Обобщенный метод Чепмена Энскога. Часть 1. Уравнения неравновесной газовой динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И ¥о~м V 1эУ4

№ 5

УДК 533.6.011

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ЧЕПМЕНА —ЭНСКОГА

Часть 1

УРАВНЕНИЯ НЕРАВНОВЕСНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

В. С. Галкин, М. Н. Коган, Н. К. Макашев

На основании предложенного обобщения метода Чепмена—Энскога решения уравнения Больцмана выводится система уравнений газовой динамики для смеси многоатомных газов при наличии бимолекулярных химических реакций во всем диапазоне значений отношения характерных величин времен релаксации поступательных (те) и внутренних (т^) степеней свободы молекул

Известно, что уравнения газодинамики и входящие в них коэффициенты переноса можно'получить методом Чепмена—Энскога из обобщенных кинетических уравнений Больцмана (см. библиографию в [1—5]). Схематически кинетические уравнения можно записать в безразмерном виде е= Уе + я.А где е = ъе/Ь — число Кнудсена, а^т^/тя, & — характерное газодинамическое время.

Уравнения газодинамики получаются из этого уравнения асимптотически, при е^О и дополнительных предположениях относительно а. В настоящее время достаточно полно изучены предельные по а случаи „быстрых“ [е -+■ 0, ос = 0(1)] и „замедленных“ (а-—■ е -* 0) обменов поступательной и внутренней энергий молекул (эти случаи называют также „равновесным“ и „релаксирующим“ соответственно). Более того, существует мнение [2], что макроскопические уравнения могут быть выведены только тогда, когда быстрые и медленные процессы четко разделены.

На практике, однако, в одном и том же течении или процессе либо а может меняться от а-—е до 1 (например, вследствие роста скорости реакции при возрастании температуры), либо е может меняться от значений до е—а 1 (например, при истечении

газа из сопла в форкамере имеем а на выходе из сопла

вследствие роста средней длины пробега может быть порядка &). Следовательно, необходимо иметь уравнения газодинамики, справедливые во всем диапазоне а, от а = О (е) до а = 0(1).

В настоящее время для описания указанных течений (процессов) применяются уравнения, выведенные для релаксационного случая (а — $), и, следовательно, несправедливые для а = 0(1).

В данной работе развит метод вывода уравнений газодинамики, справедливых при произвольных а в эйлеровском, навье-стоксов-ском и следующих приближениях. Показано, что уравнения Эйлера и Навье — Стокса * имеют тот же вид, что и для релаксационного случая, однако коэффициенты переноса при этом получаются иные.

1. Исходные уравнения. Рассмотрим многокомпонентную смесь многоатомных газов при наличии бимолекулярных химических реакций, описываемую системой обобщенных кинетических уравнений Больцмана [6—8]:

Ч'ДлУ V УУдЛ

(1.1)

Здесь в Уо, У§ входят интегралы упругих и неупругих столкновений соответственно. Индексы <2==Лш, ¥ = A = Q8, jy = Rl определяют сорт (N, Р, Q, 1, 2,..., 5, где 5— число компонентов

смеси) и внутреннее состояние (<*>, ф, 8, . ..) молекул. Далее,

.gva — относительная скорость сталкивающихся молекул, а,*4— сечение процесса W + Q-> Д + Л, происходящего при столкновении,

■Hav = ga gw ml m%, g9 — статистический вес «-состояния N-мо-

лекулы, ms = /nN—ее масса. Предполагается выполненным принцип микроскопической обратимости

Н?л- gaw do^ ctis dUr — Ядд ^дЛ do~f скА.

Из (1.1) имеем систему уравнений переноса

Q Н О (* I D

~ßY + п9. vu -f- ууй = /?g = J -g- jq (ff) d%a ; (1.2, a)

+ niP) Vu + X Xif Vh = 0, ; (1.2, 6)

Ö "" 9

гж + % + т& = °- <L3>

ßf ^~2~ kT -f- -¡- v<7n 4- vV ^V/s ^ P‘ldxj~

'^kT + EW VÄ = 0. (1.4)

■ ’ а

Здесь введены обозначения DjDt— djdt + ukdjdxk\

n<>. = { 1), = n = £n/V, (Л) = J Afzdby,

n

и = — ^ Ото (Sc), о = V wi/v «... = ^ m(/,)

Q “ о p

£o = <£o), — ([c2iCß/]>. —w;

iA-y] = x ^ £п = S ^ (£s 4). E = X ^ ,

(1.5)

* Под уравнениями Эйлера и Навье — Стокса ниже понимаются уравнения переноса, соответствующие нулевому и первому приближениям обобщенного метода Чепмена — Энскога.

где Е<2 — внутренняя энергия 12-молекулы, А'о,) = — количество

атомов р-то химического элемента в Й-молекуле, т№—его масса,

связанная с т? равенством та = V т(р\

р

Температуру будем определять по поступательным степеням свободы молекул:

' Т== (¿пЬу'2тя(с1). (1.6)

о

Введем также числовую плотность молекул, не участвующих в химических реакциях

пя, = 21 /"* —уУ* “*> — 1, 2,. . . , 5* < 5.

2. Приближение Эйлера. Используя для обозначения безразмерных переменных тильду сверху, перепишем (1.1) в виде

А

(1 /о I Л ДА 1 АД _ \

3 =4-4-(/я<о • (2-1}

й7 Г

По предположению число Кнудсена г = те/& -> 0. Характеризующие сечения неупругих столкновений коэффициенты а^) = хе/тл (г) могут быть различными по порядку величины для различных типов обменов внутренней энергией, поэтому в (2.1) введена сумма по г.

Как будет показано, величины не дают окончательной оценки интегралов неупругих столкновений, и это имеет принципиальное значение для развиваемого метода.

Решение уравнения (2.1) ищем в виде ряда /- =■ ПО степеням £, считая г->0 и е ^ ¡2^ 1. При всех равновесие по по-

ступательным степеням свободы молекул устанавливается быстрее или одновременно с равновесием по внутренним степеням и с химическим равновесием. Поэтому решение в нулевом по г приближении будем искать в виде

/!?» = «<<?> (ОТд/2 т.кТ)31'2 е~^, = (то/2 ¿Г)1,2£о. (2.2)

Парциальные плотности п<3П> в этом приближении удовлетворяют следующей системе уравнений, получающейся в результате подстановки (2.2) в (1.2, а):

О«<0>

п. , - я!?) у и = /?(?), /?<?) = 2 К* 40) - <■ «(о0) <4;

“ — - *' цгдл

= (я<°> J*/o) /Р ёч % %•

Отсюда имеем соотношение

, 4Г) Г^ачг^(°) ^ДЛ «(0>лГ0>|

1 —-— \(1ьаП± Ял — &2Ч1' По> /2ц' |(г)

(2.3)

и, следовательно,

пп. Г ,

1 +° I “й

„10) П10) _ ,я? я° Л л 10) „(0)

Д А п ~ п « 4

(2.4)

где п0 V. — равновесное значение числовой плотности 2-молекул.

Подставляя (2.4) в выражение для интеграла неупругих столкновений, находим

Поэтому интеграл У? (/(0|/(0)) при всех а(РЛ) должен входить {наряду с в уравнение для Д>.

Таким образом, уравнение для нулевого члена разложения /[

о>

для всех сводится к -у- У о (/ / ) = 0 и его решение действительно имеет вид (2.2). Такому же уравнению удовлетворяет Д°> и в релаксационном случае [«^ = О(е)]; в „равновесном“ случае (а^ = 0(1)] используется уравнение У^ + У^^О. Отсюда следует важный вывод: уравнения Эйлера, получаемые подстановкой (2.2) в уравнения переноса (1.2) — (1.4) и равномерно справедливые с погрешностью О (е) по сравнению с единицей для произвольных а('> (вплоть до „равновесных“ а<(>~1), будут теми же, что и обычно применяемые для чисто релаксационного случая.

3. Уравнения Навье—Стокса. Перейдем к рассмотрению приближения Навье—Стокса. Для Д1)=Л?)?(Й1) получаем систему неоднородных линейных интегральных уравнений (в дальнейшем удобнее пользоваться размерными величинами)

/Н/<0)/(0У|)) + у? (/(и7'и)сР(1));

(°) Л0) ПК.

(3.1)

-ДП,Л0) (?!!’ + ?<!>)

Я’-'ч <1^, аьг.

(3.2,6)

В таком виде уравнения для <рУ> получены в [5] как „интерполяционные“, в них были оставлены члены, входящие в уравнения для в предельных случаях а<{> = 0(в) и а\г) = 0(1). Однако равномерность аппроксимации для промежуточных а(г) не анализировалась, задача определения структуры общего решения для ?£> фактически не ставилась, вопрос об алгоритме построения всего ряда Чепмена—Энскога для/о не рассматривался. Можно показать, что интегральный оператор уравнений (3.1) является несамосопряженным и что число его собственных функций равно числу сум-маторных инвариантов неупругих столкновений; но вид этих функций неизвестен, поэтому не представляется возможным установить структуру общего решения уравнений (3.1).

+ !Р(,У +

(3.3)

причем первый из них имеет порядок (а<2л)/е)--------------адГ> и должен

быть оставлен в уравнении для а второй, вследствие (2.4) — порядок так что его надо учитывать лишь в уравнении для

следующего члена разложения /2 по е. -1

Исключая с помощью уравнений Эйлера производные по вре-

¿а = V (пЮ/п) + (п^/п — Шы я(20)/Р) V 1п р.

Однородный интегральный оператор уравнения (3.4) имеет решение в виде линейной комбинации сумматорных инвариантов неупругих столкновений

где а, р, Рру 5^ — произвольные постоянные.

Последнее слагаемое присутствует лишь для молекул, не участвующих в химических реакциях.

Легко проверить, что неоднородные части уравнений (3.4) ортогональны к (3.5). Следовательно, решение уравнений для <ру> существует и может быть представлено как линейная комбинация его частного решения и сра

Здесь А, В, О и О — функции с\, Т, п§\ ¿¡V, и сечений упругих и неупругих процессов. Для однозначного выбора частного решения потребуем, чтобы оно не давало вклад в следующие газодинамические переменные: п(р\ п.ц,, п, и, Т. Это приводит к тому, что <р2 можно формально приравнять нулю (или объединить <ро с остальными членами ср[>>). Проинтегрировав (3.4) по са, можно установить, что

мени, получим уравнение для 1

<Р(д1) = — Лд£й VТ--------------------------------------■ Вз [Сы Сду] ~ + С 8 ^ В&у (1у + Оа + срд. (3.6)

} ИГ

(3.7)

Это свойство решения используется далее1 для формирования алгоритма построения формального решения уравнения (1.1) в любом приближении. -

Одной из важнейших особенностей данной задачи является то, что число независимых собственных функций интегрального оператора из (3.4) не позволяет определять па по Д°>. Поэтому необходимо искать решение для в виде ряда по £

П2==^ пв]-А=0

Левая часть (3.4), а следовательно, и частное решение (3.6), имеет ту же структуру, что и в релаксационном случае [1, 2]. Однако, если в последнем коэффициенты А, В, И зависят лишь от сечений упругих столкновений (так как интегралами ./§(/(0)/(0> !Р<1)) пренебрегают), то здесь они зависят и от сечений неупругих столкновений. Такой же, как и в релаксационном случае, будет структура р\1/' <1)’ Л'1, но входящие в них коэффициенты переноса являются: сложными функциями сечений упругих и неупругих столкновений, Т, Ем- и я(°Л Скалярный член дает вклад только в п3 (п\р = §/рСайсЬ)-

В таких задачах, как задачи о пограничном слое или течениях при Ие 6^0(1), величиной я<]> можно пренебречь по сравнению с п£'‘ с погрешностью О (е) (т. е. заменить п(°> на п3). При этом дляпа имеем уравнение

^ + + (/(0)/(0)) (3.8>

в котором правая часть имеет обычный „эйлеровский“ вид. Уравнение (3.8) может быть использовано лишь при получении основного приближения к решению, так как опущенные в нем члены, обусловленные вкладом Д> в Л?2, вносят поправки О (а), т. е. должны учитываться в следующих ПО £ приближениях.

Иначе говоря, для таких задач уравнения Навье — Стокса для произвольных имеют обычно используемую при исследовании’ течений релаксирующих газов форму, но другие коэффициенты.' переноса.

4. Обобщенное приближение Эйкена. На практике часто встречаются случаи, когда для части неупругих процессов а V = 2^ 1 (вращения, или вращения плюс колебания), а для

остальных а^> = а2^1 (колебания плюс химические реакции, или химические реакции). При этом выражения для переносных свойств существенно упрощаются.

Вследствие «2 <С1 1 опустим соответствующий член J§s в правой части (3.4): такое приближение соответствует главному члену разложения по степеням а2. Обозначая энергетические уровни для а, и а,-процессов через ю, и ш2 соответственно, введем также предположение, которое оправдано „в среднем“ —для расчета коэффициентов переноса —о том, что сечения „агвзаимодействий“ не зависят от „а2-состояний“, т. е.

№,0), __ (V;, /Ит),

ЛГ|1.,[л.п — ^Л/со, Жр., • I/

Учтем еще, что с помощью (2.4) можно доказать следующие соотношения:

/г лоу +я°>/#>

— 1 4“ О (в/а1),

где Хе = пЮ/п^ , 2^ Л'ш, и>2,

Г|=1^ёг/кА";.' +лйл. ■ 2 *= -1 ■

После этого уравнение (3.4) без скалярной части приводится к виду

А», (¡4 — V 1п Т + 2 [та»Л-2 £л?^л'Ш1 + £л/ V 1п Л'а} =

= 2

X (Фл1ч,и, ^ЛЬ.ш., ^!иц,и.; 'Р#ю1т5)5'У“>,Л[11 ^N^^¡1, ' (4-3)

Отсюда видно, что определяемые первыми тремя членами левой части (4.3) слагаемые <р(21) не будут зависеть от <о2. Действительно, после суммирования по ¡*2 справа и сокращения на Х<2 уравнения для них перестают зависеть от <о2. Частное решение, соответствующее последнему слагаемому левой части (4.3), может быть представлено в виде — Сы V 'п где Q;va,1 удовлетворяет уравнению

Л?1и£" = _ £ I Г1 (<5д'..£а- “ ^СЛ') ё^,м,ч Ям■ (4.4)

МН-1М1

В результате после анализа собственных решений и условий однозначности найдем

?а ’ = 'Р.Уш, — Q*<o,£/v V 1пХя, (4.5)

где ^ —решение задачи о смеси многоатомных газов, молекулы которых ицлеют только «¡-уровни, поэтому и „основные

части“ диффузионных скоростей будут такими же, что и в ЛЦ-газе, влияние же ш2-уровней [второго члена (4.5)] проявляется только в выражениях для диффузионных скоростей и теплового потока. Обусловленные о)2-уровнями части этих выражений имеют вид

8/9 = - п^ОмчуХ*. Я*., = [3 л^Г1 С/у., с% асы’, (4.6)

о£ = 2 В^- ЬЬ “ - 2 V X (4.7)

У /Уо)1 Шо

Все коэффициенты переноса (в том числе Омш,) зависят от Т, л(Д,, масс молекул и сечений упругих и со,-переходов, и не зависят ОТ и сечений со2-переходов. По физическому смыслу —

коэффициент самодиффузии Мо,-газа, а (4.7) имеет смысл назвать обобщенной неравновесной поправкой Гиршфельдера— Эйкена к тепловому потоку, обусловленной самодиффузионным переносом £лч,-энергий молекул. Плотности «л'ш, определяются соответствующими релаксационными уравнениями.

При а, = 0(1) из последних с погрешностью О (е) по сравнению С единицей следует, ЧТО я‘20) = «лгфл'ш, Л'а , где фл/ш,—больцманов-ская функция (т. е. равновесно распределены по о>гуровням), Хъ^пи^Пы, (л/лд^сЦ, = (п/пм)Лк + V 1па (4.2) приобретает вид /$>/(Я> 'т'л'ш, (пн^пн) (пм[н/пм). Все коэффициенты переноса

уже не зависят от п$о, а зависят от пн, Т и Ям»,- ПРИ наличии химических реакций пы удовлетворяют релаксационным уравнениям. Иными словами, формально имеем известную задачу [1, 2] о переносных свойствах смеси многоатомных газов, когда со,-сте-пени свободы находятся в равновесии, а (».¡-степени свободы релак-■сируют. При этом, в частности, для однокомпонентного газа полный тепловой поток

£=-Чо>1)*Г-лЯ(ш1)?£<2\ £(2)= 2^^' (4-8)

а>Х и>2

Если в быстрые процессы входят вращения (и>г) и резонансные обмены колебательной энергией (и^), то имеем случай многотемпературной релаксации [1, 4], ибо здесь флга, = <{М7Ш(.(7") 1*лга> ,(ТУ) и переносные свойства зависят еще и от „колебательных температур“ Ту.

Наконец, если а,*переходы отсутствуют, то коэффициенты переноса не зависят от внутренних состояний, (4.6) и (4.7) переходят в неравновесные поправки, вывод которых методом Чепмена— Энскога дан в [9]. Если а2 удовлетворяет неравенству е<^а2<С^1, то релаксационные уравнения будут уравнениями с малым параметром перед производной, и их решения можно искать в виде ряда по е/а2 около равновесного состояния: ялгш,/ялг = (л№1>5/л/у)0 44- (е/а2)/7(7', пн)уи 4.. Ограничиваясь первым членом ряда, по-

лучаем поправку Гиршфельдера—Эйкена к коэффициенту теплопроводности (например, [9]), в частности (4.8) принимает вид

£ = - (X 4- пйсу)VГ, су = йЕ0'\с1Т, (4.9)

где I, О — коэффициенты теплопроводности и самодиффузии одноатомного газа, пОСу — модифицированная поправка Эйкена.

Важно подчеркнуть, что на практике расчет переносных свойств осуществляется именно в предположении, что все неупругие процессы— медленные, с применением результатов метода Чепмена — Энскога для чисто релаксационного случая (а — г).

Из изложенного следует, что эти результаты справедливы не только в предельном случае а=0(г), но и для промежуточных значений о. (£<С><С1), когда, в частности, обоснованна формула (4.9), т. е. модифицированная поправка Эйкена.

5. Об объемной вязкости. Полученные выше уравнения не содержат объемной вязкости. Однако известно, что она входит в уравнения Навье—-Стокса, найденные методом Чепмена—Энскога для „равновесного“ случая (а—1) или из феноменологических соображений. Это различие связано с различным определением Т.

Объемная вязкость СV« появляется в тензоре напряжений, когда если определить температуру по полной энергии

молекул [1]

\-пкТг + пЕ0{Тг) = '£(?ф- + Е^, (5.1)

где Е0 — равновесное значение внутренней энергии молекул. [В более общем случае, когда ie ^ <С ^2^ в тензор напряжений войдет и так называемое релаксационное давление]. При этом в уравнение энергии входит выражение 3/2kTг + E0{Ti). Если же определить температуру лишь по кинетической энергии молекул (как это сделано выше), то в Р\') член с С отсутствует, а в уравнение энергии войдет 3/2kT + Е. Иными словами, объемная вязкость „перейдет“ в Е [так же, как и релаксационное давление и т. д4]. Действительно, из (5.1) имеем связь Т—Тх — (2j2>k)\E —

— Е0(Тs)]. При ^т# & из релаксационных уравнений и уравнения энергии получаем Е — Е0 (7's)'-~ v«, поэтому — (С/я£) у«-

Используя эти соотношения, легко показать, что переопределение температуры Т2->Г приводит к „исчезновению“ объемной вязкости в Рtj и появлению дополнительных слагаемых в Е

^kT + E0(T)+(±kT + d-§L^vu^^-kT + E. (5.2)

Физический смысл объемной вязкости — „отставание“ внутренней энергии от своего равновесного значения или температуры внутренних степеней от температуры поступательных степеней свободы молекул. Поэтому представляется естественным вводить член, пропорциональный СVй, не в РГр а в Е, т. е. определять Т по кинетической энергии молекул. Такое определение позволяет вводить температуру каждой степени свободы и справедливо для любых а<р (при температура всегда определяется так же,

как описывалось выше).

В некоторых работах при рассмотрении задачи о поглощении звуковых колебаний в многоатомном газе декремент затухания этих колебаний при не очень больших частотах формально выражают через коэффициент второй (объемной) вязкости С [6, 10]. При этом формулу для С получают путем разложения „эйлеровских“ релаксационных уравнений около равновесия. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание.

Коэффициент С определяется отклонением Д плотностей Пв от их равновесных значений пп я; при а~ 1 Д^в, такого же порядка точность самих уравнений Эйлера. Поэтому отождествлять полученный в результате вышеуказанной процедуры коэффициент С» при у“ в выражении для P{.V с коэффициентом объемной вязкости С нельзя *. .

Действительно, из уравнений для плотностей ris, где в выражении для R9 необходимо удержать члены, обусловленные <pll) , можно показать, что С = СЭ[1 + 0(а)], т. е. при а—1 Сэ отличается от С на величину того же порядка. Более того, в ряде случаев (пограничный слой, течения при Re<—1 с конечными градиентами Т и концентраций) слагаемые величины Д = ns — tio s оказываются пропорциональными не только vu> но и (уТ)2, d\, da\T. Вклад этих членов при а—1 сравним со слагаемыми, пропорциональными Vи, т. е. в этих случаях эффекты диссипации за счет многоатом-ности и химических реакций не сводятся только к механизму второй вязкости в его обычном смысле.

* То же самое относится, естественно, и к декременту затухания звуковых колебаний за счет многоатомности молекул газа.

6. Алгоритм общего решения. Теперь можно сформулировать алгоритм построения всего ряда для /2, каждый из последующих членов которого в є раз меньше предыдущего.

Перейдя в (1.1) от переменных (Їй, х, ¿) к переменным (са, х, I) [2] и считая Дг> зависящими от Со непосредственно, а от (х, і) — через п{£\ и, Т и их пространственные производные (следовательно, такими же функционалами будут и п^\ £(г> при г>-1), получим уравнения для /<2'р)(г>2) в виде

Яо/іг1’ , , , б/Г!) /V,- ¿/Г”

Г’.’П-----гГ/--Г £ 9 • — — — — - —

Dr-\ ui ^à0> 11 duj

dc^l dcsl CQi Щ ~

JU/k)f~k)) -h

-E4-AA(fk)f-'-k)) = k=0

- ^ (/(0)/(0) ?(г) + (/(0)/(0) ?('>). (6.1) Производные D0|Dt исключаются при помощи уравнений Эйлера, для к>1

Аи«7^ = — р_1 дРц]!дхр

з ,ОьТ _,ь,ди, „,ь, . 3

2 nk£ - X ^ я(а*> + І- ^ X

J 9 S

¿Vo0) . , ¿>*—1 «У1

-----il- --;---У7Ц --------- Т7 -j~ /?(k) _______ ________ „____ . --------------— •

Di 9 V« V/2 KQ ,

1 /«s , Ля) ,(A-l_n). , I Г 1 iRA , r(n) nk-n).

(6.2)

/?£,*’ = E i -2 y“S (fin)fik-'-n)) de, 4- X i (/(л)rf£s-

n=l n=n

Уравнения (6.1) и (6.2) того же типа, что и (3.4), интегральные операторы имеют те же собственные функции. Используя (6.2) и уравнения Эйлера, можно показать, что левые части (6.1) ортогональны к этим функциям, т. е. рёшение существует. Указанные в п. 3 условия „однозначности“ (за исключением ns все газодинамические переменные определяются по /<д0)) делают его единственным. Интегрируя (6.1) по cs, убеждаемся, что решение этих уравнений обладает свойствами, аналогичными (3.7). Решая последовательно системы уравнений (6.1) и (6.2), найдем ряды для ри, £п, у’а , По , Rs и Е, замыкающие уравнения переноса. Кроме этого, в краевых условиях необходимо записать По в виде ряда, члены которого выражены через п<§\ или проделать обратную процедуру, выражая в уравнениях сохранения nf через пя ■

7. Приближение Барнетта. Вычисление переносных свойств во втором (барнеттовском) приближении можно провести, как и для смеси одноатомных газов [11], не зная явного вида Д2). Именно в силу самосопряженности интегральных операторов уравнений для f!0 имеем, например,

pm = _ kT £ j Bq [Св, сщ ] ¿(|> dej ,

2

где ¿о2) — неоднородная часть уравнения для /о2).

Анализ показывает, что в р^\ /(й2> входят члены той же

структуры, что и в смеси 2 одноатомных газов [11], но коэффициенты перед ними зависят от сечений неупругих процессов. Остальные члены менее существенны. Например, в /?<?>, кроме указанных, входят слагаемые, „пропорциональные“

При а^>е выражения в круглых скобках пропорциональны {а2 у и, поэтому в случае медленных течений, где барнеттовские температурные и концентрационные напряжения могут быть величинами основного порядка [12], этими дополнительными слагаемыми можно пренебречь.

Поскольку в рФ входят члены, пропорциональные V«)> то в случае многотемпературной релаксации (см. п. 4) в газе возникают напряжения, обусловленные градиентами температур Ту различных групп внутренних степеней свободы молекул, ибо здесь Ло.,/и =- ’ ф.,(7\,). Этот факт отмечен в [13].

1. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука“, 1967.

2. Андерсен Г. Вывод уравнений гидродинамики из уравнения Больцмана. В сб. .Кинетические процессы в газах и плазме“. М., „Атомиздат“, 1972.

3. В а л л а н д е р С. В., Егорова И. A-, Р ы д а л е в с к а я М. А. Распространение метода Чепмена—Энскога на смеси газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями. В сб. „Аэродинамика разреженных газов". Изд. ЛГУ, 1965.

4. Жигулев В. Н., Кузнецов В. М. Некоторые проблемы физической аэродинамики. Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1136.

5. А л е к с е е в Б. В. Явления переноса в химически реагирующих газовых смесях Сб. „Очерки физики и химии низкотемпературной плазмы“. М., „Наука“, 1971.

6. Вал.ьдман Л. Явления переноса в газах при среднем давлении. В сб. „Термодинамика газов“. М., Машиностроение, 1970.

7. П а л ь ц е в Л. А. Кинетические уравнения для умеренно плотных многоатомных газов. „Теор. и матем. физика“, 1972, № 2.

8. Нагнибеда Е. А., Р ы д а л е в с к а я М. А. О принципе детального равновесия и кинетических уравнениях для смеси реагирующих газов. Вестник ЛГУ, 1970, № 19.

9. Г а л к и н В. С., Коган М. И. Об уравнениях неравновесных течений многоатомных газов в приближении Эйкена. В сб.„Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды“. М., „Наука“, 1969.

10. Зельдович Я. Б., Р а й з е р Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Физматгиз,

11. Шавалиев М. 1±1. Явления переноса в барнеттовском приближении в многокомпонентных смесях. „Изв. АН СССР, МЖГ', 1974, № 1.

12. Г а л к и н В. С., Коган М. Н., Ф р и д л е н д е р О. Г. О свободной конвекции в газе в отсутствие внешних сил. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 313. Жигулев В. Н. Исследование уравнения Больцмана для

газа с внутренними степенями свободы. Сб. .Аэрофизические исследования*. Новосибирск, Изд. СО АН СССР, 1972.

ЛИТЕРАТУРА

1963.

Рукопись поступияа ISjVI ¡974 г.