CC BY
4© Акикико I.
ДЕЯК1 АСПЕКТИ Д1АЛЕКТИЧНО1 ВЗАСМОДП ПРЕДМЕТНО1, ЕВРИСТИЧНО1 ТА ЛОГ1ЧНО1 СКЛАДОВИХ МАТЕМАТИЧНО1 П1ДГОТОВКИ ШКОЛЯР1В
1.А.Акуленко, кандидат педагог. наук, доцент, Черкаський нащональний умверситет м.Б.Хмельницького,
м.Черкаси, УКРА1НА
В статтг розглядаються динамта дгалектичних взаемозв'язюв мгж предметною, лог1чною та евристичною складовою математичног тдготовки школяр1в.
Змют шкшьного курсу математики поеднуе в собi предмету, лопчну та еврис-тичну складову, яю взаемообумовлюють, взаемодоповнюють i взаемодiють мiж собою.
Предметна складова змсту матема-тично! пiдготовки школярiв обумовлена сучасними поглядами на науку математику. Вона е системою математичних знань, навичок та вмшь, яю пов'язанi з математичною дiяльmстю учнiв, i дають уявлення про предмет математики, !! мову й символ^, про математичне моделю-вання, про спецiальнi математичнi прийоми та загальт методи пiзнання, якi застосо-вуються в математицi.
Логiчна складова шкшьного курсу математики е системою лопчних знань та умшь учтв, якi використовуються ними у ходi опанування математичних понять, фактiв та способiв дiяльностi.
Евристична складова математично! пiдготовки учнiв утворена системою евристичних орiентирiв (загальних та спе-щальних), приписiв, правил, схем та прийо-мiв евристично! дiяльностi, якi формуються в учнiв засобами математики, i яю, в свою чергу, допомагають вивести оперування учнiв математичними поняттями, фактами та способами даяльносп на креативний рiвень.
Пiдходи до зм^ового наповнення предметно! складово! шкшьного курсу математики представлен у роботах провщ-
них вчених математиюв та методиспв Л.Д.Кудрявцева. М.М.Постткова, Г.1.Са-ранцева, АМКолмогорова, МХБурди, МХШкшя, ГЛБевза, ЗХСлепкань, Т.М.Хма-ри та iн. Визначенню змсту лопчно! складово! шкшьно! математики присвячено роботи А.А.Столяра, В.Ф.Паламарчук, О.В.Кужеля, К.П.Маланюк та iн. Характеристика змютово! й операцшно-проце-суально! сторони евристично! дiяльносгi учнiв у ходi опанування математичних знань, навичок, умшь знайшла глибоке вiдображення у роботах ВХАндреева, С.А.Александрова, Г.ДБалка, Д.Б.Богояв-ленсько!, Д.Пойя, О.1.Скафи, Ю.А.Паланта та ш Однак, додатково! уваги заслуговуе проблема дослiдження динамки взаемо-зв'язюв мiж предметною, логичною та евристичною складовою математично! тдготовки школярiв. Метою дано! роботи е з'ясування лопчних основ деяких прийомiв евристично! дiяльностi.
Дiалектичне поеднання предметно! й лопчно! складово! шкшьного курсу математики проявляеться у нас-тупному. Математичний змют е лопчно оргашзованим i побудованим. Предметна складова слугуе базою для лопчних побудов. Водночас лопчна складова шкшьно! математики дае способи орга-шзацй змюту навчального матерiалу й шструментарш для перетворення його лопчно! структури. У результат таких перетворень виникають новi логiчнi
структури, змютова штерпретащя яких дае або новий математичний факт, або тлумачення вже вщомого факту, що сприяе бiльш глибокому розумшню його учнями. Таким чином шдукуються змiни у предметному компонентi. Предметна штерпретащя висновюв, отрима-них логiчним шляхом, приводить до оновлення математичних знань, допома-гае варшвати оманливо статичну форму математичних тверджень, уникати формального „зазубрювання".
Аналiз математичного змiсту дае уявлення про перелiк тих лопчних знань та умiнь, якi необхщш учням для успiшного навчання математики. Зокре-ма, логiчнi знання, яю повиннi засвопи учнi 5-6 клаав, е комплексом, до складу якого входять наступнi теоретичнi блоки.
ПОНЯТТЯ. Суттевi та несуттевi властивостi об'екпв. Означення понять. Правила визначення. Прийоми, що замiнюють визначення (опис, показ, характеристика). Класифшащя понять.
ВИСЛОВЛЕННЯ. Висловлення iстиннi та хибнi. Прост, складет висловлення. Зв'язки "або", "або. ..або...", "якщо.. ,,то...", "неправильно що...", "тсда, i тiльки тсда,...". Умовнi висловлення (прямi, оберненi, протилежнi).
ДЕЯК1 ЗАКОНИ ЛОГ1КИ ВИС-ЛОВЛЕНЬ. Закон виключення третього. Закон подвiйного заперечення. Закон суперечностi. Закони де Моргана.
ДЕЯК1 СХЕМИ ПРАВИЛЬНИХ М1РКУВАНЬ. Умовнi мiркування. Умов-но-категоричнi мiркування. Роздшово-категоричнi мiркування.
ЛОГ1ЧН1 ПОМИЛКИ. Помилки при визначенш понять та !х класифь кацп. Помилки при утвореннi та запере-ченнi складених висловлень. Помилки у доведеннях.
ЛОГ1ЧН1 ОСНОВИ ДЕЯКИХ ЛОПЧНИХ УМ1НЬ. Умiння знаходити зако-номiрнiсть. Умiння висувати та спростову-вати гiпотези. Умiння мiркувати за аналопею. Умiння iндуктивно мiркувати.
Засвоення логiчних фактiв, зако-шв, правил повинно органiчно перепль
татися з процесом формування лопчних умшь. Ми вважаемо, що у 5-6 клас необхщно i можливо формувати наступ-нi групи логiчних умшь.
Умшня, в основ! яких лежать опе-раци лог1ки висловлень: умшня будувати складнi висловлення; умiння формувати заперечення простих i складних вислов-лень.
Умшня, в основ! яких лежать лопчш операцп, спрямован1 на встанов-лення тотожност1, вщмшностей: умiння вид^ти схожi, iндивiдуальнi, суттевi властивост предмств i явищ; умiння визначати поняття через найближчий рiд та видову вiдмiннiсть; умiння проводити класифiкацiю понять.
Умшня, як1 передбачають прове-дення одно-, дво-, багатокрокових м1рку-вань: умшня мiркувати за аналопею; умшня проводити шдуктивт мiркування; умшня проводити прост дедуктивт мiрку-вання; умiння знаходити закономiрностi; умiння висувати ппотези; умiння спросто-вувати неправильт твердження.
Серед останньоi групи умшь е умшня, яю тюно пов'язанi з евристичною дiяльнiстю школярiв. Тому постае питання про взаемозв'язок i взаемодiю логiчноi та евристичноi складовоi шкiльного курсу математики. Питання теори та методики евристичного навчання математики дослщ-жено у роботах Ж.Адамара,, С.А.Александрова, П.Армстронга, ГДБалка, В.М.Лей-фури, Д.Пойя, Ю.О.Паланта, О.1.Скафи О.В.Хуторського та iн. У методищ прий-нято вважати, що евристична складова математичноi дiяльностi учнiв утворена тими компонентами, яю не можна виразити строго вiдповiдними лопчними конструк-цiями. Поряд iз цим юнуе думка, що здiйснення евристично!' дiяльностi перед-бачае повну вiдмову вщ застосування засо-бiв логики, осюльки важливим фактором для успiшного застосування евристичних прийомiв виступае iнтуiцiя, яку неможливо укласти в рамки, визначеш законами лоп-ки. Однак iнтуiцii бувае достатньо, щоб вбачити ютину. При цьому для того, щоб впевнитися самому в цш ^ит, або впев-
© Akulenko I.
нити iнших, необхщне доведення, яке б грунтувалося на законах лопки. Фактор iнту!цi! дуже суттевий як початковий етап, стартовий майданчик для розгортання лопчних мiркувань. До того ж процес по-шуку розв'язання проблеми i використання евристик невiддiльний вiд анашзу резуль-тапв, отриманих на певному кроцi, що також передбачае виконання певних лопчних дiй. Ми дотримуемося положения про те, що евристична дiяльнiсть учнiв у процесi навчання е поеднанням шту!тивно-неусвiдомленого i рацiонально-логiчного аспекпв. Тому правомiрним е питання про видiлення лопчних основ прийомiв евристично! дiяльностi.
1шу!тивно-неусвшомлений i ращо-нально-лопчний аспекти дiалектично взае-модiють. У ходi використання евристик лопчт знання та умшня застосовуються учнями часто неусвiдомлено. Поряд iз цим усвiдомлене застосування лопчних закотв (закону котрапозици, виключення третього, несуперечносп) робить еврис-тики бшьш дiевими у ходi пошуку розв'язання проблеми. Евристичш прийоми, до того ж, формують предметну, зм^ову базу (математичних понять, факпв та ствввд-ношень) для подальшого логичного аналiзу. Однак виникае певний конфл^, осюльки,
якщо перевага надаеться евристичним прийомам, то отримання правильного результату супроводжуеться бiльшими витра-тами часу. Але !х ^орування на користь суто лопчних мркувань може не привести взагалi до вщшукання розв'язку задачi.
Характерною особливiстю евристич-них прийомiв е те, що вони не гарантують отримання правильного результату, тому евристична дiяльнiсть пов'язана здебшь-шого з висуненням, перевiркою та спросту-ванням ппотез. Основними лопчними умiннями, яю при цьому використовують учнi, е умшня знаходити закономiрностi, умiння мiркувати за аналопею, слiдкувати за правильтстю власних мiркувань, знаходити та виправляти логiчнi помилки у мiркуваннях, спростовувати рiзнi види тверджень. Практика показуе, що з'ясуван-ня учнями лопчних основ цих умiнь е вип-равданим, оскiльки процес !х застосування стае бiльш усвiдомленим.
Ппотези виступають фактором, який пов'язуе рашше здобутi й новi знання, е тзнавальним засобом, що регулюе лопч-ний перехiд вiд попереднього неповного i неточного знання до нового бшьш повного i бiльш точного. В.1.Кирилов [1] наводить наступнi класифшащ! гiпотез (таблиця 1).
Таблиця1
Класифшацп rinoTe3
За формами тзнавального процесу Описовг - припущення про властивостi, якi притаманш об'екту, що вивчаеться. Пояснювалът - припущення про причини виникнення самого об'екта, що вивчаеться, або причини виникнення певних його властивостей.
За харакгерисгикою пiзнавального об' екга Загалънг гтотези - припущення про закономiрнi зв'язки у сферi об'екпв, яю вивчаються. Частковг гтотези - припущення про походження i властивосп окремих факпв, явищ, подш. Робочг гтотези - припущення, що висуваються на першому етат дослiдження, е умовним базисом, на основi якого можливо структурувати результати спостережень i дати !м початковi пояснення.
Нехай маемо дослiджуваний об'екг F, видiлимо множину емпiрично виявлених суггевих власгивосгей цього об'екга {f1,/2,...fn} акгуатзуемо множину георе-
гичних знань про нього {g1, g2,...gn} . На
основi аналiзу множин емпiричних i георегичних знань про дослщжуваний об'екг, сингезуемо лопчно несуперечливу
множину суджень про невщом властивосп або закономiрнi зв'язки достджуваного об'екта. Це судження i буде гипотезою. Схемою це можна подати у такому виглядк
Якщо {/,/2,-/} i §2?...§п} Имовiрно Н Н - ппотеза
ИМОВ!РШСТЬ справедливостi гiпо-тези забезпечуеться:
1) 11 несуперечливiстю (висунуте припущення не повинно суперечити вихiдному емтричному базису, не повинно мiстити внутршшх протирiч);
2) принциповою можливiстю пере-
вiрки;
3) емпiричним i теоретичним обгрунтуванням;
4) iнформативнiстю (виражаеться у прогностичнш або пояснювальнiй силi ппотези).
Лопчними засадами процесу перевiр-ки та спростування гипотез виступають проста i складна конструктивна та деструктивна дилеми. М1ркування при цьому здiйснюеться у вiдповiдностi до наступних схем (таблиця 2).
Таблиця 2
Проста конструктивна дилема А^Б-С^В- A\jC Б
Складна конструктивна дилема А=> В',С => D', AvC BvD
Про ста де структивна дилема А^>В; A=>C-B\jC
А
Складна деструктивна дилема A=>B,C=>D,BvD A\sC
Умiння встановлювати закономiр. ностi реалiзуються на осжв правил Дж.М1лля, за допомогою яких можна встановлювати, з певною мiрою вiроriдностi, будь-якого роду обумовлетсть одних фак-пв i об'екпв шшими. Цi правила вдуктив-т, дають лише вiрогiднi або правдоподiбнi висновки.
Правило 1 (единог схожост): якщо кожен раз при наявносп множин, явищ, подiй i т.д., що мають единий схожий (спiльний для вах) фактор А, з'являеться i фактор В, то спiльний фактор А, ймовiрно, обумовлюе фактор В.
Умовивiд за цим правилом можна записати у виглядi схеми:
Коли А, К, и, Р, тодi В Коли А, У, Е, Н, тодi В Коли А, Б. W, О, тодi В Имовiрно, А обумовлюе В
Правило 2 (единог рЬнищ): якщо при наявносп системи повторюваних явищ, факпв, подiй, результатом яких е подiя В, вiдсутнiсть одного з факторiв А спричиняе вiдсутнiсть фактора В, то, ймовiрно, А обумовлюе В. Схемою це правило можна записати так:
Коли А, У, Е, Н, тод! В Коли немае А, але е У, Е, Н, тод1 немае В Имов!рно, А обумовлюе В
Правила едижл схожост i единоi р!знищ складають лопчну основу такого способу пошуку розв' язку математичних завдань, як вщшукування iнварiанта. Вияв-лення незмiнного iнварiантного фактора допомагае сформувати стратегию пошуку. Таким фактором, звичайно, е деяка юль-юсна, або якiсна характеристика об'екпв, яю описанi в задачi.
Правило 3 (супутнгх змт). Якщо при деяких постшних факторах С i Б змiна одного фактора А: Аг, А2, А3 призводить до змши фактора В: Вг, В2, В3, то, ймов!рно, фактор В обумовлений фактором А.
Цей умовивщ можна подати у вигляд! схеми:
Коли Аг, С, Б, тод1 Вг Коли А2, С, Б, тод1 В2 Коли Аз, С, Б, тод1 Вз Имов!рно, А обумовлюе В
Правило 4 (правило остач). Якщо складний фактор А: Аг, А2 обумовлюе складний результат В: Вг, В2, i частина фактора А (Аг) обумовлюе частину фактора В (Вг) то, ймов1рно, частина складного фактора, що залишилась (А2), обумовлюе частину результату, що залишилась (В2). Схема правила остач:
© Akulenko I
Коли А1з А2, тодi В1з В2
_Ац обумовлюе В^
Ймовiрно, А2 обумовлюе В2 Пошук розв'язку математично! задач! через виявлення i дослiдження закономр-ностей е бiльш успiшним, якщо операцш-ний склад умiння знаходити закономiрностi поданий учням у вигляд еврисгично'1 схеми:
• видiли ra6ip об'ектiв, в якому необхщно знайти законом1ршсть;
JL
Рис.1
Знаючи лопчш основи зазначених вище умiнь вчитель може сформувати евристичш приписи, керуючись якими учнi мають змогу отримувати позитивш змiни як у процес формування прийо-мiв евристично'1 дiяльностi, так i у ходi засвоення математичних знань.
1. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика: Учеб. для юрид.вузов. - 5-е изд., пере раб. и доп. - М.: Юрист, 1999. - 256 с.
• знайди схож та шдивщуальш властивосп об'екпв;
• видши iнварiант, або проана-лiзуй, чи впливае змша одного з об'екпв на змiну iншого, або встанови, чи обумовлюе частина засновку частину наслщку;
• вiдповiдно до виявлених випад-кiв застосуй одне з правил Дж.Мшля (рис.1)
або
1
2. Кужель О.В. Логгчт основи школьного курсу математики // Математика в школь -1999. -№1. - С.3-6., №3. - С. 7-9.
3. Скафа ЕИ. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография. -Донецк: Изд-во ДонНУ, 2004. - 439с.
4. Сухарев В. А. Логика и интуиция в творческом мышлении / Сухарев В.А. Психология интеллекта. - Донецк., 1997. - С. 105-115.
5. Пойа Дж. Математическое открытие. - 2-е узд. -М. : Наука, 1976. - 448 с.
I
Словесно сформулюваш закономфншть
Резюме. Акуленко И.А. НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ДИАЛЕКТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДМЕТНОЙ, ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И ЛОГИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ШКОЛЬНИКОВ. В статье рассматриваются динамика диалектических взаимосвязей между предметной, логической и эвристической составляющей математической подготовки школьников.
Summary. Akulenko I. SOME ASPECTS OF DIALECTIC INTERACTION BETWEEN CONTENT, LOGIC AND HEURISTIC COMPONENTS IN THE DEVELOPMENT OF STUDENT MATHEMATICS BACGRAUND. The article deals with the dialectic, dynamic connections of content, logic and heuristic components of school training in mathematics.
Надшшла доредакцп 30.10.2005р.
