CC BY
54
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том VIII ’ 1977
УДК 533.7+533.1/.2
СРАВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА С ТОЧНЫМ РЕШЕНИЕМ
А. Д. Хонъкин
На основе точного решения уравнения Больцмана, описывающего одномерный разлет максвелловского газа, анализируется проблема описания неравновесных систем посредством гидродинамических, переменных состояния. Рассматриваются две системы уравнений, замыкающих уравнения переноса Максвелла: законы переноса Навье— Стокса — Фурье и законы переноса для быстрых процессов, в которых наряду с классическими членами присутствуют производные по времени тензора напряжений и теплового потока. Последние уравнения были получены ранее в результате асимптотического (по малым значениям числа Кнудсена г) решения уравнения Больцмана с учетом быстрого изменения функции распределения по времени I. В результате сравнения с точным решением показано, что в отличие от приближения Навье — Стокса уравнения гидродинамики быстрых процессов обеспечивают равномерно точное представление гидродинамических переменных состояния с точностью О (є) при всех і с автоматическим учетом начального кнудсеновского слоя.
1. Проблема обоснования уравнений гидродинамики и определения гранит применимости гидродинамического описания дискретных сред имеет первостепенную важность [1]. Вывод уравнений гидродинамики из кинетического уравнения Больцмана анализировался в ряде работ. В работах [2, 3] исследовалась, линеаризованная модель уравнения Больцмана, а в работе [4]— релаксационная модель Батнагара — Гросса — Крука. В работах [5] дан анализ асимптотического поведения решений нелинейного уравнения Больцмана, который был продолжен в работах [6, 7]. В результате этих исследований было найдено, что для широкого диапазона условий решение задачи Коши для уравнения Больцмана с течением времени асимптотически стремится к нормальному решению, дающему гидродинамическое описание неравновесной системы на временах, значительно превышающих время свободного пробега. Была выяснена роль начального кнудсеновского слоя и определены поправки к начальным значениям гидродинамических параметров, учитывающие „начальное скольжение*.
Естественным дальнейшим шагом является включение начальной релаксации в схему гидродинамического описания. Продолжая упомянутые исследования,. Д. Н. Зубарев и автор данной работы применили к уравнению Больцмана методы неравновесной статической механики и получили уравнения гидродинамики с учетом эффектов „памяти" [8].
В работе [9] эти уравнения гидродинамики быстрых процессов были преобразованы в дифференциальную форму, а в работе [10] показано, что эти уравнения могут быть получены в первом приближении асимптотической процедуры решения уравнения Больцмана с учетом изменения функции распределения на временах порядка времени свободного пробега.
Напомним, что уравнения гидродинамики быстрых процессов имеют вид
"^+_Т~^=0; (1)
д Ь д ха
ди« . ди« др дРа?
Р ГГ- + Р и3 — =— 11— '> (2)
д * р д л:р д ха д лгр
„ (дТ дТ\ диа диа д
+ О)
дРа Р дР^ (ди« диР 2 ^ И7 \ р /1г
а< +вт + <э*а~ 3 <>*т “р)_ ? РаГ' ( )
др дя* „ дт СрР
77 +“*7^Г--С''’а^~-_Г*-- ,5)
Здесь ^ — время, р — плотность, /;—давление, Т — температура, Су, Ср — удельные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно, (а, X — коэффициенты вязкости и теплопроводности, иа (а = 1, 2, 3) — составляющая скорости вдоль оси ха декартовой системы координат, qa—тепловой поток, рар — тензор напряжений; по повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование, не указываемое явно. Уравнения (1) —(3) есть точные законы сохранения, следующие из уравнения Больцмана. Уравнения (4), (5) замыкают систему уравнений (1) - (3), устанавливая связь (дифференциальную) тензора напряжений и теплового потока с параметрами р, иа, Т. Эти связи отличаются от законов переноса Навье — Стокса — Фурье наличием левых частей, которые при дополнительном предположении о медленности процессов во времени опускаются в классическом методе Гильберта — Энскога.
Некоторые свойства решений этих уравнений анализировались в работах 19, 10]. В данной работе проблема гидродинамического описания анализируется при помощи исследования точного решения уравнения Больцмана для задачи об ■одномерном разлете максвелловского газа [11]. Как и в классической гидродинамике, в которой широко применяются эвристические приближения и асимптотические методы, в применении к данной проблеме точные решения позволяют выявить характерные особенности асимптотических приближений и пределы их применимости. Основной вывод, полученный в результате представленного анализа, заключается в том, что в отличие от приближения Навье — Стокса урав-
нения гидродинамики быстрых процессов обеспечивают равномерно точное представление гидродинамических параметров при всех t с автоматическим учетом начального кнудсеновского слоя.
2. Рассмотрим точное решение уравнения Больцмана или, что эквивалентно, точное решение бесконечной системы для моментов функции распределения [11]. Рассматривается течение максвелловского газа, для которого все моменты, за исключением скорости, зависят только от времени. Выражения для плотности и скорости имеют вид
Ро Х1 „
Р = 7Т7’ И1 = 7^Т7г“2 = Мз = 0-
Здесь с — постоянная, имеющая размерность времени, и t—безразмерное время (отнесенное к с). Давление р зависит только от времени и подчиняется уравнению энергии
+ 5р + 2рп = 0, 7]=-^-1п(1 + 0-
и 7) О
В Принятых предположениях точное уравнение ДЛЯ Рп имеет вид *РЧ + , - , Л7 . 3-\_ _ Л . .. ___
d-Г] \ Е/ рс (1 + t)
Так как для максвелловских молекул [х —Т, то, согласно уравнению состояния, г = const. Решение этой системы уравнений имеет вид
р = ал 1 +оГ,/3 +Л(1 +Ф13 ; 1 (6)
Рп= fii(1 + t)r 1,3 +В2(1 +Ф!3 , I
где ги г2 — корни характеристического уравнения системы,
о
а коэффициенты связаны с начальными значениями р , р
(г3;+ Ъ) р° + 2рп —(г1 ■-)- Ъ)р° — 2/?п
А1 = , А-2 — ,
/-? — Г, Г2 — /-!
4 + (г2 + 7 "Ь ]/>п — 4р° — { Гх 4- 7 + — ]рп
В1 = , В2 —
*2 — ГХ Г2— ГХ
В приближении Навье — Стокса
4 дщ 4
Р и=-----—=—-1ГвР
■ 3 д х1 3
и, следовательно,
, , р Р°(\ : О’3, * -» : -3-- . . (7)
В приближении уравнений гидродинамики быстрых процессов
РП , А . ^ ГЧ
, + 4 р + рц — О
а т) £
и, следовательно,
р = А1 (1 + <)г~/3 + Л2 (1 + О7’/3’ (8)
где
„ (Г2+ 5)р°+2/7°, _ — (/4 + 5)/)° —2/??,
Л1 — ~ , А2=~
Г2 — Г-! Г2 — /*1
3
1
2 в
. 5е / 10 ,19 , 1
+ т +V '-т‘+тг‘ }
Сравнение полученных решений будем проводить, считая параметр е малым. Заметим, что корни г2 и г2 имеют порядок О (е-1), тогда как корни гг и гг—порядок 0(1). Следовательно, вторые слагаемые в правых частях (6) и (8) быстро убывают с течением времени. Удерживая по два первых члена в каждом разложении, имеем
"^1*-5+уЕ + 0(^), г1*-5 + '-|-е + 0(Е»),
3 /- 3
г2х— — Ч-7 + О (е), г2^— — + 0(е),
Е Е
А ~ р° — ■— вр°п + О (е2), Ах = р° — -|" Е/?!! + О (е2),
А2 ~ “ Е рп + О (е2), А2 & — врп + 0(е2).
Сравнивая разложения гх и г[ с (7), видим, что показатели у медленно релакси-рующих членов в (6) и (8) с точностью до членов О (е3) совпадают с показателем решения в приближении Навье — Стокса. Коэффициенты Ах и Ах также совпадают с точностью 0(е2), однако отличаются от коэффициента р° в приближении Навье — Стокса на член порядка О(е). Следовательно, для сохранения положенной точности приближения Навье —Стокса необходимо рассматривать начальный кнудсеновский слой, в результате чего начальное значение р° „подправится" и станет равным р° — 2/Зе/?п. Уравнения гидродинамики быстрых процессов обеспечивают автоматический учет кнудсеновского слоя с допустимой погрешностью О (е2). На малых временах I ~ е приближение Навье — Стокса даже с учетом начального кнудсеновского слоя отличается от точного решения на член порядка О (е):
-|-е/п(1 + гг3,£-
Приближение гидродинамики быстрых процессов и в этом случае обеспечивает совпадение с точным решением в порядке О(е).
Результаты проведенного сравнения точного и асимптотических решений уравнения Больцмана подтверждают, что уравнения гидродинамики быстрых процессов обеспечивают равномерно точное представление гидродинамических параметров с точностью О(е) при всех I, изменяющихся от 0 до со, с автоматическим учетом начального кнудсеновского слоя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Уленбек Г. Е, Некоторые фундаментальные проблемы ста-
тистической физики. В сб. .Международный математический конгресс в Эдинбурге*, М., ГИФМЛ, 1962. .
2. Grad Н. Asymptotic theory of the Boltzmann equation, .Rarefied gas Dynamics", vol. 1, Academic Press, N. Y. — London, 1963.
3. Арсеньев А. А. О решении задачи Коши для линеаризованного уравнения Больцмана. ДАН СССР, 1965, 165, № 6,
4. Me. Cune J. Е,, Morse Т. F., Sandri G. On the relaxation of gases toward continuum flow, „Rarefied gas Dynamics", vol. 1, Academic Press, N. Y. — London, 1963.
5. С т p у м и н с к и й В. В. Об одном методе решения кинетического уравнения Больцмана. ДАН СССР, 1964, 158, № 2.
6. Шаповалов Г. К. Об одном методе решения уравнения
Больцмана в пространственно однородном случае, ДАН СССР, 1969, 186, № 3. .
7. X о н ь к и н А. Д., Шаповалов Г. К. О выводе уравнений гидродинамики из кинетического уравнения Больцмана и области их применимости. В сб. .Численные методы механики сплошной среды", т. 4, № 4, Новосибирск, СО АН СССР, 1973.
8. Зубарев Д. Н., Хонькин А. Д. Метод построения нормальных решений кинетических уравнений с помощью граничных условий. Теоретическая и математическая физика, 1972, 11, № 2.
9. X о н ь к и н А. Д. Об уравнениях гидродинамики быстрых процессов, ДАН СССР, 1973, 210, № 5.
10. X о н ь к и н А. Д. О парадоксе бесконечной скорости распространения возмущений в гидродинамике вязкой теплопроводной среды и уравнениях гидродинамики быстрых процессов. В сб. „Аэромеханика", М., „Наука", 1976.
11. Галкин В. С. Одномерное нестационарное решение уравнений кинетических моментов одноатомного газа, ПММ, т. 28, вып. 1, 1964.
Рукопись поступила 27/1 1977 г.
