CC BY
15
УДК 51:621.891
РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ ВЯЗКОСТИ ОТ ДАВЛЕНИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СМАЗКИ РАДИАЛЬНОГО ПОДШИПНИКА С КРУГОВОЙ ОПОРНОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ
© 2014 г. К.С. Ахвердиев, М.А. Мукутадзе, Е.О. Лагунова, Т.С. Черкасова
Ахвердиев Камил Самедович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-6399. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Мукутадзе Мурман Александрович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 27262-63. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Лагунова Елена Олеговна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. E-mail: lagunova@rambler.ru
Черкасова Татьяна Сергеевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-62-63. E-mail: parallel_task@mail.ru
Akhverdiev Kamill Samedovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-63-99. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Mukutadze Murman Alexandrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-62-63. E-mail: vm_2@kaf.rgups.ru
Lagunova Elena Olegovna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. E-mail: lagunova@rambler.ru
Cherkasova Tatyana Sergeevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Higher Mathematics-2», Rostov State Transport University. Ph. (863) 272-62-63. E-
mail: parallel_task@mail.ru
Разработана расчетная модель с учетом зависимости вязкости от давления двухслойной гидродинамической смазки радиального подшипника с круговой опорной поверхностью. Дана оценка влияния вязкостных отношений слоев и их протяженностей на основные рабочие характеристики подшипников.
Ключевые слова: радиальный подшипник; несущая способность; двухслойная гидродинамическая смазка.
In work the settlement model taking into account dependence of viscosity on pressure of two-layer hydro-dynamic greasing of the radial bearing with a circular basic surface is developed. The assessment of influence of the viscous relations of layers and their extents on the main performance data of bearings is given.
Keywords: the radial bearing; bearing ability; two-layer hydrodynamic greasing.
Как известно [1 - 3], при наличии в смазочной жидкости частиц присадок или продуктов износа, а также за счет пристенной ориентации ее молекул вблизи твердой опорной поверхности подшипника происходит разделение смазки на слои с различной вязкостью. Слоистое течение вязкой несжимаемой жидкости в зазоре упорного и радиального подшипников рассматривалось в работах [4 - 9]. Существенный недостаток предлагаемой в них методики заключается в том, что в расчетной модели не учитывается зависимость вязкости от давления. При больших значениях давления в смазочном слое вязкость смазки существенно возрастает и возникает необходимость учета зависимости вязкости от давления.
Постановка задачи. Рассматривается установившееся движение двухслойной вязкой несжимаемой жидкости в зазоре радиального подшипника скольжения с круговой опорной поверхностью. Предполагается, что пространство между валом и подшипником полностью заполнено жидкостью. Вал вращается с заданной угловой скоростью О, а подшипник неподвижен. Также предполагается, что зависимость вязкости от давления выражается формулой
В полярной системе координат с полюсом в центре вала уравнения контуров вала, границы раздела слоев и контура подшипника (рис. 1 и 2) можно записать в виде
r' = r0, r' = r0 +5a+aecos6;r' = r2(1 + H), H = ecos6,
где r0 - радиус шипа; r2 - радиус подшипника;
r, = r0 + 5a - радиус контура, являющийся границей
раздела слоев; 5 = е2 - r0; е = e / r2; е - эксцентриситет.
Vi = Voie
(i = 1, 2).
Рис. 1. Схематическое изображение шипа в радиальном подшипнике, работающего на двухслойной смазочной композиции
д «, Л :dp _
-- = —e
дг 2 d 0
аp дЩ + = о, , = ! . а)
дг д0
Здесь размерные величины г' ,и-,и",р',р" связаны с безразмерными г, ц, , р, ц соотношениями:
r' = r0 + 5r, 5 = r2 _ r0, и' = Q5u, «i = ^0«i , P' = PaP, ^i = ^0,h'
(2)
где и), и- - компоненты вектора скорости; р' - гидродинамическое давление; ц- характерные вязко-
сти в смазочных слоях; а = а , а - экспериментальная постоянная, рг - характерное давление;
Л,- =
Pg 5
г roVo,
i = 1,2.
Щ = «1 = «2 ,
дг ^01 дг
— = ah'(0) при r = ah;
«г
и2 = 0, «2 = 0, где r = h(0), h(0) = 1 + ^cos0, ae [0,1].
Точное автомодельное решение задачи. Точное автомодельное решение задачи (1) - (3) будем искать в виде:
U =iö0L + ^(r, 0), «! =дэГ1 + ^, 0),
U2 = ^ + U 2 (r, 0), «2 + V2(r, 0).
д0 дr
= V(£), V2 = V(£), U = и sin 0, V = «(£), U2 = м(£)^ sin 0, V2 = «(£),
Л1 dp c1 c2 Л 2 dp c1 c
,a p
d0 h2(0) h3(0)' eap d0 h2(0) h3(0)'
(4)
Рис. 2. Схема для определения уравнения контура границы раздела смазочных сред и условия существования раздельного движения двухслойной смазочной композиции
Основные уравнения и граничные условия. В
качестве основных уравнений берутся безразмерная система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости с учетом зависимости вязкости от давления для случая «тонкого слоя» и уравнение неразрывности
где с
^02
Ч, С2
^02
Н-01 Н-01
Подставляя (4) в (1) и в (3), получим
у "' = С2, У "' = С2, и' + р V' = 0, V '' = С1, V " = Ср и V ' = 0, ~(0) = 0, ~(0) = 1, у ' (0) = 0, и (1) = 0, V (1) = 0,
у (1) = 0, р(0) = р(2я) = 1,
а ~ 1 V
\vd р + ^ | = 0.
(5)
(6)
Решение задач (5), (6) находится непосредственным интегрированием. В результате будем иметь:
~ ~ р2 ~ ~ р2
у '(р) = с2—+с2р+сз; и(р) = с1 —+сбр+с7;
-е2 - -е2
v'(е) = c2+с4е+c5; «=c\—+с8е+c9;
2
Система уравнений (2) решается при следующих граничных условиях:
и1 = 0, и1 = 1 при г = 0, р(0) = р(2л) = 1;
_ Ц02 5и2
и = C1 3 Сб 2 +и = C1 з c8 2 +Cn;
Л ea p = Л ea + J 2(0) C1 + J 3(0) c~;
Л л " 0
-л.eap = _2ea+ J2(0)C1 + J3(0)C2; Jk(0) = J
Л
d 0
_a _a
0 hk (0)
Используя граничные условия (б) для определения
постоянных С^ ( = 2,3,...,11), С1, С2, С1, С2 , приходим к следующей алгебраической системе уравнений:
2
С7 = 1; Сш = 0; Сз = 0; - С- - С. + С„ = 0:
— + С8 + С9 = 0; + С4 + С5 - 0;
2 8 9 2 4 5
СС1 - ; С2 - С2 ; + С2 - 0;
Решение системы (7) сводится к решению матричного уравнения
Mx - b,
где x-iCj;с4;с5;с8;c9 !>;
(8)
С1 „.3 , С6 7
— а3 + — а2 + С7 а--L а3 -
С1
6 2
6
- а 2 - С9 а + + + С9 - 0; 2 9 6 2 9
С С
—Y а2 + С2 а + С3 —^ а2 - С4а + С5 - 0;
С1 а + С6
С1 а + С8
С
С1 а2 + С6а + С7 а2 -С8а + С9 - 0;
С + С - ^2 СС 2 а< + СС 2 —
С2 а + С4
(7)
M -
-1
ка3-а3-1 0
2 0
0 2
0 3ка2-3а2+3 6-6а
-(к-1)а2 2а(к-1) -2 0
(к-1)а2 0
b - [0,0, -6а, 0, -2].
0 2а(к-1)
-2
Решение матричного уравнения. Решение матричного уравнения (8) запишется в виде:
6(ка2 +1-а2) , Ц1
3 , „ 2 .2., к , С1
1 _ ' 3 2 2
4к а3 +1 - 6к а 2 + 6а 2
6к (ка2 +1-а2)
Ц2 4ка3 +1 - 6ка2 + 6а2 - 4а + 4ак - 4а3 + к2а4 - 2ка4 + а4
2
^ л ;,„.3
-6к (ка2 +1-а2)
4ка3 +1 - 6ка2 + 6а2 - 4а + 4ка - 4а3 + к2а4 - 2ка4
2
0
1
0
2
0
_ -3а(2к а2 +к а+1-а2 -а+а3 - к 2 а2 -к - 2ка3 + к 2а3)
5 1+10а2 -5а-14ка2 +16ка3 -10а3 + 5ка-6к2а3 +3ка5 -10ка4-3к2а5 +5к2а4 + к3а5 +5а4 -а5 +4к2а2 :
c -_3(а4 - 2ка4 + к2а4 + 2ка2 - 2а2 +1)_;
4 ((4ка3 +1 -6ка2 + 6а2 -4а + 4ка-4а3 + к2а4 -2ка4 +а4)(ка-а +1)j
-_-4(к а 2 +1 -а3)_;
8 4ка3 +1 - 6ка2 + 6а2 - 4а + 4ак - 4а3 + к2а4 - 2ка4 + а4 '
c0 -
(4ка3 - 4а3 - 3ка2 + 3а2 +1)
9 4ка3 +1 - 6ка2 + 6а2 - 4а + 4ак - 4а3 + к2а4 - 2ка4 +а4
- 3к(а4 - 2ка2 + к2а4 + 2ка2 - 2а2 +1)
2 "" ..3 , 1 2 . /-„, 2 ,<„, .л „л, Л„,3 , ;,2„,4 . „,4ч
((4ка3 +1 -6ка2 + 6а2 -4а + 4ак-4а3 + к а -2ка +а4)(ак-а +1))
-_-4к(ка3 -а3 +1)_;
6 4ка3 +1 - 6ка2 + 6а2 - 4а + 4ак - 4а3 + к2а4 - 2ка4 + а4 '
* _ -6(ка2 -а3 +1)
2 4ка3 +1 - 6ка2 + 6а 2 - 4а + 4ак - 4а3 + к2а4 - 2ка4 +а4
Определение гидродинамического давления.
2 ~2
С точностью до членов 0(^ ),0(а ) для определения
щему уравнению:
2 "Л
p = 1+
i
1+a
или p = 1 +
1+a 2
~~ | C1 J 2 (0) + C2 J3(0) |, C2 =_ С1
Определение воздействия смазки на шип.
Приведем силы воздействия жидкости на шип к центру (оси) шипа О. Для проекции на оси ОХ и ОY главного вектора этих сил, действующих на единицу длины шипа и главного момента, получим выражения:
2л
Rx = r0 КPrr C0S 0_ Pr0 Sin
0
2л
Ry = r0 К Prr sin 0 + P
r0
cos
Lp = r02 J Pr0d0.
Значения Ргг и Рг6 берутся на поверхности шипа, т.е. при г = г0
( д^ ^
P
_ P + 2^1-
дr
Pr0 | r=r0 = Н"1
Г ду, дуй v0 1 , 0 --1----
д0 дr r
2л
Ry = pgr0 J p sin
pgr0 C1
2Л,
LTp = r^ + Qr0 J
5 n
7r=r0
(
1+a 2
V
\
V (0) + « (0)
h2
h
eapd 0. (9)
2. Поддерживающая сила Ry существенно зависит от параметра а и вязкостных отношений ^
(рис. 3).
следую- Ry
0,8
= 0. 0,7
прибли- 0,6
0,5
0,4
= _ С1; 0,3
0,2
0,1
- 0
Рис. 3. силы R„
V /
Выводы
Результаты численного анализа полученных аналитических выражений (9) для основных рабочих характеристик показывают:
1. Такой реально существующий фактор, как сложная двухслойная структура смазочной жидкости, с необходимостью приводит к изучению влияния структурного параметра а и вязкостного отношения k на основные рабочие характеристики подшипника, прежде всего на поддерживающую силу и силу трения.
0,2 0,4 0,6 0,8 а Зависимость безразмерной поддерживающей от параметра а: 1 - k1|^ = 1; 2 - ^ = 1,1;
3 - = 1,2; 4 -= 1,3
Литература
1. Дерягин Б.В. К теории граничного трения // Развитие теории трения и изнашивания. М., 1957. С. 15 - 26.
2. Ахматов А.С. Молекулярная физика граничного трения. М., 1963.
3. Аэро Э.Л., Бессонов Н.М. Микромеханика межконтактных структурированных слоев жидкости // Итоги науки и тех-ники. Сер. Механика жидкости и газа. М., 1989. № 23. С. 116 - 236.
4. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Александрова Е.Е., Эркенов А. Ч. Математическая модель стратифицированного течения двухслойной смазочной композиции в радиальном подшипнике с повышенной несущей способностью с учетом теплообмена // Вест. РГУПС. № 1. 2011. С. 160 - 165.
5. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Мукутадзе М.А. Стратифицированное течение трехслойной смазки в зазоре упорного подшипника, обладающего повышенной несущей способностью // Новые материалы и технологии в машиностроении. Брянск, 2010. С. 3 - 6.
6. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Кручинина Е.В., Мукутадзе М.А. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре упорного подшипника, обладающего повышенной несущей способностью // Вестн. ДГТУ. Т. 10, № 2 (45), 2010. С. 217 - 222.
7. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Мукутадзе М.А. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре сложнонагруженного радиального подшипника конечной длины, обладающего повышенной несущей способностью // Вестн. РГУПС, 2010. № 1. С. 132 - 137.
8. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Мукутадзе М.А. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре упорного подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами // Проблемы синергетики в трибологии, трибоэлектрохи-мии, материаловедении и мехатронике: материалы VIII междунар. науч.-практ. конф. Новочеркасск, 2009. С. 14 - 23.
9. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Мукутадзе М.А., Копотун Б.Е. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре радиального подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами // Вестн. РГУПС. № 4, 2009. С. 133 - 139.
Поступила в редакцию
9 января 2014 г.
2
2
2 "3
2
r
r
