CC BY
8
т т
т
¡ш
Ш,
В
ш.
■
I»
Ш.
Ш Мацалда электромагниттж шглштт цурылгыныц басцару
жуйесМц оптимизациялау критерию анъщталады.
и
— мяк
ж
УДК 519. 71
И КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ УСТРОЙСТВ
С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОДВЕСОМ
P.M. Мустафина, Г.М. Мустафина, А.Х.Коккозов
И Павлодарский государственный университет
ШШ
им. С. Торайгырова
||| В статье определены критерии оптимизации системы
¡111 управления устройств с электромагнитным подвесом.
The article determines the criteria for optimization of the control system for devices with electromagnetic suspension.
К задачам создания оптимального виброзащитного устройства на основе электромагнитного подвеса относятся:
- разработка оптимального регулятора управляющего напряжения при любых видах возмущений (случайных и детерминированных);
- разработка универсальных самонастраивающихся виброзащитных устройств;
- определение способов предсказания наиболее неблагоприятных внешних возмущений.
Критерии оптимизации системы управления активных виброзащитных устройств с электромагнитным подвесом исследовались с учетом ограниченности диапазона регулирования напряжения на электромагните (рисунок 1), а также исследование проводилось в пределах линейной модели активного устройства виброзащиты при помощи метода динамического программирования Беллмана-Летова [1].
Исследовавшаяся управляемая система в общем виде описывается следующим векторным дифференциальным уравнением:
»1
где
X,
и,
л, (;=1-я) - фазовые координаты активного виброзащитного устройства, и М = ]- -т)- управляющие силы с учетом ограничений вследствие того, что напряжение на преобразователе, питающем электромагнит может достигнуть насыщения (рисунок 1).
На рисунке 1 и упр - напряжение обратной связи, управляющее напряжение на входе нелинейного элемента; и - напряжение на выходе преобразователя.
Цель проведенной оптимизации заключалась в определении такого закона управляющего воздействия Сц), который обеспечивает минимум функционалу, зависящему от координат защищаемого объекта и управления,
который может быть функцией любого вида, но на практике функционал чаще имеет квадратичную форму. В выражении (2) - скалярная функция фазовых координат • и управляющих воздействий «,-«„•
<1
'о
(2)
и
Иупр
Рис. 1
Минимальное значение функционала (2) является функцией Бел-лмана Ф(х). Первое функциональное уравнение Беллмана определяется формулой
Ш1П
Н<|у
= 0.
(3)
Для выполнения поставленных условий минимизации функционала качества (2) мы должны иметь
ди
о)
ав О,
(4)
Уравнение (4) - второе функциональное уравнение Беллмана, Совместное решение уравнений (3), (4) дает искомый оптимальный закон формирования управляющего воздействия £7(0>ПРИ котором устройство активной виброзащиты с электромагнитным подвесом будет устойчиво и будет обеспечен минимум функционала качества (2).
///////////////
или
у(0
Х(0
Рис.2
На рисунке 2т- защищаемый от вибраций объект; ЭМ - электромагнит, установленный на основании, колебания которого у(0; х(1;) - колебания (отклонения) подвешиваемого тела ш вдоль оси электромагнита (абсолютная координата объекта массы гп относительно земли); 11о 1о - на-
пряжение и ток электромагнита в положении статического равновесия подвешиваемого тела, и (1:), \ (Ч) - переменные составляющие напряжения и тока электромагнита; 5 - воздушный зазор.
Запишем уравнения активного виброзащитного устройства с одномас-совым электромагнитным подвесом (рисунок 2)
I тх = -<и + Ь8,
\т + г--а3 = и({), ^
I Л у '
где Я - сопротивление обмотки электромагнита; § - ускорение свободного падения; л, - сила тяги электромагнита; у - потокосцепление обмотки электромагнита.
Линеаризованная система уравнений движения и электродинамического равновесия обмотки электромагнита имеет вид
тх = -
(6)
где Ь0 - индуктивность, соответствующая точке равновесия тела массы т, подвешиваемого в поле электромагнита; а = - коэффициент; К - константа, определяемая из условия статического "равновесия; 50 -воздушный зазор в положении статического равновесия; ь = -
коэффициент; а и Ь - коэффициенты линеаризации уравнений в окрестностях точки установившегося режима. Введем новые обозначения х,=г,
х4=—; т=—■, в ш - у; у(1) - детерминированное внешнее воздействие;
л к
1 у > л я
С учетом этого система уравнений (6) примет вид
X|
т т
Тх,+х,= — 8 + = [(и). 4 ^ Я Л У К '
(7)
Последнее равенство с учетом ограничений на управление записывается следующим образом:
ы<|[/|, /(и)<К+р\.
90
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
Функционал минимизации (2) с учетом системы линеаризованных уравнений (7) представим в виде квадратической функции
Первое слагаемое критерия минимизации, зависящее от перемещений подвешенного тела, ограничивает время переходного процесса и колебания объекта виброзащиты; второе слагаемое подынтегрального выражения (8) накладывает ограничение на величину перерегулирования. Третье слагаемое, зависящее от тока электромагнита, учитывает энергетические затраты в виброзащитном устройстве с электромагнитным подвесом. Ограниченность ресурсов системы управления учитывается четвертым слагаемым критерия, зависящим от управляющей функции. Весовые коэффициенты ¿„¿,,^,¿,(0 з ¿, <, 1) выбираются в зависимости от требований, предъявляемых к устройствам виброзащиты. Из условия обеспечения минимума функционалу качества (8) следует, что чем меньше величины весовых коэффициентов а, , тем меньше значение функционала (8), но с другой стороны, например, при £ - о перерегулирование в системе виброзащиты может быть большим, следовательно, исходя из условия уменьшения перерегулирования в активном виброзащитном устройстве с электромагнитным подвесом значение этого весового коэффициента нужно брать близким к 1.
Но необходимо отметить, что не существует определенных рекомендаций по выбору величин весовых коэффициентов; обычно они определяются из требований, предъявляемых к разрабатываемому устройству, либо задаются в техническом задании. Однако, даже в том случае, когда существуют трудности в выборе точных значений величин весовых коэффициентов, полученные результаты аналитического конструирования оптимального регулятора позволяют определить оптимальную структуру системы управления, тем самым обеспечивается оптимальная система виброизоляции объекта. Запишем функциональные уравнения Беллмана для исследуемого устройства, описываемого системой уравнений (7)
<1
(В)
г ч п аФ 1
(Ю)
Из последнего уравнения (10) следует, что
г/ ч Т дФ
После подстановки найденного выражения для функции Г (и) (11) в уравнение (9) получим дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции Беллмана ф = фц,*,,*,)-.
л г 1 г 1 г 1 (сФ\2 5Ф с/,.гг + й?,х:--' — +—х7 +
11 2 - 3 3 сЦ 2
а й ь ^ п ....
+ —--х3 + —^--у =0 (12)
дх2\ т т т )
Так как рассматриваемая система уравнений линейна, а функционал качества является квадратическим, то одно из частных решений уравнения (12) можно представить в квадратичной форме с неизвестными коэффициентами:
Ф = Апхл + А22х2 + А33х3 + Апх1х2 + А13д^хз + А23х2х3 (13)
С учетом выражения (13) уравнение (12) записывается следующим образом:
с/,х2 + (12х\ + С13х; - —-(2А33х3 + А]3хх + А23х2) + (2АХ ¡х, + А12х2 + Д3х3) х2 +
ч
' а
-(2А22х2 + А12х1+А23Хз)--х3 + —х,--у =0. П4)
V т т т ) 4
Используя метод неопределенных коэффициентов для искомых значений коэффициентов \ представим уравнение (14) в виде системы алгебраических уравнений для определения этих коэффициентов:
+ 0;
4Й?
с/.
1 Ь
2</,
"" Дз Дз + Дз ~~ ^ ~ Ф
т
ДзДз ~ Д2 + Дз — ~
/И
(15)
(~2А22Х2 -А,2ХХ )—у = 0.
т
Решив систему уравнений (1.5), получим выражение для частного решения уравнения (12)
(16)
что позволяет из уравнения (11) определить оптимальное значение функции
у
/(Ы) = Х3--7=^X3,
V 4
обеспечивающее минимум критерию оптимальности (2). Минимальное значение функции Беллмана с учетом наложенного на управление ограничения \/(и)\<в получается при подстановке в первое функциональное уравнение Беллмана (3), (9) функции (16) и минимального значения управляющего воздействия /(и)Ыа = -я
Исходя из вышеизложенного, искомый оптимальный закон управляющего воздействия определяется следующим образом:
и<\11\
Принимая ш 1 ( й, может принимать любое значение), получаем линейный закон регулирования
и = х3{к-Ь0^)-а(х1- >) = г(/?-1аЛ/йГ)-а(х-у).
и=х,(к-10^)-а(х,-у) = 1(к~Ц^Г3)-а(х-у). (18)
Вследствие того, что из системы уравнений (6) следует, что ток ; определяется соотношением
Ь8 ~ тх а
то оптимальный закон регулирования управляющего воздействия представляется следующим образом:
и = а* 6 + /3*3 + у'х, (20)
ще се — —-¿, р «я, г =—-
а а
Таким образом, полученные выражения (18), (19), (20) позволяют определить оптимальные значения коэффициентов а\р\у'. Кроме того, формула (18) определяет структуру оптимального управляющего устройства. Численные значения оптимальных величин коэффициентов а\у получаются на границе области устойчивости устройства, то есть создание абсолютно оптимальной системы невозможно, поэтому решением поставленной задачи выбора критериев оптимального управления будем считать создание субоптимального виброзащитного устройства, параметры цепи управления которого берутся исходя из условия обеспечения устойчивой работы активного виброзащитного устройства с электромагнитным подвесом и близкими к оптимальным значениям [2].
94
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТА- -
ЛИТЕРАТУРА
1. Боднер В.А. Теория автоматического управления полетом. - М. Наука, 1964 - 698 с.
2. Бесекерский В.А.-Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976 - 576 с. ____
