CC BY
10УДК 004.942+67.05
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЖЁСТКОСТИ И ДЕМПФИРОВАНИЯ АЭРОСТАТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ С ПОРИСТЫМИ ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ НАДДУВА И ВАКУУМНЫМ НАГРУЖЕНИЕМ
Хан Полина Вениаминовна
К.ф.-м.н., ведущий инженер, Лаборатория динамики парогенерирующих систем №73
Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 664130 г. Иркутск, ул. Лермонтова 130, e-mail: polinakhan@gmail. com
Хванг Пёнг
PhD, Профессор кафедры машиностроения, Университет Ёнгнам 38541, Республика Корея, г. Кёнгсан, ул. Тэхак, 280, e-mail: phwang@yu .ac.kr
Ким Ын Хё
Аспирант, Факультет машиностроения, Университет Ёнгнам 38541, Республика Корея, г. Кёнгсан, ул. Тэхак, 280, e-mail: ehkim@yu.ac.kr
Ли Чхун Му
Аспирант, Факультет машиностроения, Университет Ёнгнам 38541, Республика Корея, г. Кёнгсан, ул. Тэхак, 280, e-mail: cmlee@yu.ac.kr
Аннотация. Аэростатические линейные направляющие находят широкое применение в прецизионных станках и измерительных устройствах, поскольку позволяют с большой точностью воспроизводить движение. Направляющие с пористыми ограничителями наддува и вакуумным нагружением обладают повышенной жёсткостью и возможностью установки с одной стороны опорной поверхности. Выбирая значения давления наддува и вакуумного прижима, а также толщину пористого материала, рабочий зазор, ширину аэростатической опоры и вакуумного «кармана», можно получить опору с заданными показателями несущей способности, жёсткости, и демпфирования, а также уменьшить расход воздуха. В работе приводится описание математической модели таких опор, и приводится пример расчёта для опоры прямоугольной формы. Ключевые слова: аэростатические опоры, пористые ограничители наддува, метод малых возмущений, жёсткость, демпфирование.
Введение. Аэростатические опоры обладают почти нулевым коэффициентом трения в движении и в покое, а также высокой виброустойчивостью, что обусловливает их широкое применение в прецизионных станках точения, шлифования, фрезерования, нанесения дифракционных решёток, и в измерительной аппаратуре [1-3]. Использование воздуха в качестве смазочного материала особенно предпочтительно там, где предъявляются высокие требования к чистоте. Наддув через пористый материал по сравнению с наддувом через отверстия обеспечивает более равномерное распределение давления, большую подъёмную силу и жёсткость при том же расходе воздуха, и, при достаточном допуске на проницаемость, дешевле в изготовлении. Дополнительный прижим необходим для уменьшения рабочего зазора и увеличения жёсткости опоры [3, 4]. Прижим часто создают установкой двух и более противонаправленных аэростатических опор. Недостаток этого
подхода состоит в необходимости подготовки нескольких рабочих поверхностей и в увеличении массы движущихся частей, что отрицательно сказывается на точности движения. Вакуумный прижим требует изготовления опор с карманами и каналами для воздуха низкого давления, и постоянной откачки воздуха одновременно с наддувом, зато позволяет использовать одиночную опору [4, 5, 10, 11, 12]. Изобретённые ещё в середине прошлого века [4] аэростатические опоры с вакуумным прижимом лишь в последнее десятилетие, с развитием технологии производства пористых подшипников, вышли в массовое производство [5, 11, 12]. Опоры с магнитным прижимом наиболее просто устроены, но могут использоваться только на ферромагнитных рабочих поверхностях [3, 5].
Численное моделирование движения воздуха в пористом материале и слое воздушной смазки позволяет найти распределение давления воздуха на опорной поверхности при заданных геометрических параметрах и типе опоры, давлении наддува и вакуума, заданном взаимном положении и скорости поверхностей смазки. Несущая способность вычисляется, как интеграл давления. Жёсткость опоры может быть оценена по изменению суммарного действия давления на поверхности опоры при малом изменении зазора. Также жёсткость вместе с демпфированием могут быть найдены из Фурье-анализа динамического отклика системы на возмущение, или путём интегрирования реальной и мнимой составляющей малой поправки давления в методе малых возмущений. Последний метод требует на порядок меньше вычислений, так как позволяет вычислить динамические коэффициенты за один шаг решения линейной задачи [8, 9, 13, 14]. Для нахождения распределения давления используется аналитический подход для симметричных задач [6], метод конечных разностей [9] и метод конечных элементов. В последнем случае чаще используются коммерческие инженерные пакеты программ, такие, как COMSOL [13] и FLUENT [7].
Вопросам моделирования опор с вакуумным прижимом посвящено относительно немного работ [10]. В данной работе свойства прямоугольной опоры с вакуумным карманом посередине исследуются с помощью метода конечных разностей и метода малых возмущений.
1. Исходные уравнения. Уравнение непрерывности для движения газа в недеформируемой пористой среде применимо для движения воздуха в материале опоры.
V-(pu)+m^ = 0 (1)
Здесь р - плотность воздуха, и - скорость воздуха, m - пористость материала.
Согласно закону Дарси, движение жидкости или газа в пористом материале под действием сил давления описывается соотношением
u = ^Vp (2)
Здесь k - проницаемость пористой среды, m - динамическая вязкость жидкости или газа, p - гидродинамическое давление.
Поскольку аэростатические подшипники обеспечивают почти нулевое трение и тепловыделение в системе незначительно, температура считается постоянной, и плотность воздуха пропорциональной давлению.
p ос p (3)
С учётом (2) и (3), (1) преобразуется в уравнение, описывающее распределение давления воздуха в пористом материале.
А р = о (4)
Распределение давления на поверхности скольжения при пренебрежимо малой скорости скольжения описывается уравнением Рейнольдса.
£А тр 2-/-Ш-кд^ = 0 (5)
12 ^ дг дп К '
Здесь к( Ь) - толщина плёнки смазочного слоя. Ат - лапласиан в плоскости поверхности скольжения.
На герметично закрытых поверхностях пористого материала выполняется условие нулевого потока.
?п = ° (6)
На поверхности подачи воздуха, в вакуумном кармане и на внешних рёбрах поверхности скольжения давление фиксировано, соответственно, на уровнях р3,рА и ру. Причём выполняется условие
р5<рА< ру (7)
Сила реакции аэростатической опоры вычисляется как интеграл разности давлений сверху и снизу, учитывая, что выше кармана подачи на внешнюю поверхность действует атмосферное давление.
Р( *) = Н(р-рА)<Х (8)
2. Метод малых возмущений. Жёсткость и демпфирование в данной работе определялись методом малых возмущений. Рассматривается малое гармоническое возмущение положения опоры
к = к0( 1
+ еб т( о Ь)) (9)
где 8 - величина возмущения, е << 1 , ю - частота возмущения, в данной работе принимаемая за 1 рад/с. Соответствующее распределение давления также будет содержать статическую и малую динамическую компоненты.
р(г,Ь) = р 0(г) + Ер г(г Ь) (10)
Здесь - текущие координаты.
Отклик также будет гармоническим. Введём новые переменные с размерностью давления в квадрате:
р о(г)2 = д 0(г) р о(г)рЬ) = д г(г) б I п( о Ь) + д 2(г) с о б( о Ь)
Подставляя разложения (9), (10) и (11) в уравнения (4) и (5), и выписывая отдельно слагаемые нулевого и первого порядка малости, а также, среди слагаемых первого порядка малости, коэффициенты при синусе и при косинусе, получим следующую систему дифференциальных уравнений на g0, §1 и g2.
А д0 = 0 (12)
г2*тдо-к^ = о 03)
2 кА д 1+Е^д2 = 0 (14)
3 Ад0 + 2А д,)+^д2 -2к% = 0 (15)
2 кА дг-^= д 1 = 0 (16)
Й^О-^Св.+«„)"»£ = 0 (17)
Статическая подъемная сила, жёсткость и демпфирование вычисляются по следующим формулам
Р0 = ИСро -ра)<Х (18)
(19)
"о р о
С= — Я-Й5 (20)
иош-'-' ро
3. Результаты и обсуждение. Уравнения (12-17) были решены, как линейные, при помощи метода конечных разностей на равномерной прямоугольной сетке с количеством узлов 120^40x16. Модель, параметры и граничные условия показаны на рис. 1 и в табл. 1.
Таблица 1. Значения параметров модели
Параметр Значение
Вязкость воздуха (Па*с) 1,7е-5
Пористость, т (%) 12
Проницаемость, к (мкмЛ2) 0,0048
Давление подачи относительное (кПа) 500
Давление вакуума относительное (кПа) -20; -40; -60; -80
Толщина плёнки смазки, зазор (мкм) 12
Толщина пористого слоя (мм) 8
Длина направляющей, Ll (мм) 120
Ширина направляющей, L2 (мм) 40
Ширина полосы пористого материала, w (мм) 5; 7,5; 10; 12,5; 15; 17,5
Длина вакуумного кармана L1-2w
Ширина вакуумного кармана L2-2w
На рис. 2 видно, как подъемная сила увеличивается при увеличении ширины полосы пористого материала и уменьшается при увеличении глубины вакуума. Причём второй эффект сходит на нет по мере увеличения w, поскольку размер вакуумного кармана уменьшается. На рис. 3 видно, что жёсткость опоры также увеличивается при увеличении ширины полосы пористого материала, однако почти не зависит от глубины вакуума. Как показано на рис. 4, демпфирование также растёт с увеличением ширины полосы пористого материала, и, подобно подъемной силе, уменьшается при понижении давления в «кармане». Только эффект этот не столь явный и линейный, и имеет свойство увеличиваться с увеличением w, а не уменьшаться, как в случае с подъемной силой. Это можно объяснить тем, что непосредственно давление в пределах вакуумного «кармана» постоянно, и вносит вклад только в статическую составляющую силы, а на демпфирование оно влияет за счёт перераспределения потоков и изменения плотности воздуха под пористым материалом.
Рис. 1. Модель направляющей: 1 - поверхность, покрытая воздухонепроницаемым материалом, 2 - пористый материал, 3 - вакуумный карман; рз- давление наддува, ру давление вакуума, рА - атмосферное давление.
Рис. 2. Статическая подъемная сила аэростатической опоры, как функция ширины полосы пористого материала и давления вакуума.
10 12.5 и (пни)
Рис. 3. Жёсткость аэростатической опоры, как функция ширины полосы пористого
материала и давления вакуума.
10 12 w (111111)
Рис. 4. Демпфирование аэростатической опоры, как функция ширины полосы пористого материала и давления вакуума
Заключение. В работе рассматривается метод малых возмущений для анализа динамических характеристик аэростатической опоры с пористым ограничителем наддува и вакуумным нагружением и приводятся результаты расчётов для прямоугольной опоры с вакуумным карманом посередине, окруженным полосой пористого материала постоянной ширины.
Показано, что увеличение ширины полосы пористого материала за счёт уменьшения размеров вакуумного кармана одновременно увеличивает подъемную силу, жёсткость и демпфирование
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Космынин А.В., Шаломов В.И. Пористые ограничители расхода газостатических подшипников // Современные проблемы науки и образования. 2006. №3. С 70-73. Режим доступа: http://www.science-education.ru/ru/artide/view?id=338 (дата обращения 17.02.2016)
2. Легаев В.П. Газостатические опоры с повышенной несущей способностью: дис. ... док. техн. наук. Владимир, 2006. 251 с.
3. Пошехонов Р.А., Гуськов А.М. Влияние неоднородности проницаемости ограничителей наддува на характеристики плоских аэростатических опор // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №8. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/611443.html (дата обращения: 17.02.2016)
4. Шейнберг С.А., Жедь В.П., Табачников Ю.Б., Шапиро И.М., Плоская аэростатическая опора // патент 211231 СССР. 1968. База патентов СССР. Режим доступа: http://patents.su/2-211231-ploskaya-aehrostaticheskaya-opora.html
5. Air bearing application and design guide / New Way Air Bearings. 2006. USA. Available at: http://www.newwayairbearings.com/sites/default/files/new_way_application_and_design_g uide %20Rev E 2006-01-18.pdf, accessed: 17.02.2016.
6. Analysis of pressurized porous air bearings / NewWay Precision Air Bearings Inc (20 th Annual Workshop on Mathematical Problems in Industry University of Delaware, June 21-
Xan n.B., Xeam nem, KUM MM Xe, MU Hxyn My
25, 2004). Available at: http://homepages.rpi.edu/~schwed/Workshop/MPIReports /2004/newway04.pdf, accessed: 18.02.2016.
7. Huang T. ., Wang B.Z., Lin S.C., Hsu S.Y. A study on characteristics and geometric parameters of the flat porous aerostatic bearing // International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering. 2003. Vol. 7, pp. 148 -154. Available at: http://iastem.com/publications/16415, accessed: 18.02.2016.
8. Hwang P., Khan P.V. Non-iterative finite element scheme for combined annular-thrust porous aerostatic bearings analysis // ASME/STLE 2012 International Joint Tribology Conference (Denver, Colorado, USA, 8-10 October, 2012): ASME Digital Collection, 2012. Available at: http://proceedings.asmedigitalcollection.asme.ors/proceeding.aspx ?articleid=1721803, accessed: 17.02.2016. D0I:10.1115/IJTC2012-61088
9. Majumdar B.C. Dynamic characteristics of externally pressurized rectangular porous gas thrust bearings // ASME Journal of Lubrication Technology. 1976.Vol. 98. No. 1. pp. 181190. Available at: http://tribology.asmedigitalcollection.asme.org/ article.aspx?articleid=1463231, accessed: 17.02.2016.
10. Park G.H., Hong C. Analysis on the static performance of vacuum-preloaded porous air bearings // Journal of the Korean Society for Precision Engineering. 2013. Vol. 30(12). pp.1327-1333. Available at: http://www.koreasci ence.or.kr/arti cl e/ Arti cleFullRecord .jsp?cn=JMGHBV 2013 v30n12 1327, accessed 17.02.2016.
11. Porous media ® Air Bearings Solution - Vacuum Preloaded / NewWay ® Air Bearings. 2009. USA. Available at: http://www.newwayairbearings.com/sites/default/files /new way line brochure vpl nwab-09-046-v03-2009-02-27 0.pdf , accessed: 17.02.2016.
12. Vacuum preloaded air bearings / IBS Precision Engineering. 2016. P. 1. Available at: http: //www.ibspe.com/category/vacuum-preloaded-air-bearings.htm accessed: 17.02.2016.
13. Van Ostayen R. A. J., van Beek A., Munnig-Schmidt R. Design and optimization of an active aerostatic thrust bearing // The 22nd Annual ASPE Meeting: Proceedings of ASPE, 2007. Available at: https://www.researchgate.net/publication/267809449 Design and optimization of an active aerostatic thrust bearing, accessed: 18.02.2016.
14. Yoshimoto S., Kohno K. Static and dynamic characteristics of aerostatic circular porous thrust bearings (Effect of Shape of the Air Supply Area) // ASME Journal of Tribology. 2001. Vol. 123, pp. 501-508. Available at:http://tribology.asmedigitalcollection.asme.org /article.aspx?articleid=1466469, accessed: 17.02.2016)
UDK 004.942+67.05
NUMERICAL ANALYSIS OF STIFFNESS AND DAMPING OF AEROSTATIC LINEAR BEARING WITH POROUS RESTRICTOR AND VACUUM PRELOAD
Polina V. Khan
PhD, Leading Engineer, Laboratory of Dynamics of Steam-Generating Systems №73, Melentiev Energy Systems Institute Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences 130, Lermontov Str., 664033, Irkutsk, Russia, e-mail: polinakhan@gmail.com
Hwang Pyung
PhD, Professor, School of Mechanical Engineering Yeungnam University 280 Daehak-Ro Gyeongsan Gyeongbuk 38541, Republic of Korea, e-mail: phwang@yu.ac.kr
Kim Eun Hyo
Graduate Student, Department of Mechanical Engineering, Graduate School Yeungnam University 280 Daehak-Ro Gyeongsan Gyeongbuk 38541, Republic of Korea, e-mail: ehkim@yu.ac.kr
Lee Chun Moo
Graduate Student, Department of Mechanical Engineering, Graduate School Yeungnam University 280 Daehak-Ro Gyeongsan Gyeongbuk 38541, Republic of Korea, e-mail: cmlee@yu.ac.kr
Abstract. Linear aerostatic guides are widely used in high precision machinery and measuring devices for its' high accuracy of motion. Guides with porous air supply restrictors and vacuum preload have such advantages as high stiffness and installation at only one side of sliding surface. Adjusting several parameters, such as supply pressure, vacuum preload pressure, size of the porous pad, vacuum pocket and clearance, one can design a bearing with desired load carrying capacity, stiffness and damping, and minimize air consumption. In the present work, the mathematical model for such bearings is described, and an example of load carrying capacity, stiffness and damping for the rectangular bearing is given.
Keywords: aerostatic bearing, porous restrictors, perturbation method, stiffness, damping.
References
1. Kosmynin A.V., Shalomov V.I. Poristye ogranichiteli rashoda gazostaticheskih podshipnikov [Porous supply resitrictors of gasostatic bearings]. Sovremennye problemy nauki i obrazovanija = Modern problems of science and education, 2006, no.3, pp. 70-73. Available at: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=338, accessed 17.02.2016. (in Russian)
2. Legaev V.P. Gazostaticheskie opory s povyshennoj nesushhej sposobnost'ju [Gasostatic bearing with increased load carrying capacity]: thesis of Doctor of Technical Sciences, Vladimir, 2006, P. 251. (in Russian)
3. Poshehonov R.A., Gus'kov A.M. Vlijanie neodnorodnosti pronicaemosti ogranichitelej nadduva na harakteristiki ploskih ajerostaticheskih opor [Effect of supply restrictors permeability heterogeneity on the characteristics of flat aerostatic bearings]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU,
Xan n.B., Xeam nëm, Kum Mm Xë, Mu Hxyn My
2013, no. 8. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/611443.html, accessed 17.02.2016. (in Russian)
4. Shejnberg S.A., Zhed' V.P., Tabachnikov Ju.B., Shapiro I.M., Ploskaja ajerostaticheskaja opora [Flat aerostatic bearings]. Patent no. 211231 USSR, 1968, USSR patent database. Available at: http://patents.su/2-211231-ploskaya-aehrostaticheskaya-opora.html (in Russian)
5. Air bearing application and design guide. New Way Air Bearings, 2006, USA. Available at: http://www.newwayairbearings.com/sites/default/files/new way application and design g uide %20Rev E 2006-01-18.pdf, accessed: 17.02.2016.
6. Analysis of pressurized porous air bearings. NewWay Precision Air Bearings Inc (20 th Annual Workshop on Mathematical Problems in Industry University of Delaware, June 21 -25, 2004). Available at: http://homepages.rpi.edu/~schwed/Workshop/MPIReports/2004/newway04.pdf, accessed: 18.02.2016.
7. Huang T.Y., Wang B.Z., Lin S.C., Hsu S.Y. A study on characteristics and geometric parameters of the flat porous aerostatic bearing. International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering, 2003, Vol. 7, pp. 148 -154. Available at: http://iastem.com/publications/16415, accessed: 18.02.2016.
8. Hwang P., Khan P.V. Non-iterative finite element scheme for combined annular-thrust porous aerostatic bearings analysis. ASME/STLE 2012 International Joint Tribology Conference (Denver, Colorado, USA, 8-10 October, 2012): ASME Digital Collection, 2012. Available at: http://proceedings.asmedigitalcollection.asme.org/proceeding.aspx ?articleid=1721803, accessed: 17.02.2016. D0I:10.1115/IJTC2012-61088
9. Majumdar B.C. Dynamic characteristics of externally pressurized rectangular porous gas thrust bearings. ASME Journal of Lubrication Technology, 1976, Vol. 98, No. 1, pp. 181190. Available at: http://tribology.asmedigitalcollection.asme.org/article.aspx?articleid =1463231, accessed: 17.02.2016.
10. Park G.H., Hong C. Analysis on the static performance of vacuum-preloaded porous air bearings. Journal of the Korean Society for Precision Engineering, 2013, Vol. 30(12), pp.1327-1333. Available at: 04.10.2016http://www.koreascience.or.kr/article /ArticleFullRecord.jsp?cn=JMGHBV 2013 v30n12 1327, accessed 17.02.2016.
11. Porous media ® Air Bearings Solution - Vacuum Preloaded. NewWay ® Air Bearings. 2009, USA. Available at: http://www.newwayairbearings.com/sites/default/files/new way
line brochure vpl nwab-09-046-v03-2009-02-27 0.pdf , accessed: 17.02.2016.
12. Vacuum preloaded air bearings. IBS Precision Engineering, 2016, P. 1. Available at: http://www.ibspe.com/category/vacuum-preloaded-air-bearings.htm accessed: 17.02.2016.
13. Van Ostayen R.A.J., van Beek A., Munnig-Schmidt R. Design and optimization of an active aerostatic thrust bearing. The 22nd Annual ASPE Meeting: Proceedings of ASPE, 2007. Available at: https://www.researchgate.net/publication/267809449 Design and optimization of an active aerostatic thrust bearing, accessed: 18.02.2016.
14. Yoshimoto S., Kohno K. Static and dynamic characteristics of aerostatic circular porous thrust bearings (Effect of Shape of the Air Supply Area). ASME Journal of Tribology, 2001, Vol. 123, pp. 501-508. Available at: http://tribology.asmedigitalcollectionasme.org/article. aspx?articleid=1466469, accessed: 17.02.2016)
