CC BY
61
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971
М 1
УДК 533.6.011.8
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ*
М. Н. Коган
Рассмотрены некоторые методы и результаты исследований течений при произвольных числах Кнудсена (обтекания тел, течения в каналах), а также приложения кинетической теории для построения уравнений газодинамики (расчет коэффициентов переноса, скорости скольжения, крипа и скачка температур).
Рассматривается также класс медленных (Ие<;1) течений плотного (Кп С 1) газа, для которых не справедливы уравнения Навье— Стокса с условиями прилипания.
Динамика разреженного газа, или молекулярная газодинамика**, исходит из кинетического описания газа и решает две основные важные для практики задачи: задачу исследования течений при произвольных числах Кнудсена (Кп = "к/!,, где X — длина пробега, Ь — характерный размер задачи) там, где теряют силу представления сплошной среды и уравнения Навье—Стокса, и задачу получения и обоснования уравнений динамики сплошной среды (т. е. при Кп^-0), вычисления входящих в них коэффициентов переноса и обеспечения их необходимыми граничными условиями. В настоящее время в СССР имеется ряд коллективов и школ, разрабатывающих различные направления молекулярной газодинамики. Здесь будут затронуты лишь некоторые вопросы, близкие автору***.
* Сообщение на Юбилейной сессии отделения механики и процессов управления АН СССР, посвященной столетию со дня рождения В. И. Ленина, состоявшейся 31 марта 1970 г.
** Исторически сложившийся термин .динамика разреженного газа* не вполне точно отражает место этой науки. Даже из настоящего краткого сообщения видно, что методы и результаты кинетической теории весьма существенны и для течений .сплошной среды*.
*** Не рассматриваются важные принципиальные проблемы обоснования уравнения Больцмана, доказательства сходимости методов получения из уравнения Больцмана уравнений сплошной среды, теоремы существования и единственности решений уравнения Больцмана. Многие из этих проблем не получили еще полного решения. Заинтересованного читателя можно отослать, например, к монографиям: Н. Н. Боголюбов. Проблема динамической теории в статистической физике. М., Гостехиздат, 1946; К. П. Гуров. Основания кинетической теории. М., .Наука*, 1969; Ю. Л. Климонтович. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. Изд. МГУ, 1964; Балеску. Статистическая механика заряженных частиц. М., .Мир*, 1967 и М. Н. Коган [4], где имеется обширная библиография.
4—Ученые записки Л6 1
49
1. ТЕЧЕНИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
Основным в динамике разреженных газов является кинетическое уравнение Больцмана
где f{t, х, I) — функция распределения молекул; л:—радиус-вектор; £ — скорость молекул; b — прицельное расстояние молекул, сталкивающихся со скоростями £ и С,; штрихами обозначены значения функции распределения, соответствующие скоростям молекул после столкновения.
При рассмотрении первой задачи, т. е. задачи исследования течений при произвольных числах Кнудсена, прежде всего возникает желание построить уравнения гидродинамики, имеющие более широкую область применения. При любых числах Кнудсена справедливы уравнения сохранения:
Решая уравнения Больцмана в виде ряда по числам Кнудсена
можно выразить тензор напряжений Рц и вектор потока тепла <7г через гидродинамические величины р, нг и Т и их производные и тем самым замкнуть уравнения (1):
Число членов в выражениях (3) соответствует числу членов, сохраняемых в разложении (2). Первый член соответствует приближению Эйлера, второй —Навье—Стокса, третий—Барнетта и т. д. Однако показано лишь [1, 2], что ряд (2) сходится в асимптотическом смысле при Кп -* 0, а следовательно, в общем случае барнет-товские члены уточняют уравнения Навье—Стокса лишь там, где применимы эти уравнения, и не дают возможности продвинуться в сторону больших чисел Кнудсена*. Поэтому там, где теряют
* Хотя имеются примеры уточнения решения при фиксированном числе Кп путем добавления барнеттовских членов [3], у нас нет оснований считать, что это будет всегда. В настйящий момент в общем случае можно с уверенностью говорить лишь об уточнении решения при числах Кп->0, т. е. когда барнеттовский член мал.
df df df r ,
Tt - at+E тх=і(/,/' -ff'] gbdbd ‘dt"
о
/=/(») + Kn/(,) + Kn2/(2) +
(2)
(3)
A — ~2~(Atj + Aji) A-kk ■
силу уравнения Навье—Стокса, приходится решать сложное уравнение Больцмана. В настоящее время предложен целый ряд методов его решения (см., например, [4 — 7]), причем ввиду сложности уравнения наиболее результативными оказались численные методы л в первую очередь методы Монте-Карло, основанные на прямом статистическом моделировании процессов движения и столкновения молекул. В настоящее время еще нет общих доказательств эквивалентности результатов методов статистического моделирования и решений уравнения Больцмана. Поэтому в правомерности применения этих методов приходится убеждаться, сравнивая получаемые результаты с имеющимися решениями и с данными эксперимента. Развитые методы позволяют уже на имеющихся вычислительных машинах рассчитывать практически любые течения, близкие к свободномолекулярным [8, 9]. Однако при произвольных числах Кнудсена сейчас уверенно решаются одномерные задачи и проводятся лишь уникальные расчеты двумерных течений. Поэтому в промежуточной области для определения аэродинамических характеристик сложных тел необходимо ориентироваться на эксперимент. В связи с этим необходим прежде всего правильный выбор критериев подобия. Показано [10, 4], что при гиперзвуко-,вых скоростях число Кнудсена не является параметром, определяющим режим течения. Так, например, при обтекании тупого тела в типичных условиях натурного полета (М^>1, Тш ^ ТХ<§^Т0, где — температура поверхности тела, Т0 — температура торможения) течение будет свободномолекулярным при а в ус-
ловиях эксперимента в аэродинамической трубе (М^>1, ТШ^Т0~г %300° К)—при МКп^>1, т. е. критерии отличаются в М2 раз. Тот факт, что в условиях эксперимента в трубе гиперзвуковое течение может стать свободномолекулярным при КпМ^>1, т. е. при числах Кп<1 и М^>1, облегчает получение этих режимов. Критерии подобия зависят от формы тела и его температуры (от температурного фактора Тт/Т0), закона взаимодействия молекул с телом и между собой [10]. Однако можно показать [11], что если потенциал взаимодействия молекул можно аппроксимировать степенным законом ср = б/г5, то при М^>1 и постоянном температурном факторе для уравнения Больцмана, как и в газодинамике,
г 7 Пластана \ “
сс=5е > V
/
У * к ' X- [55]
<х-10° '*'*
^ ос = 15° * к- ^
• М=7±92 0 5.15
Дам//с
5^*
с<.--26=20° ' Ос/0-2
К
сс= 20=30° -*• • ^.О / /
ос--6=10° | ч N5-01= 26^30° / и/в=1
Ос= в=15° У
т ^ ^ • • М=7±9,2 ° 5,15 а 1в,5
‘Ю •
Фиг. I
Ю'1 1
Фиг. 2
вгУЩ,
4*
51
единственным критерием подобия является число Рейнольдса, подсчитанное по вязкости при температуре торможения: Re0 —
poo VXL
=---------. Коррелируя по этому параметру имеющиеся расчетные
1*0
и экспериментальные данные, можно [11] проследить за изменением аэродинамических характеристик на всех режимах от сплошной среды до свободномолекулярных течений (фиг. 1 и 2). Следует обратить внимание на предсказанную ранее теоретически [10, 12} существенную немонотонность изменения аэродинамических характеристик в промежуточной области.
2. ТЕЧЕНИЯ В ТРУБАХ
Основой для расчета трубопроводов при обычных давлениях (Кп->0) является течение Пуазейля, вызываемое перепадом давления. В разреженном газе течение может быть вызвано не толька градиентом давления, но и наличием градиента температуры вдоль стенки. Очевидно, что для расчета вакуумных систем необходимо иметь зависимость расхода, как от градиентов давления, так и от градиентов температуры при произвольном давлении. Еще в 1909 г.
Кнудсен экспериментально обнаружил, что расход движущегося под действием градиента давления газа Qr при уменьшении давления сначала падает,, а затем растет (парадокс Кнудсена). Теоретически этот результат был получен лишь в начале шестидесятых годов путем решения модельного уравнения Больцмана. Вторая задача о течении, вызванном градиентом температуры, для произвольных чисел Кнудсена исследована не была. В последнее время для решения линейных задач для полного уравнения Больцмана создан специализированный метод Монте-Карло [13], позволивший решить, обе задачи [14].
Неприятной для методов статистического моделирования особенностью линейных задач для уравнения Больцмана является накопление ошибок, возникающих при движении пробной молекулы на несущественной для задачи равновесной функции распределения. Эти ошибки при обычном использовании методов Монте-Карло могут во много раз превзойти искомые малые добавки к равновесной функции. Однако эту трудность обходят методом, близким к методу статистических весов, применяющемуся с другой целью при расчете переноса излучений (см., например, [15]). На фиг. 3 для плоского канала наряду с результатами расчетов методом Монте-Карло приведены экспериментальные результаты и решение модельного уравнения [16] для течения Пуазейля. Как для течения Пуазейля, так и для течения, вызванного крипом, найдено также
/— решение модельного уравнения для задачи Пуазейля [15]:
2 — метод Монте-Карло для задачи
Пуазейля;
3 — решение модельного уравнения для
задачи о крипе;
4 — метод Монте-Карло для задачи
о крипе
Фиг. 3
приближенное аналитическое решение модельного уравнения [4, 17]. Интересно отметить, что при наличии градиента температуры равновесие ((2 = 0) наступает при некотором градиенте давления. При этом газ у стенки течет в одну сторону, а вблизи оси в другую [17].
3. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГАЗОДИНАМИКИ И РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ГАЗОВ С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ
Во многих технологических процессах, в аэродинамике гипер-звуковых аппаратов, в сильных ударных волнах и т. п. приходится иметь дело с высокотемпературными течениями газов. В этих условиях существенную роль играет возбуждение внутренних степеней свободы молекул.
Удобно использовать смешанное описание движения системы молекул с внутренними степенями свободы: поступательные (трансляционные) движения описывать классически, а возбуждение внутренних степеней (вращения, колебания, электронные уровни) — квантовомеханически [18]. В этом случае газ рассматривается как реагирующая смесь газов, каждый из которых состоит из молекул в данном квантовом состоянии.
Характер процессов существенным образом зависит от отношения характерного времени возбуждения (времени релаксации) различных степеней свободы к характерному времени течения ег. Газодинамическое описание возможно, если время релаксации для переходов трансляционной энергии намного меньше характерного времени процесса (т. е. е1 или Кп<С1). Характерное же время релаксации для внутренних степеней свободы может быть меньше, равно или больше времени процесса. Соответственно рассматриваемая степень свободы может быть в равновесии с поступательными степенями, релаксировать или быть замороженной. В зависимости от отношения характерных времен релаксации возникает большое число различных вариантов, для каждого из которых получается своя форма уравнений газовой динамики, структурный вид которых выявлен в ряде работ [4—7, 18—25 и др.]. Важно отметить, что и коэффициенты переноса (теплопроводность, вязкость и т. д.) для одного и того же газа в различных случаях также различны, а не являются универсальными функциями состояния. Если имеются две внутренние степени свободы и одна из них релаксирует (например, колебания), а другая находится в равновесии (например, вращения), то появляется дополнительное скалярное давление [22, 4], названное релаксационным. Оно не возникает, если имеется лишь одна внутренняя степень свободы*. Для получения отмеченных и других результатов не нужно детального знания эффективных сечений (вероятностей) возбуждения тех или иных урстней. Чтобы выявить структурный вид уравнений газо-
* Возможность появления при релаксации внутренних степеней свободы дополнительного давления следует из феноменологической неравновесной термодинамики, и на эту возможность указывали еще в 1937 г. Л. И. Мандельштан и М. А. Леонтович. Однако только анализ кинетического уравнения Больцмана позволил указать те случаи, когда релаксационное давление действительно может быть отлично от нуля [22]. В работе [26] оно вычислено для конкретной модели молекул.
динамики, в большинстве случаев достаточно знать относительный порядок эффективных сечений. Однако эффективные сечения необходимы в общем случае для вычисления коэффициентов переноса. Исключение составляет случай, когда а,-=—<^1 при 1^2.
г1
В этом случае а,, является вторым малым параметром в уравнениях. Тогда, разлагая функцию распределения в ряд по е1 и а и пренебрегая членами порядка аег по сравнению с членами порядка г1У можно выразить коэффициенты переноса для газа с внутренними степенями свободы через коэффициенты переноса для газа из бесструктурных молекул [24]. В общем же случае (не при малых а) для вычисления коэффициентов переноса нужны детальные данные об эффективных сечениях возбуждения уровней. Эти данные могут быть получены либо из решения трудной квантовомеханической задачи о столкновении весьма сложных молекул, либо экспериментально на атомном уровне.
Сравнение решений для элементарного акта столкновения молекул показывает, что столкновение может быть удовлетворительно описано с помощью чисто классической модели, зависящей от небольшого числа параметров, которые могут быть получены из макроскопического (гидродинамического) эксперимента. Однако при чисто классическом описании из-за отсутствия равновероятности прямых и обратных столкновений решение уравнения Больцмана существенно усложняется.
К решению этой задачи можно подойти с другой стороны и не только не решать» но и не выписывать уравнение Больцмана. Вместо этого можно воспользоваться методом Монте-Карло.моделирую-щим сами процессы переноса [13]. Имея структурную зависимость процессов переноса от градиентов гидродинамических величин*, поставим математический эксперимент, подобный физическому. Рассмотрим для простоты одноатомныи газ, для которого коэффициенты переноса известны, и поэтому возможно сравнение получаемых результатов. Для теплового потока, например, имеем:
<7 = — • Уравнения Навье — Стокса описывают состояния, близ
(7л
кие к равновесным, поэтому функция распределения может быть представлена в виде /=/о(1+т), где /0 — локально равновесное распределение Максвелла и ср—малая добавка, которая и определяет коэффициент теплопроводности X. Обычно ср находится из решения уравнения Больцмана. Однако можно упомянутым выше [13] методом Монте-Карло рассчитать одномерный поток тепла при заданном градиенте температур и по приведенной выше фор-
* Эта зависимость может быть взята из упомянутого выше структурного-анализа уравнений гидродинамики, из термодинамики необратимых процессоа или получена с помощью вариационных принципов [27].
Фиг. 4
муле найти X. На фиг. 4 показано, как процесс вычисления коэффициентов теплопроводности сходится к точному теоретическому решению, когда в нулевом приближении <р и X приняты равными нулю [13, 32]. При таком подходе к задаче для вычисления коэффициентов переноса нет необходимости не только изучать сложные свойства интегралов столкновений, но и выписывать их. вообще.
4. ВЫВОД ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ АЭРОДИНАМИКИ
В обычной гидродинамике постулируются так называемые условия прилипания—скорость и температура газа равны скорости и температуре стенки. Однако эти условия не могут быть обоснованы в рамках феноменологической газодинамики, поэтому на заре гидродинамики в равной степени решались задачи и с условиями прилипания, и с условиями скольжения на стенке. Для решения уравнений Навье—Стокса необходимы не истинные скорость и температура газа у стенки, а некоторые их фиктивные значения, которые и называют скоростью скольжения и температурным скачком на стенке (см., например, [4]). Для их определения необходимо решить уравнение Больцмана в пристеночном кнудсенов-ском слое толщиной порядка длины пробега, в котором ряд (2) не сходится, а следовательно и уравнения Навье—Стокса несправедливы. Впервые корректно эта задача для модельного уравнения Больцмана была поставлена в работе [28], где были определены скорость скольжения и температурный скачок, вызванные нормальными градиентами скорости и температуры у стенки. В работах [29, 4] в той же постановке найдена скорость скольжения, обусловленная продольным градиентом температуры (так называемый температурный крип). Для полного уравнения Больцмана задача о скорости скольжения и скачке температур рассматривалась во многих работах и решалась приближенно моментными методами, в которых вид функции распределения задавался. Этот произвол в выборе вида функции распределения отсутствует в методе Монте-Карло, примененном для решения задач о слое Кнудсена в работах [30—32]. На фиг. 5 показано решение в слое Кнудсена для молекул—шаров и максвелловских молекул, представляющих собой предельно „жесткие" и предельно „мягкие* молекулы.
Задача о слое Кнудсена может быть приведена к одномерной и наличие слоя Кнудсена сведено при решении уравнений Навье— Стокса к учету скорости скольжения лишь на расстояниях, больших по сравнению с длиной пробега от критических точек или кромок тела. Вблизи таких точек необходимо решать двух- или трехмерную задачу для уравнения Больцмана в слое Кнудсена. Известно, что при больших числах Рейнольдса трение или теплопередача составляет величину порядка 1 /"^Ие. Учет взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, поперечной кривизны слоя и других эффектов второго порядка вносит поправки порядка 1/Ие. Однако можно показать [33, 4], что вклад указанных выше участков тела длиной порядка длины пробега вблизи критических точек также имеет порядок 1 /Ие. Поэтому суммарное сопротивление и теплопередача с точностью 1/Ие не могут быть получены
ни в рамках теории пограничного слоя второго приближения, ни путем решения полных уравнений Навье—Стокса, Барнетта и т. д.
Для этого необходимо решить уравнение Больцмана в слое Кнуд-сена и уравнение Навье—Стокса вне его [33, 4].
5. ОБ УРАВНЕНИЯХ, ОПИСЫВАЮЩИХ МЕДЛЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ (Кп -» 0)
Уравнения Барнетта были первоначально выведены в надежде продвижения с их помощью от сплошной среды в сторону среды с большими числами Кнудсена. Однако, как уже отмечалось в разд. 1, теория, приводящая последовательно к уравнениям Эйлера, Навье —Стокса, Барнетта и т. д., справедлива в общем случае лишь в асимптотическом смысле при Кп -»0. В этих условиях учет барнеттовских членов дает малую поправку к результатам, получаемым с помощью уравнений Навье—Стокса. То же относится и к учету условий скольжения. Но если быть последовательными, то мы должны констатировать, что в общем случае учет навье—стоксовских членов дает малую поправку к решениям, получаемым с помощью уравнений Эйлера. И это действительно так. Однако имеются случаи, когда инерционные (эйлеровские) члены относительно малы и поэтому члены Навье—Стокса становятся соизмеримыми с ними. С этой ситуацией мы встречаемся в пограничном слое, в котором эйлеровские и навье —стоксовские члены соизмеримы из-за наличия существенно разных характерных масштабов вдоль стенки и перпендикулярно к ней, и при числах Рейнольдса Не<0(1), когда инерционные члены становятся малыми из-за малости скорости течения (число Мю Кпоо Иеоо, Кпэо-»0 при фиксированном Иеоо). До последнего времени правомерность применения уравнений Навье—Стокса и условий прилипания в указанных случаях движения сплошной среды (Кпоо -»0) не вызывала сомнений. Однако можно показать, что это не всегда так [34]. Имеются две принципиально различающиеся возможности, связанные с характером изменения температуры в потоке. Рассмотрим,
например, случай фиксированных чисел Ивоо при Кпоо-*0. Если граничные условия не вводят в задачу характерный перепад температур, то он определяется переходом в тепло кинетической
энергии ~(Кп Ке)2 -»0. В этом случае справедливы урав-
нения Навье—Стокса и условия прилипания. Если же перепад температур задается граничными условиями и, следовательно,
ЛГ
является самостоятельным параметром, так что -уг--<0 (1), то из
выражений (3) легко увидеть, что отношение барнеттовских членов, содержащих температуру в выражении для тензора нанряжений, к обычно учитываемым навье—стоксовским*
Точно так же скольжение, вызванное температурным градиентом вдоль стенки, равно
Таким образом, мы видим, что в этом случае для описания движения сплошной среды (т. е. при Кп -»0; уравнения Навье— Стокса не годятся. Необходимо привлекать уравнения Барнетта, предназначавшиеся для не очень малых чисел Кнудсена. Точно так же необходимо учитывать скольжение, обусловленное неравномерностью нагрева стенки, который, как и барнеттовские напряжения, возбуждает скорости, соизмеримые со скоростью набегающего потока [при 13еоо — 0(1)1 или большие (при Неоо<С1)-Скольжение и температурный скачок, вызванные нормальными градиентами скорости и температуры, оказываются при этом более высокого порядка малости.
Можно показать [34], что следующие („супербарнеттовские“) члены малы по сравнению с учтенными.
Наличие в уравнениях температурных барнеттовских членов означает, что градиенты температуры вызывают напряжение в газе, чего не было в рамках уравнений Навье —Стокса. В рамках уравнений Навье - Стокса при отсутствии поля сил газ может покоиться около (или внутри) произвольного тела с произвольным распределением температур по его поверхности. Однако из сказанного выше ясно, что на неравномерно нагретом теле обязательно возникает температурное скольжение, так что покой может иметь место только около (внутри) равномерно нагретого тела. Но и в этом случае температурные (барнеттовские) напряжения вызывают новый, безгравитационный, тип конвекции около любого тела, кроме сферы [34]. Характерное число Рейнольдса этого конвективного течения Ие = 0 (1).
* Индекс со относится к параметрам набегающего потока. Под величиной
навье—стоксовских членов понимается их порядок в течении при рас-
00
сматриваемом числе Ие^ без учета барнеттовских членов. Число Рейнольдса, построенное по скорости, возбужденной барнеттовскими напряжениями или крипом, равно единице.
\>1 уриицил. ])ао
и'-=0
>0 (и„).
Движение газа, вызванное температурным скольжением (так называемый радиометрический эффект), исследовалось в рамках уравнения Навье—Стокса с начала века. Однако эта постановка в общем случае не правомерна [34]*. К счастью, многие задачи решались в предположении слабой неравномерности температур, когда, как показано в этой работе, суммарные силы и моменты, действующие на тела, правильно определяются и без учета бар-неттовских членов, хотя в каждой точке тела барнеттовские напряжения имеют тот же порядок, что и навье—стоксовские.
Большое внимание, особенно в последние годы, уделяется движению взвешенных частиц. При этом в основу исследований кладется классическая формула Стокса, справедливая при Иеоо О и ДГ = 0. Ограниченная применимость этой формулы вызвала большое число работ, в которых была сделана попытка продвинуться в сторону больших чисел Рейнольдса и учесть влияние температур между телом и потоком. Все эти исследования проводились в рамках уравнения Навье —Стокса. Из сказанного выше следует, однако, что такая постановка задачи в общем случае также не корректна.
Таким образом, при медленных течениях сплошной среды [Яеоо<0 (1), К.п -»0] существенны кинетические эффекты и несправедливы уравнения Навье —Стокса с условиями прилипания. Поэтому исследования в этой области требуют пересмотра в рамках уравнений Барнетта с условиями температурного скольжения на стенке.
* На возможность появления температурных напряжений в радиометрическом эффекте указывал еще Максвелл [36]. Однако какие-либо свойства, постановка задач и классы течений при наличии этих напряжений, по-видимому, до сих пор изучены не были.
ЛИТЕРАТУРА
1. Q rad Н. Asymptotic of the Bolzmann equation. „Phys. of Fluids",
6, No 2, 1963.
2. Струминский В. В. О методе Гильберта решения кинетического уравнения Больцмана. „Доклады АН СССР", 158, № 1, 1964.
Об одном методе решения кинетического уравнения Больцмана. .Доклады АН СССР", 158, № 2, 1964.
3. Галкин В. С. Одномерное нестационарное решение уравнений кинетических моментов одноатомного газа. ПММ, 28, № 1, 1964.
4. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., .Наука", 1967.
5. Шидловский В. П. (ред.). Численные методы в теории разреженных газов. Сб. статей. Вычислит, центр АН СССР, 1969.
6. Валландер С. В. (ред.). Аэродинамика разреженных газов.
Сб. статей, I (1963), 11 (1965), III (1967), IV (1969). ЛГУ.
7. Kogan М. N. Recent developments in the kinetic theory of gases. .Rarefied Gas Dynamics. Sixth Symp.“. Acad. Press, 1969.
8. Коган М. H. .Дегтярев Л. М. О расчете течений при больших числах Кнудсена. ,Astronautica Acta", v. 11, № 1, 1965.
9. ПерепуховВ. А. О сопротивлении плоской пластинки в потоке сильно разреженного газа. ЖВМ и МФ, 1961, № 4.
Обтекание плоской пластинки, расположенной под нулевым углом атаки, потоком сильно разреженного газа. ЖВМ и МФ, 1963, № 3.
10. К о г а н М. Н. О гиперзвуковых течениях разреженного газа.
ПММ, 26, № 3, 1962.
И. Гусев В. Н., Коган М. Н., Перепухов В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.
12. Ладыженский М. Д. Обтекание тонких тел вязким ги-перзвуковым потоком. ПММ, 27, № 5, 1963.
13. Власов В. И., Горелов С. Л., Коган М. Н. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса. „Доклады АН СССР*, 179, № 6, 1968.
14. Горелов С. Л., Коган М. Н. Течение разреженного газа между двумя параллельными пластинами. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 6, 1970.
15. М а р ч у к Г. И. (ред.). Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения. М., Атомиздат, 1967.
16. Cercignani С. Plan Poiseuille Flow and Knudsen minimum effect. „Rarefied Gas Dynamics. Third Symp.“. Acad. Press, 1963. Mathematical methods in kinetic theory. „Plenum Press', 1969.
17. Коган М. H., Макашев H. К. О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2, 1970.
18. W a n g С h a n g С. S., U h 1 е n b е с k G. Е. Transport phenomena in polyatomic moleculs. „University of Michigan Publication", CM-661, 1951.
19. Саму й лов E. В. Физическая газодинамика. М., Изд. АН СССР, 1959.
20. Жигулев В. Н. Об уравнениях физической аэродинамики. „Инж. журнал", т. 3, № 1, 1963.
21. Валландер С. В., Нагнибеда Е. А. Общая постановка задач об описании релаксационных процессов в газах с внутренними степенями свободы. „Вестник ЛГУ", № 13, 1963.
22. Коган М. Н. Об уравнениях неравновесных течений газа. ПМТФ, № 1, 1965.
23. Кузнецов В. М. Диссипативные коэффициенты в сильно неравновесных газовых смесях с бинарными столкновениями. „Инж. журнал", т. 5, № 5. 1965.
24. Галкин В. С., Коган М. Н. Об уравнениях неравновесных течений многоатомных газов в приближении Эйкена. В сб. „Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды". М., „Наука", 1969.
25. Коган Ю., Афанасьев А. М. К кинетической теории газа с вращательными степенями свободы. ЖЭТФ, 41, вып. 5 (11), 1961.
26. Кузнецов В. М. К теории коэффициента объемной вязкости. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1967, № 6.
27. Седов Л. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. „Успехи матем. наук", 20, № 5, 1965.
28. We lander P. On the temperature jump in a rarefied gas. ,Ar-klv. Fysik", v. 7, No 6, 507, 1954.
29. Sone Y. Thermal creep in rarefied gas. „J. Phys. Soc. Japan", v. 21, No 9, 1966.
30. Г о p e л о в С. Л., Коган М. Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1968, № 6.
31. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение задачи о скачке температуры (течение в слое Кнудсена) и линейной задачи о передаче тепла между двумя параллельными пластинами в разреженном газе. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1969, № 4.
32. X л о п к о в Ю. И. Вычисление коэффициентов переноса и скорости скольжения для молекул в виде твердых сфер. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1971, № 2.
33. Коган М. Н. Асимптотическая картина течений при малых числах Кнудсена. „Fluid Dynamics Transactions", v. 3, Warszawa, 1967.
34. Галкин В. С., Коган М. Н., Ф р и д л е н д е р О. Г. О некоторых кинетических эффектах в течениях сплошной среды. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1970, № 3.
35. Г а л к и н В. С., Ж б а к о в а А. В., Н и к о л а е в В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1969, № 1.
36. Чепман С., К аул инг Т. Математическая теория неоднородных газов. ИЛ, Москва, 1960.
Рукопись поступила 2/Н 1971
