CC BY
11
УДК 621.3(084.2)
W ti i
НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРОЗАЩИТНЫХ УСТРОЙСТВ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОДВЕСОМ
P.M. Мустафина, Г.М. Мустафина
Павлодарский государственный университет / ^ им. С. Торайгырова
Мащлада к,ысым реттеуштщ шын мэшндвг1 сипаттамасын есепке ала отырып уйлес1мд'1К линеаризация adicin пайдалану барысындагы электромагнитпик \лщгш1термен сызьщтыц емес 6елсенд1 dipudeyden кррганыс цуралдарына талдау жасалган. Д1р1лдеуден цорганыс жуйесЫц Kepi байтные пйзбегшц баламальщ коэффициента аныцпалган, цурылгыныц орньиупы жумыс салалары аныцталган. Сызыцтын; емес буынды енгхзу жумыстыц орныцты салаларын кеципепйндш аныцталган; сызьщтыц емес dipüideydeH цорганые «¡урылгысы сызыцты цурылгысымен салыстырганда улкен орныцтылыц кррымен аныцталады.
В статье проведен анализ нелинейных активных виброзащитных устройств с электромагнитным подвесом при использовании метода гармонической линеаризации с учетом реальных характеристик регуляторов напряжения. Определены эквивалентные коэффициенты усиления цепи обратной связи системы виброзащиты, определены области устойчивой работы устройства. Установлено, что введение нелинейного звена расширяет область устойчивой работы; нелинейное виброзащитное устройство обладает по сравнению с линейным большим запасом устойчивости.
The article deals with analysis of non-linear active vibro-protective devices with an electromagnetic suspension in harmonious linearization methods usage accounting real characteristics of voltage regulators. The equivalent coefficients of amplification of vibro-protective systems feed back circuit andfields of devices stable work are pointed out in this article. It is shown that the introduction of non-linear section increases the field of steady work and a non-linear vibro-protective device in comparison with linear one possesses more stability margin.
)
1 80
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
Применение в активных виброзащитных устройствах упругих сил электромагнитного подвеса позволяет получить виброзащитные системы с высокими техническими характеристиками. Эти устройства нелинейны, поскольку нелинейны силовые характеристики электромагнитов и характеристики системы стабилизации электромагнитного подвеса. Анализ нелинейных режимов работы активных виброзащитных устройств с од-номассовым электромагнитным подвесом (рисунок 1) проведен с учетом реальных характеристик регуляторов
напряжения. Защищаемый от вибраций объект массы m подвешен в поле электромагнита ЭМ, установленного на основании, совершающем колебания y(t). Колебания (отклонения) подвешиваемого тела вдоль оси электромагнита - x(t), абсолютная координата, определяющая положение объекта массы m относительно земли. Напряжение и ток электромагнита в положении статического равновесия подвешиваемого тела - U I ;
о, о
переменные составляющие напряжения и тока электромагнита - u (t), i (t): S - воздушный зазор (рисунок 1).
Виброзащитное устройство с электромагнитным подвесом
Uo+U
///////////////
lo+i
2Г
0_
<
ЭМ
> >
>
У(0
x(t)
Рисунок 1
Выбор параметров активного виброзащитного устройства должен осуществляться таким образом, чтобы обеспечить эффективное гашение колебаний в заданной полосе частот внешних возмущений и достаточный запас устойчивости.
Выполнение условия обеспечения запаса устойчивости возможно при увеличении общего коэффициента усиления, однако, при этом напряжение на преобразователе, формирующем напряжение питания электромагнита. достигает уровня на-
сыщения (рисунок 2), то есть виброзащитное устройство является существенно нелинейным. На рисунке 2 и упр - напряжение обратной связи, управляющее напряжение на входе нелинейного элемента; и - напряжение на выходе преобразователя.
Проведем анализ работы активного виброзащитного устройства с учетом того, что преобразователь формирующего напряжения имеет нелинейную характеристику, определим влияние нелинейности в обратной связи на характеристики исследуемого устройства. Для устройства виброзащиты с одно массовым электромагнитным подвесом
Характеристика
управляющее напряжение формируется следующим образом:
= ад + РЗ', где а, Р - коэффициенты цепи управления по изменению воздушного зазора 3 и его скорости.
При исследовании нелинейного активного виброзащитного устройства используем метод гармонической линеаризации, применяемый при анализе режимов работы систем, на которые действуют гармонические воздействия. На входе исследуемого объекта гармонический сигнал
Нупр = А$\\лсо1. (1)
;гулятора напряжения
Рису
Вследствие того, что электромагнит обладает фильтрующими свойствами, то учитываем только первую гармонику нелинейного напряжения на выходе преобразовате-
эк 2
ля напряжения, и по методу гармонической линеаризации заменяем характеристику с насыщением соотношением
и = ц{А) иупр
1 82
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
Коэффициенты я(А) гармонической линеаризации для рас-
д(А) = к при - и0 < А< 1/0,
2 к
яЫ) = ~
агсБШ
сматриваемой нелинейности имеют вид [1]
(2)
при А >ио, (3)
то есть в зоне насыщения преобразователь заменяется линейным звеном с коэффициентом усиления д(А), величина которого уменьшается с ростом амплитуды.
Из анализа выражений (2), (3) следует, что нелинейность в цепи обратной связи приводит к тому, что уменьшается эквивалентный коэф-
фициент ц, зависящий от амплитуды А, в области насыщения, то есть возникает необходимость исследования влияния нелинейной обратной связи на виброзащитные свойства электромагнитного подвеса [2].
Линеаризованные уравнения обмотки электромагнита и его силы тяги в операторной форме имеют вид
(4)
где И. - сопротивление обмотки электромагнита; - индуктивность, соответствующая точке равновесия тела массы т, подвешиваемого ^в поле электромагнита; а = 2Ктт - коэффициент; К - кон-станта, определяемая из условия статического равновесия; с)0 - воздушный зазор в положении статического равновесия; - коэффици-
0
ент; а и Ь - коэффициенты линеаризации уравнений в окрестностях точки установившегося режима.
(5)
По методу гармонической линеаризации характеристика рис. 2 заменяется следующим выражением:
= с](Л)иупг1<>),
(6)
где </( А) определяется согласно выражений (2), (3). Дополняя уравнения (4-6) уравнением движения механической системы
тХ^2
определим передаточную функцию системы
И'М =
ад _ \д{А)аР + йл-Ыь\ я + д(А)аа-ЬК У(з) тЦя3 + Ят? +[ар д(А) + а2-Ьц] ¿ + д(А)аа-ЬЯ
Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы запишется в виде
тЦя3 + Ягги? + + -Ьц] э + д(А)аа-ЯЬ=0, (7)
либо аз^3 + а282 + + а0. = 0.
Согласно критерию устойчивости Гурвица для систем третьего порядка должны выполняться следующие условия:
д3 > 0, а2>0, я,>0, а0 > 0, а2а{ > а3а0,
ЯЬ ЬЦ-а2 0 Ц)ад(А)-аЯ
то есть «>—Р> , ,, - Р> ' -• (8)
ад(А) ад{ А) Яд{А)
Так как величина коэффициента линеаризации ц(А) ограничена следующими пределами:
0 < д < к,
то условия устойчивости (8) для исследуемой системы примут вид ЯЬ Л ЬЦ. - а2 Л Цак-аЯ
а>~Г> Р>—1-' Р>-ш-•
ак ак Як
Заменим б \\ъ ')со в уравнении (7)
[д{А)а а -ЯЬ-со2Яп\ + )со [сф д{А) + а2-ЬЦ-а>2тц\ = 0,(9)
выделив в уравнении (9) вещественную и мнимую части, получим уравнения для определения периодического решения (1) для входной величины преобразователя напряжения
Х(А,со) = д(А)аа - ЯЬ-со2Ят= 0, У(А,со) = (аА д{А) + а2 -ЬЦ -со2 тЦ)со = 0. (10)
Решая систему уравнений (10), определим частоту со периодического решения через параметры системы и найдем выражение для нахождения эквивалентного коэффициента усиления q (А)
Ь(а Ь-ЯВ)-о2а , аЯ
со =-=5-—-, д(А) =
т{р Я-а Ц) Са Ц>~ЯР) (11)
Подставив в выражение (11) соотношения (2), (3) получим формулу, связывающую амплитуду периодического решения А с параметрами системы
¿к, ип ип |4 и„ . а/\
(12)
2к. . и0 и0 I и0\ аЯ
— (агс эт — + — Л1--^ =-
п А А\ А2 а Ц-Яр
Для определения значения критического коэффициента усиления 1<Ч) , который определяет границу устойчивости системы и область автоколебаний. в формуле (12) принимаем А = и 0 и получаем
аЯ
А. — ,
а Ц,- Яр
то есть автоколебания возникают при к > к .
Определим условие границы устойчивости линейной системы, считая в системе уравнений (10) ц(А) = к:
касс - ЯЬ-со2 Ят= О, ка/3 + а2 -ЬЦ - со2тЦ = 0.
Откуда следует, что аЯ
/с7, =
а^-Яр
(13)
То есть А'7, = к , исходя из этого граница области устойчивости определяется следующими равенствами:
а =
ЯЪ
аК.
Р =
к -аЯ
Як
Значение ккр определяется по соотношению (13) при подстановке в него граничных значений а,р линейной системы.
Отсюда следует вывод, что при к < к = к1г активное виброзащитное устройство является устойчивым как в линейной части характеристики, так и в нелинейной (рисунок 2). При к > ккр виброзащитное устройство работает как нелинейное в ав-
токолебательном режиме с определенной амплитудой, в то время как в линейной системе при этом условии (к > к1Р ) возникли бы расходящиеся колебания, то есть введение нелинейного звена расширяет область устойчивой работы устройства, нелинейное виброзащитное устройство обладает по сравнению с линейным более большим запасом устойчивости (рисунок 3).
Область устойчивой работы нелинейного ВЗУ
м
Рисунок 3 ЛИТЕРАТУРА
1.Попов Е.П. Автоматическое 2.Коловский М.З. Автомати-
регулированиеи управление. М.:На- ческое управление виброзащитными ука, 1966.- 388 с. системами. М.: Наука, 1976. - 317 с.
