CC BY
37
УДК 621.822:519.6
АНАЛИЗ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ОПОРНО-УПОРНЫХ АЭРОСТАТИЧЕСКИХ
ПОРИСТЫХ ПОДШИПНИКОВ
П.В. Хан1, П. Хванг 2
'Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003 2Университет Ёнгнам 280, Тэхак-но, Кёнгсан, Кёнгбук, Южная Корея
e-mail: polinakhan@gmail.com
Предложенный в работе метод, основанный на законе Дарси, уравнении Рейнольдса и методе конечных элементов, позволяет вычислять несущую способность аэростатических пористых подшипников при существенно трехмерном характере течения воздуха без использования итераций. Апробация метода выполнена на простейшей модели опорно-упорного подшипника. На основании результатов численного анализа получены рекомендации по подбору оптимальных значений длины дуги, охватываемой подшипником, и пористости, дающих высокие несущие способности в осевом и радиальном направлениях, и достаточную жесткость опоры.
Ключевые слова: несущая способность подшипника, газостатическая смазка, метод конечных элементов, пористые подшипники.
Analysis of load carrying capacity of Annular-Thrust Aerostatic Porous Bearings. P.V. Khan 1, P. Hwang2 ^Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatskу, 683003; 2Yeungnam University, 280, Daehak-Ro, Gyongsan, Gyongbuk, Korea)
The article proposes a new method, based on Darcy's law, Reynolds equation and finite element method, which allows calculating the load carrying capacity of aerostatic porous bearings with essentially three-dimensional air flow without using iterations. The method has been successfully tested on the simplest model of axial-thrust bearing. On the base of the computation results, the recommendations are done considering the optimal choice of bearing arc length and porous material permeability, providing high load carrying capacity in both radial and axial directions and sufficient bearing stiffness.
Key words: load carrying capacity of bearings, aerostatic lubrication, finite element method, porous bearings.
Введение
Аэростатические пористые подшипники используются на транспорте и в промышленности, в шпинделях и линейных направляющих. Подобно другим газостатическим подшипникам, они подходят как для больших, так и для малых относительных скоростей скольжения, характеризуются низким коэффициентом трения и могут использоваться в широком диапазоне температур [1-3]. Использование воздуха в качестве опоры позволяет исключить загрязнение окружающей среды смазочными материалами. Среди прочих аэростатических подшипников пористые выделяются высокой несущей способностью и пониженным расходом воздуха [2, 3]. В течение длительного периода практическое применение пористых подшипников ограничивалось из-за сложностей контроля пористости материала. Однако последние достижения в области производства керамики позволили преодолеть эту проблему [3].
Стоимость разработки новых подшипников может быть существенно снижена за счет численного эксперимента. При любой заданной геометрии подшипников может быть рассчитано распределение давления в пористом материале и на поверхности скольжения, что служит основой для вычисления силы трения, расхода воздуха и несущей способности. Расчет давления для аэростатических подшипников традиционно считается итерационным процессом: во-первых, из-за нелинейности уравнения смазки для газов и, во-вторых, из-за необходимости согласовать значения давлений на границе между пленкой смазки и пористым материалом [2- 5].
Существуют примеры расчета давления в аэростатических пористых подшипниках как при помощи метода конечных разностей [2, 3], так и при помощи метода конечных элементов [4, 5]. В приближении одномерного течения воздуха в пористом материале часть уравнений может быть проинтегрирована аналитически, что уменьшает размерность задачи и понижает затраты времени на выполнение расчетов [2, 4, 5].
В данной работе представлен не итерационный метод расчета давления и несущей
способности для аэростатических пористых подшипников, который может быть использован для анализа существенно трехмерного течения воздуха за приемлемое время. Также приводятся результаты анализа влияния эксцентриситета, проницаемости материала и величины дуги, охватываемой пористым материалом, на несущую способность подшипника, имеющего поверхности скольжения как для радиальной, так и для осевой нагрузки.
Вывод уравнений
Уравнения для распределения давления в пористом материале (1) и в пленке воздушной смазки (2) могут быть выведены на основании закона сохранения массы, закона Дарси, уравнения Рейнольдса и уравнения состояния идеального газа при постоянной температуре.
АО = 0, (1)
V •(НЪУО -ЛиЯл/О) = у Ю • (2)
Здесь О = —, Н = —, и = —- обозначают соответственно безразмерное давление в квадрате,
РТ, Н = -, и = -и
р0 с гаЪ
безразмерную толщину смазочной пленки и безразмерную относительную скорость поверхностей скольжения; А - оператор Лапласа, V - дифференциальный оператор в свободных координатах конкретной поверхности скольжения, п - вектор нормали к поверхности пористого материала, 6юЪ2ц
Л = —-—т— - безразмерный параметр сжимаемости, характеризующий отношение повышения с Ро
, , , ИкЪ
давления за счет аэродинамического эффекта к атмосферному давлению, у = —г— -
с
безразмерный параметр проницаемости, характеризующий отношения сопротивления течению воздуха, создаваемому узким зазором между поверхностями скольжения к сопротивлению, создаваемому пористым материалом, р - атмосферное давление, с - величина радиального зазора, ю - скорость вращения шпинделя, Ь - толщина слоя пористого материала, ц -динамическая вязкость воздуха и к - проницаемость пористого материала. Уравнение (1) эквивалентно интегральной формулировке
¡ЖАОЛГ = 0 (3)
V
для произвольной весовой функции Ж. Интегрирование (3) по частям дает
-¡УЖ ■VОdV + | ЖУО • = 0, (4)
где УО • п = дО/сп представляет поток через границу 5". На герметично закрытых гранях пористого материала поток равен нулю. В свою очередь весовые функции могут быть выбраны равными нулю на границах с фиксированным давлением: это давление подачи на поверхности кармана подачи и атмосферное давление по краям поверхностей на скольжения (рис. 1).
Таким образом, последнее слагаемое уравнения (4) отлично от нуля только на поверхностях скольжения, где поток воздуха из пористого материала равняется дивергенции суммы течения Рейнольдса и Пуазейля, как следует из (2). Следовательно, выполняется равенство
-ГУЖ• УGdV + — ГЖУ • (Я3У О-ЛиНч/О)^^ = 0. (5)
I V ^ ' '
Повторное интегрирование по частям позволяет полностью исключить вторые производные в объединенном уравнении для распределения давления в пористом материале и пленке смазки
- Гуж • УGdv - — IV ж • (н3у о - лиял/О) ds = о. (6)
I VI
Описанное выше объединение уравнений для пористого материала и пленки смазки в одно можно назвать естественным, поскольку оба исходных уравнения были получены из закона сохранения энергии. Это объединение позволяет избежать итерационного согласования значений давления на границе между пористым материалом и пленкой смазки. Однако остается устранить необходимость в итерациях, связанных с нелинейностью уравнения (6).
Для малых скоростей вращения шпинделя параметр сжимаемости Л, представляющий коэффициент при нелинейном члене, течении Куэтта, мал. В этом случае О может быть приближенно представлен суммой
О = О +ЛО. (7)
Если (6) разложить в ряд по Л и собрать коэффициенты при одинаковых степенях, получатся два линейных уравнения:
у[УЖ •УО^ + | Я 3У Ж •У о О^ = 0, (8)
yJvW • VG^dV + J H 3Vs Ж • Vs GdS = J H^Vw Ж • UdS. (9)
S
Толщина пленки для радиального зазора не является постоянной и зависит от угловой координаты 9 и эксцентриситета s
h = c *(1 + cos9). (10)
Наименьшая толщина пленки соответствует угловому положению 180°. Направление силы тяжести и уравновешивающей ее опорной реакции пленки смазки отличаются от 180° на угол отклонения 90, который зависит от скорости вращения ротора.
Несущая способность в радиальном направлении LR, угол отклонения 90 и несущая способность в осевом направлении LT вычисляются по следующим формулам:
n+arc/ 2 1
Lx = r0 J J p cos9 d9 dz, (11)
n—arc/ 2 0
n+arc/ 2 1
L y = r0 J J p sin 9 d9 dz,
n—arc/ 2 0
Lr =V L2x + L2y , L
9= arctan—^-, (12)
Lx
'0 1 ^ n^urc / 2
zr = J J prdrdQ. (13)
r0 n-arcl 2
Результаты численного анализа
На рис. 1 показан пористный подшипник, имеющий две поверхности скольжения: одна из них несет осевую нагрузку, другая - радиальную. Значения давления воздуха в узлах равномерной сетки в цилиндрических координатах было получено путем дискретизации уравнений (8, 9) при помощи метода конечных элементов для линейных трехмерных элементов с 8 узлами.
Значения фиксированных параметров даны в таблице.
S
Параметры подшипника
Параметр Значение
Диаметр вала, 2*г0 (мм) 100
Толщина слоя пористого материала, Ь (мм) 10
Длина подшипника, 1 (мм) 100
Давление подачи (бар) 8
Радиальный зазор, с (мкм) 10
Осевой зазор (мкм) 10
Скорость вращения вала, ю (об./мин) 120
На рис. 2 показано вычисленное давление вдоль центральной линии подшипника при различных значениях эксцентриситета, безразмерной проницаемости и длине дуги, охватываемой подшипником. Видно, что при данной скорости вращения вала распределение давления почти симметрично относительно направления 180°. При увеличении проницаемости распределение давления становится почти равномерным по всей длине дуги и значение давления становится менее чувствительным к изменениям эксцентриситета. В целом можно заметить, что в пределах дуги 120°-240° давление растет с увеличением эксцентриситета; за пределами этого интервала давление падает.
ft
120 140 160 180 200 220 240 9 (deg)
у = 0,024, arc = 3/4 п a
е 6
л
120 140 160 180 200 220 240 9(deg)
у = 0,24, arc = 3/4 п б
8
4
ft
50 100 150 200 250 300 9(deg)
a 6
50 100 150 200 250 300 9 (deg)
у = 0,024, arc = 7/4 п у = 0,24, arc = 7/4 п
в г
Рис. 2. Давление вдоль центральной линии подшипника для различных значений длины дуги, проницаемости и эксцентриситета
Рис. 3 показывает общий трехмерный вид распределения давления по поверхностям скольжения. Видно, что давление на поверхности, несущей осевую нагрузку, значительно ниже, чем максимальное давление на поверхности, несущей радиальную нагрузку. Вдоль ребер, соответствующих внутреннему радиусу и крайним значениям угловой координаты, 0 = тс± arc /2, давление фиксировано и равно атмосферному. Вдоль ребра r = r0, z = l поверхности, несущие радиальную и осевую нагрузки, соединяются.
8
4
0
0
9(deg) 200
p (bar)
300 4
2
0
p (bar)
1,0
0,5 0,0
50 z (mm) а
100
300
200 9(deg)
60
б
Рис. 3. Распределение давления по поверхностям скольжения для у = 0,024, arc = 7/4 п:
а - радиальная, б - осевая
Согласно результатам вычисления несущих способностей, представленным на рис. 4, радиальная и осевая несущая способности обе более чувствительны к эксцентриситету при меньших значениях проницаемости. При этом радиальная несущая способность достигает максимальных значений при некотором оптимальном значении длины дуги, лежащем между 200° и 300°, в то время как осевая несущая способность с ростом длины дуги монотонно увеличивается. Это различие объясняется тем, что силы давления выше и ниже вала действуют в противоположных радиальных направлениях, и в одном и том же осевом направлении.
с?
eg
500 400 300 200 100 0
100
150
250
200 arc (deg)
радиальная, у = 0,024
300
100 150 200 250 arc (deg)
радиальная, у = 0,24 б
300
а
15
10
0 100
150 200 250 arc (deg) осевая, у = 0,024
300
100 150 200 250 arc (deg) осевая, у = 0,24
300
Рис. 4. Несущие способности при различных значениях длины дуги, проницаемости и эксцентриситета
На рис. 5 представлена карта значений радиальной несущей способности в координатах длины дуги и проницаемости. Здесь видно, что оптимальная длина дуги, обеспечивающая максимальную радиальную несущую способность, составляет около 200° при высоких значениях проницаемости и выходит за
240 24 > 2,4 0,24 0,024
100 150 200 250 300 arc (deg)
Рис. 5. Карта значений радиальной несущей способности. Более светлые тона соответствуют более высоким значениям
5
в
г
пределы 250°, как только безразмерная проницаемость упадет ниже 0,01.
Выводы
Выведены уравнения, позволяющие получить быструю не итерационную числовую схему расчета давления для аэростатических пористых подшипников.
С использованием разработанной численной схемы изучены статические характеристики опорно-упорных пористых аэростатических подшипников. Распределение давления, несущая способность в осевом направлении и несущая способность в радиальном направлении вычислены в широком диапазоне значений эксцентриситета, проницаемости пористого материала и длины дуги, охватываемой подшипником.
Было установлено, что оптимальные значения длины дуги с точки зрения достижения максимальной радиальной несущей способности лежат в диапазоне 200°-300°; при этом большие значения соответствуют меньшей проницаемости материала.
Для длины дуги менее 250° не существует оптимального значения проницаемости: несущие способности как в осевом, так и в радиальном направлении с увеличением проницаемости только увеличиваются. Тем не менее предпочтительно так подбирать пористость материала, его толщину и величину зазора, чтобы безразмерное значение проницаемости не превышало 0,1, поскольку большим значениям безразмерной проницаемости соответствует пониженная чувствительность сил реакции опоры к изменению эксцентриситета, то есть малая жесткость. К тому же уменьшение безразмерной проницаемости при постоянной величине зазора приводит к повышению суммарного сопротивления течению воздуха и, как следствие, к уменьшению его расхода, что позволит использовать нагнетающий насос в более экономном режиме потребления энергии.
Литература
1. Легаев В. П. Газостатические опоры с повышенной несущей способностью: Дис. ... д-ра техн. наук: 05.02.02. - Владимир, 2006. - 251 с. - РГБ ОД, 71:06-5/570.
2. Majumdar B.C. Dynamic Characteristics of Externally Pressurized Rectangular Porous Gas Thrust Bearings // J. Lubr. Tech, Trans. ASME. - 1976. - P. 45-54.
3. Ceramic matrices applied to aerostatic porous journal bearings: material characterization and bearing modeling / Z.C. Silveira, R. Nicoletti, C.A. Fortulan, B.M. Purquerio // Ceramica 2010. - Vol. 56. - P. 338.
4. Numerical and experimental analysis of aerostatic thrust bearings with porous restrictors / T.S. Luonga, W. Potzea, J.B. Posta, R.A.J. van Ostayenb, A. van Beek // Trib. Int., 2004. - Vol. 37, № 10.- P. 825-832.
5. Tian Y. Static study of the porous bearings by the simplified finite element analysis // Wear, 1998. - Vol. 218, № 2. - P. 203-209.
