и больших амплитуд, которые нельзя выполнить линейными методами, а можно провести лишь на основании прямых нелинейных моделей, неизвестны.

В настоящей статье рассмотрены результаты теоретического исследования нелинейных динамических характеристик ступенчатого упорного гидростатического подпятника (подпятника), расчетная схема которого показана на рис. 1.

Конструкция имеет вал 2 и основание 1, которое герметично соединено с жестким кольцом 3 внутреннего радиуса Т\ и наружного радиуса Г0. Подпятник питается от источника нагнетания смазки под давлением ps через отверстие радиуса гг. Между поверхностями основания 1 и кольца 3 имеется ступень высоты 5. В рабочем состоянии между поверхностями кольца 3 и вала 2 на выступе создается пленка смазки толщины h. На ступени величина зазора определяется суммой

^ = к + 5. (1)

На окружности радиуса Т\ происходит дросселирование смазки. При это создается давление рг < рж, которое формируется в результате преодоления гидравлического сопротивления потоку смазки в зазоре толщины кх на кольце г2 < г < Т\.

......

1 /

й

ю ^ I

.....

/////1\\у к

>ХЧЧЧЧ\\\' \\V\N

* Р*1 Г1 го

Рис. 1. Расчетная схема ступенчатого подпятника

В работе рассмотрена нестационарная математическая модель подпятника, выполнен расчет и исследование его динамических характеристик.

Математическое моделирование динамики подпятника. Исследование характеристик подпятника проведено в безразмерной форме. Приняты следующие масштабы величин: - для давлений, го - для радиусов, го - для текущего времени, ко - для зазоров и размера ступе-

ни,

пкоРх

6р.

- для объемных расходов смазки, 2пг0 рх - для осевых сил, где ко соответствует

зазору к в подпятнике, воспринимающем расчетную нагрузку /о, где р - вязкость смазки. Далее безразмерные величины обозначены прописными латинскими и греческими буквами.

Функция давления Р(Я,т) в зазорах малой толщины удовлетворяет нестационарному уравнению Рейнольдса для несжимаемой жидкости [13]

ш3 дР | = сяяг,

дЯ { г дЯ 1 '

где Нг(Т) - функция плоского зазора, Я - текущий радиус, о =

(2)

12РГ)2

ко2 РА

- так называемое «число

сдавливания» пленки жидкости в зазоре, т - безразмерное время.

На круге Я е [о, Я2 ] функция давления постоянна и равна

Р(Я) = 1. (3)

На кольце Я е [Я2, Я1 ] в области зазора Н краевая задача для уравнения (2) удовлетворяет граничным условиям

Р(Я2,т) = 1, Р (Ях,т) = Р (т). (4)

Решением краевой задачи (2), (4) является функция

^п (я / я2) р(я,т) = 1 + (р - 1)тп( / я2)

(5)

Тп (я!/ я)

оН,

4 н3

я2 +( - яг - яг

На кольце Я е [Я1,1] в области зазора Н краевая задача для уравнения (2) удовлетворяет граничным условиям

Р (Ях,т) = Р (т), Р (1,т) = о. (6)

Решением краевой задачи (2), (6) является функция

Тпя

р( я,т) = р ^ + он

ТпЯ 4 Н

Я2 -1 + (1 - я2) 547

Тпя,

(7)

Реакции сил давления в указанных областях определяются общей формулой

где

где

где

V

Щ = | КРйК.

Подставив (3), (5), (7), (9) в (10), найдем выражения для силовых реакций

2

Щ = | КРйК = А0,

0

К1 ТТ

Ж2 = | КРйК = А.Р + А2 + В

0 Н3

Щ = | КРйК = АзР - Б. НН3,

Н3

Ао = ^ 2

А.=4

К - К

1 ' Ln(К./К)

2 Л,2 +

А = 1 , А2 = 4

Л.2 - Л

Ln (К./ К)

2 - 2 Л2

Во = 16(Л.2 - Л2)

Аз =

4

Г ^ - 2 К22

V

, Б. =

л.2 - К

Ln (Л./ Л2)

(! - Л.2)

- Л.2 - Л2

у

!6

! + Л2 + .- Л

2

\

LnК1

у

Расход смазки на стыке ступени и выступа определяется общей формулой [!4]

О = Н 11т

г к^к.

К—

V йК у

Формула (И) дает расход на выходе зазора Н

О=Нз Й5

к—

V йК у

= Аз Н3 ( - Р)-Бз Нs,

А5 =

- Б = -

Ln(К./К2) 3 4 На входе в зазор Н расход равен

О = Н311т( - йР

к^к.

2 Л2 +■

к2 - к.2

К—

V йК у

. Ln (К./ К2) = АН3 Р - ВН,

4 '

Аб =

-, В4 = —

LnК1 4 4

2 К.2 + Ь^ . LnК1

2

V

(.0)

(И) (.2) (.3)

(.4)

(.5)

(.6)

Формулы для гидростатических сил и расходов, поученные на основе аналитического решения краевых задач для уравнения Рейнольдса, проверены альтернативным численным методом конечных разностей [М].

Кроме перечисленных сил в динамической системе действует сила инерции вала [И]

^ = МН , (П)

тп Я ? 4 '

где М =

шкп

2пГ0 М

ш - масса вала.

2

Несущая способность подпятника равна

Н

Ж = Щ + Щ + Щ = АуР + А + Б^—3 - Б.

Н

(.8)

Н 1Н3, где А = А. + А3, А8 = А0 + А2.

Математическая модель динамики подпятника включает два уравнения силового равновесия вала . и кольца 3, одно уравнение баланса расходов смазки и формулы для определения зазора Ht и суммарного зазора Н

Ж - ^ = Е, (.9)

О* - О = 0. (20)

Подставив (И) - (!8) в (!9) - (20), получим

А7 Р + А8 - Б1-ННТ + Б0 ^ - МН , = Е,

О (22)

Н3 0 Н3

АН О - Р) - Б3Н - Абн3Р + Б4Н = 0.

Н = Н + А. (23)

Замкнутая система из трех нелинейных уравнений (2.) - (23), из которых два являются дифференциальными, представляет собой математическую модель динамики подпятника, содержащую входную функцию внешней нагрузки Е и три выходных функции Н, Н*, Рг. Выразив Рг из (2.), Н из (23) и подставив их в (22), получим нелинейное дифференциальное уравнение, связывающее входную функцию силового возмущения Е и реакцию подпятника в виде функции зазора Н. Приняв во внимание, что Н* = Н, Н s = Н, для безразмерной массы вала М = . запишем это уравнение в форме

Ф(Н) = 0, (24)

где Б2 = Б4 - Б3,

Ф (Н) = (( Н3 + Аб Н3)

(

А8 +

Б

Н

А

н 3

Л

Н - Н - Е

(25)

+А

А5 Н + Б2 Н

5 * 2

С учетом (23) уравнение (25) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции зазора Н(т), для которой в режиме «расчетной точки» начальные условия имеют вид

Н (0) = . Н (0) = 0. (26)

Прежде чем приступить к нахождению решения краевой задачи (25), (26), необходимо повести настойку параметров подпятника.

Настройка параметров подпятника. Математическая модель стационарного состояния подпятника является частным случаем модели динамики (2.) - (23) при отсутствии колебаний. Модель можно представить в виде следующей системы нелинейных алгебраических уравнений

Ау Р + 4 = Е, (27)

АН (. - Р )- АбН3Р = 0. (28)

Н* = Н + А. (29)

Для исследования характеристик подпятника необходимо провести настройку параметров так называемого режима стационарной «расчетной точки». Для этого необходимо выбрать точку на нагрузочной кривой Н(Е), задав одну часть параметров и вычислив другую их часть.

Под режимом «расчетной точкой» будем понимать совокупность значений величин, соответствующих безразмерному единичному зазору Н = . когда размерный зазор в области выступа равен расчетному зазору к = к0. Настройку подпятника на этот режим удобно выполнить задав давление на стыке ступени и выступа с помощью нормированного коэффициента

настройки давления % е [о, 1] по формуле Р = %. К входным величинам также отнесем радиусы Я1, Я2. Вычислим зазор Н^о, высоту ступени А, несущую способность Wо и расчетную нагрузку Го

Ах

Но =•

х о

-,А = Но - 1,Ж = Лх+А,Яо = ж0.

(3о)

40 - X)

Дальнейшие действия связаны с разработкой численного метода решения краевой задачи (25), (26).

Метод расчета нелинейных колебаний подпятника. После определения параметров «расчетной точки» можно приступать к разработке метода решения нелинейной краевой задачи (25), (26), описывающей нелинейные колебания подпятника. Для этого будем использовать неявную форму конечно-разностной аппроксимации первой и второй производных функции зазора, входящих в дифференциальное уравнение (25) [16]. Такая схема всегда вычислительно устойчива [17].

Для определения первой производной функции Н(т) в начальной точке будем использовать конечно-разностную формулу [16]

ёН -Н2 + 4Н, - 3Но

-(о) =-2 1 о

(31)

ёт 2х

где х - шаг интегрирования, Но = Н(о), Н\ = Н(х), Н2 = Н(2х) - первые три значения искомой функции Н(т) на конечно-разностной сетке. Граничные условия (26) и формула (31) позволяют получить зависимость

Н = . (32)

Обозначим

4

и (т) = 4 Н1,У (т) = 4 Н 3,Ж (т) =

Во в

(33)

н н3

Тогда уравнение (25) примет вид

(и + V)[а8 + жН - Н - я] + а7 [и + в2' ^

Используя центральные производные второго порядка точности [16], запишем его конечно-разностный аналог для первой точки сетки

= о.

(34)

( + V,)

а8 + ж н 2 но

2х

Н2 - 2Н1 + Но г -12--

+А7

и + В2 Н*-На.

2 2х

(35)

= о.

Как следует из (33), значения и\, VI, Ж1, зависят от Н\, которое в свою очередь, как следует из (32), зависит от Н2. Поскольку Но = 1, то единственной неизвестной величиной в уравнении (35) остается Н2, которую можно найти, например, численным методом бисекции [16]. Теперь значения Но, Н\, Н2, представляющие собой решение краевой задачи (25), (26) в первых трех точках сетки известно. Последующие значения функции Н(т) будем находить, используя неявную форму аппроксимации дифференциального уравнения (34) [14]. Такая схема всегда вычислительно устойчива, а ее точность определяется величиной шага сетки [17].

Неявная форма предполагает вычисление правых производных функции зазора Н(т) в текущей временной точке, через несколько предыдущих ее значений. Известно, что центральную конечно-разностную вторую производную непрерывной функции можно выразить через три близких друг к другу точки, первую производную через две таких точки. Правую первую производную можно вычислить с квадратичной точностью через три точки [16]. Следовательно, для вычисления правой второй производной потребуется четыре точки. И такая аппроксимация будет иметь третий порядок точности для первой производной и второй порядок для второй производной. Для их нахождения запишем для трех разных точек, находящихся друг от друга на малом расстоянии х, разложение произвольной непрерывной функции £(т) в степенной ряд Тейлора с удержанием первых четырех членов разложения

я(т - *)=я(т) - ^'(т)+2я"(т) - 3ят(т),

я (т - 2 *) = я (т) - 2*я'(т) + ^ я "(т) - ^ я "(т), (36)

9*2 27V3

я (т - 3*) = я (т) - 3*я '(т) +—я" (т) - — я(т),

Обозначим

яп = я (тХ яп-. = я(т - V), яп-2 = я(т - ^Х яп-3 = я(т - 34

Вычтем второе уравнение из первого, умножив его на 8, и вычтем третье уравнение из первого, умножив его на 27. В результате получим систему уравнений

[8я*-! - яп-2 = 7яп - 6я + 2я1

,2 п

127яп-. - яп-3 = 26яп - 24*яп + 9*2я„'.

Систему (37) можно записать в матричной форме

(37)

-6 * 2*2 Л

( я' ^

сэп п

V яп

( -7 яп + 8яп-. - яп-2 -26яп + 27 яп-. - яп-3 у

(38)

Решив систему (38), найдем выражения для правых первой и второй производных функции я(т) с третьим порядком точности относительно шага *

..яп - .«яп-. + 9 яп-2 - 2 яп-3

яп

6*

я'

' _ 2яп - 5я + 4яп-2 - я,

!-3

(39)

(40)

Формулы проверены на примере вычисления правых производных проверочной функции. Результаты расчетов приведены в табл. ..

Точность аппроксимации конечно-разностных

Таблица 1

т * яп яп

Приближенно Точно Приближенно Точно

2.23 0.0. -0.790480 -0.790480 0.6.2543 0.6.2488

0.00. -0.790480222 -0.790480222 0.6.2488.26 0.6.2487566

3.23 0.0. -0.088292 -0. 088292 0.9969.9 0.996094

0.00. -0.088292228 -0.088292228 0.996095528 0.9960946.5

Анализ приведенных в таблице расчетных данных подтверждает высокую точность аппроксимации правых производных проверочной функции я(т). Особенно высокая точность свойственна формуле первой производной функции, однако достаточно высока точность и второй ее производной.

Записав аналогичные (33), (34) формулы для искомой функции в произвольной точке п сетки, получим

(( + Ю

А+жпОп

2Нп - 5Н„ . + 4Н„ 2 - Н 3

п п-. п-2 п-3

+

(4.)

где

+А7 [[ + Б2Оп ] = 0,

ПН -^Н . + 9Н 2 -2Н

- п-

' п-2

п-3

6*

Итерационный процесс нахождения решения в последующих узлах сетки проводили для п > 2. Например, при п = 3 в нелинейном алгебраическом уравнении (4.) неизвестной величиной остается только Н3, поскольку Н0, Н., Н2 уже известны. По аналогии с (35) решение (4.)

2

находили методом бисекции. Далее п увеличивали на единицу и аналогичным образом находили новое значение Нп. Критерием останова итерационного процесса считали такие значения функции Н(т) в узлах сетки, которые в пределах одного периода колебаний умещались в заданный наперед малый диапазон разности ее максимального и минимального значений.

Верификацию разработанного метода проводили для малых отклонений внешней нагрузки от статической нагрузки на подпятник в режиме устойчивого равновесного положения его подвижного элемента. Для этого к дифференциальному уравнению (25) применяли процедуру линеаризации, полагая, что при малых значениях отклонения внешней нагрузки ДЯ будут малыми и отклонения ДН зазоров Н, Н После линеаризации уравнение (25) приняло вид линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

АН + с5ДН + с6 АН = -АЯ, (42)

где

Q =-

3 С

V у

С1С2 + С4

С =- 1 С 4, Со = А H3 + А H3, С0

С = 3(A5H2 + A5H2),С2 = Аз + F,С3 = HL - H7>С4 = 3A5A7H2.

s

Возмущение внешней силы AF = Af принимали постоянным и равным Af = sF, (s << 1), что соответствует малому в сравнении с нагрузкой F ступенчатому возмущающему силовому воздействию на подпятник. Характеристическое однородное уравнение (42) имеет два ком-

плексно сопряженных корня, действительная часть которых С7 =--5, мнимая часть

Q 2

— с2 АЯ

С =__6-1. Частным решением уравнения (42) является постоянная С =--Таким

8 2 7 Сб "

образом, функцию колебаний зазора Н = 1+ДН можно записать в виде

^^т) — С^1П (С8Т) — 1|. (43)

С8 ] ]

Сравнение графиков функции зазора Н(т) по формуле (43) при е < 0.01 с сеточной функцией, рассчитанной численным методом, давало удовлетворительное совпадение при шаге сетки 5 < 0.1. На этом основании в дальнейших расчетах принимали 5 = 0.1.

Нелинейная динамика подпятника. В расчетах нелинейной динамики подпятника рассматривали два вида функций внешнего силового воздействия - ступенчатое и импульсное. Типичные результаты расчетов представлены на рис. 2 - 4.

На рис. 2 показаны переходные характеристики Н(т) при ступенчатом возмущающем силовом воздействии на подпятник для различных значений силового параметра е. При е = 0 силовое возмущение отсутствует, поэтому зависимость представляет собой постоянную функцию. При е > 0, когда подпятник испытывает ступенчатое силовое возмущение, переходный процесс носит затухающий колебательный характер, что свидетельствует об устойчивости подпятника. Обращает на себя то, что с увеличением е длительность переходной характеристики снижается. Это значит, что увеличение нагрузки на подпятник способствует повышению быстродействия конструкции. Расчеты показали, что подпятник способен выдерживать нагрузку для е < 0.7. При больших значениях в подпятнике возникает сухой контакт рабочих поверхностей.

На рис. 3 показаны зависимости Н(т) при импульсном силовом возмущении для различных значений высоты импульса е. Длительность импульса составляла два шага конечно-разностной сетки, то есть т = 25. При е = 0, когда импульс отсутствовал, зависимость Н(т) постоянна и равна величине зазора в «расчетной точке». При е > 0 переходный процесс также носит колебательный характер, однако, как видно из рис. 3. Расчеты показали, что для представленных на рис. 3 кривых логарифмический декремент затухания, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса для логарифма отношения двух соседних амплитуд, остается практически постоянным для всех кривых. Отсюда следует, что величина е практически не оказывает влияния на длительность переходной характеристики при импульсном силовом воздействии.

Н

0,8

0,6 0,4 0,2 О

О 10 20 30 40 50 Т

Рис. 2. Характеристики Н(т) переходного процесса при ступенчатом возмущающем воздействии на подпятник для различных значений высоты силовой ступени е

II 1,15

1,1

1,05

1

0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7

Рис. 3. Характеристики Н(т) переходного процесса при импульсном возмущающем воздействии на подпятник для различных значений высоты импульса е

Обращает на себя внимание и то, что в отличии реакции подпятника на ступенчатое воздействие, при импульсном возмущении конструкция способна воспринимать силовые возмущения, высота которых может в несколько раз превосходить расчетную нагрузку. Например, при максимальной высоте е = 2 импульса, когда нагрузка втрое превосходит расчетную максимальная амплитуда колебаний не выходит за пределы Н < 0.7. Причина заключается в том, что смазочная пленка ступенчатого подпятника обладает высоким демпфированием, которое оказывается достаточным для воспрепятствования силовым возмущениям большой величина.

Заключение. В работе рассмотрена конструкция и проведено теоретическое исследование нелинейных динамических характеристик ступенчатого гидростатического подпятника. Представлены результаты математического моделирования нестационарных режимов работы подпятника, способного воспринимать силовые возмущения большой величины. Рассмотрены два режима силового возмущения - ступенчатый и импульсный. Показано, что ступенчатое повышение нагрузок способствует сокращению времени затухания переходных характеристик, что благоприятно сказывается на быстродействии подпятника. При импульсном воздействии длительность переходной характеристики не зависит от высоты импульса, и, следовательно, ее можно рассчитывать более простыми линейными методами. Подпятник способен воспринимать импульсные силовые воздействия, высота которых может в несколько раз превосходить расчетную нагрузку. При этом подпятник остается устойчивым, а его быстродействие практически не зависит от высоты импульса внешней силы. Таким образом, расчеты и проведенное исследование показали, что ступенчатый гидростатический подпятник независимо от характера и величины возмущающей силы обладает стабильно высоким запасом устойчивости, достаточным для обеспечения его работоспособности.

Список литературы

1. Stachowiak G.W., Batchelor A.W. Engineering Tribology. Oxford: ButterworthHeinemann. 2005. 832 p.

2. Шатохин С.Н., Тюриков А.С., Петров В.М. Расчет статических характеристик ступенчатого гидростатического подпятника // Сб. «Качество, надежность и долговечность в машиностроении», Серия «Прикладная механика» / под ред. С.Н. Шатохин. Красноярск: ЦНТИ, 1970. С. 12 - 16.

3. Шатохин С.Н., Тюриков А.С., Царегородцев М.Е. Повышение жесткости ступенчатого гидростатического подпятника // Сб. «Новая аппаратура и методика ее применения в народном хозяйстве» / под ред. С.Н. Шатохин. Красноярск: ЦНТИ, 1972. С. 21 - 27.

4. Fluid Film Lubrication - Osborne Reynolds Centenary: proceedings of the 13th Leeds-Lyon Symposium on Tribology, held in Bodington Hall, 8-12 September 1986 / The University of Leeds; Edited by Dowson D., Taylor C.M., Godet M., Berthe D. England. 1987. V. 11. P. 3 - 696.

5. Тюриков А.С., Борисов В.Н. Исследование статических характеристик ступенчатого гидростатического подпятника // Сб. «Повышение точности и производительности обработки на станках» / под ред. С.Н. Шатохин. Красноярск: Красноярский политехнический институт, 1973. С. 43 - 49.

6. Lee J., Dixon W.E., Ziegert J.C. Adaptive nonlinear contour coupling control for a machine tool system // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2012. V. 61(9-12). P. 1057 - 1065.

7. Rowe W.B. Hydrostatic and Hybrid Bearing Design. Oxford: Butterworth-Heinemann, 1983.352 p.

8. Тюриков А.С., Шатохин С.Н. Динамические характеристики упорного ступенчатого гидростатического подшипника // Сб. «Опоры скольжения с внешним источником давления» / под ред. С.Н. Шатохин. Красноярск: Красноярский политехнический институт, 1974. С. 24 - 29.

9. A performance investigation into the elastically stepped and shrouded thrust bearing / E.W. Hemingway // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. 1968. V. 182. № 38. P. 769 - 782.

10. Mikula A.M. Further Test Results of the Leading-Edge-Groove (LEG) Tilting Pad Thrust Bearing / A.M. Mikula // Journal of Tribology. 1988. V. 110. P. 174 - 180.

11. Rao P.S., Agarwal S. Theoretical Study of Couple Stress Fluid Film in Rough Step Slider Bearing with Assorted Porous Structures / P.S. Rao, S. Agarwal // Journal of Nanofluids. 2018. V. 7. № 1. P. 92 - 99.

12. Hossain M.Z., Razzaque, M.M. Load Capacity of a Grooved Circular Step Thrust Bearing / M.Z. Hossain, M.M. Razzaque // ASME Journal of Tribology. 2014. V. 136.

13. Mathematical Modeling on Statics and Dynamics of Aerostatic Thrust Bearing with External Combined Throttling and Elastic Orifice Fluid Flow Regulation / V.A. Kodnyanko, S.N. Shato-khin, A.S. Kurzakov, Y.A. Pikalov // Lubricants. 2020. V. 8. № 5.

14. Kodnyanko V.A. Method for calculating the static characteristics of radial hydrostatic compensator of machine tool bearings deformation / V.A. Kodnyanko // Periodica Polytechnica Transportation Engineering. 2021. V. 49(2). P. 114 - 119.

15. Budak E. Analytical models for high performance milling. Part I: Cutting forces, structural deformations and tolerance integrity / E. Budak // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2006. V. 46. P. 1478 - 1488.

16. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М: Наука, 1967. 368 с.

17. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 2008.

288 с.

Коднянко Владимир Александрович, д-р техн. наук, профессор, VKodnyanko@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Суровцев Алексей Валерьевич, старший преподаватель, ASurovtsev@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Строк Лилия Владимировна, аспирант, LStrok@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Гоголь Людмила Васильевна, канд. техн. наук, доцент, LGogol@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Белякова Светлана Анатольевна, канд. техн. наук, доцент, SBelyakova@sfu-kras. ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Григорьева Ольга Анатольевна, канд. техн. наук, профессор, OGrigorieva@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет

NONLINEAR TRANSITION ANALYSIS IN STEPPED HYDROSTATIC BEARING

V.A. Kodnyanko, A.V. Surovtsev, L.V. Strok, L.V. Gogol, S.A. Belyakova, O.A. Grigorieva

The design is considered and a theoretical study of the nonlinear dynamic characteristics of the stepped hydrostatic bearing is carried out. Two modes of force perturbation are considered -stepped and pulsed. It is shown that the stepped increase in loads helps to reduce the time of attenuation of transient characteristics, which favorably affects the speed of the bearing. With pulse action, the duration of the transient characteristic does not depend on the height of the pulse and it can be calculated by simpler linear methods.

Key words: stepped hydrostatic bearing, nonlinear dynamics, stepped perturbing effect, impulse perturbing effect.

Kodnyanko Vladimir Alexandrovich, doctor of technical sciences, professor, VKod-nyanko@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Surovtsev Alexey Valerievich, senior lecturer, ASurovtsev@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Strok Lilia Vladimirovna, postgraduate, LStrok@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Gogol Lyudmila Vasilievna, candidate of technical sciences, docent, LGogol@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Belyakova Svetlana Anatolyevna, candidate of technical sciences, docent, SBelyakova@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Grigorieva Olga Anatolyevna, candidate of technical sciences, professor, OGrigorieva@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University