К расчету ударного слоя в промежуточном (между свободномолекулярным и сплошносредным) режиме течения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XXXVIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 7

№ 1 — 2

УДК 533.6.011.8

К РАСЧЕТУ УДАРНОГО СЛОЯ В ПРОМЕЖУТОЧНОМ (МЕЖДУ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫМ И СПЛОШНОСРЕДНЫМ) РЕЖИМЕ

ТЕЧЕНИЯ

А. Л. АНКУДИНОВ

Проведено упрощение полных уравнений Барнетта, используемых для исследования течений в промежуточном (между свободномолекулярным и сплошносредным) режиме, средствами двуслойной модели тонкого вязкого ударного слоя применительно к задаче поперечного обтекания кругового цилиндра гиперзвуковым потоком слаборазреженного газа.

Получены система уравнений, описывающая течение в собственно ударном слое вблизи поверхности, и соотношения на внешней границе собственно ударного слоя, т. е. для рассмотренного примера сформулированы уравнения и внешние краевые условия задачи тонкого ударного слоя в приближении Барнетта.

Показана полная идентичность задач тонкого ударного слоя для уравнений Барнетта и уравнений Навье — Стокса в окрестности затупленного носка плоского тела (на нормали к поверхности тела в его носке).

Предложен способ численного решения проблемы.

К полученным средствами кинетической теории так называемым уравнениям Барнетта, уточняющим при увеличении числа Кнудсена (т. е. с ростом разреженности газа) известные уравнения Навье — Стокса, обращаются авторы многих работ, исследующие различные аспекты гиперзвуковых течений в промежуточном (между свободномолекулярным и сплошносредным) режиме, см., например, [1 — 3]. Историю вопроса, связанную с этими уравнениями, способ их вывода, свойства, приложения, новые результаты см. в [2, 3]. В сравнении с уравнениями Навье — Стокса полные уравнения Барнетта имеют более сложную структуру и более высокий порядок. Применение этих чрезвычайно громоздких уравнений в полном, неадаптированном их виде по многим причинам невозможно, в том числе и вследствие нерешенности ряда сопутствующих постановочных проблем. Поэтому одним из главных моментов является упрощение полных уравнений Барнетта, оправдываемое спецификой непосредственно рассматриваемой

задачи, т. е. соответствующая адаптация их применительно к конкретной проблеме, упрощающая сложную изначальную постановку общей задачи. Одну из корректных возможностей такого рода упрощения дает концепция тонкого вязкого ударного слоя, хорошо зарекомендовавшая себя в рамках уравнений Навье — Стокса, в том числе и в специфическом диапазоне исчезающе малого числа Рейнольдса [4].

На базе уравнений Барнетта с использованием приближения гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя в данной работе моделируется течение вблизи поверхности тела, обтекаемого гиперзвуковым потоком слаборазреженного газа. Формулируются уравнения и условия на внешней границе (модифицированные соотношения Ренкина — Г югонио) барнеттовского собственно ударного слоя. Представляемые результаты, мыслимые как предварительные (т. е. зондирующие непростую проблему упрощения полнообъемных уравнений Барнетта), получены для задачи поперечного обтекания кругового цилиндра. Тем не

менее теперь очевидно, что подобное рассмотрение (с принципиально подобным же итогом) может быть проведено и в общем случае для тел произвольной конфигурации.

Настоящее исследование было предпринято с целью приложения его результатов в перспективе изучения течений типа ближнего следа в промежуточном режиме обтекания и в первую очередь при формировании исходного (в точке отрыва потока) профиля для донного струйного свободного пограничного слоя с ненулевой начальной толщиной (модель типа Чепмена [5, 6]). Полученные результаты могут представлять, однако, и самостоятельный интерес.

1. Чтобы сформулировать уравнения и краевые для них условия на внешней границе, описывающие течение в барнеттовском тонком ударном слое (БТУС) для рассматриваемого случая стационарного обтекания бесконечного кругового цилиндра в направлении, нормальном его

образующей, воспользуемся записью уравнений Барнетта (без учета массовых сил) [9] в полярной системе координат.

Будем полагать, что ключевые уравнения Барнетта, к которым отнесем уравнения сохранения импульса, энергии и уравнение неразрывности [9], дополнены уравнением состояния газа (совершенный газ):

Р = 2врТ, (1)

уравнением, представляющим закон вязкости (линейная зависимость коэффициента вязкости от температуры):

Т

Ц —, (2)

Т0

а также выражениями для двух коэффициентов Барнетта (К и К6), востребованных в приближении БТУС для рассматриваемой (см. ниже) задачи:

К2 = 2, К6 = 8. (3)

Здесь и далее принимаются следующие обозначения основных используемых величин: рр0 , рр*0и^2, Т (и,*2/С*р ), Ли,*2 — плотность, давление, абсолютная температура, энтальпия

газа соответственно; ццО — коэффициент вязкости; Рг = ц* Ср/X* — число Прандтля;

Т» Т 7* Г* * / * т\ и /"1* /П*

ке = идаЬ рда/ц0 — число Рейнольдса; Су, Ср — удельные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно; X* — коэффициент теплопроводности; и^ — скорость набегающего невозмущенного потока; Ь — радиус цилиндра; ро — плотность за прямым идеальным скачком; цО — значение коэффициента вязкости при температуре торможения Т*, То =(1/2) + с; у — отношение удельных теплоемкостей, у = Ср IС*; с, в — величины, предполагаемые малыми в теории тонкого ударного слоя, при этом:

с =----1----т, в = —, (4)

(У-1)МГ 2у , ()

где Мда — число Маха набегающего потока.

Верхний индекс «*» относится к размерным величинам. Индекс «да» характеризует параметры в набегающем потоке. Индексом «е» будут помечаться в дальнейшем значения величин

на внешней границе собственно ударного слоя (о понятии собственно ударного слоя — см. ниже).

Введем новые (в сравнении с [9]) независимые (х, у) и зависимые (и, V) переменные погранслойного типа, которые приводят рассматриваемую задачу к привычным в теории тонкого вязкого ударного слоя виду и обозначениям, где хЬ* — расстояние вдоль поверхности (в нормальном сечении кругового цилиндра), отсчитываемое от передней

о. г*

критическом точки; уЬ — расстояние по нормали к поверхности, отсчитываемое от стенки; ии;, vUда — продольная (в направлении х) и поперечная (в направлении у) скорости

течения соответственно, что упрощает формулировку асимптотических допущений теории тонкого вязкого ударного слоя (см. ниже) и соответственно облегчает сопоставление задачи БТУС с ее аналогом в рамках уравнений Навье — Стокса. Кроме того, перейдем

в уравнении энергии от зависимой переменной Т (абсолютной температуры) к переменной Н (полной энтальпии), где

Н = Т + и_+^_. (5)

2

Полные уравнения Барнетта [9] далее будут трансформированы в некоторые существенно более простые, усеченные, уравнения; для последних же будут получены краевые условия на внешней границе исследуемой области потока вблизи тела. Возможность такого упрощения заложена в особенностях принятой физической модели течения (гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя). Эти особенности в свою очередь отражены в системе асимптотических допущений, на которых выстраивается сама теория гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя.

2. Кратко сформулируем (более подробно см. [7, 8]) главные асимптотические

предположения, которые положены в основу теории гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя около нетонких тел [7]. Эти предположения будут служить базой для оценки порядка членов полных уравнений Барнетта, а также интегралов от этих уравнений по поперечной координате, и будут, соответственно, являться критерием отбора членов в систему соотношений (уравнений и внешних краевых условий), составляющих модель барнеттовского тонкого ударного слоя.

Следуя концепции тонкого вязкого ударного слоя ([7, 8]), прежде всего полагаем, что

параметры с ив (4) являются малыми величинами, в то же время параметр вида в Яео

является

величиной порядка единицы, т. е.

с = 1, в = 1, в2Яе0 : О(1). (6)

Кроме того, примем

с = в. (7)

Далее укажем на структуру тонкого вязкого ударного слоя, считая его, в соответствии с [7], состоящим из двух специфических слоев: области перехода через головной скачок уплотнения (область скачка) и области собственно ударного слоя — так называемая двуслойная модель тонкого вязкого ударного слоя. Предполагается, что обе эти области (слоя) разделены некоторой условной линией у = уе (х), именуемой величиной отхода скачка и подлежащей определению.

При этом область скачка предполагается в свою очередь состоящей из двух подслоев: внешнего и внутреннего, характеризующихся (по асимптотическим оценкам) различными толщиной и сжатием в них газа. Считается, что внутренний подслой скачка обладает меньшей толщиной и большей степенью сжатия.

Внешнюю часть области перехода через скачок уплотнения, непосредственно соседствующую с набегающим невозмущенным потоком, назовем областью I скачка.

Внутреннюю же часть области перехода через скачок уплотнения, расположенную между областью I скачка и собственно ударным слоем (см. ниже), назовем областью II скачка.

Областью собственно ударного слоя (по терминологии [7]) в двуслойной структуре тонкого вязкого ударного слоя называется та часть поля течения вблизи тела, которая непосредственно примыкает к его поверхности, т. е. непосредственно смежный с поверхностью слой течения.

Согласно теории тонкого вязкого ударного слоя для каждой из трех упомянутых выше подобластей тонкого вязкого ударного слоя соответственно принимаются следующие асимптотические оценки основных параметров течения.

Область I скачка — внешняя:

У : в и: 1, V: 1,

р: св2, р: в, Т: Тда : с. Область II скачка — внутренняя:

(8)

,1+А

У : 8 и : 1, V: 8,

р: 8, р: 1, Т: 1.

(9)

Параметр А в (9) является величиной

0 < А < 1.

(10)

Область собственно ударного слоя:

У: 8, г : 1,

и : 1, V: 8,

р: 8, р: 1, Т: 1.

(11)

Асимптотическое представление параметров течения в тонком вязком ударном слое, данное соотношениями (8) — (11) с учетом (6), (7), является базой для проведения в различных областях асимптотической оценки членов системы полных уравнений Барнетта и интегралов от них поперек скачка, что в свою очередь посредством отбора этих членов по критериям малости дает возможность сформулировать математическую модель (уравнения и краевые условия) барнеттовского тонкого собственно ударного слоя. Приближенные уравнения получаются из полных уравнений Барнетта упрощением их в соответствии с предположениями (11). Процедура упрощения полных уравнений Барнетта проводится последовательно и состоит в следующем: производится отбор асимптотически главных членов (т. е. членов, имеющих асимптотически максимальную величину), из которых и составляются упрощенные уравнения для области собственно ударного слоя.

Внешние краевые условия задачи собственно ударного слоя являются продуктом такого же рода упрощения, примененного уже к интегралу от каждого из ключевых уравнений Барнетта, взятому поперек области (I + II) перехода через скачок уплотнения, и использующего соответственно предположения (8)----(10).

3. Процедура выделения главных членов в полных уравнениях Барнетта дает возможность получить уравнения барнеттовского тонкого, вообще говоря, собственно ударного слоя:

-ри

рг;

дН

ду

ди ди 1 д ди „

рv----------+ ри--------------------------ц— = 0,

ду дх Яе0 ду ду

др

ду

ри

1

Ке0 дн _

дх

1

_ГК2 ^К6 |Ац_

3 2 12 6

1 д I ц д

Яе0 ду I Рг ду

дри дрv

дх ду

ду р I ду

Н + ( Рг _1)у

= 0,

= 0,

= 0.

Процедура выделения главного приближения в выражениях для взятых поперек области скачка (от внешней границы собственно ударного слоя до невозмущенного набегающего потока) интегралов от полных ключевых уравнений Барнетта позволяет сформулировать внешние, т. е. при у = уе , граничные условия для уравнений (12):

I \ 1 ди

рдаМида_ и )_^^ = 0

Яе0 ду

1

р = 2 рда

рдаVда (Н _ Нда )

1 + д I1 + 3 (ида _ и )

ц д

(13)

Яе0 Рг ду

PV = р да Vда .

Н _(• _ рг)у

= 0,

В соотношениях (13) на внешней границе барнеттовского собственно ударного слоя учтено (3).

Как уже упоминалось выше, величина отхода скачка у = уе, при которой задаются внешние граничные условия (13) задачи, является искомой величиной.

Представим далее условия, обычно принимаемые на поверхности тела при исследовании вязких течений, т. е. условия прилипания, непротекания, и, например, условие заданной температуры стенки:

и = V = 0, Н = Н„. (14)

Соотношения (12) — (14) и (1) — (5), которые представляют собой систему уравнений, описывающих течение в барнеттовском собственно ударном слое, и граничные условия для этой системы, являются замкнутой математической задачей, позволяющей определить все аэротермо-динамические параметры течения в ударном слое, в том числе и величину отхода скачка уе.

Следует тут же отметить легко усматриваемую по формальным признакам близость исследуемой проблемы БТУС к навье-стоксовскому тонкому ударному слою (см. [7] или [8, 10]).

От соответствующей задачи тонкого собственно ударного слоя, построенной на базе уравнений Навье — Стокса, рассматриваемая проблема БТУС разнится вторым уравнением из (12)

и вторым условием из (13). Очень важным при этом, однако, является тот факт, что порядок уравнений БТУС таков же, как порядок системы навье-стоксовского тонкого ударного слоя. В силу упомянутой выше принципиальной близости задач БТУС и навье-стоксовского тонкого ударного слоя многое из аппарата исследования последнего может быть перенесено в сферу исследования БТУС и в первую очередь то, что касается вычислительного аспекта проблемы.

Кстати, из представленной выше формулировки БТУС в физических переменных можно увидеть, что на линии торможения (критической линии) х = 0 решение рассматриваемой задачи БТУС полностью совпадает с навье-стоксовским тонкослойным решением, поскольку чисто

барнеттовские члены (т. е. члены уравнений и граничных условий модели БТУС, которые отличают задачу БТУС от задачи навье-стоксовского тонкого ударного слоя) обращаются в нуль в БТУС

на критической линии.

4. Возвращаясь к вычислительному аспекту, заметим, что в серии статей (в том числе в [7, 8, 10, 11]), касающихся численных расчетов навье-стоксовского тонкого ударного слоя около не слишком тонких тел, показаны преимущества использования в этих задачах независимых переменных типа переменных Мизеса, предполагающих назначение в качестве поперечной координаты (если речь идет о классическом варианте переменных Мизеса) величины функции тока. Это в полной мере может быть перенесено и на приближение БТУС.

Приведем в связи с этим представляющую вычислительный интерес мизесовскую форму задачи БТУС (точнее, задачу БТУС, записанную с использованием нормализованных, см. ниже, переменных Мизеса).

Введем, согласно соотношениям

ду ду

— = -р^; — = ри, (15) дх ду

функцию тока у(р0^,I*), необходимую для проведения последующих преобразований переменных.

Пронормируем функцию тока у (15) отнесением к величине г:

%=У, (16)

г

где г — расстояние от контура обтекаемого тела в плоскости поперечного сечения цилиндра до оси этого контура, проходящей через критическую точку. Преобразуем также зависимую переменную задачи и (величину продольной компоненты скорости) в соответствии с

%= и. (17)

В нормализованных переменных Мизеса (х, у) и при учете (17) уравнения БТУС примут следующий вид:

д%о дг д%о0, дг 1 д п/д%о

г дх+®дх =

.% = г 2*-_•_ г 2 Г-2 к2 + -1 к614/^ f

д% Яе2 V 3 12 у д% р

2

, (18)

дН дН п.дг 1 д 1 _.д

г-------~ — =------------——цри'е—

дх д% дх Яе0 д%Рг д%

V

2

Н + ( Рг-1) г 2 —

К уравнениям (18) следует присоединить соотношения (1) — (5). Соотношение общего вида (5) для полной энтальпии Н = Н (Т, и, V) перепишем применительно к задаче собственно ударного слоя и новой переменной и%:

г

Н = Т + г2

(19)

Внешние граничные условия, т. е. условия при %= %,, где %, = 1, имеют вид:

а. их 1 цр%о д%о

%=-------------------------—,

г Яе0 Р<^ д%

(20)

Условия на стенке согласно (14) примут вид:

%= 0, Н = Н№.

(21)

Сформулированная выше задача БТУС (в мизесовской форме) является замкнутой математической проблемой, позволяющей вычислить все неизвестные аэротермодинамические функции течения в ударном слое, в том числе и величину отхода скачка уе; последнюю — при помощи второго соотношения из (15) (см. [10]).

Представленная в нормализованных переменных ((х, %), % — см. (16), (17)) задача БТУС

(см. (18) — (21), (1), (2)) дает возможность теперь уже более наглядно и формализованно проиллюстрировать обозначенное ранее утверждение об идентичности задач БТУС и навье-стоксовского тонкого ударного слоя в окрестности носка плоского затупленного тела, т. е. на критической

линии х = 0. Как можно видеть, члены соотношений (18) и (20), отличающие задачу БТУС от задачи навье-стоксовского тонкого ударного слоя (см. [10]), т. е. так называемые барнеттовские члены, обращаются в нуль при х = 0 вследствие того, что г (0) = 0 и их (0) = 0.

Для окончательного приведения задачи БТУС к расчетной форме применим следующую модификацию отнормированной мизесовской поперечной координаты %:

а также введем вместо % новую величину продольной скорости в соответствии с

Замена зависимой переменной (23) в рассматриваемой задаче требует переформулирования граничного условия (21) — для скорости % на поверхности тела (см. [10]).

Преобразования независимой (%^^) и зависимой (и) переменных в соответствии

с (22) и (23) приводят сформулированную выше мизесовскую конфигурацию задачи БТУС к виду, позволяющему непосредственно проводить ее численное решение. При этом в качестве численного метода такого исследования может быть использован проблемно ориентированный метод [11], апробированный на широком круге задач навье-стоксовского тонкого ударного слоя.

В заключение подведем некоторые итоги предпринятых исследований. Прежде всего, показано, что в приближении теории гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя чрезвычайно

(22)

непростые уравнения Барнетта могут быть приведены к виду, доступному для проведения численного расчета.

Сформулированы уравнения и внешние граничные условия, описывающие течение в тонком ударном слое, построенном на основе уравнений Барнетта, для задачи поперечного обтекания кругового цилиндра.

Получено, что в окрестности носка затупленного плоского тела (для области вдоль нормали к поверхности в передней критической точке) задача тонкого ударного слоя для уравнений Барнетта полностью идентична аналогичной задаче тонкого ударного слоя, построенной на базе уравнений Навье — Стокса.

Рассмотренная проблема приведена к форме, удобной для численного решения.

Представленная газодинамическая модель дает возможность получить начальные профили аэротермодинамических функций для исследования донного течения при гиперзвуковом обтекании нетонких тел в промежуточном (между свободномолекулярным и сплошносредным) режиме.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-08-01307).

ЛИТЕРАТУРА

1. Cheng H. K., Emmanuel G. Perspective on hypersonic nonequilibrium flow //

AIAA J. — 1995. Vol. 33, № 3.

2. Галкин В. С., Шавалиев М. Ш. Газодинамические уравнения высших приближений метода Чепмена — Энскога // Изв. РАН. МЖГ. — 1998, № 4.

3. Бузыкин О. Г., Галкин В. С. О модификациях газодинамических уравнений высших приближений метода Чепмена — Энскога // Изв. РАН. МЖГ. — 2001, № 3.

4. Тирский Г. А. Континуальные модели в задачах гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом // ПММ. — 1997. Т. 61, № 6.

5. Denison M. R., Baum E. Compressible free shear layer with finite initial thickness //

AIAA J. — 1963. Vol. 1, № 2.

6. Chapman D. Laminar mixing of a compressible fluid // NACA Rept. — 1950, № 958.

7. Cheng H. K. The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number //

IAS Paper. — 1963, № 63 — 92.

8. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового обтекания при умеренных числах Рейнольдса // Труды ЦАГИ. — 1968. Вып. 1106.

9. Lin T. C., Street R. E. Effect of variable viscosity and thermal conductivity on high-speed slip flow between concentric cylinders // National advisory commitee for aeronautics. — 1954. Rep. 1175.

10. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового ударного слоя с подводом массы при умеренно малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1970, № 3.

11. Анкудинов А. Л. Об одной разностной схеме расчета вязкого ударного слоя //

Труды ЦАГИ. — 1981. Вып. 2107.

Рукопись поступила 22/XI2005 г.