Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки

М.А. Мукутадзе, Б.М. Флек, Н.С. Задорожная, Е.В. Поляков, А.М. Мукутадзе

Задача об устойчивости работы однослойных и двухслойных пористых подшипников конечной длины рассматривались в работах [1-7]. Существенным недостатком указанных работ является то, что в них проницаемость пористых слоев считается постоянной и, кроме того, не учитывается источник подачи смазки (рис. 1). В рассматриваемом случае трудно обеспечить жидкостный режим трения, так как подшипник работает за счет запаса смазки лишь в порах пористого слоя.

В настоящей работе нами, с учетом анизотропии проницаемости пористого слоя и наличия принудительной подачи смазки, приводится расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения. Здесь вначале рассматривается случай, когда смазка принудительно подается в направлении оси Оу, а затем в осевом направлении. Проницаемость задается в виде (1) (рис.1):

^^у

К = Ае н . (1)

Здесь А - заданная постоянная величина; Н - толщина пористого слоя; X-безразмерный параметр, характеризующий распределение проницаемости в направлении оси Оу.

Рис. 1. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой Гидродинамический расчет рассматриваемого подшипника нами будет производиться при следующих допущениях [1,2].

1. Толщина пористого слоя считается малой по сравнению с радиусом подшипника и в конечной модели используется короткий подшипник. Уравнение, определяющее течение смазки, в пористой матрице представляется в виде

д2р* д2р* Л др*

= 0,

(2)

ду2 дг2 Н ду

где у, г - прямоугольные координаты (рис.1), р* - гидродинамическое давление в пористом слое.

2. Для определения распределения давления в пленке смазки между шипом и подшипником будем исходить из модифицированного уравнения Рейнольдса в рамках модели короткого подшипника [1] .

д (,_ 3 др

&Iк & І~=єц

(

Ср"] ёк Св л

Сь + с і — 2с — 2— I----------+ 2 — со%в

ь 1 т Сг) ёв Сг у

— 12Ц

1у=0 ’

(3)

где к = С(1 + єсоБв) - толщина пленки смазки, С - радиальный зазор, є -относительный эксцентриситет, в - угловая координата, р - давление в пленке смазки, ц - динамический коэффициент вязкости, соь ,ф ,ст - угловые

скорости соответственно подшипника, шипа и нагрузки, р - угол положения, г - время, у0 - компонента скорости в направлении у на внутренней границе пористого слоя, прилегающая к зазору:

Ал * Л

дp

у=0

где к - проницаемость материала пористого слоя.

Система уравнений (2)-(3) в случае подачи смазки через поры пористого слоя в направлении оси Oy решается при граничных условиях (рис. 1)

P = Р

при у = 0;

при у = -Н ;

Ь

Р = Р = Ра при ^ = - Р = Р = Ра

где У& - скорость подачи смазки, Ра - атмосферное давление.

В случае подачи смазки в осевом направлении граничные условия запишутся в следующем виде (рис.2, начало координат в этом случае выбрано в левом конце подшипника)

при * = Ь (5)

Р = Р

при у = 0;

др * ду

= 0

при у = -Н;

Р * = Р = Рн при г = 0 ; р * = р = рк при г = Ь . (6)

Здесь рн - давление в начальном сечении; рк - в конечном сечении.

Переход к безразмерным переменным.

В дальнейшем предполагается, что а>ъ = 0; соЬ = 0.

Перейдем к безразмерным величинам по формулам [1]:

Р* =-рС—, Р = -РС—, г = —, У = у; £ = —, Т = 0/; Ф = Щ

мії2®і мії2®і ь н с 1 с3

Тогда уравнения (2) и (3) принимают следующий вид:

2 п*

д2 Р дУ7

+ 41 —

НЛ2 д2Р*

Ь У д12

дР*

+ А—= 0 дУ

д2 Р* = 12 (Ь/1.) )2 д22 (і + £сов#)3

єіф - 2у ътв + ё соэв

+ ■

3Ф

(і + £СОБ^)31 Н

гр Л

VдУ У

(8)

(9)

где 1 = 2Я; точкой обозначено дифференцирование по Т.

*

*

2

У =0

Граничные условия (5) и (6), соответственно, примут следующий вид

дР

дУ

Р* = Р при У = 0; —— = -Ува при У = -1.

Р* = Р = Ра при г = -1; Р* = Р = Ра при г = 1; (10)

дР*

Р* = Р при У = 0; -= 0 при У = -1;

дУ

Р* = р = РН при г = 0; Р* = Р = Рк при г = 1, (11)

НС2 ~ раС ~ рНС2 ~ ркС2

где «=——, ра =-ta^, рн =^н^' рк =^к^-

кЯ а>1 а уЯ а>1 уЯ а>1 уЯ а>1

Перейдем к решению системы (8)-(9) с граничными условиями (10). Установим закон подачи смазки в виде

- Уа = с (г). (12)

Полагая толщину пористого слоя малой, уравнение (8) осредним по толщине смазочного слоя. Тогда уравнение (8) запишется в виде

-}(д2р* /нЛ2 д2р* ЛдР*^ Л (13)

+ 4V1 )-&-+Л1У) = °. (13)

Решение уравнения (13), удовлетворяющее граничным условиям (10), будем искать в виде

Р* = А1У3 + А2У2 + А3У + Ра + Р(г ,0). (14)

Подставляя (14) в (13), приходим к следующему уравнению

3 А1 - 2А2 -ХА1 + %А2 -%А3 + ^-Ь] V^ - А~ + ~А^- Р1*Л = 0 . (1 5)

Выполняя граничные условия (10), будем иметь:

А3 = С (і), 3 А1 - 2 А2 = 0,

| ЛА - С(2) + 4^--г) А- + С.-Р'^ = 0. (16)

Решение уравнения (16) можно найти после определения функции Р1, удовлетворяющей условию

д2 Р = 12(Ь /1 )2

д22 (1 + £соб^)3

+—зФ^сг)— . (17)

(1 + £«»*)■ Г1Л

Уравнение решается при граничных условиях

Р1 = 0 при 7 = ±1 (18)

п2

Полагая С2(7) = Дсоз—, с учетом граничных условий (18), для Р1

окончательно получим следующее выражение

(1 + єсо%в)

Ф&

біп# + £ соъв

2

22 V ^ ^У

л. . пг

12А0 соб— 2

(1 + есоъв)

г-'2

(19)

V Ь У

п

С учетом (19), уравнение (16) решается при граничных условиях

А2 = 0 при 7 = ±1.

При определении основных рабочих характеристик явный вид функций А1 и А2 нам не понадобятся.

Перейдем к случаю осевой подачи смазки (рис. 2).

Рис. 2. Радиальный подшипник конечной длины с двухслойной

пористой обоймой Решение уравнений (9) и (13), удовлетворяющих граничным условиям (11), будем искать в виде

Р = а2 + Ъ + Рх(7,0), Р* = А1У3 + А2У2 + А3У + а2 + Ъ + Р1. (20)

С учетом граничных условий (11), для определения А3 приходим к следующему уравнению

Л + 6 12Л

А32- р. = 0.

Функции А1 и А2 выражаются через функцию А3 в виде

1

1

A=4 i1+Л,

A A f 2

Константы a и b определяются выражениями

a = PK - PH , b = PH •

(22)

(23)

Решая уравнение (21) с граничными условиями А3 = 0, Р1 = 0 при I = 0, I = 1, для А3 получим следующее выражение

A =

12Л

Л + 6

P( Z ,0) = AiP( Z ,0).

(24)

С учетом (24), для определения уравнения Р(1,0) приходим к следующему уравнению

д2 P = 12( / Р )2 dZ2 (l + scos0)3

+ ■

30A1P

(25)

(1 + ^со^^ у /у

Решая уравнение (25) с граничными условиями Р = 0 при I = 0, I = 1, для Р1 окончательно получим следующее выражение

P =

ф-2 |sin0 + Scos0

ФА,

A, Z

JA, Z

-- 1

(26)

где A 2 =

3ФА,

A1 =

12Л

Л + 6

(1 + scos^ ^ /l)

Перейдем к определению усилий масляной пленки.

При неполном заполнении смазкой зазора область положительных давлений, ограниченная углами 01 и 02, определяются из условий

S cos 01 + scp sin 01 = 0;

Ssin02 -s(pcos01 >0,

02 = 01 + П •

В случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника через поры пористого слоя с заданной скоростью, усилия масляной пленки вычисляются интегрированием по положительной области распределения давления, определяемые формулой

e

e

уЯ V 101 + Г~ 1 уЯЧ

1 )[Ра + Р \cos0d0dI = ■ }

Ь 01 2

-1

0, +п

2Р -■

8( Ь / Б)2

(1 + £СОБ0)

е\ ф - 2 | БШ0 + В СОБ0

С2

48 А0

(1 + ВСОБ0)31 Н | П3

cos0d0;

Ь

~ 01 +п

т-)3 1 01+П т-)3

Р(Ф) = Я | |Рsin0d0dI = у:Ср-1 1[Р~г + Р\in6d6dZ = уЯ|а

Ь С2 С2

01 + П

X 1 <

2Ра -

8( Ь / Б)2

(1 + ВСОS0)

\Ф - 21 sin0 + Вcos0

48 А

(1 + ВСОS0)3 ГН I П3

sin0d0;

(28)

В случае осевой модели смазки

3_ 1 01 +П

( ) г г уЯ а 1 1Г Г 1

Р(Г) = Я| |Рcos0d0dI = 2 ; | Д(а1 + Ъ) + Р]cos6d6dI

С

уЯ3а} С2

01 +П

X

01

ф - Ц sin0 + £ cos0

Б ФА1

2(( -1) ,

Л ("+1)-.

cos0d0

(29)

3 _ 1 01 +п

Р(Ф) = я| |Рsin6d6dI = уЯ_р_ 1 |[(а1 + Ъ) + Р\in6d6dZ

С

01 +П

X 1 <

а

— + Ъ + • 2

ф - 1| sin0 + £ cos0

Б ФА1

2(( -1) 1

ТАГ (А1) \

cos0d0

(30)

В случае полного заполнения смазкой зазора и подачи смазки в направлении оси Оу будем иметь

Ь

2 2п

3„ 1 2п

С2

-10

уЯ а

~С2

3,, 2п

2Р_____8((Р^

(1 + ВСОS0)3

в|ф - 2]*п0 + Вcos0

48

А1+ВСо$0)3(НЬ)2п3

cos0d0

X

X

Ь 01 +П

X

0

0

2

Ь 01 +П

X

0

0

ь

2 2п

Е(ф) = Я | ’РьтШШІ = и!Ср_’’(р + р)пеао% =

3_ 1 2п

/иЯ Зю

С2

’

- Ь 0 2

2 Р -

С2

(1 + єсозв}3

1

є\ф - -\зіпв + єсозв

48 А

(і + є соб в}3 (ь) П

біп вів

Рассмотрим случай полного заполнения смазкой зазора и осевой подачи смазки. Используя формулу (26), будем иметь

2п

х {-,

0

4Н2

а

+Ь+

С оо

ф - ЦБІпв + єсозв

В ФА,

Е(ф) = Я’’РзіпШШІ = и'а_‘ ’ ’[(а2 + Ь) + Р]ШШ2

3 1 2п

С

2п

х Я

о

а

— + Ь + ■

1 Л

ф------1ЗІпв + Є соБ0

2у

В ФА,

2(1 -1}

ТАГ (( (+1} \

ияЗю;. С2

созвів

иЯ Зю;. С2

біп вів

(33)

(34)

Решение задачи на устойчивость

Безразмерные уравнения, определяющие движение шипа,

записываются в следующем виде

і2 є

ЕГ

іТ2 и МС

■ +

і2ф _ Еф

1

ґ л2

!и±

кии ґи, ^2

іТ2 и МС є

( Іф

соб ф + є| —

V іТ у

зіп ф-2 (

є і іТАіТУ

(35)

где М - масса ротора.

Е(Г) и Е(ф) - усилия масляной пленки, в случае неполного заполнения смазкой зазора они определяются формулами (27), (28), когда смазка подается перпендикулярно оси подшипника, и формулами (29) и (30) в случае осевой подачи смазки. Для случая полного заполнения смазкой зазора эти усилия определяются, соответственно, формулами (31)-(34).

-1 0

ь 2п

X

00

2

Ь 2п

X

о о

о о

2

2

Уравнения (35), определяющие движение шипа, решаются численно с учетом полученных данных (27)-(34). Компоненты ускорения

d 2s d2p

r ~ , ds dm

представляют собой явные функции параметров s, ф, —, —-

dT1 dT1

Vg, Ph , Pk , Ф

dT' dT' g’ H’ K'-X, 015 a, pa.

Уравнения (31) записываются в стандартной форме первого порядка и решаются с помощью метода, разработанного Гиром [7].

После получения решения уравнений движения, устойчивость рассматриваемого движения определяется визуально по графику. При заданных значениях выше указанных параметров, области устойчивости приведены на рис. 3-4. Здесь все точки, которые лежат ниже кривых устойчивости, соответствуют устойчивому движению шипа, а все точки, которые лежат выше кривых, соответствуют неустойчивому движению =4sic), где g - ускорение силы тяжести.

Из зависимостей, приведенных на рис. 3 и 4, следует, что:

1. Пористый подшипник как при осевой подаче смазки, так и при подаче перпендикулярно оси, работает более устойчиво, чем пористый подшипник, работающий без подачи смазки.

2. Площадь области устойчивости, в случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника, расширяется в сравнении с подачей смазки в осевом направлении.

3. В случае полного заполнения смазкой зазора и учета анизотропии проницаемости пористого слоя подшипник работает более устойчиво, чем при частичном заполнении смазкой зазора и при к = const.

Рис. 3. Схематическое изображение границ области устойчивости. Подача смазки в направлении оси Оу (У8 = 0,01; Ра = 0,02; е = 0,5; е = 0)

1 - Ф =0,03, Л =0,1; 2 - Ф =0,03, Л=0;

3 - Ф =0,03, Л =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);

4 - Ф =0,03, Л=0 (неполное заполнение смазкой зазора);

5 - Ф =0,01, Л =0,1; 6 - Ф =0, Л=0;

7 - Ф =0,01, Л =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);

8 - Ф =0,01, Л=0 (неполное заполнение смазкой зазора).

Рис. 4. Схематическое изображение границ области устойчивости Осевая подача смазки (Рн =0,04; Рк =0,03; е=0,5; е =0)

1 - Ф =0,03, Л =0,1; 2 - Ф =0,03, Л=0;

3 - Ф =0,03, Л =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);

4 - Ф =0,03, Л=0 (неполное заполнение смазкой зазора);

5 - Ф =0,01, Л =0,1; 6 - Ф =0, Л=0;

7 - Ф =0,01, Л =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);

8 - Ф =0,01, Л=0 (неполное заполнение смазкой зазора).

Литература:

1. Конри, Об устойчивости пористых радиальных подшипников. Конструирование и технология машиностроения / Конри, Кузано // Вестник Машиностроения.- 1974. - № 2. - С. 206-216.

2. Ахвердиев, К.С.,Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников / К.С. Ахвердиев, О.В. Муленко // Вестник РГУПС. - 2002. - № 3. - С. 5-7.

3. Кузано, Исследование коэффициента передачи упругой опоры качения в демпфере со сдавливаемой пленкой и пористой обоймой. / Кузано, Р.Е. Франк // Проблемы трения и смазки. - изд-во «Мир». - 1974. - № 1, - С. 54.

4. Ахвердиев, К.С. Разработка математической модели гидродинамического расчета конических подшипников. / К.С. Ахвердиев, Б.Е. Копотун // - Вестник РГУПС. - 2005. - № 3. - С 5-9.

5. Ахвердиев, К.С. Нестационарная математическая модель гидродинамической смазки сложнонагруженного составного конического подшипника с пористым слоем на его рабочей поверхности с учетом его конструктивной особенности. / К.С. Ахвердиев, С.Ф. Кочетова, М.А. Мукутадзе // - Вестник РГУПС. - 2009 - № 1. - С. 135-143.

6. Ахвердиев, К.С. Устойчивость движения шипа в коническом подшипнике с пористым слоем на рабочей поверхности. / К.С. Ахвердиев, Б.Е. Копотун, М.А. Мукутадзе // - Трение и износ. - 2007. - Т. 28. - № 4. - С. 361-366.

7. Gear C.W., Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations / C.W. Gear. - Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. - N.J., 1972. - С. 52.

S. Майба, И. А., Глазунов, Д.В. Теоретическое обоснование механизма смешанной (полужидкостной) смазки в контакте «твердый оболочечный смазочный стержень-колесо-рельс» [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012 г., №1 - Режим доступа:

http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/бб4 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

9. Дерлугян Ф.П., Щербаков И.Н. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического наноконструирования. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010 г., №4 - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/2S7 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

10. Reynolds, O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower”s experiments / O. Reynolds. - Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1SS6, vol. 177, pt. 1.