CC BY
7ПОеДНАННЯ ЛОГ1КИ ТА евристики У НАВЧАНН1 УЧН1В ГУМАН1ТАРНИХ КЛАС1В
В.С.Прач, астрант,
Черкаський нащональний утверситет т. Б.Хмельницького,
м. Донецьк, УКРА1НА
У статт1 запропоноваш прийоми евристичних правил та операцй, як можна ви-користовувати на факультативних заняттях для учтв гуматтарних клаЫв. Це дозво-ляе формувати прийоми навчально-тзнавально'г евристичног д1яльност1 учтв-гуматтарив, тдвищуе гх активтсть у процес1 навчання.
Ключов1 слова: логта, евристика, профыьне навчання, компетенттсть, навчаль-но-тзнавальна дгяльнгсть.
Постановка проблеми. Реформування осв^и в Укрш'т вимагае впровадження в школi нових оргаизацшних форм роботи з учнями. У нормативних документах зазна-чаеться, що старша школа мае функщону-вати як профшьна i сприяти формуванню таких компетентностей учнiв, якi забезпе-чать подальший розвиток, самовдоскона-лення та самореалiзацiю молодо! людини. Тому передбачаеться, як визначено в документах [1, 2, 3], ширше застосовувати вар> ативний компонент навчального плану (ку-рси за вибором, факультативы курси).
Головним завданням загальноосвгтньо! школи, профiльних класiв е створення сприятливих умов для розкриття й розвит-ку творчосп, математичних здiбностей i таланпв учнiв. Вирiшення цього завдання значною трою залежить вiд умшня вчите-ля цiлеспрямовано оргаизовувати й управ-ляти евристичною дiяльнiстю школярiв.
Використання прийомiв евристичних правил i операцш сприяе формуванню в учнiв-гуманiтарГiв логичного, абстрактного та алгоритмiчного титв мислення, пошу-ково! евристично! дiяльностi. Лопка та евристика е невщдшьними складовими май-бутнiх фахiвцiв у будь-якш галузi. Як ид-значае Г.1.Саранцев [6], до 60-х роюв ХХ столiття математичне доведення ототож-нювалося з його логичною формою, початок яко! поклав Евкшд i надалi закрiплено
працями ДПльберта й тдручниками А.Н.Кисильова.
1з впровадженням у практику навчання математики евристичних прийомiв змню-ються традицшт уявлення про лопчну форму доведень математичних пропозицш. Зараз одним iз сучасних методолопчних пiдходiв розробки методики навчання до-веденню е едшсть лопки та евристики.
Анал1з останшх дослщжень та публь кац1й. Проблемi реалiзацii евристичних iдей, даалектищ евристично! дiяльностi в навчаннi математики придаляли увагу таю сучаснi математики й методисти, як Г.ДБалк, Г.П.Бевз, М.1.Бурда, В.Г.Болтян-ський, Б.А.Вiкол, Б.В.Гнiденко, С.Г.Губа, Ю.М.Коляпн, Т.М.М1ракова, А.Д.Мишкiс, Ю.О.Палант, Г.В.Дорофеев, З.1.Слепкань, Г.1.Саранцев, €.Н.Турецький, ЛМ.Фрщ-ман, С.1.Шатро, П.М.Ерднiев, ИЗшьбер-берг, Е.Е.Семенов, О.1.Скафа та iншi.
Видшення невир1шени\ ран1ше час-тин загальноТ проблеми, яким присвя-чуегься означена стаття. Конкретних до-слiджень, яю б розкривали проблеми еври-стичного навчання учтв гумаштарних кла-сiв старшо! школи на факультативних за-няттях, немае. Саме цьому питанню й при-свячена дана стаття.
Мета статт1 - розкриття сутносп використання прийомiв евристичних правил i операцiй та управлiння евристичною дiя-
льтсгю учтв гумаштарних клаав тд час вивчення математики на факультативних заняттях.
Виклад основного матер1алу досль дження. Для успiху в подальшш практичны або науково-дослщницькш дiяльносгi гуманiтарiям необхiднi знання про св^ ви-падкових явищ - подш, величин i процесiв - про правила перевiрки гипотез та ощнку достовiрностi висновюв i, нареши, про аналiз даних експерименту або спостере-ження. При цьому для кращого розумiння й засвоення математичних понять, прийомiв i методiв необхщне поеднання у викладi абстрактного та конкретного, iндукцii й деду-кци, руху вiд простого до складного; необ-хiднi прост приклади, на основi яких фор-муеться уявлення про доведення як поеднання лопки та евристики.
Уся евристична даяльшсть заснована на евристичних правилах i операцiях, яю слу-жать фундаментом для вироблення стратеги розв'язання задач. Як стверджуе О.1.Скафа [7], вона е системою елеменпв евристичноi даяльносп, взаемозв'язаних правдоподiбними мiркуваннями, i направлена на формування вiрогiдного (правдо-подiбного) плану. Евристичт операци, за-снованi на шдукци, аналоги та iнших ро-зумових процесах, як зазначае А.Г.Роках [5], е окремими випадками правдоподiбних шркувань. У цш сукупнiй дiяльностi зна-ходять застосування i доказовi висновки (шркування), таю висновки, в яких тдтве-рджуеться наслiдок деякого припущення. Вони гiсно взаемозв'язанi з евристичними висновками, в яких при пщтверджент наслщку початкове припущення стае правдо-подiбнiшим. Ц висновки, зосереджуе автор, доповнюють один одного, переходячи з одного вигляду в iнший, залежно вiд ш-формацiйного забезпечення. Розглянемо цей зв'язок на схемах, подiбних схемам лопки.
Пхдтвердження наслiдку. Хай А - деяке припущення, а В - деякий наслщок з А. У початковий момент щодо ^инносп А i В нам тчого невiдомо. Таким чином, у нас е ■ильки iнформацiя, що А вщповщне В. Як-що вдалося довести, що В помилкове, то
можливо припустити, що i А помилкове. Ми маемо доказовий висновок:
А вщповщне В ^ В - помилкове ^ А - помилкове.
Словесне формулювання схеми таке: якщо вщомо, що припущення А вабить ви-слiв В, а також вщомо, що виств В помил-ковий, то вигiкае, що А - помилкове.
Тепер розглянемо можливий випадок, коли вислiв В виявиться правильним. Тодi висновок втрачае доказову силу. Пщтвер-дження деякого вислову В (наслщку В) ймовiрно припущення А не доводить А, але робить його правдоподiбнiшим. Одержана схема е фундаментальною шдуктив-ною схемою евристичного висновку:
А вщповщне В ^ В - ютинне ^ А -правдоподiбнiше.
Таким чином, пщтвердження наслiдку робить припущення правдоподiбнiшим.
Розглянемо такий випадок доказового висновку:
А ^ В, тобто з припущення А випкае
В;
В - ^инне, А - правдоподiбне.
Таким чином, пщтвердження наслщку не доводить припущення (ппотезу) А, але повщомляе його бiльшу правдоподiбнiсть.
Розглянемо послiдовне пщтвердження декiлькох наслщюв, якi витiкають з при-пущення А.
Припущення А. Об'ем усiченого кругового конуса, висота якого дорiвнюе Н, ра-дiуси основ г, Я, дорiвнюе
Vу.к.= Н Р(Я2+Я-г+г2) (1) (рис. 1).
/
—
h------
н \
JT Рис. 1
Перевiримо формулу на узгодженють iз попереднiм геометричним матерiалом.
Наслiдок В1. При Я = г усiчений конус перетворюеться на цилщдр. Вважаючи у формул (1) Я = г, одержимо: V = ж^Н,
де Н - висота цишндра, Я - радiус основ цишндра. Одержана з формули (1) формула ствпадае з доведеною в геометри формулою для об'ему цилiндра. Таким чином, наслщок В1 - правильний. Воно узгоджу-
еться з припущенням А. Висновок: припу-щення А може бути правильним.
Наслiдок В 2. При г = 0 уачений конус перетворюеться на конус (рис. 2).
Рис. 2
З формули (1) при г = 0 одержуемо: V к = 1 рЯ2Н. Одержаний наслiдок формули (1) е доведеним у геометри результатом для об'ему конуса. Таким чином, два наслщки припущення А (формули (1) ви-явилися правильними. Це укрiплюе упев-ненiсть у правильностi припущення, але, звичайно ж, не доводить ппогезу А.
У розглянутому нами прикладi проведена евристична перевiрка ппотези «А» про формулу для об'ему уаченого конуса. Звичайно, як вщомо в геометри, ця формула правильна. Але ми не «знали» про й справедлив^ь й узяли формулу як припу-щення.
Для перевiрки справедливосп формули (1) ми використовували наступну iндуктив-ну схему:
Ми провели евристичну перевiрку справедливости формули на основi шдук-
тивно' схеми:
З А слщуе В и+1, В сильно вiдрiзняеться
вiд ранiше пщтверджених наслщюв В1, В 2, ... Вп задач А. Значить, В и+1 iетинне.
Тобто А значно правдоподiбне.
1з розглянутого прикладу видно, що т-дтвердження нового наслщку мае бiльше або менше значення залежно вiд того, б> льше або менше цей новий наслщок вiдрiз-няеться вiд ратше п1дтверджених наслiд-к1в. Найбiльшу евристичну силу можна констатувати при такш систем1 наслiдкiв, коли по юнцевому числу ясно усвiдомле-них ^ на перший погляд, не узгоджених мiж собою фактiв робиться висновок, тобто вгадуеться закономiрнiеть.
Таким чином, пщтвердження наслiдку мае бiльше або менше значення залежно вщ того, бшьш менш саме по собi вiрогiд-ний цей наслiдок. 1накше кажучи, правдо-подiбнiеть А залежить вiд числа правдопо-дiбних наслщюв, пщтверджених далi.
Тому для учтв гуманiтарних класiв на факультативних заняттях ми пропонуемо поеднувати лопку та евристику у навчаннi доведенню шдуктивних правдоподiбних мiркувань.
Експеримент показав, що в такому ви-кладi розв'язання задачi бiльш доступне для учтв гумаштарних класiв. Тому в по-закласнiй робогi пропонуемо розглянути застосування вказаноi евристично1 схеми для бшьш складноi задачi.
Припущення А. Об'ем тша, яке одержа-не при обертант навколо осi Ох криво' (рис. 3), дорiвнюе добутку висоти Н та фу-нкци вiд радiусiв основ Я, г, яю е однорiд-ною функщею другого порядку однорiдно-ст1.
Для iндуктивноi перевiрки припущення
А нам по^бно: знання формули для
ь
об'ему тiла обертання V = р |/2(х)ёх,
а
понятгя однорiдноi функци двох аргумен-тiв.
OyHK^a p(u, v) gBox apryMeHriB u, v Ha3HBaeTbca ogHopigHoro ^yHK^ero gpyroro nopagKy ogHopigHocri, aK^o BOHa 3agoBo.nb-Hae yMOBy: p(1u,1v)=A2 p(u, v), ge
l ^ 0 - Bi^bHe Huc.no.
TaKHM hhhom, npuny^eHHa A Mo«Ha yaBHTH y BHraagi ^opMynu:
V = H-p(r, R), ge p(r, R) - ogHopigHa ^yHK^a BHgy
p(r, R) = aR2 + bRr + cr2, ge a, b, c - ge-AKi nocriMffl.
Hac^igoK Bj. y BHnagKy, ko^h HaBKo.no
oci Ox oGepTaeTbca y = R, ge R - nocriHHe, MaeMO цнпiнgp. OG'eM HHrnHgpy, aK BigoMO, gopiBHroe V = H ■ (pR2) (puc. 4).
Phc. 4
OyHK^a p(R) = pR 2 e ogHopigHoro $y-HK^ero gpyroro nopagKy 0gH0pigH0cri: p(lR) = l2(pR2) = 12p(R).
TaKHM hhhom, npuny^eHHa A Mo«Ha nigTBepgHTH HacrngKoM B j, aKe BHaBHnoca icTHHHHM npuny^eHHHM.
HaanigoK B2. y BHnagKy KO^H HaBKo.no oci Ox oGepTaeTbca npoMiHb, akhh BuxoguTb 3 nonaTKy KoopgHHaT, oipHMyeMo KoHyc (puc. 5).
PiBHHHHH npoMeHa R
y = R*,(0 < x < H).
OG'eM KoHyca gopiBHroe R2
VK = H ■ (p—).
R2
y ^oMy BHnagKy p(R) = p^- TaKo« e
ogHopigHoro ^yHK^ero gpyroro nopagKy. I ^M HacnigoK nigTBepg^ye npuny^eHHa A.
HacrngoK B3. y BHnagKy, ko^h HaBKo.no oci Ox oGepTaeTbca Bigpi3oK npaMoi, oipH-MyeMo ycineHHH KoHyc
R - r
( y =-x,0 < x < H ), oG'eM aKoro, aK mh
H
3HaeMo,
BHpa^aeTbca
^opMynoro
V,, = H (p
R2 + Rr + r2
). ( puc. 6, 7).
PHC. 6
Puc. 7
3
© Prach V.
У цьому випадку р
р(Я, г) = у (Я2 + Яг + г2), р(ЯЯ, Яг) =
= 1 Р(Я2 + Яг + г2) 3
- однорщна функцiя другого порядку од-норiдностi.
1з наукового погляду, можна сгверджу-вати, що зроблене припущення правильне, але це зовсiм не так, тому що наведений приклад тшьки тдгверджуе наше припу-щення, та не доводить його, так як припу-щення можна спросгувати лише одним прикладом, а довести неможливо.
Висновки 1з даного дослщження та перспективи подальших розв1док у да-ному напрямку. 1з наукового погляду, на-вчання умшню розв'язувати задачi учнiв гуманiтарних клаав на факультативних заняттях з математики, найбшьш ефектив-не в процес пошуку 'х розв'язання, яке не тшьки розкривае мехатзми розумово' i практично' дiяльноетi учнiв, але й розвивае 'х творче мислення, прищеплюе навички еврисгично' даяльносп через використання рiзного виду евристичних прийомiв.
1. Державний стандарт базовой 7 повног
освти. [Електронний ресурс]. - Режим досту-
пу: http://www.mon.gov.ua
2. 1нструктивно-методичш рекомендацп щодо вивчення у загальноосвгттх навчальних закладах предмет1в твар1ативног складовог навчального плану у 2010-2011 навчальному роц. [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www. mon.gov. иа
3. Зб1рник програм з математики для до-профтьног тдготовки та профтьного навчан-ня (у двох частинах). Ч. II. Профтьне навчання / Упоряд. Н.С.Прокопенко, О.П.Вашуленко, О.В.Срггна. -Х.: Вид-во «Ранок», 2011. - 384 с. - (Факультативи та курси за вибором).
4. Концепця загальног середньог освти. [Електронний ресурс]. - Режим досту-пу:http://www. mon.gov. иа
5. Роках А.Г. Логика и эвристика научно-технических решений / А.Г.Роках. - Саратов, 1991. -180 с.
6. Саранцев Г.И. Эвристики в обучении доказательству/ Г.И.Саранцев // Труды между-нар. дистанц. конф. «Эвристические методы в обучении математике». - Донецьк: ТЕАН, 1997.- С. 9-10.
7. Скафа Е.И. К вопросу о понятии «задача»: алгоритмические и эвристические приемы поиска ее решения/ Е.И.Скафа //Дидактика математики: проблемы и исследования: межд. сб. науч. работ. - Донецк: ТЕАН, 2000. -Вып. 12. - С. 3 -11.
Резюме. Прач В.С. СОЕДИНЕНИЕ ЛОГИКИ И ЭВРИСТИКИ В ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ ГУМАНИТАРНЫХ КЛАССОВ. В статье предложены приемы эвристических правил и операций, которые можно использовать на факультативных занятиях для учащихся гуманитарных классов. Это позволяет формировать учебно-эвристическую деятельность учащихся-гуманитариев, познавательный интерес к математике, повышает их активность в процессе обучения.
Ключевые слова: логика, эвристика, профильное обучение, компетентность.
Abstract. Prach V. THE COMBINATION OF LOGIC AND HEURISTIC WHILE TEACHING STUDENTS OF HUMANITIES CLASSES. The techniques of heuristic rules and processes described in the article can be used for students of humanities classes in optional courses. It allows to form educational and heuristic activities and the cognitive interest in Mathematics of the humanists, to increase their commitment during the studying process.
Key words: logic, heuristic, type teaching, competence.
Стаття представлена професором O.I. Скафою.
Надшшла доредакцп 28.05.2011 р.
