CC BY
31
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Томі 1970
№ 5
УДК 533.6.011.8: 532.54/55
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ О ТЕЧЕНИИ ПУАЗЕЙЛЯ И ТЕМПЕРАТУРНОМ КРИПЕ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ ЧИСЛА КНУДСЕНА
Н. К. Макашев
Для модельного кинетического уравнения получено численное решение задачи о течении разреженного газа в плоском канале, вызванном градиентом температуры стенок, а также о суперпозиции этого течения с течением Пуазейля. Проводится сравнение с приближенным аналитическим решением этих задач [2].
В работах [1] и [2] было получено приближенное аналитическое решение задач о течении Пуазейля и течении, вызванном температурным градиентом (крипом) для модельного уравнения Больцмана. В настоящей заметке для проверки точности решений получено численное решение этих задач. К сожалению, не было возможности воспользоваться результатами Черчиньяни [3] о течении Пуазейля, так как он не приводит профилей скорости.
1. Не повторяя выкладок, которые даны в [1] и [2], сразу выпишем интегральные уравнения для макроскопической скорости в течении Пуазейля:
1/2
Чр (х) = J |м5) —
-1/2
Ьй
2а
(1.1)
и для температурного крипа
1/2
Щ М = I” [ит («)
ай
-1/2
а<і г
•/-іИ* - 5 1) ^ | Ух(а| X— Я I) «/в. (1
-1/2
1/2
• 2)
Здесь
а = Ап0
2/г Тс
й з; Кп-1 — величина, обратная числу Кнудсена, А —
_ 1 <1р . р Лг ’ координата
константа, входящая в модельное уравнение Больцмана (см. [1]); Ъ
а — сі — размер канала, х — координата поперек канала, г
Т йг
вдоль канала, р — давление; Т — температура;
■и*) =
■5 -(<- + 4
1'”‘ '
<11, Jn (х)
^п+1 (х) ' СІХ
(1.3)
Интеграл J_. 1 (х) имеет логарифмическую особенность при значении аргумента, равном нулю. Это позволило в работах [1] и [2] получить приближенное решение задачи, используя замену «(«) на и(х) под знаком интеграла в (1.1) и (1.2).
2. В настоящей работе уравнения (1.1) и (1.2) были проинтегрированы численно с разной степенью точности. Результаты расчетов представлены на фигурах. На фиг. 1 по оси ординат отложена величина
1/2
ЧР, 1 иР’ г ах
—1/2
и приведены кривые:
/—решение Черчиньяни задачи о течении Пуазейля [3];
Я—приближенное решение [1];
III, IV, V — численное решение уравнения (1.1) с соответственно возрастающей точностью;
VI—решение уравнений Навье —Стокса с условиями скольжения на стенках, взятыми согласно [1];
VII—решение задачи о температурном крипе из уравнений Навье —Стокса
с условиями скольжения;
Следует отметить хорошую точность приближенного решения IX в широком диапазоне значений числа Кнудсена. Приближенное решение задачи Пуазейля дает удовлетворительная точность при Кп>1. Из приведенных результатов следует, что решение Черчиньяни задачи о течении Пуазейля можно принять за точное.
На фиг. 2 представлены профили скорости для течения Пуазейля и для температурного крипа (снизу).
На фиг. 3 приведена величина К = > полученная из суперпозиции реше-
ний о течении Пуазейля и температурного крипа при отсутствии расхода через сечение: /—точное решение, //—приближенное решение [2].
На фиг. 4 представлены профили скорости при отсутствии расхода через сечение.
Решение задачи из уравнений Навье — Стокса с условием скольжения дает профиль, качественно схожий с профилем для а = 6, т. е. для достаточно малых значений числа Кнудсена, но отличный от профилей для а = 1,9 и 0,4. На этот факт указывалось в [2].
8—Ученые записки № 5
99
Расчеты, как было сказано выше, велись с разной точностью; при а = 0,4 и а — 1,9 было почти полное совпадение профилей. При а=6 точность счета сильно влияла на результат. Сплошная линия соответствует максимальной точности счета, штрих-пунктирная — наименьшей.
-0J0 -0,05
О OS OJOu
Фиг. 4
ЛИТЕРАТУРА
1. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука", 1967.
2. Коган М. Н., Макашев Н. К. О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 1, № 2, 1970.
3. Cercignani С. Rarefied gas dynamics. Third. Simp.; Acad. Press, 1963.
Рукопись поступила 17jll 1970 г.
