Влияние ортогональной анизотропии в проницаемом опорном слое подшипника скольжения конечной длины на устойчивый режим его работы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 51:621:891

ВЛИЯНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЙ АНИЗОТРОПИИ В ПРОНИЦАЕМОМ ОПОРНОМ СЛОЕ ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ НА УСТОЙЧИВЫЙ РЕЖИМ ЕГО РАБОТЫ

© 2014 г. К.С. Ахвердиев, А.М. Мукутадзе, Н.С. Задорожная, Е.В. Поляков

Ахвердиев Камил Самедович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-6399. E-mail: [email protected]

Мукутадзе Александр Мурманович - аспирант, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-62-63. E-mail: [email protected]

Задорожная Наталья Сергеевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. E-mail: [email protected]

Поляков Евгений Викторович - аспирант, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-62-63. E-mail: [email protected]

Akhverdiev Kamill Samedovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-63-99. E-mail: [email protected]

Mukutadze Alexandr Murmanovich - post-graduate student, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-62-63. E-mail: [email protected]

Zadorozhnaya Natalya Sergeevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. E-mail: [email protected]

Polyakov Evgeny Victorovich - post-graduate student, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-62-63. E-mail: [email protected]

Исследований влияние анизотропии проницаемости пористого слоя подшипника скольжения на устойчивый режим его работы при двух направлениях подачи смазки - осевом и радиальном.

Ключевые слова: пористый подшипник; режим трения; проницаемость пористого слоя; вязкоупругая смазка.

The purpose of the present activity is the research of influencing of an anisotropy of a permeability of an porous layer of a sliding bearing on a stable conditions of its activity at two directions of submission of lubrication - axial and radial.

Keywords: porous bearing friction regime; the permeability of the porous layer; the viscoelastic lubrication.

Задача об устойчивости работы однослойных и двухслойных пористых подшипников конечной длины рассматривались в работах [1 - 6]. Существенным недостатком указанных работ является то, что в них проницаемость пористых слоев считается постоянной и, кроме того, не учитывается источник подачи смазки (рис. 1). В рассматриваемом случае трудно обеспечить жидкостный режим трения, так как подшипник работает за счет запаса смазки лишь в порах пористого слоя.

Разработке расчетной модели гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины при наличии принудительной подачи смазки посвящена работа [7]. Здесь с учетом анизотропии проницаемости в радиальном направлении и наличия принудительной подачи смазки приводится расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения. В начале рассматривается случай, когда смазка принудительно подается в направлении оси Оу, а затем в осевом направлении.

Обобщение задачи, рассмотренной в работе [7], для случая, когда проницаемость меняется как в ради-

альном, так и в осевом направлениях, позволит не только обеспечить подшипнику повышенную несущую способность, но и уплотнительное свойство. Решение этой задачи является основной целью данной работы.

Постановка задачи. Рассматривается неустановившееся течение вязкой несжимаемой жидкости в зазоре пористого радиального подшипника конечной длины. Подшипник с неоднородным пористым слоем считается неподвижным, а движение вала считается заданным. Проницаемость пористого слоя задается следующей зависимостью:

k,lzR

k ' = A0e

Здесь А0 - заданная постоянная величина; ^ J -

известная безразмерная функция; Ь - длина подшипника; Н - толщина пористого слоя.

В дальнейшем будем считать, что на поверхности у = -Н проницаемость пористого слоя в направлении оси г меняется по нормальному закону, а давление

L > H

подачи смазки подчиняется параболической зависимости.

Гидродинамический расчет рассматриваемого подшипника нами будет производиться при следующих допущениях [1, 2].

1. Толщина пористого слоя считается малой по сравнению с радиусом подшипника, и в конечной модели используется короткий подшипник. Уравнение, определяющее течение смазки, в пористой матрице представляется в виде

+к (^_!Ф*+уФ*дК = 0, (1)

ду2 дг2 11L) Н ду Н дг дг

*

где у, г - прямоугольные координаты (рис. 1); р -гидродинамическое давление в пористом слое.

2. Для определения распределения давления в пленке смазки между шипом и подшипником будем исходить из модифицированного уравнения Рейнольд-са в рамках модели короткого подшипника [1].

здесь к' - проницаемость материала пористого слоя.

Система уравнений (1), (2) в случае подачи смазки через поры пористого слоя в направлении оси Оу

решается при граничных условиях (рис. 1)

* *

р = р при у = 0 ; р = при у = -Н ; * L * L

р = р = ра при г = -у; р = р = ра при г = (3)

где рг - давление подачи смазки; ра - атмосферное давление.

В случае подачи смазки в осевом направлении граничные условия запишутся в следующем виде (рис. 2, начало координат в этом случае выбрано в левом конце подшипника):

* п др*

р = р при у = 0 ; —— = 0 при у = -Н ;

&

** р = р = рн при г = 0; р = р = рк при г = L . (4)

— [ h3 — 1 = ец|(юА +ю, - 2юг - 2 — | — + 5z I 5z ) 11 b j L dt ) d0

de

+ 2—cos 0 |-12uv0i ..

dt 1 01 y=0'

(2)

k

vo =--

H

op

dy

y=o

(4)

Здесь рн - давление в начальном сечении; рк - в конечном сечении.

Перейдем к безразмерным параметрам по формулам

P* = Р C . р = . PC .

где h = C (1 + e cos 0) - толщина пленки смазки; C -

радиальный зазор; е - относительный эксцентриситет; 0 - угловая координата; p - давление в пленке смазки; ц - динамический коэффициент вязкости; юь, ю j, roL -

угловые скорости соответственно подшипника, шипа и нагрузки; ф - угол положения; t - время; v0 - компонента скорости в направлении Оу на внутренней границе пористого слоя, прилегающая к зазору,

|HRq<B

ош j

H-R,2®

ош j

2 z y

Z = —; Y = —; L H

ßZ 2

T =o jt; k' = A0k ; k = e

Ф = -

AH

C3

- PgC

p g =-Rk~

HRo° j

Pa =

PaC 2 HRo2° j

Установим закон подачи смазки на поверхности Y = -1, а также проницаемость пористого слоя на этой поверхности в виде

Z 2

_ - = 2 = -р— Pg = Pa + Pg (Z2-1), Pg = const, k = e 4. (5)

А - А

Н l/2 l/2

Y

4

Рис. 1. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой

Рис. 2. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой (осевая подача смазки)

Тогда уравнения (1), (2) принимают вид (в дальнейшем предполагается, что юЬ, юь равны нулю)

52P* ( H V 52P* „ Z2 5P*

- + 41 —

+ ß-

5Y2 1 L ) 5Z2 4 5Y

+ |H)2 ßZY5P* = 0;

l L ) 2 5Z

(6)

52 P 12(LD)

5Z2 (l + e cos e)3 3Ф

s| (-Цsine + ecose

(l + e cose)3 (H/L)

| 5P

И

*\

(7)

Y=0

I 2,2 n*

52 P ( H V52 P 72 5P

- + 41 —

2 o2 n*

+ ß"

5Y2 'ЛL ) 5Z2 ' r 4 5Y *

+11H Г ßZY 21 L ) 5Z

dY = 0.

(10)

Решение уравнения (10), удовлетворяющее граничным условиям (8), будем искать в виде

р* = А^3 + A2Y2 + А3У + ра + Рх(1,0). (11)

Подставляя (11) в (10), с учетом граничных условий (8), приходим к следующей системе уравнений:

-Л + A2 - A3 + p + Pa = Pg ;

где D = 2R0; точкой обозначено дифференцирование по Т.

Граничные условия (3) и (4) соответственно, примут следующий вид:

р = р при Y = 0; р = рг при Y = -1;

Йг ~ * ~

р = р = ра при г = -1; р = р = ра при г = 1; (8)

* др*

р = р при Y = 0; -= 0 при Y = -1;

дY

р = р = рн при г = 0 ; р = р = рк при г = 1, (9) где ра = ; р = ; Я = *С 2

j

Ч) ш] Ц^®] ^0 ш]

уравнению:

Ниже мы покажем, что при выполнении зависи- ^ мостей (5) пористая втулка обладает уплотнительным свойством, а подшипник повышенной несущей способностью.

Полагая толщину пористого слоя малой, уравнение (6) усредним по толщине смазочного слоя. Тогда уравнение (6) запишется в виде

^02ю j

7

A1 + 2P1 - 2A3 - 2Pg (Z3 -1) + ß—(-A1 + A2 - A3) +

+I H l2 ß Z 1 A+15k -15A3+15P11+

l L ) 2 l 5 5Z 4 5Z 3 5Z 2 5Z )

2 Л ^2

2n l

1 52 Al _ 1 52 A2 + 1 52 A3 _ 52 P

4 5Z2 3 5Z2 2 5Z2 5Z2

= 0.

Полагая

21H l2 52A3 ßP

3 Н дА-"-г 4 -2 2)-2р»<2 2 -')="2)

для определения функций А1 придем к следующему

Z2 „ ßZ IИ^2

Al -2A3 + 2Pl-ß — P + —I — I x

4

2 l L

f1 5Al 1 5Pl - 1 5A3 PgZЛ 20 5Z 4 5Z 12 5Z 2

+

+

+

+4 (H

2 (

1 d2 A1 2 d2 P1 2 g

-------P

12 dz2 3 dz2 3 g

А Подставляя (18) в (16), с учетом граничных усло-

= 0 . (13) вий (9) будем иметь

Интегрируя уравнение (12) с граничными условиями А3 = 0 при Z = +1, будем иметь

A3 = 2 ( H

ß P

24 g

(z6 _ z4 )

5 2

+ P„

íz 4

—_ z2

V 6 ,

v у

+РИ 5 g 1 80 6

(14)

3 A1 _ 2A2 + A3 = 0,

2Aj _ A2 _ A3 +ßZ 2 (_Aj + A2 _ A3) + 2 jL) x

1 dA 1 dA2 1 dA3 a 1 dPj ) (H)2 <ßZj---1 +--2---3 + —+--1 | + j— I :

1 dZ 4 dZ 3 dZ 2 2 dZ J V L

= 0.

(1 d2 A1 1 d2 A2 d2 P1 + 1 d2 A3 A

4 dZ2 3 dZ2 dZ2 2 dZ2

Уравнение (13) решается после определения функции Р1. Явный вид функций А1 и А2 при определении несущей способности подшипника нам не понадобится.

С учетом (14) решение уравнения (7) запишется в

виде

Р =

(LD )2

(1 + е cos 6 9Ф

sj ф_ 1 Isin6 + scos6

2 (1 + cos 6)3 V H

p

480 g

( Z8 Z 6

(Z2 _ 1) + 11

---+■

14 3 42

+

+12 p

( Z6 „14 Z--Z 4 + —

11

11

+1 Pg +1 Ii Z 2 _1)

4 g V 40 3

!)(Z2 _1)

. (11)

Полагая

H)ßZa+3 f L

4 (H )2 d2A3

dZ2

= 0,

(19)

для определения Aj(Z, 6) приходим к следующему уравнению:

2л -3Аз+Pz2í1 л -2Аз)+

+2 j' H YßZ fJL di _ A di+1 dP)+

1 L J V 40 dZ 24 dZ 2 dZ J

(H )2 ( 1 d2A1 d2P^

+V L

4 dZ 2 dZ2

= 0.

(20)

Перейдем к случаю осевой подачи смазки (рис. 2). В рассматриваемом случае уравнения (6) и (9) будем иметь (7) останутся без изменения

Решая уравнение (19) с граничными условиями

dP+4 (HI2 dP+ß Z 2 dP*+ß Zr (H 12 dP*=0,

dr¿

L J dZ2

dr 2

L J dZ

(16)

d2 P

12

( ld )2

dZ2 (1 + s cos 6)3 3Ф

sj ф_ — |sin6 + scos6

dP 42"j dr

(1 + 6 cos 6)3 (H/L) Уравнение (16) усредним по зазору.

(17)

I

d 2 P* +(H12 dP+ßZ 2 dP*+

dr2 V l

dZ2

dr

+ ^ßZr í H J2 f

dr = 0.

Решение уравнений (16) и (17) с учетом граничных условий (9) будем искать в виде

P = aZ + b + P1(Z, 6); P* = A1r3 + A2r2 + A3r + aZ + b + P1.

A3 = 1 aß( Z3 _ Z ) .

(21)

Уравнение (20) решается после определения функции Р1. Явный вид функций А1 и А2 в рассматриваемом случае при определении несущей способности подшипника нам не понадобится. С учетом (21) решение уравнения (17) запишется в виде

24

P =

(LD )2

(1 + s cos 6) 6Фaß

s| ф _ 1 I sin 6 + s cos 6

Z5 Z3 1

(Z2-Z)+

(1 + s cos6)3 (H/L)

2j Z _ —

2 i 20 6 6 20

(22)

где a =

P _ P

к н

P + P

b = к н

2 2 Перейдем к определению усилий масляной плен-

ки.

При неполном заполнении смазкой зазора область положительных давлений, ограниченная углами 6j и 62, определяется из условий

6 cos 6j +бф sin 6j = 0,

6sin62 — 6Сфcos62 = 0, 62 =6j +Л .

2

+

x

3

4

L

+

4

+

+

+

В рассматриваемом случае усилия масляной пленки вычисляются интегрированием по положительной области распределения давления.

В случае подачи смазки в направлении перпендикулярно оси подшипника

F(e) = -

цЯЗю L i ei+*

2С 2

J J p cos ededz,

mR3ю l 1 е1+л

F(ф) = -——2— J J PsinededZ . (23)

2C -1 e1

Здесь выражение для P определяется формулой (15). В случае подачи смазки в осевом направлении

F (е) = -

цЯ3Ю L 1 eit*

С 2

J J p cos ed edz,

цЯЗю L i e1+m F(ф) = - 21 J J P sin ed edZ

С -i e.

(24)

где р определяется формулой (22).

При полном заполнении смазкой зазора в случае подачи смазки перпендикулярно оси Оу

цЯ ю L i 2? F(e) = -——í Г P cos ed edZ . 2С2 -i 0

Fw = -

2С 2

J J P sin ed edz . (25)

-i о

Здесь р определяется формулой (15). В случае осевой подачи смазки

ЦК3Ю iL i2-

F(e) = -

С 2

J J pcosededz .

-i о

ЦЯЧ^ f 2?

Fw = -

С2

J J p sin ed edz

(26)

-i о

где р определяется формулой (22).

Решение задачи на устойчивость шипа в подшипнике

Безразмерные уравнения, определяющие движение шипа, записываются в следующем виде

d2 е

F

(e)

dT2 d2ф_ F(ф)

ю 1MC

rg

Ю 7

V 1 /

cos ф + е

d ф

2

ю2 ю

dT2 ю jMC е

Ю 7

V 1 /

Sin ф-

dT

2 Г dе Vdф"

(27)

е V dT A dT

где М - масса ротора; F(е) и F(ф) - усилия масляной пленки в случае неполного заполнения смазкой зазора. Они определяются формулами (15), (22) - (26) соответственно в случаях подачи смазки в направлении, перпендикулярном оси подшипника, и в осевом направлении.

Уравнения (27), определяющие движение шипа, решаются численно с учетом полученных данных

d 2е d 2

(15), (22) - (26). Компоненты ускорения —е, —Ф

dT2 dT2

представляют собой явные функции параметров е и

Ф • %. £. р.. Д, 4 в„ 02, Ф, -, ра.

Уравнения (27) записываются в стандартной форме первого порядка и решаются с помощью метода, разработанного Гиром [8].

Как и в работе [7], после получения решения уравнений движения, устойчивость рассматриваемого движения определяется визуально по графику. При заданных значениях вышеуказанных параметров, области устойчивости приведены на рис. 3 а, б.

8 = i02S

а б

Рис. 3. Схематическое изображение границ устойчивости: а - подача смазки в направлении оси Оу (е = 102е ); б - осевая подача смазки (рн = 0,04; рк = 0,03): 1 - Ф = 0,03, в = 0,01 (полное заполнение); 2 - Ф = 0,03, в = 0,02 (неполное заполнение); 3 - Ф = 0,02, в = 0,001 (неполное заполнение); 4 - Ф = 0,01, в = 0,001 (неполное заполнение); 5 - Ф = 0,003, в = 0,001 (неполное заполнение); 6 - Ф = 0,001, в = 0,001 (неполное заполнение)

i

ю

ю

ю

Здесь все точки, которые лежат ниже кривых устойчивости, соответствуют устойчивому движению шипа, а все точки, которые лежат выше кривых, соответствуют неустойчивому движению

(fflg =4gJc),

где g - ускорение силы тяжести.

Из найденных аналитических решений и зависимостей, приведенных на рис. 3, следует, что:

1. В случае, когда проницаемость пористого слоя в осевом направлении меняется по нормальному закону, и смазка подается в направлении, перпендикулярном оси подшипника, пористая втулка рассматриваемого подшипника обладает уплотнительным свойством (отсутствуют утечки из торцов подшипника).

2. В случае, когда проницаемость пористого слоя k' зависит от координаты Z по нормальному закону, пористый подшипник работает более устойчиво, чем при k' = const.

3. В случае полного заполнения смазкой зазора рассматриваемый подшипник работает более устойчиво, чем при частичном заполнении смазкой зазора.

4. Область устойчивости в случае подачи смазки в направлении, перпендикулярном оси подшипника, намного шире, чем в случае подачи смазки в осевом направлении.

Литература

1. Конри К, Кузано К. Об устойчивости пористых радиальных подшипников // Конструирование и технология машиностроения. 1974. № 2. С. 206 - 216.

2. Ахвердиев К.С., Муленко О.В. Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников // Вестн. РГУПС. 2002. № 3. С. 5 - 7.

3. Кузано К., Фанк П.Е. Исследование коэффициента передачи упругой опоры качения в демпфере со сдавливаемой пленкой и пористой обоймой // Проблемы трения и смазки. 1974. № 1. С. 54.

4. Ахвердиев К.С., Копотун Б.Е. Разработка математической модели гидродинамического расчета конических подшипников // Вестн. РГУПС. № 3. 2005.

5. Ахвердиев К.С., Кочетова С.Ф., Мукутадзе М.А. Нестационарная математическая модель гидродинамической смазки сложнонагруженного составного конического подшипника с пористым слоем на его рабочей поверхности с учетом его конструктивной особенности // Вестн. РГУПС. 2009. № 1. С. 135 - 143.

6. Ахвердиев К.С., Копотун Б.Е., Мукутадзе М.А. Устойчивость движения шипа в коническом подшипнике с пористым слоем на рабочей поверхности // Трение и износ. 2007. Т. 28, № 4. С. 361 - 366.

7. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Флек Б.М., Задорож-ная Н.С., Поляков Е.В. Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки // Инженерный вестн. Дона. Электронный науч. журн. 2013. № 3.

8. Gear C.W. Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs N.J. 1972.

Поступила в редакцию 9 января 2014 г.