ВЛИЯНИЕ ДИСКРЕТНОСТИ НАДДУВА НА СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРУГОВОГО АЭРОСТАТИЧЕСКОГО ПОДПЯТНИКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.9; 621.89 Б01: 10.24412/2071-6168-2021-3-138-145

ВЛИЯНИЕ ДИСКРЕТНОСТИ НАДДУВА НА СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРУГОВОГО АЭРОСТАТИЧЕСКОГО

ПОДПЯТНИКА

В.А. Коднянко, О.А. Григорьева, Л.В. Строк

Изложен метод решения краевой задачи для стационарного дифференциального уравнения Рейнольдса в частных производных, позволивший получить ее решение в виде функции распределения квадрата давлений в несущем слое кругового аэростатического подпятника с системой дискретных питателей. Найдены зависимости для несущей способности и массового расхода воздуха через несущий слой подпятника с учетом дискретности наддува и зависимости для этих характеристик, полученные на основании модели линии непрерывного наддува. Показано, что при малом числе питателей необходимо учитывать влияние дискретности наддува на характеристики подпятника, рассчитанные на основании модели линии непрерывного наддува. Приведены формулы для приближенного расчета коэффициентов, позволяющих учитывать дискретный характер расположения питателей на линии наддува с достаточной для практики точностью.

Ключевые слова: аэростатический подпятник, диафрагма, дискретность наддува, несущая способность, расход смазки.

Исключительные преимущества аэростатических подшипников состоят в том, что они могут работать на высоких скоростях при предельно низком трении [1, 2]. Подшипники смазываются сжатым воздухом, поступающим от источника в проточный тракт, в котором обычно используются пассивные элементы ограничения потока газа в виде простых или кольцевых диафрагм для создания определенного давления, которое необходимо для поддерживания действующей нагрузки и контролируемого смещения подвижной части конструкции, обеспечивая тем самым ее жесткость несущего слоя смазки [3 - 5].

При исследовании аэростатических подшипников с диафрагмами обычно используют модель линии непрерывного наддува [6], которая предполагает, что при достаточно большом количестве дискретных питателей давление в несущем слое на линии их расположения можно считать одинаковым, что позволяет существенно упростить зависимости, связанные с выводом формул для расчета эксплуатационных характеристик подшипников [7, 8]. Имеются рекомендации по учету дискретности наддува в виде поправочных коэффициентов [9] и даже простейших математических зависимостей, однако отсутствуют работы, в которых содержалось бы их обоснование.

В настоящей работе на примере кругового аэростатического подпятника с питателями в виде диафрагм проведено теоретическое исследование влияния дискретности наддува на его несущую способность и массовый расход воздуха.

Расчётная схема и математическая модель подпятника. На рис. 1 дана расчетная схема поверхности подпятника радиуса г0, на которой на равном расстоянии друг от друга по окружности радиуса Г1 выполнено N питающих отверстий. На выходе диафрагм давление одинаково и равно рк >Ра, гдера - давление окружающей среды.

Исследование выполнено с использованием безразмерных величин. За их масштабы принятЬ1: Г0 для радиусов; Ра для давлений; рабочий зазор И между несущими

поверхностями для толщины смазочного слоя; И0 р2а / }!ЖТ для массовых расходов,

где Т - абсолютная температура воздуха; Ж - газовая постоянная.

13 8

Рис. 1. Расчетная схема подпятника

Поскольку толщина зазора в несущем слое постоянна, то функция распределения давления Р(Я, ф) в нем является решением краевой задачи для стационарного уравнения Рейнольдса[10]

R± dR

( 32d2 R

ЭР dR

Э2 P2

ния диафрагм, ф =—- j = 0,1,...,n, -1.

TJ -\T J k

с граничными условиями

dPR1 = 0, P(Ri, Ф J)=P, P(1, Ф)=1, (2)

где R, ф - радиальная и окружная координаты, R1 - безразмерный радиус расположе-

2nJ v.

N

Решим задачу методом конечных разностей [11]. Из N секторов несущего слоя рассмотрим выделенный на рис. 1 сектор {0 < R < 1,0 < ф < фк}. Разделим отрезки сектора по оси R на n равных частей и по оси ф на m равных частей. При это получим шаги

численного интегрирования vR = -1, v = —, соответственно, где фк = ^^. Обозначим

n ф m n

Y = P2 и запишем уравнение (1) в виде

r«+R2d!Y^+=0. (3)

dR dR2 Эф2

Уравнение (3) можно приближенно заменить системой линейных уравнений

[11]

YJ+1 - YJ-1 D2 Yj+1 - 2YJ + Yj-1 , YJ+1 - 2YJ + YJ-1

Я._г±1-^ + -^-^ + -^-= о (4)

/ г\ I 2 2 V /

для внутренних точек конечно-разностной сетки Я. = /VЯ, 0 = 0, 1, ..., п) и ф . = ^ф, (/ = 0, 1,. , да).

Первое граничное условие (2) можно представить-конечно разностным аналогом квадратичного порядка точности [11]

] + 4 ^ ] _ 3 ^ ]

^2 + 1 0 = 0. (5)

^ Я

Второе граничное условие (2) определяет давление на выходе точечных источников (питателей несущего слоя)

^ = РД (6)

где к = [пЯ1 ] номер точки, соответствующей радиусу окружности, на которой расположены питатели.

Наконец, последнее граничное условие (2) показывает, что на выходе из несущего слоя безразмерное давление воздуха равно давлению окружающей среды

139

¥ П = 1 (1 = 0,1,..., т). Элементарными преобразованиями система (4) приводится к виду

а ¥1

"г 1 1+1

■ Ьг ¥ 1 + сг + ^ + ¥1-1 = 0,

(7)

(8)

где

а

, = л, (п), ь = 2 (пд2+1), с, = я, (п ),

V,,

V =

2 V,

>V 2 =

'V V

ф

V V я У

Конечно-разностная краевая задача (8), (5) - (7) содержит п(т+1)-2 неизвестных значений в узлах сетки. Известными являются лишь два значения

¥0 = ¥т = р2 функции ¥ на выходе питателей (6) и ее значения ¥П = 1( 1 = 0,1,...,т) на выходе воздуха из несущего слоя (7).

Метод решения конечно-разностной краевой задачи. Задачу решали итерационным методом Зейделя. За начальное значение поля давлений ¥ конечно-разностной сетки принимали решение задачи (1) - (2), полученное по методу линии непрерывного наддува. В данном случае функция ¥ не зависит от ф, следовательно, уравнение (1) становится обыкновенным дифференциальным уравнением вида

а I „ а т 1 „ (9)

йЯ

Я-

V йЯ

= 0,

которое в совокупности с условиями (2) позволяет записать решение в аналитическом виде

¥( Я) =

Р2

Гк>

0 < я < я

1пЯ

(Р2-+Я1 <и<,

(10)

Значения функции ¥ на новой итерации для внутренних точек сетки получали по формуле

(¥ ) = — (а ¥+ с,+ +1 + ¥-/-1) ,

V ' >ь+\ и \ ' '+1 11-1 ' ' 'ь'

Ь

1

которая получена на основании (8), где ь - номер текущей итерации. Значения функции ¥ для Я = 0 вычисляли по формуле

№ )м =1 () ь,

(11)

(12)

3

которая получена на основании (5).

На линиях ф = 0 (1 = 0) и ф = фк (1 = т) вычисления проводились также с использованием формул (11), на которые налагали очевидны условия

¥ т+1 = ^ т-1, ¥-1 = ¥), (г = 0,1,..., п). Условием останова итерационного процесса являлось выполнение условия Мах (¥/) -(¥ 1 ) < е, (' = 0,1,...,п; 1 = 0,1,...,т),

где е - точность определения функции ¥. В расчетах принимали е = 10-6.

Несущую способность подпятника, соответствующую модели линии непрерывного наддува, вычисляли по формуле [12]

Ж

1 = 2л[ Я -1) йЯ

(13)

используя численный метод Симпсона [13], где функция ¥ определяется формулой (10).

0

При конечно-разностном расчете несущую способность находили по формуле

Му к

Ж2 =—^ 2 9

п т , .- .

-1.СА(^ -1),

(14)

а1к1 ^ с, 1=0 ,=0

где с{, с, - коэффициенты квадратурной формулы Симпсона [13].

Расход воздуха, соответствующую модели линии непрерывного наддува, вычисляли по формуле [10]

1 - Р2 б! = 1 Рк

ЬпР

Соответствующая ей конечно-разностная формула имеет вид

= К

2

62 =^к+11с, к к+2).

12пуК ,=о ;

Для оценки расхождения характеристик использованы коэффициенты

с = Кг = 6-ш = ^2,с 6= а2

Результаты расчетов и их обсуждение. Сравнительные результаты расчетов, проведенных с использованием модели линии непрерывного наддува и конечно-разностного методы, приведены на рис. 2 - 4.

На рис. 2 показаны сечения эпюр давления на секторе численного интегрирования, соответствующие К = Рк = 3.5 и различному числу питателей N. Видно, что наибольшие провалы давления на линии наддува соответствуют меньшему числу питателей.

Так при N = 8 провал может составить до 25% относительно показателя модели линии непрерывного наддува. С увеличением числа питателей М провалы менее выражены, однако остаются существенными даже при числе питателей, исчисляющихся десятками.

Представление о влиянии количества питателей на несущую способность подпятника дают графики кривых, которые представлены на рис. 3. Значения Сш = 1 соответствуют режимам, при которых дискретностью наддува можно пренебречь, ибо более простая модель линии непрерывного наддува дает более точный результат.

12

11

10

16 2 0 24 /

12

ДА=8

0 2 4 6 8 /

Рис. 2. Сечения эпюр функции Ч* на линии наддува для различного количества питателей N 141

Сгг

1,4 ■

1,3 ■

1,2 ■

1,1 ■

О 4 8 12 16 20 24 28 N

Рис. 3. Зависимости критерия С)г от количества питателей N для различных значений Я1 расположения линии наддува

Как видно из графиков, близкие режимы можно получить лишь при большом числе питателей и малом радиусе их расположения. При меньшем числе питателей и больших значения радиуса ошибки становятся существенными и, следовательно, при использовании расчетов по модели линии непрерывного наддува дискретностью наддува нельзя пренебрегать, и она может быть учтена, например, при помощи коэффициента Сж.

Дискретность наддува влияет и на величину расхода Q воздуха через подпятник. Это видно из графиков зависимости показателя CQ от числа N. Кривые имеют подобный Сж характер.

Анализ графиков рис. 3 и рис. 4 показывает, что кривые зависимостей Сж(Щ и CQ(N) имеют гиперболический характер, что позволяет получить приближенный зависимости с достаточной для практических расчетов точностью.

О?

1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1

0 4 8 12 16 20 24 28 N

Рис. 4. Зависимости критерия С2 от количества питателей N для различных значений радиуса Я1 расположения линии наддува

Поскольку предельным значением показателей Сж и CQ является единица, то в общем случае зависимости можно представить в виде

142

а

С( N) = 1 + ^,

V )

(15)

где а, Ь - коэффициенты, подлежащие определению. Для этого достаточно двух значений С^М), С2(^) функции C(N). Их использование позволяет получить формулы для вычисления неизвестных коэффициентов

С -1

Ь =

Ьп^-

С -1

Ьп

к

N

а = (С1 -1) N.

(16)

В качестве примера рассмотрим данные для кривой рис. 3, соответствующей радиусу / = 0,5. Можно принять N1 = 8, N2 = 16. Соответствующие им расчетные значения Сw,l = 1,168, Сw,2 = 1,050. Воспользовавшись формулами (16), получим зависимость

От (к)=1+(17)

Вычисленные по этой формуле значение показателя Сш = 1.082 для N = 12 отличается от значения Сш = 1.085, рассчитанного по формулам (13), (14), лишь на 0.3%. Такая точность волне приемлема для практических расчетов. Аналогично можно получить приближенные зависимости для других кривых графиков рис 3, 4. Для этого можно использовать данные по параметрам /1 и N табл. 1 и 2, содержащих значения показателей Сш и Со>, соответственно.

Значения показателя С ж (/¿1, N

Таблица 1

/1 \ N 8 12 16 20 24

0,3 1,071 1,032 1,017 1,009 1,005

0,4 1,118 1,059 1,035 1,023 1,016

0,5 1,168 1,085 1,050 1,032 1,021

0,6 1,253 1,137 1,085 1,058 1,041

0,7 1,368 1,201 1,124 1,083 1,058

Таблица 2

Значения показателя С2 (/1, N__

/1 \ N 8 12 16 20 24

0,3 1,087 1,032 1,011 1,003 1,000

0,4 1,159 1,073 1,038 1,021 1,011

0,5 1,251 1,125 1,072 1,045 1,029

0,6 1,382 1,199 1,120 1,079 1,054

0,7 1,591 1,319 1,197 1,133 1,094

Показатели Сш и Со> для любых значений параметров /1, N из диапазонов /1 £ [0.3, 0.7], N £ [8, 24] можно также рассчитать, используя данные табл. 1, 2, двойным применением формулы интерполяции по Эйткену [14], которая в сравнении с формулой (17) дает более точные оценки показателей.

Анализ расчетных данных показал, что давление на выходе питателей практически не влияет величину показателей Сш и С^>.

Заключение. В статье изложен метод решения краевой задачи для стационарного дифференциального уравнения Рейнольдса в частных производных, позволивший получить ее решение в виде функции распределения квадрата давлений в несущем слое

кругового аэростатического подпятника. На основе полученного решения найдены зависимости для несущей способности и массового расхода воздуха через несущий слой подпятника. Также приведены зависимости для этих характеристик, которые получены на основании модели линии непрерывного наддува.

Проведен сравнительный анализ характеристик, рассчитанных с учетом дискретности расположения питателей и полученных на основании модели линии непрерывного наддува. Показано, что при малом числе питателей необходимо учитывать влияние дискретности наддува на характеристики подпятника, рассчитанные на основании модели линии непрерывного наддува. Приведены формулы для приближенного расчета коэффициентов, позволяющих учитывать дискретный характер расположения питателей на линии наддува.

Список литературы

1. Oiwa N., Masuda M., Hirayama T., Matsuoka T., Yabe H. Deformation and flying height orbit of glass sheets on aerostatic porous bearing guides. Tribology International, Vol. 48, 2012, P. 1 - 7.

2. Schenk C., Buschmann S., Risse S., Eberhardt R., Tunnermann A. Comparison between flat aerostatic gas-bearing pads with orifice and porous feedings at high-vacuum conditions. Precision Engineering, Vol. 32, Issue 4, 2008. P. 319 -328.

3. Majumder M.C., Majumdar B.C. Non-linear transient analysis for an externally pressurized porous gas Journal Bearing Wear. 1989. Vol. 132. Issue 1, P. 139 - 150.

4. Grassam N.S., Powell J.W. Gas lubricated bearings. Butterworth & Co Publishers Ltd, 1964.

5. Gross, W.A. Gas Film Lubrication. Wiley, New York, London, 1962. The American Society of Mechanical Engineers, 1969. 709 p.

6. Stepanyants L.G., Zablotsky N.D., Sipenhov L. E. Method of theoretical investigation of externally-pressurised gas-lubricated bearings // JOLT, trans. ASME, ser. F, 91, 1969. P. 166 - 170

7. Kodnyanko V.A., Shatokhin S.N. Load and flow characteristics of an axial gas-static bearing with active gas flow compensation // Mechanical Engineering. 1980. 6. P. 33 -39.

8. Kodnyanko V.A., Shatokhin S.N. Theoretical Study on Dynamics Quality of Aerostatic Thrust Bearing with External Combined Throttling // FME Transactions. 2020. 46. 4. P. 342 - 349.

9. Шатохин С. Н. Расчет характеристик радиальных газовых подвесов // Сборник «Повышение точности и производительности обработки на станках». Красноярск, 1973. С. 60 - 78.

10. Constantinescu V.N. Gas Lubrication New York, 1969.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

12. Коднянко В.А., Шатохин С.Н. Исследование динамики газостатической опоры с двойным дросселированием газа в магистрали нагнетания. Машиноведение, 1978, № 6, С. 8 - 12.

13. Dwight, H.B. Tables of Integrals and other Mathematical Data. The Macmillan Company, New York. 1961.

14. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 51б - 100б. (Справочное пособие). М.: Советское радио, 1976. Вып. 2. 136 с.

Коднянко Владимир Александрович, д-р техн. наук, профессор, VKodnyanko@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Григорьева Ольга Анатольевна, канд. техн. наук, профессор, OGrigorieva@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Строк Лилия Владимировна, старший преподаватель, LStrok@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет

INFLUENCE OF PRESSURIZATION DISCRETNESS ON STATIC CHARACTERISTICS OF CIRCULAR AEROSTATIC THRUST BEARING

V.A. Kodnyanko, O.A. Grigorieva, L. V. Strok

A method for solving a boundary value problem for a stationary Reynolds partial differential equation is presented, which made it possible to obtain its solution in the form of a distribution function of the square of pressures in the bearing gap of a circular aerostatic thrust bearing with a system of discrete feeders. The dependences for the bearing capacity and the mass flow rate of air through the bearing gap of the thrust bearing are found taking into account the discreteness of the pressurization and the dependences for these characteristics obtained on the basis of the model of the continuous pressurization line. It is shown that with a small number of feeders, it is necessary to take into account the influence of the discreteness of the pressurization on the characteristics of the thrust bearing, calculated on the basis of the continuous pressurization line model. Formulas for the approximate calculation of the coefficients are given, allowing to take into account the discrete nature of the arrangement of the feeders on the pressurization line.

Key words: aerostatic thrust bearing, diaphragm, pressurization discreteness, bearing capacity, lubricant flow rate.

Kodnyanko Vladimir Alexandrovich, doctor of technical sciences, professor, VKod-nyanko@sfu-kras. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Grigorieva Olga Anatolyevna, candidate of technical sciences, professor, OGrigorieva@sfu-kras. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Strok Lilia Vladimirovna, senior lecturer, LStrok a sfu-kras. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University

УДК 621.86.87 Б01: 10.24412/2071-6168-2021-3-145-151

МЕТОД ОЦЕНКИ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ И КОНЦЕПЦИИ НАЗЕМНЫХ ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН

Н.Т. Сандан, К.С. Саая, С.А. Евтюков

Предложен метод оценки конкурентоспособности, позволяющий наряду с определением наилучшего образца наземных транспортно-технологических машин (НТТМ) провести оптимизацию технических, технологических, эксплуатационных, потребительских и экономических параметров и показателей вновь создаваемой или модернизируемой машины с целью повышения ее конкурентоспособности, а также выработки ее концепции.

Ключевые слова: конкурентоспособность, концепция, концептуальный анализ, транспортно-технологические машины.

На сегодняшний день в целом не существует достаточно точного определения конкурентоспособности товара. Так согласно работам других ученых «конкурентоспособность товара - это способность продукции быть более привлекательной для потребителя (покупателя) по сравнению с другими изделиями аналогичного вида и

145