О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе кнудcенa Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ т0

№ 2

УДК 533.6.011.8:532.542

О ТЕЧЕНИИ ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ, ВЫЗВАННОМ ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЧИСЛЕ КНУДСЕНА

М. Н. Коган, Н. К. Макашев

Для кинетического модельного . уравнения Больцмана в линейной постановке решена задача о температурном крипе в плоском канале для произвольных значений числа Кнудсена. • , .

Получено приближенное аналитическое решение. На основании этого решения произведены оценки возможных ошибок при измерении давления, например, нагретого газа с помощью «холодного» прибора; 1

Как отмечалось еще Максвеллом [1], если вдоль стенки имеется градиент температуры, то соприкасающийся с ней газ движется относительно стенки. Это движение -называют тепловым скольжением или крипом. Расход газа в этом случае зависит от числа Кнудсена; Кп, равного отношению длины свободного пробега X к ширине канала или .диаметру трубки й. Если неравномерно нагретой трубкой соединены два сосуда с различной температурой, то равновесие (нулевой расход через трубку) установится при некотором перепаде давления, который также зависит от числа Кнудсена,

Эти явления могут оказать существенное влияние, например, при измерении низких давлений нагретого газа «холодным» прибором; в пористых средах они могут вызвать течение или перепады давления.

Различные случаи течения газа, вызываемые градиентом температуры стенок, рассмотрены в работах [2]—[7].

В настоящей работе исследуется течение, вызванное в плоской трубе градиентом температуры при произвольных значениях числа Кнудсена. Приближенное решение модельного уравнения Больцмана получено в аналитическом виде. '

! 1. Рассмотрим, газ между двумя бесконечными параллельными не-

-подвижными пластинами. Температура стенок : Тю меняется по г. Бу-: дем считать, что это изменение мало, так что

I' Т„ V 7; 11 • • - (*)|; -.(г) С 1: Т„ = - (0), (1.1)

и задача линеаризуется. Предположим также, что стенки отражает молекулы по максвелловскому закону; температура отраженных молекул равна температуре стенки Тт.

Для решения задачи воспользуемся модельным уравнением Больцмана (см., например, [8]):

з_

\ 2 ( т (I — ы)|

1 ехр.1 1

дх+1г dz Ап^° "(2 TtkT,

2 kT

I d-2>

где /—функция распределения;

п, т, \ — (^ £ у — соответственно числовая плотность, масса и скорость молекул;

и и Т — макроскопические скорость и температура;

А — постоянная Больцмана.

Условие на стенке;

/[¿-¡г. Ir^0 =л

m

2 f m ;2 exp -

2 kT„

(1-3)

где определяется из условия непротекания. Решение будем искать в виде

/о<

«п

/=/оо[1 +?(•*. ад

з_

/и \2 f от?2

2u£ Тп

exp

2 kTa

(1.4>

где я0 = п (О, 0);

<Р — малая добавка, квадратами которой пренебрегаем. Линеаризуя уравнение (1.2) и делая его безразмерным, получим

3^т-<р. (1.5>

а дх1 a dzj Здесь введены обозначения:

Z, =•

m

2kTn

! г V"Л0 — VxtZ'i £2Лд — V2;;

/г = «о (1 + v); 7,= 70(1+х); а = A n0d VKn_1;

Mi = uzV^o — —~3~Je~vi^vzdv, v = —-3— je~v*<?dv ;

7Г 2 7Г 2

2 l r -T = ----3— J e~v1 v2ydv — v.

Граничное условие (1.3) принимает вид;

±-?Г» г,

2. Пусть температура стенки изменяется линейно:

= аг.

Тогда решение уравнения (1.6) можно искать в виде

ср — агуг-\-ч)г <Ь (х, V),

(1.6)

(2.1)

(2.2)

в этом случае

V = аг; т = а%\ р = кпйТ0[ 1 + — аг

(2.3)

и для <]> получаются следующие уравнение и граничное условие:

Vг

— -^- + 1гг’а = -Ч' + 2“';

О-

(2.4)

Полагая временно и, известной функцией и интегрируя (2.4), получаем интегральное уравнение для <|>

Ф(*1» 0):

±Т

2 и1 (в)

ай V2

V

(2.5)

Умножая это уравнение на vгexp (— V2) и интегрируя по ско-' —>■

ростям г», получим интегральное уравнение для ^(л:,):

а (• Г ас1 1 аЛ *

“1 = ] [Ц1 (5) - /-1 <а I -*1-51) * - 3 у1 (а I *!-•* I)

оо

•Л. (•*) = | о" ехр I — [ф +

О '

а-Гп+\(х)

л, (-*)=•

¿л:

(2.6)

Функция У_1 («| л! — в |) имеет логарифмическую особенность При 5 = ^1. Поэтому приближенно МОЖНО ПОЛОЖИТЬ И] ($) = «1 (я,) и вынести их (х^ из-под интеграла. В этом приближении решение уравнения (2.6) получается в явном виде:

и1 = — 1 а

в* <4°~>

а ( ~2~ + х\ ) + Л

(2.7)

Аналогичное приближение было использовано в [8] при рассмотрении течения Пуазейля в такой же постановке. Задача в [8] отличается от рассматриваемой лишь тем, что в ней ?ш полагается постоянным и задан градиент давления. В этом случае

«1 р =

Ьй Д0—У к

2а

1 йр

~р1~Чг ‘

(2.8)

Сравнение полученного решения с точным решением Черчинья-ни [9] показало его удовлетворительную точность (фиг. 1). Можно ожидать ту же точность приближения и в рассматриваемой задаче. Согласно (2.1) и (2.3) решение (2.7) соответствует градиенту темпе-

1 АТ , 5 „

ратуры а = и гРаДиентУ Давления Ь = -^-а. Так как в ли-

нейной постановке справедлива суперпозиция, исключим с помощью (2.8) из решения (2.7) часть, обусловленную градиентом

давления. Тогда при -^- = 0 получим.

Щ т:

ad

2а

1

2Л

2,0

IS

іІд

4*

у ■о

>

\

\

\ х раЯята

■ Ос

>

0,вь У * !

V г

ч

З

Фиг. 1

(2.9)

3. Зная распределение скоростей, легко определить объемный

расход: .

_1_ ч 2

Q,=

Qt —

~2. ;: M2 72“

ad2

Яр («);

. 'j Qt (aj.

(3.1)

Результаты его численного расчета представлены на фиг. 1. Эти результаты были получены с помощью таблиц интегралов Jn, приведенных в [10]. У течения , Пуазейля, как известно, имеется минимум расхода (парадокс Кнудсена). Как видно из фиг,. 1 у течения, вызванного температурным градиентом, расход меняется монотонно, возрастая по мере, уменьшения давления. Нулевой расход устанавливается при определенном соотношений между градиентом температуры и градиентом давления/ Полагая <3р=0г, согласно (3.1) имеем

А р

■ = К{ а)

Д Т

К(а) =

Чтіа)

Чр{°)

(3.2)

Зависимость /((а) представлена на фиг. 2. При измерении температуры на величину порядка величины самой температуры перепад давления мбжет составлять до 50% его средней величины. Это майси-’ мальноё‘значение К(а) достигается на свободномрлёкулярцом режиме при Кп —> оо и было получено из решения уравнения Больцмана для этого случая. Так, например, если прибор и измеряемый объем соединены трубкой диаметром 1 мм и измеряется давление порядка АТ

0,1 мм рт. ст. при =0,3, то ошибка в показаниях прибора будет составлять примерно 8%. Для сравнения на фиг. 1 и 2 пунктиром пока-72

заны результаты для уравнения Навье-Стокса с условиями скольжения на границе.

При больших а точность полученного приближенного решения падает и оно лает неверную асимптотику при а - со, т. е. при Кп - 0. При малых числ1х Кнудсем

“ стент003™ УРаВНе“ИЯ НаПЬе'Ст°КСа с Условиями температурного скГьже Согласно решению, полученному в [8], это скольжение * равно

аЛ

Щъ

— у~

п У ,

-г^г 0,42а =0,42 —

! к 1 а

(3.3)

так как для рассматриваемого здесь модельного уравнения коэффициент вязкости |i = __. Следовательно, скорости

течения, обусловленные крипом, имеют порядок ц а, а инерционные и вязкие члены уравнений Навье-Стокса — порядок ц2а2, т. е. тот же порядок, что и некоторые из дополнительных членов, входящих в уравнения Барнета. Однако можно показать, что для рассматриваемого здесь малого линейного градиента температур (тw = az и а «1) решения уравнений Барнетта и Навье-Стокса совпадают (при р = const, т. е. при 6=0):

ad

0,42

it] (X, ¿) = const

' ad?

Q'T = 0,42

а

1 N

(3.4)

(3.5)

Навье-Стокса и Кат!!! что для осесимметричного случая решение в приближениях входит члрн не сов"адают и в соответствующее разложение типа (3.5)

асимптотика Гт ,{)бртом' в' Рассматриваемом. здесь -плоском случае

больших а (см фиг °)К°& ( 5) Должна быть Удовлетворительной уже при не очень

f£££%

N . Х_ г ИГ (.ос) а; сеч~@

\ а Gb \ 6

X ОС =S,ff

л о

fft2 \ /

X

\

\

\

Фиг. 3

*-• ф ”™"' Д*™“,™“ СдГс\„ГсЙГЗД0

I —

2 Qp а

+1,012 + 0

(3.6)

* В работе [7] получено значение коэффициента, равное 0,383.

При нулевом расходе газ у стенки течет в одну сторону, а в центре другую (фиг. 3).

Интересно отметить, что при условии нулевого расхода через сечение и при достаточно больших значениях числа Кп профиль скорости таков, что около стенки газ течет в направлении, обратном градиенту температуры стенок (см. фиг. 3). Вместе с тем из решения этой же задачи при малых числах Кп, полученного из уравнения Навье-Стокса, следует, что скорость газа у стенки имеет другое направление, т. е. при изменении числа Кнудсена, при условии нулевого расхода через сечение, скорость газа у стенки меняет знак.

$ $

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Maxwell, С 1er к Jr. On stresses in rarefied gases arising flow inequalities of temperature. Royal Society of London, Philosophical Transactions, vol. 170, 1879, pp. 231—256.

2. Knudsen M. Eine Revision der Qleichqewichtsbedingung der Gase. Thermische Molekularstroming. Annalen der Physik, vol. 31, 1910, pp. 205—229.

3. Knudsen M. Thermischer Molekulardruck in Röhren. Annalen der Physik, vol. 83, 1927, pp. 797—821.

4. Potter J. L., et. Rarefied gas dynamics (Edited by J. H. de Leeuw), vol. 2, Academic Press, New York, 1966, pp. 175—194.

5. Tompkins F. C., Wheeler D E. The correction for thermo-molecular flow. Transactions of the Faraday Society, vol. 29, November 1933, pp. 1248—1254.

6. К i n s 1 о w М., A r n e y G. P. Corrections for thermo-molecular pressures in tubes and at orifices. VI Symp. on Rarefied Gas Dynamics. 1968.

7. Sone Y., Yamamoto K. Flow of rarefied gas trough a circular pipe. Phys Fluids, No. 9, 1968.

8. К о г a h М. H. Динамика разреженного газа. М., «Наука». 1967.

9. Cerciqnani С. Rarefied gas dynamics. Third Symp., Acad Press, 1963.

oo

10. Chahine M. T., N ara sim ha R. The integral J*ti”expX

о

X[—(v—и)2 -xjv) dv. J. of Math, and Phys., vol. 43, No 2, 1964.

Рукопись поступила 12/VI 1969 г„