CC BY
10
УДК 51:621:891
ВЛИЯНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЙ АНИЗОТРОПИИ В ПРОНИЦАЕМОМ ОПОРНОМ СЛОЕ ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ НА УСТОЙЧИВЫЙ РЕЖИМ ЕГО РАБОТЫ
© 2014 г. К.С. Ахвердиев, А.М. Мукутадзе, Н.С. Задорожная, Е.В. Поляков
Ахвердиев Камил Самедович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-6399. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Мукутадзе Александр Мурманович - аспирант, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-62-63. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Задорожная Наталья Сергеевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Поляков Евгений Викторович - аспирант, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-62-63. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Akhverdiev Kamill Samedovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-63-99. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Mukutadze Alexandr Murmanovich - post-graduate student, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-62-63. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Zadorozhnaya Natalya Sergeevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Polyakov Evgeny Victorovich - post-graduate student, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-62-63. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Исследований влияние анизотропии проницаемости пористого слоя подшипника скольжения на устойчивый режим его работы при двух направлениях подачи смазки - осевом и радиальном.
Ключевые слова: пористый подшипник; режим трения; проницаемость пористого слоя; вязкоупругая смазка.
The purpose of the present activity is the research of influencing of an anisotropy of a permeability of an porous layer of a sliding bearing on a stable conditions of its activity at two directions of submission of lubrication - axial and radial.
Keywords: porous bearing friction regime; the permeability of the porous layer; the viscoelastic lubrication.
Задача об устойчивости работы однослойных и двухслойных пористых подшипников конечной длины рассматривались в работах [1 - 6]. Существенным недостатком указанных работ является то, что в них проницаемость пористых слоев считается постоянной и, кроме того, не учитывается источник подачи смазки (рис. 1). В рассматриваемом случае трудно обеспечить жидкостный режим трения, так как подшипник работает за счет запаса смазки лишь в порах пористого слоя.
Разработке расчетной модели гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины при наличии принудительной подачи смазки посвящена работа [7]. Здесь с учетом анизотропии проницаемости в радиальном направлении и наличия принудительной подачи смазки приводится расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения. В начале рассматривается случай, когда смазка принудительно подается в направлении оси Оу, а затем в осевом направлении.
Обобщение задачи, рассмотренной в работе [7], для случая, когда проницаемость меняется как в ради-
альном, так и в осевом направлениях, позволит не только обеспечить подшипнику повышенную несущую способность, но и уплотнительное свойство. Решение этой задачи является основной целью данной работы.
Постановка задачи. Рассматривается неустановившееся течение вязкой несжимаемой жидкости в зазоре пористого радиального подшипника конечной длины. Подшипник с неоднородным пористым слоем считается неподвижным, а движение вала считается заданным. Проницаемость пористого слоя задается следующей зависимостью:
k,lzR
k ' = A0e
Здесь А0 - заданная постоянная величина; ^ J -
известная безразмерная функция; Ь - длина подшипника; Н - толщина пористого слоя.
В дальнейшем будем считать, что на поверхности у = -Н проницаемость пористого слоя в направлении оси г меняется по нормальному закону, а давление
L > H
подачи смазки подчиняется параболической зависимости.
Гидродинамический расчет рассматриваемого подшипника нами будет производиться при следующих допущениях [1, 2].
1. Толщина пористого слоя считается малой по сравнению с радиусом подшипника, и в конечной модели используется короткий подшипник. Уравнение, определяющее течение смазки, в пористой матрице представляется в виде
+к (^_!Ф*+уФ*дК = 0, (1)
ду2 дг2 11L) Н ду Н дг дг
*
где у, г - прямоугольные координаты (рис. 1); р -гидродинамическое давление в пористом слое.
2. Для определения распределения давления в пленке смазки между шипом и подшипником будем исходить из модифицированного уравнения Рейнольд-са в рамках модели короткого подшипника [1].
здесь к' - проницаемость материала пористого слоя.
Система уравнений (1), (2) в случае подачи смазки через поры пористого слоя в направлении оси Оу
решается при граничных условиях (рис. 1)
* *
р = р при у = 0 ; р = при у = -Н ; * L * L
р = р = ра при г = -у; р = р = ра при г = (3)
где рг - давление подачи смазки; ра - атмосферное давление.
В случае подачи смазки в осевом направлении граничные условия запишутся в следующем виде (рис. 2, начало координат в этом случае выбрано в левом конце подшипника):
* п др*
р = р при у = 0 ; —— = 0 при у = -Н ;
&
** р = р = рн при г = 0; р = р = рк при г = L . (4)
— [ h3 — 1 = ец|(юА +ю, - 2юг - 2 — | — + 5z I 5z ) 11 b j L dt ) d0
de
+ 2—cos 0 |-12uv0i ..
dt 1 01 y=0'
(2)
k
vo =--
H
op
dy
y=o
(4)
Здесь рн - давление в начальном сечении; рк - в конечном сечении.
Перейдем к безразмерным параметрам по формулам
P* = Р C . р = . PC .
где h = C (1 + e cos 0) - толщина пленки смазки; C -
радиальный зазор; е - относительный эксцентриситет; 0 - угловая координата; p - давление в пленке смазки; ц - динамический коэффициент вязкости; юь, ю j, roL -
угловые скорости соответственно подшипника, шипа и нагрузки; ф - угол положения; t - время; v0 - компонента скорости в направлении Оу на внутренней границе пористого слоя, прилегающая к зазору,
|HRq<B
ош j
H-R,2®
ош j
2 z y
Z = —; Y = —; L H
ßZ 2
T =o jt; k' = A0k ; k = e
Ф = -
AH
C3
- PgC
p g =-Rk~
HRo° j
Pa =
PaC 2 HRo2° j
Установим закон подачи смазки на поверхности Y = -1, а также проницаемость пористого слоя на этой поверхности в виде
Z 2
_ - = 2 = -р— Pg = Pa + Pg (Z2-1), Pg = const, k = e 4. (5)
А - А
Н l/2 l/2
Y
4
Рис. 1. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой
Рис. 2. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой (осевая подача смазки)
Тогда уравнения (1), (2) принимают вид (в дальнейшем предполагается, что юЬ, юь равны нулю)
52P* ( H V 52P* „ Z2 5P*
- + 41 —
+ ß-
5Y2 1 L ) 5Z2 4 5Y
+ |H)2 ßZY5P* = 0;
l L ) 2 5Z
(6)
52 P 12(LD)
5Z2 (l + e cos e)3 3Ф
s| (-Цsine + ecose
(l + e cose)3 (H/L)
| 5P
И
*\
(7)
Y=0
I 2,2 n*
52 P ( H V52 P 72 5P
- + 41 —
2 o2 n*
+ ß"
5Y2 'ЛL ) 5Z2 ' r 4 5Y *
+11H Г ßZY 21 L ) 5Z
dY = 0.
(10)
Решение уравнения (10), удовлетворяющее граничным условиям (8), будем искать в виде
р* = А^3 + A2Y2 + А3У + ра + Рх(1,0). (11)
Подставляя (11) в (10), с учетом граничных условий (8), приходим к следующей системе уравнений:
-Л + A2 - A3 + p + Pa = Pg ;
где D = 2R0; точкой обозначено дифференцирование по Т.
Граничные условия (3) и (4) соответственно, примут следующий вид:
р = р при Y = 0; р = рг при Y = -1;
Йг ~ * ~
р = р = ра при г = -1; р = р = ра при г = 1; (8)
* др*
р = р при Y = 0; -= 0 при Y = -1;
дY
р = р = рн при г = 0 ; р = р = рк при г = 1, (9) где ра = ; р = ; Я = *С 2
j
Ч) ш] Ц^®] ^0 ш]
уравнению:
Ниже мы покажем, что при выполнении зависи- ^ мостей (5) пористая втулка обладает уплотнительным свойством, а подшипник повышенной несущей способностью.
Полагая толщину пористого слоя малой, уравнение (6) усредним по толщине смазочного слоя. Тогда уравнение (6) запишется в виде
^02ю j
7
A1 + 2P1 - 2A3 - 2Pg (Z3 -1) + ß—(-A1 + A2 - A3) +
+I H l2 ß Z 1 A+15k -15A3+15P11+
l L ) 2 l 5 5Z 4 5Z 3 5Z 2 5Z )
2 Л ^2
2n l
1 52 Al _ 1 52 A2 + 1 52 A3 _ 52 P
4 5Z2 3 5Z2 2 5Z2 5Z2
= 0.
Полагая
21H l2 52A3 ßP
3 Н дА-"-г 4 -2 2)-2р»<2 2 -')="2)
для определения функций А1 придем к следующему
Z2 „ ßZ IИ^2
Al -2A3 + 2Pl-ß — P + —I — I x
4
2 l L
f1 5Al 1 5Pl - 1 5A3 PgZЛ 20 5Z 4 5Z 12 5Z 2
+
+
+
+4 (H
2 (
1 d2 A1 2 d2 P1 2 g
-------P
12 dz2 3 dz2 3 g
А Подставляя (18) в (16), с учетом граничных усло-
= 0 . (13) вий (9) будем иметь
Интегрируя уравнение (12) с граничными условиями А3 = 0 при Z = +1, будем иметь
A3 = 2 ( H
ß P
24 g
(z6 _ z4 )
5 2
+ P„
íz 4
—_ z2
V 6 ,
v у
+РИ 5 g 1 80 6
(14)
3 A1 _ 2A2 + A3 = 0,
2Aj _ A2 _ A3 +ßZ 2 (_Aj + A2 _ A3) + 2 jL) x
1 dA 1 dA2 1 dA3 a 1 dPj ) (H)2 <ßZj---1 +--2---3 + —+--1 | + j— I :
1 dZ 4 dZ 3 dZ 2 2 dZ J V L
= 0.
(1 d2 A1 1 d2 A2 d2 P1 + 1 d2 A3 A
4 dZ2 3 dZ2 dZ2 2 dZ2
Уравнение (13) решается после определения функции Р1. Явный вид функций А1 и А2 при определении несущей способности подшипника нам не понадобится.
С учетом (14) решение уравнения (7) запишется в
виде
Р =
(LD )2
(1 + е cos 6 9Ф
sj ф_ 1 Isin6 + scos6
2 (1 + cos 6)3 V H
p
480 g
( Z8 Z 6
(Z2 _ 1) + 11
---+■
14 3 42
+
+12 p
( Z6 „14 Z--Z 4 + —
11
11
+1 Pg +1 Ii Z 2 _1)
4 g V 40 3
!)(Z2 _1)
. (11)
Полагая
H)ßZa+3 f L
4 (H )2 d2A3
dZ2
= 0,
(19)
для определения Aj(Z, 6) приходим к следующему уравнению:
2л -3Аз+Pz2í1 л -2Аз)+
+2 j' H YßZ fJL di _ A di+1 dP)+
1 L J V 40 dZ 24 dZ 2 dZ J
(H )2 ( 1 d2A1 d2P^
+V L
4 dZ 2 dZ2
= 0.
(20)
Перейдем к случаю осевой подачи смазки (рис. 2). В рассматриваемом случае уравнения (6) и (9) будем иметь (7) останутся без изменения
Решая уравнение (19) с граничными условиями
dP+4 (HI2 dP+ß Z 2 dP*+ß Zr (H 12 dP*=0,
dr¿
L J dZ2
dr 2
L J dZ
(16)
d2 P
12
( ld )2
dZ2 (1 + s cos 6)3 3Ф
sj ф_ — |sin6 + scos6
dP 42"j dr
(1 + 6 cos 6)3 (H/L) Уравнение (16) усредним по зазору.
(17)
I
d 2 P* +(H12 dP+ßZ 2 dP*+
dr2 V l
dZ2
dr
+ ^ßZr í H J2 f
dr = 0.
Решение уравнений (16) и (17) с учетом граничных условий (9) будем искать в виде
P = aZ + b + P1(Z, 6); P* = A1r3 + A2r2 + A3r + aZ + b + P1.
A3 = 1 aß( Z3 _ Z ) .
(21)
Уравнение (20) решается после определения функции Р1. Явный вид функций А1 и А2 в рассматриваемом случае при определении несущей способности подшипника нам не понадобится. С учетом (21) решение уравнения (17) запишется в виде
24
P =
(LD )2
(1 + s cos 6) 6Фaß
s| ф _ 1 I sin 6 + s cos 6
Z5 Z3 1
(Z2-Z)+
(1 + s cos6)3 (H/L)
2j Z _ —
2 i 20 6 6 20
(22)
где a =
P _ P
к н
P + P
b = к н
2 2 Перейдем к определению усилий масляной плен-
ки.
При неполном заполнении смазкой зазора область положительных давлений, ограниченная углами 6j и 62, определяется из условий
6 cos 6j +бф sin 6j = 0,
6sin62 — 6Сфcos62 = 0, 62 =6j +Л .
2
+
x
3
4
L
+
4
+
+
+
В рассматриваемом случае усилия масляной пленки вычисляются интегрированием по положительной области распределения давления.
В случае подачи смазки в направлении перпендикулярно оси подшипника
F(e) = -
цЯЗю L i ei+*
2С 2
J J p cos ededz,
mR3ю l 1 е1+л
F(ф) = -——2— J J PsinededZ . (23)
2C -1 e1
Здесь выражение для P определяется формулой (15). В случае подачи смазки в осевом направлении
F (е) = -
цЯ3Ю L 1 eit*
С 2
J J p cos ed edz,
цЯЗю L i e1+m F(ф) = - 21 J J P sin ed edZ
С -i e.
(24)
где р определяется формулой (22).
При полном заполнении смазкой зазора в случае подачи смазки перпендикулярно оси Оу
цЯ ю L i 2? F(e) = -——í Г P cos ed edZ . 2С2 -i 0
Fw = -
2С 2
J J P sin ed edz . (25)
-i о
Здесь р определяется формулой (15). В случае осевой подачи смазки
ЦК3Ю iL i2-
F(e) = -
С 2
J J pcosededz .
-i о
ЦЯЧ^ f 2?
Fw = -
С2
J J p sin ed edz
(26)
-i о
где р определяется формулой (22).
Решение задачи на устойчивость шипа в подшипнике
Безразмерные уравнения, определяющие движение шипа, записываются в следующем виде
d2 е
F
(e)
dT2 d2ф_ F(ф)
ю 1MC
rg
Ю 7
V 1 /
cos ф + е
d ф
2
ю2 ю
dT2 ю jMC е
Ю 7
V 1 /
Sin ф-
dT
2 Г dе Vdф"
(27)
е V dT A dT
где М - масса ротора; F(е) и F(ф) - усилия масляной пленки в случае неполного заполнения смазкой зазора. Они определяются формулами (15), (22) - (26) соответственно в случаях подачи смазки в направлении, перпендикулярном оси подшипника, и в осевом направлении.
Уравнения (27), определяющие движение шипа, решаются численно с учетом полученных данных
d 2е d 2
(15), (22) - (26). Компоненты ускорения —е, —Ф
dT2 dT2
представляют собой явные функции параметров е и
Ф • %. £. р.. Д, 4 в„ 02, Ф, -, ра.
Уравнения (27) записываются в стандартной форме первого порядка и решаются с помощью метода, разработанного Гиром [8].
Как и в работе [7], после получения решения уравнений движения, устойчивость рассматриваемого движения определяется визуально по графику. При заданных значениях вышеуказанных параметров, области устойчивости приведены на рис. 3 а, б.
8 = i02S
а б
Рис. 3. Схематическое изображение границ устойчивости: а - подача смазки в направлении оси Оу (е = 102е ); б - осевая подача смазки (рн = 0,04; рк = 0,03): 1 - Ф = 0,03, в = 0,01 (полное заполнение); 2 - Ф = 0,03, в = 0,02 (неполное заполнение); 3 - Ф = 0,02, в = 0,001 (неполное заполнение); 4 - Ф = 0,01, в = 0,001 (неполное заполнение); 5 - Ф = 0,003, в = 0,001 (неполное заполнение); 6 - Ф = 0,001, в = 0,001 (неполное заполнение)
i
ю
ю
ю
Здесь все точки, которые лежат ниже кривых устойчивости, соответствуют устойчивому движению шипа, а все точки, которые лежат выше кривых, соответствуют неустойчивому движению
(fflg =4gJc),
где g - ускорение силы тяжести.
Из найденных аналитических решений и зависимостей, приведенных на рис. 3, следует, что:
1. В случае, когда проницаемость пористого слоя в осевом направлении меняется по нормальному закону, и смазка подается в направлении, перпендикулярном оси подшипника, пористая втулка рассматриваемого подшипника обладает уплотнительным свойством (отсутствуют утечки из торцов подшипника).
2. В случае, когда проницаемость пористого слоя k' зависит от координаты Z по нормальному закону, пористый подшипник работает более устойчиво, чем при k' = const.
3. В случае полного заполнения смазкой зазора рассматриваемый подшипник работает более устойчиво, чем при частичном заполнении смазкой зазора.
4. Область устойчивости в случае подачи смазки в направлении, перпендикулярном оси подшипника, намного шире, чем в случае подачи смазки в осевом направлении.
Литература
1. Конри К, Кузано К. Об устойчивости пористых радиальных подшипников // Конструирование и технология машиностроения. 1974. № 2. С. 206 - 216.
2. Ахвердиев К.С., Муленко О.В. Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников // Вестн. РГУПС. 2002. № 3. С. 5 - 7.
3. Кузано К., Фанк П.Е. Исследование коэффициента передачи упругой опоры качения в демпфере со сдавливаемой пленкой и пористой обоймой // Проблемы трения и смазки. 1974. № 1. С. 54.
4. Ахвердиев К.С., Копотун Б.Е. Разработка математической модели гидродинамического расчета конических подшипников // Вестн. РГУПС. № 3. 2005.
5. Ахвердиев К.С., Кочетова С.Ф., Мукутадзе М.А. Нестационарная математическая модель гидродинамической смазки сложнонагруженного составного конического подшипника с пористым слоем на его рабочей поверхности с учетом его конструктивной особенности // Вестн. РГУПС. 2009. № 1. С. 135 - 143.
6. Ахвердиев К.С., Копотун Б.Е., Мукутадзе М.А. Устойчивость движения шипа в коническом подшипнике с пористым слоем на рабочей поверхности // Трение и износ. 2007. Т. 28, № 4. С. 361 - 366.
7. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Флек Б.М., Задорож-ная Н.С., Поляков Е.В. Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки // Инженерный вестн. Дона. Электронный науч. журн. 2013. № 3.
8. Gear C.W. Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs N.J. 1972.
Поступила в редакцию 9 января 2014 г.
