Модуляция с непрерывной фазой при наличии памяти: аддитивное разложение и спектральная эффективность Текст научной статьи по специальности «Физика»

Теория сигналов

УДК 621.376.32

Ф. В. Игнатьев, В. П. Ипатов, А. Б. Хачатурян

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Модуляция с непрерывной фазой при наличии памяти: аддитивное разложение и спектральная эффективность*

ние частотно-модулированного сигнала с непрерывной фазой с памятью к аддитивной сумме фазомодулированных компонентов, содержащей наряду с полезными составляющими комбинационные продукты. Показано, что введение памяти, эквивалентное наложению чипов в квадратурах манипулированного сигнала, существенно сужает спектр по отношению к классической минимальной частотной модуляции.

Частотная модуляция с непрерывной фазой, минимальная частотная модуляция, частичный отклик, спектрально-эффективные сигналы, ряд Уолша, спутниковая радионавигация

Настоящая статья продолжает публикацию [1], в которой показано, что суммирование квадратурных потоков перекрывающихся чипов с последующим амплитудным ограничением эквивалентно модуляции с непрерывной фазой (МНФ) с памятью. Смысл применения указанной сигнальной конструкции состоит в сужении спектра по сравнению с классической минимальной частотной модуляцией (МЧМ) за счет удлинения чипов при одновременном допущении их наложения друг на друга, что позволяет сохранить постоянство длины манипулирующей последовательности без увеличения реального периода сигнала, т. е. без нарушения компромисса между качеством кодового разделения и скоростью передачи данных в системах CDMA (к таковым, в частности, относятся системы спутниковой навигации типа GPS или ГЛОНАСС).

Как установлено в [1], МНФ-сигнал с памятью L — 2 (когда мгновенная фазовая траектория сигнала определяется единственным предшествующими символом) можно свести к виду

S(t) = ехр[уargt ], (1)

Л, / = £ «Л t-2/5 + j £ Л,Л0 1-2/6-6 , (2)

7 =—00 7 =—СО

причем ctj , bj , щ, bj-± 1, /' = ..., -1, 0, 1, ... - бинарные последовательности; S$ t - одиночный чип длительностью А = 35.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (Государственный контракт №14.740.11.1325 от 27 июля 2011 г.). © Игнатьев Ф. В., Ипатов В. П., Хачатурян А. Б., 2012 3

Нелинейность нормировки в (1) приводит к образованию комбинационных (паразитных) составляющих в виде произведения кодовых последовательностей, отнимающих на себя часть полной мощности сигнала и создающих дополнительные помехи. Далее в настоящей статье представлена методика разложения (1) в суперпозицию, явно локализующую полезные и паразитные компоненты, а также получены соотношения для расчета эквивалентной формы чипов и мощности всех составляющих указанного разложения. В итоге получена оценка спектральной эффективности рассмотренного формата модуляции.

Разложение сигнала МНФ в базисе Уолша. Сведение сигнала (1) к упомянутой суперпозиции базируется на общей методологии анализа комбинационных продуктов нелинейного объединения фазоманипулированных последовательностей, предложенной в [2]. В любой фиксированный момент времени t сигнал (1) является функцией трех двоичных переменных (рис. 1):

/ a_i, b_i, а$ , t е 0,8 ;

S t =\f oq, b_h b0 , te 8,28 ; (3)

/ a0, ¿>o> ai > *e 28,38 и т. д. Три двоичные переменные a, b, с = ±1 вместе с константой 1 и произведениями ab, ac, bc, abc образуют базис из восьми функций Уолша, разложение сигнала (1) по которому имеет вид

S t =

I

утпр

t ambncP,

(4)

т, п, р=0, 1

где ртпр г - коэффициент разложения, т. е. корреляция г с базисной функцией атЬпср, которая с учетом соотношений ^ 7 | = 1 и \атЬпср\ — \ определяется равенством

Ртпр г = Ъ Ь X а-Ь-с(5)

t = X S t ambncP.

a, b, c=± 1

В равенствах (4) и (5) а, Ь, с - тройка символов, от которой в текущий момент t зависит £ г .

Из (4) следует, что сигнал (1), как и предшествующая ограничению суперпозиция (2), содержит наряду с компонентами, зависящими от каждой из переменных щ, Ц по отдельности, и комбинационные продукты в виде произведений двоичных переменных.

Вычислим веса (5) всех составляющих разложения (4).

В предположении, что бинарные последовательности случайные эргодические, корреляция между сигналом (1) и каждой из манипулирующих последовательностей определена как корреляционный момент случайных величин. Поскольку на отрезке ¿е 0,8 8 t зависит от символов ад,

J L So t

a_i а0 / ai

81 1 26 36 t

Ъ>- 1 _1 bo

25 36 Рис. 1

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 5

и Ь_1 (см. рис. 1), для фиксированного момента на этом отрезке коэффициент корреляции случайных величин и £ ? составит

ра t -üqS t =а0ехр y'arg^.^o / + 28 +oqSq t + jb_iSo t + Ь ] , (6)

где учтено равенство единице средних квадратов а0 и S t , а горизонтальная черта сверху указывает на статистическое усреднение по всем входящим в правую часть (6) случайным переменным. Для упрощения расчета воспользуемся тем, что х ехр [ / arg х + у ] =

= ехр [j arg 1 + ху ] для двоичной переменной х и произвольной случайной величины у. Положив, что переменные а_\ и h_\ взаимно независимы и принимают значения ±1 равновероятно, получим ра t = [-Sq t +Sq t + 5 А t + [-Sq t -Sq / + 8 t , где

A t = 2^[S0 t +S0 t + 25 ]2 + So t + 8 ; B t = 2^[S0 t -S0 t + 25 ]2 + Sq t + 8 . (7)

Перейдя к отрезкам 5,25 и 25,35 с учетом функциональных зависимостей (3) для всех трех интервалов получим

'[Sq t +S0 t + 25 t + [S0 t -Sq t + 25 ]/b t Je 0,5 ; p t =pa t = is0 t /А t-Ь + S0 t /В t-5 , ts 5,25 ; (8)

[S0 t-25 + S0 t t-25 ~[S0 t-25 / ]/ö /-25 ,/е 25,35 .

Вне отрезка 0,35 корреляция (5) обратится в ноль: р / =0, /£ 0,35 . При переходе к отрезку 2/5,2/5 + 35 , / = ..., -1, 0, 1, ..., с заменой а0 на для корреляции St с символом at получим результат, совпадающий с (7) при подстановке t — 2/5 вместо /:

/ =р /-2/8 , / = ..., -1, 0, 1, ... . (9)

Для нахождения корреляции рI сигнала S t с символом достаточно сдви-

нуть начало отсчета на рис. 1 вправо на 8, после чего вычисление р^, / = ¿о^ / приведет к тому же итогу (8) с поправкой на множитель /. Тогда р/, / = /р / —/5 . Распространив этот результат на отрезок 2/ +1 5 + 5, 2/ +1 8 + 38 , /' = ..., -1, 0, 1, ..., для корреляции Л, и Л" / получим

/ = УР Г-2/8-8 . (10)

Для оценки веса комбинационных продуктов найдем корреляцию 8 t с произведениями элементов последовательностей и Ц , м

отрезке зависит комплексная огибающая (2). На интервале 0,8 корреляция £ / с любым попарным произведением символов а_\, ад, равна нулю. Например для корреляции сигнала (2) с произведением имеем

а_ 1<:/0Л" t = ü_\ü{) exp /arg[t/_|»V0 l + 28 + <%V0 l + jh_\S{) l + ö ] = = Л_|ехр /arg[»»V0 l + 25 + kY0 l + jn\'S{) l + ö ] =0, где и = аф_1; v —— ±1, а также учтена независимость всех двоичных переменных. Для указанного интервала остается вычислить корреляцию St с произведением £/_|£/q/)_| :

1<:/()Л_¡Л" t = 1<:/0Л_ 1 exp /arg[t/_|»V0 l + 28 + a0S0 t + jh_\S{) l+ö ] = = exp / arg l + 28 + i\Y0 l + />mY() / + 8 ] .

Для триады символов а_\йф_\ выкладки, аналогичные выполненным для получения (10), дают

a_iaQb_iS t = jr t , (11)

где r t = Sq t + д \/A t -l/В t , /е 0,§ , а ^ i и В t определены (7). Доопределив г t нулем вне отрезка 0,8 и вернувшись к рис. 1, получим, что на всех отрезках 2/8, 2/8 + 8 , / = ...,-1, 0, 1, ..., корреляция (2) с комбинационным продуктом равна jr t-2i8 , а на отрезках 2/ + 1 8, 2/ + 1 8 + 8 , /' = ..., -1, 0, 1, ..., она составляет г t - 2/8 - 8 .

Объединив последние результаты с (9) и (10), придем к явной форме разложения (4): S t = £ atp t-2/5 +7 £ typ t-ИЪ-Ъ +

i=— со i=— oo

+У X ai-laih-lr t-2iö + Ys aibi~\bir t - 2/8 - 8 . (12)

i=—co i=—cc

Для того чтобы убедиться в правильности проведенных вычислений, проверим выполнение условия полноты. Так, на отрезке 0,8 ненулевые коэффициенты разложения

(12) равны р t , р t + 2b , j'p t + 8 и jr t . Тогда полнота базиса Уолша требует вы-

2 2 2 2 полнения равенства р t + р i + 8+p t + 2b + г i =1. Подстановка (8) и (11) в левую часть этого соотношения обращает его в тождество.

Сравнение (12) с (2) показывает, что амплитудная нормировка линейной суперпозиции перекрывающихся чипов приводит, во-первых, к трансформации исходных чипов Sq t в новые р t , а во-вторых, к появлению дополнительных компонентов, являющихся суперпозициями чипов вида r t , манипулированных комбинационными бинарными последовательностями.

Спектральная эффективность МНФ-сигнала с памятью. Проиллюстрируем результаты предыдущего раздела примером применения МЧМ с памятью (МЧМП) L- 2. Пусть чип Sq t в (1) и (2), как и при классической МЧМ, имеет форму полуволны синуса, т. е. задается равенством

Яп / =•

бш л// 35 , / е 0,35 ;

[0, Ц 0,35 .

Обращение к (8), (9) и (11) позволяет прийти к равенствам

(13)

р г =

1

2-^2 ' 1

1

2^2*

1-

■\Z6cos тс// 35 + л/3 + сое 2л// 35 + 2л/3

>/2 вт л// 35

О < / < 5;

1 +

^2 +сое 2л// 35

сое л// 35 -л/3

5 < / < 25:

(14)

1 +

^2 +сое 2л// 35 -2Я/3 0, /£ 0,35 ;

25 </<35;

г / =

2>/2

1 —

•\Z2sin л// 35 +л/3

^2 +сое 2л// 35 +2л/3 0, /^ 0,5 .

О < / < 5;

(15)

Исходный чип (13) и чипы, входящие в разложение (12), представлены на рис. 2, из которого можно, в частности видеть, что комбинационные компоненты (12) значительно слабее полезных. Действительно, из (14) и (15) для пиковых значений полезного ртах и комбинационного гтах чипов получим: ртах = 2 + >/2 /4 «0.854; гтах = 2-л/2 /4^0.146. Таким образом, любой из полезных компонентов (12) превышает комбинационный более чем на 15 дБ.

Ввиду случайности двоичных последовательностей щ , Ц слагаемые всех сумм

в (12) некоррелированы. Поэтому спектр мощности О / сигнала (12) можно найти как удвоенную сумму спектров мощности чипов р t иг t : Ст / =2^(5р / +Ог / .

Спектральная плотность мощности МЧМП-сигнала с чипом (13) показана на рис. 3 (сплошная кривая) в сопоставлении со спектром стандартной МЧМ [3] (штриховая кривая), чип которой укорочен в полтора раза с целью удержания одинаковыми периодов сигналов обоих типов. Как следует из рис. 3, на частотах, отстоящих от несущей на 1.3/6 и более, выбросы спектра МЧМП по крайней мере на 8 дБ ниже, чем спектра МЧМ. Это

2 4 6 /5

Р> г 0.8 0.6 0.4 0.2

0

-20 -40 -60

О

Л/\/г\г^Лл

Рис. 2

Рис. 3

1

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 5======================================

означает, что расширение спектра из-за амплитудной нормировки суперпозиции (2) незначительно в сравнении с его сужением за счет растяжения чипа. Об этом же говорит и заметное сужение регламентной (содержащей 99 % мощности) полосы МЧМП-сигнала WM4MU относительно полосы сигнала МЧМ WM4M : WM4M =1.2/8; W^^^j ~ 0.9/8.

Таким образом, предлагаемый вариант модуляции может служить действенным инструментом повышения компактности спектра сигналов спутниковой радионавигации при неизменных длине и реальном периоде дальномерного кода.

Список литературы

1. Игнатьев Ф. В., Ипатов В. П., Хачатурян А. Б. Модуляция c непрерывной фазой как инструмент улучшения компактности спектра сигналов спутниковой навигации // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 4. С. 28-36.

2. Базаров И. Ю., Ипатов В. П., Самойлов И. М. Анализ интерференционных эффектов при нелинейной обработке суперпозиции шумоподобных сигналов // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 5. С.612-616.

3. Amoroso F. Pulse and spectrum manipulation in the minimum (frequency) shift keying (MSK) format // IEEE Trans. on œmm. 1972. Vol. COM-24, № 3. P. 381-384.

F. V. Ignatiev, V. P. Ipatov, A. B. Khachaturian Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Continuous phase modulation with memory: additive superposition and spectral efficiency

The representation of frequency modulated signal with the continuous phase and memory as a superposition of phase-modulated components containing along with useful component combinative products is described. It is shown that the introduction of the memory which is equivalent of chips superimposing in keyed signal quadratures essentially narrows a specter in relation to classical minimum frequency shift keying.

Continuous phase frequency modulation, minimum frequency modulation, partial response, spectral-efficient signals, Walsh superposition, satellite navigation

Статья поступила в редакцию 1 февраля 2012 г.

УДК 62-50:519.216

Ф. В. Игнатьев, В. П. Ипатов

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Мультиплексирование сигналов двух поднесущих в спектрально-эффективном формате модуляции

Предложен спектрально-эффективный формат модуляции, позволяющий без энергетических потерь совмещать в едином стволе сигналы двух смежных частотных диапазонов.

Глобальные спутниковые навигационные системы (ГНСС), ГЛОНАСС, GPS, дальномерные сигналы, кодовое разделение (CDMA), спектрально-эффективная модуляция

Осознание преимуществ кодового разделения по сравнению с частотным, подкрепленное опытом развития и использования глобальной навигационной спутниковой системы

8

© Игнатьев Ф. В., Ипатов В. П., 2012