Вывод уравнений медленных течений смесей газов из уравнения Больцмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м V 1 97 4 М4

УДК 533.6.011 : .

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ СМЕСЕЙ ГАЗОВ ИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

В. С. Галкин

Метод Гильберта асимптотического решения уравнения Больцмана применен для вывода уравнений, описывающих медленные течения смесей одноатомных газов как сплошной среды (т. е. при числе Кнудсена Кп -*■ 0), в условиях, когда относительные перепады температуры И концентраций в потоке порядка единицы. Полученные результаты совпадают с результатами, следующими из соответствующего переразложения ряда Чепмена — Энскога. Кратко рассматривается вопрос о граничных условиях.

1. Медленные течения газа как сплошной среды реализуются при числе Кп^М/Яе-^О, числе М^О и фиксированных значениях числа Ие и характерных перепадах температуры и концентраций. В силу последних условий уравнения Навье — Стокса здесь неприменимы, ибо в уравнении импульса необходимо учитывать температурные и концентрационные напряжения [1—3]. Этот вывод был получен из уравнений Барнетта, иначе говоря, путем переразложения результатов метода Чепмена — Энскога*.

Необходимость такого переразложения при рассмотрении конкретных классов течений и задачи кнудсеновского слоя вызвана тем, что отдельные приближения метода Чепмена—Энскога содержат внепорядковые по Кп члены. В то же время прямой метод решения уравнения Больцмана — метод Гильберта, позволяющий избежать появления таких членов, в своем первоначальном виде пригоден только для течений, близких к невязким (см., например, [5, 6]). Для применения этого метода к вязким-течениям необходимо учесть некоторую дополнительную информацию. Для случая М = 0 (1), Ие-> оо, когда реализуется концепция пограничного слоя, это проделано в работе [7]. Модифицированный метод Гильберта в основном — первом — приближении сразу же дает

* Выписанное в [3] выражение для концентрационных напряжений получено из уравнений кинетических моментов методом Максвелла. Уравнения Барнетта для смесей одноатомных газов выведены в [4] в первом приближении по полиномам Сонина для коэффициентов переноса, т. е. в том же приближении, что и в [3].

уравнения Прандтля, в следующем—уравнения пограничного слоя второго порядка. Важно отметить, что в работе [8], посвященной тому же вопросу, сделан ошибочный вывод о несправедливости уравнений пограничного слоя второго порядка.

В рассматриваемом в настоящей работе случае указанная дополнительная информация состоит в том, что среднемассовая скорость газа и — Кп, а характерное время £— Кп-1. Цель данной работы — демонстрация применения метода Гильберта с учетом этой информации и доказательство того, что получаемые с его помощью результаты совпадают с результатами соответствующего переразложения ряда Чепмена — Энскога. Предполагается, что отношения масс молекул тл\щ фиксированы, поэтому справедливо однотемпературное приближение (а, Р = 1, 2, , Ы, А^—число

компонентов смеси).

2. При сформулированных условиях уравнения Больцмана в безразмерном виде запишем

где /(/а /р) — интеграл столкновений молекул сортов а и р. Приведение к безразмерному виду проведено для того, чтобы выявить порядок построения внешнего асимптотического разложения уравнения Больцмана.В дальнейшем будем пользоваться его размерной формой, не изменяя обозначений входящих в (2.1) величин. Для сокращения записи асимптотические степенные ряды по Кп будем

обозначать так: а а(г\ где а(г> = аг Кпг, аг не зависит от Кп.

Г

Ищем указанное разложение в виде

где коэффициенты а«, Ь„ с не зависят от на частные решения этих интегральных уравнений /‘0)х1г). как обычно [5], накладываются условия „однозначности": они не дают вкладов в и, парциальную численную плотность пл и температуру Т (или давление р = п!гТ, « = £«*), т. е. для г> 1

Кп3 + Кп 5в< = £/(/./„),

(2.1)

(2.4)

В отличие от метода Чепмена — Энскога в ряды разлагаются все макроскопические переменные газа, например,

я

я

(2.5)

г=О

В нулевом приближении из (2.1) следует

(2.6)

В следующем приближении

д/м

(2.7)

Чтобы получить из (2.7) уравнения сохранения, нужно выполнить операции (2.4) с заменой XV Л0) на (2-7). Единственным нетривиальным результатом при этом будет = 0, т. е.

. />«»=/>«» (0- (2.8) Это является следствием того, что В /<°) не входят иг. Используя обычные определения м(/\ я!1’ и Г(1) через найдем

а

ж

Т'С!)

~^<оГ •

(2.9)

Для будем иметь уравнение

/(0)Ё J а

(0)

длг.

д 1п 7(0) дх,

=Е/[/г,Л",(хг’+х?>)], (2-ю)

где концентрация уа = па.1п, которое следует из уравнения для „навье-стоксовского“ приближения метода Чепмена — Энскога [5], если в нем отбросить величины О(Кп) и выше по сравнению с единицей. Условия однозначности также совпадают с приведенным в [5], поэтому можнй воспользоваться известным решением

ХІ».

, д1пГ(0> ^ дуа

А^‘^Г+"'т1сР^~!Г-

_ (2.11)

"1 Р

Здесь коэффициенты Ла, с» ■) зависят от Т(0), я*’ и 1|- С помощью МОЖНО вычислить напряжения р^1), тепловые ПОТОКИ ФР и диффузионные скорости гК1», воспользовавшись соотношениями

Р'1 ] = Са’1 3~ ~п1} ' Щ 1 Р^2’

\ с1 = ^1

Яу--^

Г <£/.<£=£-£- Г и/.

а ^ а “

^ “ Е -г= 2 т5-/

рм2

• к*| И* + РИ| «2 — -у р«г; Р=2/Иа/га;

(2.12)

Укажем на одно из неудобств метода Гильберта: в уравнения сохранения входят центральные моменты функции распределения,

вычисляемые через собственные скорости молекул сл. Согласно

методу Чепмена — Энскога функция распределения также выражается через собственные скорости. В данном же варианте

метода Гильберта /в представляется через (в обычном варианте

этого метода — через — и(0)) и необходимо учитывать соотношения (2.12).

Подставляя в (2.12) /<*>, видим, что я<1) = 0. Учитывая оценку и2—Кп2, получаем р<У=. 0. Аналогично находим, что

^1)==2“ГМ =

даются навье-стоксовскими формулами, выраженными через у^0), например, для однокомпонентного газа ^ = — X (Т^) .

Во втором приближении

+4^ _ у /(/'" А») - х/</Г ли+/?/?»)■ (2.1з>

Отсюда, используя (2.12), получим указанным выше способом уравнения для импульса и энергии

Ч0)

Н V («10) «(1) + А1’)=о, = рм (о,

-т^ + у?)+4^<0,А«<1) = 0-

(2.14)

С помощью (2.14) вычисляем

дЬ

•г.

(0)

■

2 я<°)

2^’

(1)

,(0)

<!>\

(2-15)

Соотношения (2.13), (2.15) позволяют найти /Р> и, следовательно, рЩ, Этим можно было бы ограничиться, однако с целью получения уравнений, справедливых с погрешностью 0(Кп2) по сравнению с единицей, нужно рассмотреть третье приближение

*- ■- 2 пА"/Р + А2'А")=2 /(/?/?’+/.,,Л- (2.16)

Из этого соотношения имеем ди^Р

о(0)

дх] дХ[ дХ]

дх1

(2.17)

д~ + V («<0) «<2) + «П) + Ъ = 0;

(2.18)

Уравнения (2.14), (2.17) и р^ — га<°)£Г(°> образуют замкнутую систему уравнений асимптотически главного („первого") приближения. Решения (2.18) и уравнения для м(2>

п ди^Р / ди1 \(2) ^„(3)

Р<)^Г + Р(1)^- + И^) +-£г+^- = ° (2-19)

дают поправку О(Кп) к решению в этом „первом" приближении. Входящие в (2.18) <7<2> и у<2) известны, коль скоро известна /<2). Следовательно, уравнение (2.16) нужно только для определения тс^>, что можно сделать, не вычисляя /<3), так же как это делается при определении переносных свойств в приближении Барнетта [9], так как

Ч? = 2 т, I ^ 6.У - -1- 8/у 52) ф«3)/10) ~

Д.(ф( 5.,4"М2) (2.20)

где О* — левая часть уравнения (2.16), Д*— коэффициент перед слагаемым с градиентом скорости в функции распределения навье-стоксовского приближения метода Чепмена — Энскога, причем в этом коэффициенте отброшены члены 0(Кп)ивыше по сравнению с единицей. Отметим сразу, что в силу (2.20). не дает вклада

в ибо это слагаемое уравнения (2.16) является суммой скалярных

и линейных по \ членов, для которых интеграл в (2.20) равен нулю.

Как показано в п. 3, и у<2> получаются путем переразложе-ния навье-стоксовских формул (в которых, конечно, пренебрегается •бародиффузией), напримео, ^2> = — Х(Л°))и7’(1> — М1>уЛ°>; р<2> и

(3)

Рг7 получаются аналогичным переразложением формул [1—3], включающих как навье-стоксовские напряжения, так и те члены барнет-товского тензора напряжений, которые содержат вторые и произведения первых производных от Г и уа. Следовательно, складывая {2.14) и (2.17)—(2.19), получим систему уравнений [3], справедливую с погрешностью 0(Кп2) по сравнению с единицей. Подчеркнем, что в общем случае в Рц входят не только производные от Т и у„, но и слагаемые вида

3. Уравнения метода Гильберта менее удобны для решения, чем аналогичные уравнения метода Чепмена — Энскога. К тому же вряд ли имеет смысл находить их решение при наличии известных решений уравнений метода Чепмена — Энскога в „навье-стоксовском" и „барнеттовском“ приближениях и /<^. Поэтому, складывая уравнения для /<0 и /<| и разлагая их по Кп, покажем, что из них следуют уравнения (2.7), (2.13) и „ответственная" за часть уравнения (2.16). Это будет означать, что и данный метод и пере-разложение уравнений Барнетта по Кп дают одинаковые уравнения медленных течений смеси газов. В барнеттовском приближении метода Чепмена — Энскога

+№+/%='Д[1 + ф$+ф$]. (3.1)

Удерживая в разложениях лишь члены порядка Кп<г>, г <3, запишем

<=2й фй«2й- <зл>

г= О г=1 г = 2

где Ия=1» и> как можно видеть, Кроме того, из урав-

нений 21 (Л°ЕАв) = о следует

1.нА"'/Г(№+«)]- -

Р Р

2/[/®’/Г (й+Л --2.1 и? А" ой”«+ й +?’)].

(3.3)

Предположим, что четыре первых члена разложения (2.2), т. е.

и (1 + Ф^ + Ф(с2) + Ф(а3)), равны первым четырем членам пере-разложения отрезка ряда (3.1) с помощью (3.2). Тогда

й’=й¥, Ф1!)-й++г1х.т + хй+1», } ,34)

•Р-й-цвлУ+ев+ехв + вн-)®- I

Используя (3.4) и соотношения для определения ^ (например,

«1Г) == |/»0)ФаЫЪ), можно показать, что принятые в методе Чепмена—Энскога условия однозначности [5] переходят в условия (2.4). Сложим уравнения метода Чепмена — Энскога для /£Ц и /йг до№ , до/‘У */$ а/й

Н---

дЬ дх1 дЬ дг

=2+/2/й)+2 и </М>+лЛШ+/.?/©]. (3.5)

Р Р

Применяя известные [9] правила исключения „производных" по входящих в (3.5), найдем

~/Г[~ (т<-VШя™-т>)

~\~Р О)

- I П” _ \а - /\х /.

(3.6)

~~Ап {- £ v7<'> + (|< -1)[}^ V Ел» - ^ «<»]) + <ь ~~ ~ /г.; р.=р; (й)+р:; <й) е„,

где через Ра, (2а, обозначены группы членов порядка Кп2 той же структуры, что и Ра. Из (3.6) и (2.15) имеем

4./Й . «./й «./2 _ »4°> г г „ . „ ,,,

~ + “5Г + _й-------------“5Г+г” г--'’■ + <*■+*■■ (З-7)

Используя (3.2--3.4) и (3.7), приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях Кп,из(3.5)получим последовательно уравнения (2.7), (2.13) и уравнение для Ф13), отличающееся от (2.16) некоторыми членами из Га и слагаемыми левой части

_ ^ + 2 /[/10)/Г (•/'|) №)\. (3.8)

дх‘ р

Однако все эти члены не дают вклада в т^?) [входящий в (2.20) интеграл от них будет равным нулю] и их можно просто отбросить,

что и оправдывает сделанное выше предположение. Действительно, Г„ состоит из скалярных и линейных по 5 членов; анализ уравнения для /i2) показывает, что зависимость С от квадратичная. Поэтому (3.8) может состоять только из членов нечетной степени

относительно £«.

Таким образом, путем переразложения отрезка ряда Чепмена — Энскога во втором (барнеттовском) приближении получаем гильбертовы функции Ф^1*, Ф<2) и ответственную за часть ®<f>.

Следовательно, описывающие медленные течения смесей газов уравнения могут быть непосредственно получены из уравнений

Барнетта, как это было сделано в работах [1—3]. При этом q и у'а даются навье-стоксовскими формулами, а в pi} входят указанные выше барнеттовские слагаемые.

4. Чтобы найти граничные условия, нужно решить задачу кнудсеновского слоя, т. е. срастить внутреннее разложение с внешним /a = /i0)(l + Ф(а1) + Ф12)В Ф^ входят только первые производные от температуры и концентраций, поэтому в первом приближении по Кп задача сводится к известным задачам о скорости и<ч температурного и диффузионного скольжения и температурном скачке. Здесь и далее т, п — координаты вдоль касательной и нормали к поверхности тела, граничные условия ставятся при п = 0. Когда температура стенки Tw или концентрации yaw переменны по поверхности тела, то граничные условия температурного и диффузионного скольжения нужно учитывать [вместе с условием T(n = 0)=Tw и т. п.] в основном приближении, т. е. для уравнений (2.14), (2.17). В то же время учет температурного скачка дает поправку О(Кп) к основному решению.

Для полного учета таких поправок необходимо, во-первых, решить задачу о скорости скольжения второго порядка иначе

говоря, использовать ф£2) во внешнем разложении, и, во-вторых, учесть изменения напряжений и тепловых потоков поперек кнудсеновского слоя при вычислении действующих на тело сил и теплообмена [I]. Это — весьма сложные проблемы, поэтому ограничимся только некоторыми качественными соображениями. Так как и{Р и характерная толщина кнудсеновского слоя порядка Кп, то из уравнения неразрывности получаем ип ~ Кп2, т. е. во втором приближении ип(п — 0)ф0. В ф!2) и во внутренние разложения функций /i0) и Фа!) входят вторые и произведения первых производных от Т и уа; это свидетельствует о том, что вызывается не только поперечным градиентом скорости, но и указанными производными. Такой вывод можно сделать и из приближенных граничных условий Грэда для уравнений 13 моментов, откуда ~~ рхп.

Детальный анализ и*.2* для случая простого газа проведен в работах [10, 11]. В отличие от данной постановки задачи предполагалось, что характерный перепад температуры 6-*0, поэтому используемое в этих работах уравнение Крука линеаризовалось. После этого его решение искалось методом сращивания внутренних и внешних асимптотических разложений по Кп. Естественно, что в этом случае В иW не входят произведения первых производных, но входят вторые производные от Т. Последние являются

источником термострессовой конвекции другого типа, чем установленная в [1, 2]. Установленное в [1, 2] движение около равномерно нагретых тел вызывается барнеттовск^ми температурными напряжениями, входящими в уравнение импульса (при этом и — 63Кп, $ ~ 1). Здесь же оно обусловлено „температурным скольжением второго порядка", т. е. температурными напряжениями, фигурирующими в граничном условии для скорости (при этом и ~ 6Кп2, 6 << 1). Аналогичные эффекты должны вызывать и концентрационные напряжения. Иными словами, граничное условие скольжения второго порядка при определенных условиях может определять движение газа и поэтому являться сильным граничным усло'вием в терминологии [12] наряду с известными температурным и диффузионным скольжениями.

Примечание. После направления работы в печать вышла статья 113], посвященная выводу уравнений медленных течений методом Гильберта. Однако рассматривался только простой газ (а не их смесь, как выше); автор ограничивался вторым приближением для /, что сужает постановку задачи и в значительной степени упрощает задачу; полученные для нестационарного случая уравнения неверны: яе учтена приведенная выше оценка характерного времени течения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Галкин В. С., Коган М. Н., Фридлендер О. Г. О некоторых кинетических эффектах в течениях сплошной среды. „Изв. АН СССР, МЖГ“, J970, № 3.

2. Галкин В. С., Коган М. Н., ФридлендерО. Г. О свободной конвекции в газе в отсутствие внешних сил „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1971, № 3.

3. Г а л к и н В. С., К о г а н М. Н., Фридлендер О. Г. О концентрационно-стрессовой конвекции и некоторых свойствах медленных течений смесей газов. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1972, № 2.

4. Шавалиев М. Ш. Барнеттовское приближение в многокомпонентных газовых смесях. В сб. „Кинетическая теория газов и плазмы*, Новосибирск, СО АН СССР, 1971.

5. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука*, 1967.

6. Струминский В. В. О методе Гильберта решения уравнения Больцмана. ДАН СССР, т. 158, № 1, 1964.

7. Жигулев В. Н. Об уравнениях движения неравновесной среды с учетом излучения. Инженерный журнал, вып. 3, 1964,

8. D а г г о z е s J. S. Approximate solutions of the Boltzman equation for flow past bodies of moderate curvature. Rarefied Gas Dynamics, vol. I, New York — London, Acad. Press, 1969.

9. Ч e п м e н С., К аул инг %. „Математическая теория неоднородных газов". М., изд. иностр. лит., 1960.

10. S о п е У. Asymptotic Theory of Flow of Rarefied Gas over a Smooth Boundary. Rarefied Gas Dynamics, vol. 1, New York— London, Acad. Press, 1969.

. 11. Sone Y. Flow induced by thermal stress in rarefied gas.

Phys. Fluids, 1972, No 8.

12. Kogan M. N. Molecular Gas Dynamics. Annual Review of Fluid Mechanics, 1973, vol. 5.

13. Рудяк В. Я. О выводе уравнений движения слабо разреженного газа около сильно нагретых тел из уравнения Больцмана. ПМТФ, 1973, № 5.

Рукопись поступила 5jIX /973 г.