Нелинейное мультиплексирование квадратурных пар бинарных сигналов с произвольными весами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Теория сигналов

УДК 62-50:519.216

Ф. В. Игнатьев, В. П. Ипатов Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина)

Нелинейное мультиплексирование квадратурных пар бинарных сигналов с произвольными весами

Проанализировано нелинейное уплотнение в общем стволе двух поднесущих, модулированных квадратурными парами бинарных сигналов с произвольным соотношением интенсивностей синфазной и квадратурной составляющих. Получены выражения для весов полезных и комбинационных продуктов в нелинейном мультиплексе, энергетических потерь и закона изменения фазы поднесущей. В качестве критериев оптимальности использованы минимум энергетических потерь либо максимум слабого полезного компонента.

Глобальные навигационные спутниковые системы (ГНСС), ГЛОНАСС, GPS, дальномерные сигналы, кодовое разделение (CDMA), AltBOC

Стремление к унификации как уже существующих (GPS и ГЛОНАСС), так и планируемых к развертыванию ("Galileo", QZSS) спутниковых навигационных систем стало причиной переориентации системы ГЛОНАСС в прежних частотных диапазонах на платформу CDMA [1]. Как вероятный будущий шаг на пути конвергенции систем GPS и ГЛОНАСС может рассматриваться передача сигналов последней не только в "своих" диапазонах, но так же и на частотах L1 и L5 GPS. Естественно при этом стремление объединить сигналы смежных частотных диапазонов в едином стволе, работающем на общую антенну. С точки же зрения энергетической эффективности оконечного усилителя передающего тракта объединенный сигнал должен быть свободным от амплитудной модуляции. Доступным инструментом решения данной проблемы является модуляция AltBOC, принятая за основу в диапазоне E5 европейской системы " Galileo [2]. Суть последней состоит в алгебраическом сложении квадратурных пар сигналов на цифровых поднесущих с последующим выравниванием амплитуды суммарного сигнала. В каждой из пар синфазная составляющая отведена коду, манипулированному данными, а квадратурная - смодулированному пилотному сигналу. Формирование однополосных

1 http://ec.europa.eu/enterprise/policies/satnav/galileo/files/ galileo-os-sis-icd-issue1-revision1_en.pdf

© Игнатьев Ф. В., Ипатов В. П., 2013

поднесущих предполагается цифровым методом. Исходный групповой сигнал, получаемый суммированием названных поднесущих, модулирован по амплитуде. Способ выравнивания амплитуды, продвигаемый в спецификации "Galileo", состоит в добавлении к сигналу комбинационного компонента. Подобная компенсация амплитудной модуляции эквивалентна обычному амплитудному ограничению суммы поднесущих с сохранением ее текущей фазы. Вследствие нелинейности подобной операции часть излучаемой космическим аппаратом энергии (14.64 %) затрачивается впустую, не участвуя в навигационных измерениях и к тому же создавая дополнительные помехи [3]. В исходной версии AltBOC информационный и пилотный компоненты имеют равные веса2. На практике, однако, в пилотный сигнал нередко требуется вложить большую долю мощности, чем в компонент, несущий навигационные данные (см., например, [6], [7]). В настоящей статье идеи AltBOC обобщены на случай мультиплексирования сигналов с произвольным соотношением интенсивностей синфазной и квадратурной составляющих.

Энергетические потери при нелинейном уплотнении. Пусть четыре бинарные последовательности символов {+1}, обозначенных как а, Ъ, c, d соответственно, объединяются по правилу

2

Подробный анализ оригинальной версии AltBOC можно найти

в работах [3]-[5].

3

S (t ) = (a + jab )exp [ jy(t)] + + (c + jad )exp [-j'9(t)],

(1)

где a> 1 - множитель, учитывающий неравновесность уплотняемых компонентов; ф(t) - текущая фаза поднесущей с периодом T. Амплитудное ограничение комплексной огибающей (1) имеет результатом колебание

Y(t) = exp [ j arg S (t)] = a exp [ jф(t )]x x exp (j arg jl + jab + (c + jad )exp [-j 2ф(t)], (2)

в котором бинарные произведения ab, ac, ad для краткости переобозначены как b, c, d.

В ограниченном по амплитуде групповом сигнале (2) присутствуют как полезные слагаемые, обусловленные исходными бинарными последовательностями, так и комбинационные продукты. Разделение (2) на указанные компоненты осуществляется разложением в ряд Уолша, коэффициенты которого можно найти статистическим усреднением по символам всех бинарных последовательностей, полагаемым случайными и независимыми [8]. Так, вес последовательности символов в колебании (2) можно рассчитать как

корреляцию pa = Y (t) a или с учетом (2)

Pa = exP (7'ф)х xexp j j arg [l + jab + (c + jad )exp (-j 2ф)]|, (3)

где верхняя горизонтальная черта соответствует статистическому усреднению по символам всех объединяемых последовательностей, а аргумент t текущей фазы для краткости опущен.

Для вычисления математического ожидания комплексной экспоненты в (3) обратимся к рис. 1, где показаны слагаемые ее показателя на комплекс -ной плоскости. Из рис. 1 следует, что проекции x, y на действительную и мнимую оси суммы

Im

ab

Re

1 + jab + (c + j ad) exp (-j 2ф) (4)

составляют, соответственно,

x = 1 + c cos (2ф) + ad sin (2ф); y = ab - c sin (2ф) + ad cos (2ф),

так что косинус и синус аргумента ya суммы (4) определятся как

cos ya =[1 + c cos (2ф) + ad sin (2ф)]/ Q; (5)

sin ya = [ab - c sin (2ф) + ad cos (2ф)]], (6)

где

Q = {2 [(1 + a2 ) + (c + a2bd) cos (2ф) + +a(d - bc)sin (2ф)]} .

Из бинарности символов следует, что bd = ±c.

Если bd = -c, a2bd + c = (1 -a2)c и в силу равенства b (bd) = -bc, означающего, что bc = -d, получим d - bc = 2d. В противоположном случае bd = c имеем b (bd)= bc, т. е. bc = d, d - bc = 0. В предположении, что случайные переменные b, c, d независимы и принимают значения ±1 с равной вероятностью, каждое из равенств bd = ±c имеет место с вероятностью 1/2, а значит, математические ожидания выражений (5) и (6) определятся следующим образом:

- 1 (1 + c cos (2ф) + ad sin (2ф)

cos Va = - j-^-— > +

1 1 + c cos (2ф) + ad sin (2ф)|

42

(7)

—- 1 (acd - c sin (2ф) + ad cos (2ф)

sin Va = 2 j--— > +

1 -acd - c sin (2ф) + ad cos (2ф) + 2

0.5

42

где 41 = {2 (1 + a2 + c cos (2ф)]} q2 ={2 [(1 + a2) +

+c(1 - a2 ) cos (2ф) + 2ad sin (2ф)]|

(8)

0.5

c

Рис. 1

а усреднение выполняется по независимым бинарным переменным с и d, равновероятно принимающим значения +1. Непосредственно из рис. 1 и из (7), (8) можно видеть, что приращение

+

2

р |2 =(cos Vé ) +(sin Vé ) =

= — {2а2/(l + а2) + (2а W1 + а2 )/ (Vi + а2) х 16

х [2 + sign (а cos ф - sin ф) + sign (а sin ф - cos ф)]}. (10)

Доля мощности, которая уйдет в бесполезные комбинационные продукты, может быть рассчитана как L (ф, а) = 1- 2|ра |2 - 2|ръ |2, которая после подстановки (9), (10) запишется в виде

угла 2ф на % равносильно замене бинарных символов на противоположные, что при принятых предположениях не изменит средних значений (7) и (8). Поэтому как функции угла ф указанные

средние периодичны с периодом %/2, а значит, можно ограничиться рассмотрением их значений при ф е [0, %/2]. Тогда с учетом равенства вероятностей всех четырех комбинаций (++), (+-), (- +) и (—) знаков c и d из (7) и (8) следует

- 1 Г sin ф + cos ф

cos = -J-, +

4 [ лА+<*■

cos ф 2

sin ф

2

[l + sign (cos ф - a sin ф)] + [l + sign (sin ф - a cos ф);

—- 1 f cos ф-sin ф

sinWa = T<^-■ +

4 I Jl + a

cos ф h--

2

sin ф

2

[l + sign (sin ф - a cos ф)] -

[l + sign (cos ф - a sin ф)),

где

sign x =

l, x > 0; -l, x < 0.

^ L Vi + a2

+ (sin 9)/2 [l + sign (a cos 9 - sin 9)] -- (cos 9/2 [l + sign (a sin 9 - cos 9); 1 I a(sin 9 + cos 9)

sin Wb =

4 1 il + a2

+ (sin 9)/2 [l + sign (a sin 9 - cos 9)] + + (cos 9/2 [l + sign (a cos 9 - sin 9);

В итоге мощность компонента {a} в групповом сигнале (2)

|Pa |2 = (cos Va )2 + (sin Va ) =

=—{2/ (1 + а2 ) + (( + а2 + 2УЫ1 + а2 )х 16

х [2 + sign (cos ф - а sin ф) + sign (sin ф - а cos ф)]}. (9)

Подобным же образом для веса последовательности {Ъ} в составе (2) ръ = Y(t) Ъ получим

- 1 |a(sin ф- cos ф)

cos Vé = —■i —^—, —- +

т( ) , l L l + a 2 + >/l + az L (ф, a) = l--< 2 + , ■ +-, x

l

/l+a 4\i+a

x [sign (cos ф-a sin ф) + sign (sin ф-a cos ф)] +

2a + Vl + a +-, —x

4л/1

+ a

x [sign (a cos ф - sin ф) + sign (a sin ф - cos ф)]}.

Последнее соотношение можно преобразовать к виду

L (ф, a) =

Vl + a2 -a l

=—, arctg—< ф < arctg a;

2\/l+a

(

l-

l + a ^

2лЛ+a

a

, 0<ф<arctg-, (ll)

a

arctga < ф < —.

Подобным образом можно представить и соотношения (9) и (l0):

IPa |2 =

l l --г-, arctg—< ф < arctg a;

i(l + a2 ) a

3 + a + 2\/l + a

l

l6

(l + a2 )

0 < ф < arctg—,

a

arctga < ф < —,

|pb |2 =

l 2a2 + 2aVl + a2 +1 l

----, arctg— <ф< arctg a;

8 l + a2 a

l 3a2 + 2<Wl + a2 +1

l6

l + a2

0 <ф< arctg—,

a

arctga^<—.

2

и

С учетом последних равенств выражение

2 _ аои _

!/|

Ра

для отношения мощностей сильного и слабого компонентов примет вид

а21Й

2а2 + 2а V1 + а2

+1, аг^— <ф< аг^ а;

а

3а2 +

2ал/1

+ а2 +1

а2 + 2^1 + а2 + 3

0 <ф < апЛ§—,

а

аге1§а<ф<—.

(12)

На рис. 2, а, б приведены зависимости показателей Ь и аои^ соответственно, полученных по верхним строкам соотношений (11) и (12), от параметра а. Аналогичные зависимости, полученные по нижним строкам (11) и (12), приведены на рис. 3, а, б.

Интерпретация результатов. Соотношения (11) и (12) показывают, что требования минимизации энергетических потерь и максимизации мощности слабого полезного компонента противоречат друг другу. Первое выполняется при фе[аге1§ (1/ а), аг^ а], второе - в области

фе[0, аг^ (1/ а)) и (аг^ а, тс/ 2]. Таким образом,

диапазон углов фе[0;тс/2] разбивается на две непересекающиеся области (рис. 4) (заштрихованная

Ь

0.14 : 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

а, дБ Рис.

0.18 0.17 0.16 0.15 0.14

4 6

а

область отвечает минимуму энергетических потерь).

Из соотношений (11), (12) можно видеть, что минимизация потерь достигается в обмен на глубокое подавление слабого полезного компонента на выходе амплитудного ограничителя. Так, уже при а_ 1.25 (т. е. меньше 2 дБ) равенство (12) дает для выходного отношения мощностей слабого и сильного компонентов число, превышающее 9 дБ (см. рис. 2, б). Поэтому минимизация энергетических потерь при неравновесном объединении компонентов лишена практического смысла, и руководствоваться следует критерием максимума мощности слабого компонента, выбирая значение мгновенной фазы, принадлежащее неза-штрихованной области на рис. 4. При выборе закона изменения ф( t) учтем, что все полученные ранее зависимости имеют период повторения по углу ф, равный тс/2 или, эквивалентно, период по t, равный Т/4. При этом полуинтервал [0, Т/4) можно разбить на два полуинтервала: [0, Т/8) и [Т/8, Т/4) так, что для первого значение фазы ф(/)е[0, агС£(1/а)), тогда как для второго ф^)е(агС§а, тс/2]. Таким образом, закон изменения мгновенной фазы ф^) на периоде поднесущей запишется в виде

аоиЬ дБ 15

13

11

9 7

а, дБ

2

аоиЬ дБ

4-

0

а, дБ Рис. 3

1-

а, дБ

б

Ь

3

2

2

б

а

ж/ 2 - 2arctg (1/ а)

, arctg (1/а)

Ф(? ) =

Рис. 4

Ф1 + к ж/2, ф1 е[0, arctg (1/а)),

t е[2кТ/8, (2к + 1)Т/ 8 ), к = 0, 1, 2, 3;

Ф2 + к ж/2, ф2 е(arctg а, ж/2],

t е[(2к + 1)7У8, (2к + 2)Т/8), к = 0, 1, 2, 3.

Рассмотрим два типичных для практики случая:

2 2 аои1- _ 2 дБ и аои1- _ 3 дБ. При этом результаты

решения (12) относительно а составят а_ 1.6 и 2.2 соответственно, причем значения мгновенной фазы ф должны быть выбраны из полуинтервалов [0 , 32 ), (58 , 90 ] в первом случае и

[0 , 26.57 ), (63.43 , 90 ] - во втором. Положив ф _тс/8 и ф2 _ 3тс/8 в обоих случаях, для закона изменения мгновенной фазы ф^) получим

ф^ )_тс/ 8 + к тс/ 4, t е [ кТ/ 8, (к + 1)Т/ 8),

к _ 0, 1, ..., 7. (13)

Соотношение (13) описывает закон изменения мгновенной фазы цифровой поднесущей А№ОС

[3]. Однако в рассмотренных случаях энергетиче-

2

ские потери составляют 15.55 % при аои1- _ 2 дБ 2

и 16.9 % при аои^ _ 3 дБ, что, соответственно, на 0.91 и 2.36 % больше аналогичного значения для А№ОС. Подобное возрастание потерь должно рассматриваться как плата за неравновесность компонентов в объединяемых квадратурных парах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. ? с.

2. Ярлыков М. С. Комплексные меандровые псевдослучайные последовательности и AltBOC-модуля-ция в спутниковых радионавигационных системах нового поколения // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56, № 2. С. 191-202.

3. Игнатьев Ф. В., Ипатов В. П. Комбинационные продукты при нелинейном мультиплексировании квадратурных пар бинарных сигналов с произвольным разносом по частоте // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 6. С. 3-11.

4. Shivaramaiah N. C., Dempster A. G., Rizos C. Time-multiplexed offset-carrier QPSK for GNSS // IEEE Trans.

F. V. Ignatiev, V. P. Ipatov Saint-Petersburg electrotechnical university "LETI"

Nonlinear, arbitrary-weight multiplexing of quadrature pairs of the binary signals

The operation of nonlinear multiplexing in the common trunk of two subcarriers modulated by the binary-signal pairs with an arbitrary ratio between in-phase and quadrature component powers. The equations are derived for the weights of useful and combination terms in the non-linear multiplex as well as energy loss and subcarrier waveform. The optimality criteria accepted are energy loss minimum and weak output component maximum.

Global satellite navigation systems (GNSS), GLONASS, GPS, ranging signals, code division (CDMA), AltBOC

Статья поступила в редакцию 7 ноября 2013 г.

on aerospace and electronics systems. 2013. Vol. 49, № 2. P. 1119-1138.

5. Qin C., Lv J., Li Y. Research of AltBOC modulation // 12th IEEE Int. conf. on communication technology (ICCT). Nanjing, China, Nov., 11-14, 2010. P. 925-929.

6. Fontana R., Cheung W., Stansell T. The modernized L2 civil signal // GPS World. 2001. Vol. 11, № 9. P. 28-34.

7. Tran M. Performance evaluation of the new GPS L5 and L2 civil (L2C) signals // Navigation. J. of the Inst. of navigation. 2004. Vol. 51, № 3. P. 192-212.

8. Базаров И. Ю., Ипатов В. П., Самойлов И. М. Анализ интерференционных эффектов при нелинейной обработке суперпозиции шумоподобных сигналов// Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 5. С. 612-616.