ФИЗИКА
УДК 548.00:535.39 + 535.345.1 С. Б. Московский
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭКСИТОННЫХ СПЕКТРАХ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ДОБАВОЧНЫМИ СВЕТОЭКСИТОННЫМИ ВОЛНАМИ
Введение. Добавочные светоэкситонные (поляритонные) волны были теоретически предсказаны Пекаром [1] в результате решения задачи о распространении в кристалле экситона, взаимодействующего с электромагнитной волной. Они соответствуют дополнительным по сравнению с обычной кристаллооптикой нормальным волнам в резонансной области с тем же, что и для обычной волны, состоянием поляризации, но другими значениями волнового вектора.
Феноменологическая интерпретация добавочных волн дается посредством учета явной зависимости диэлектрической проницаемости и других спектральных электромагнитных функций отклика от волнового вектора к, то есть пространственной дисперсии (ПД), которая является следствием нелокальности взаимодействия света с кристаллом
В случае светоэкситонного взаимодействия учет ПД эквивалентен учету вклада энергии поступательного движения механического экситона в энергию электронного перехода, которая при к ^ 0 соответствует частоте поперечного экситона шт. Механиче-
где т* — эффективная (трансляционная) масса экситона. Диэлектрическая проницаемость изотропного кристалла в приближении изолированного резонанса для дипольного перехода при этом может быть представлена в виде [2, 3]
где ш — частота, шьт — продольно-поперечное расщепление, 7 — константа затухания, феноменологически описывающая диссипативные потери энергии, єо — фоновая диэлектрическая проницаемость, обусловленная всеми резонансами в кристалле, кроме
© С. Б. Московский, 2008
[2, 3].
ский экситон с волновым вектором к будет, таким образом, иметь частоту шт+Йк2/2ш*,
(1)
рассматриваемого. Заметим, что в этом приближении константу затухания можно рассматривать как мнимую часть комплексной частоты ш = ш + .
Для поперечных волн с заданным состоянием поляризации дисперсионное уравне-
(с — скорость света в вакууме) в предельном случае т* ^ ж, соответствующем обычной кристаллооптике, имеет одно решение, а при учете ПД подстановка (1) в (2) приводит к двум решениям для двух поперечных волн с комплексными показателями преломления и\ (ш) = с2к2/ш2 [1, 2]:
Кроме того, ПД приводит к возможности распространения в кристалле продольной (к х Е = 0) нормальной (кО = 0) волны (Е и О —напряженность и электрическая индукция поля), удовлетворяющей дисперсионному уравнению е(ш, к) = 0, так как зависимость е от к допускает в данном случае ненулевые значения фазовой и групповой скоростей волны [1, 2].
В анизотропных кристаллах при определенных условиях могут распространяться также смешанные (продольно-поперечные: к х Е = 0, кЕ = 0, кО = 0) волны, для которых напряженность Е имеет как продольную так и поперечную составляющие [3].
В ограниченном кристалле соотношение амплитуд обычных и добававочных волн задается дополнительными (по отношению к граничным условиям Максвелла) граничными условиями. Наиболее широко применяются дополнительные граничные условия Пекара [4], требующие для дипольных переходов обращения в нуль экситонного вклада в поляризацию на границе кристалла: Рех^=0 = 0, а для квадрупольных переходов — равенства нулю на поверхности тензора квадрупольного момента: Q\z=0 = 0, связанного с экситонным вкладом в поляризацию соотношением Рех = (V, Q).
Наличие ПД, проявляющееся в возбуждении добавочных волн, нашло экспериментальные подтверждения в большом количестве работ, посвященных изучению экситон-ных спектров отражения, поглощения, резонансного рассеяния экситонов на акустических и оптических фононах. Авторам этих работ удалось не только добиться количественного согласия теории и эксперимента, но и зафиксировать в экспериментальных спектрах некоторые качественные особенности, которые не получают объяснения без привлечения представлений о добавочных светоэкситонных волнах. Достаточно подробный обзор экспериментальных работ, подтверждающих теорию добавочных волн, дается в монографии [4].
Наиболее убедительными доказательствами существования добавочных волн считаются эксперименты, проведенные на кристаллических пластинках, толщина которых достаточно мала для того, чтобы в резонансной области волны «+» и « —» (3) на задней поверхности пластинки обладали сравнимой интенсивностью.
В работах [5, 6] исследовались спектры отражения тонких пластинок CdSe и CdS (й = 0,08 — 1, 7 мкм) в области экситонных состояний Лп=\ при Т = 4, 2 К, 1, 8 К и
1, 6 К. В наблюдаемых спектрах присутствовала структура, связанная со спектральным изменением условий интерференции многократно отраженных волн, в которой
ние
(2)
п\(ш) = £о + г](ш) ± \/'ц2(ш) + а ,
(3)
где
ш + г7 — шт — вео
«+» и « —» волны проявились порознь. По спектральному положению интерференционных максимумов и минимумов авторам удалось непосредственно построить дисперсионные ветви ш±(к), соответствующие двум решениям (3).
Использование пикосекундной лазерной техники позволило провести прямое измерение групповой скорости светоэкситонных волн в тонких кристаллических пластинках [7, 8]. В этих работах лазерные импульсы длительностью в несколько десятков пикосекунд с перестраиваемой частотой, лежащей в спектральной области перекрытия обычной и добавочной волн, пропускались через пластинки кристалла СиС1 при Т = 4, 2 К. На выходе регистрировались два разрешенных во времени импульса, соответствующих «+» и «—» волнам.
В [9, 10] две поляритонные волны были разделены пространственно и зарегистрированы порознь при наблюдении преломления света в области экситонного состояния Ап=1 в тонких (й < 1 мкм) клинообразных кристаллах CdS при Т =1, 8 К.
Изучение дисперсии обычной и добавочной волн по отдельности проводилось также с использованием метода, предложенного в [11] и основанного на явлении резонансного рассеяния Мандельштама—Бриллюэна. В экспериментах с использованием данного метода (см. обзор [12]) исследовалось рассеяние назад монохроматического излучения (перестраиваемый лазер) для частот, находящихся в области перекрытия «+» и «—» волн. При этом наблюдалась картина рассеяния на акустических фононах каждой из волн. По спектральному положению пиков рассеяния были построены поляритонные ветви ш± (к) для головных экситонных линий ряда полупроводниковых кристаллов.
Результаты и их обсуждение. В данной работе мы рассмотрим проявление добавочных волн в нарушении дисперсионных соотношений Крамерса—Кронига (ДС) для спектров отражения и пропускания, а также в зависимости интегрального коэффициента экситонного поглощения (ИКЭП) от константы затухания.
Как известно [13], в линейной кристаллооптике при отсутствии ПД все функции отклика имеют аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость комплексной частоты (1+ (ш)). Следствием этого являются ДС — интегральные соотношения для спектров вещественных и мнимых частей функций отклика [13], а также однозначная связь между интегралом под спектральной кривой поглощения, обусловленного резонансным переходом, и силой осциллятора [3, 4]. В случаях, когда пространственной дисперсией пренебречь нельзя, соотношения Крамерса—Кронига будут справедливы не всегда [1-4, 14-17], а интегральное поглощение в области изолированной экситонной линии может существенно спадать при уменьшении константы затухания (начиная с некоторого конечного ее значения) [1, 18].
Экспериментально нарушения ДС в области экситонного поглощения впервые были обнаружены при низких температурах на молекулярных кристаллах [19] и для экситона Ап=1 в CdS [20]. Уменьшение интегрального коэффициента поглощения с понижением температуры наблюдалось в CdS (Ап=1) [21] и Си20 [22] (см. также [23, 24]).
Рассмотрение в качестве функций отклика комплексных коэффициентов отражения р(ш) и пропускания т(ш) позволило нам количественно описать отклонения от классических амплитудно-фазовых ДС Крамерса—Кронига в отражении и пропускании [25, 26] и указать способ нахождения зависимости ИКЭП от константы затухания в области изолированной экситонной линии [27, 28]. При этом, в отличие от [18], интегральное поглощение при малых значениях затухания вычисляется с учетом добавочной волны во всей актуальной области спектра.
Функции р(ш) и т(ш) по определению выражают локальную связь между комплексными амплитудами отраженной либо прошедшей и падающей волны и не зависят в
явном виде от нелокальности светоэкситонного взаимодействия. Поэтому в линейном приближении эти функции всегда имеют аналитическое продолжение в 1+ (ш). Классические ДС между вещественной и мнимой частью для р(ш) и т(ш) будут, таким образом, иметь место и при наличии ПД.
Нарушения амплитудно-фазовых ДС для отражения и пропускания и зависимость ИКЭП от затухания связаны с аналитическими свойствами комплексных логарифмов соответствующих спектральных функций отклика. Особыми точками функций Ьп р(ш) и Ьп т(ш) при ^ > 0, могут быть только нули отражения и пропускания.
При наличии поглощения в кристалле (у > 0) к точному обращению в нуль р(ш) и т (ш) может приводить интерференция светоэкситонных волн, причем если нуль отражения в 1+(ш) также может быть следствием поверхностной неоднородности, связанной с конечным размером экситона [29], то равенство т(ш) = 0 при ненулевом поглощении в широком диапазоне значений толщины пластинки достигается только за счет интерференции обычной и добавочной волн на задней поверхности кристалла.
Многолучевая интерференция светоэкситонов в тонкой пластинке дает возможность появления более одного нуля отражения в 1+ (ш) [30], но не изменяет количества нулей пропускания при ^ > 0 по сравнению с интерференцией в пластинке такой же толщины без учета многократных отражений [28]. Заметим, что при отсутствии добавочных волн многократное отражение света в поглощающей однородной пластинке само по себе не может быть причиной точного равенства нулю интерференционных коэффициентов отражения и пропускания [13].
Пусть функция р(ш) имеет в 1+ (ш) изолированные нули ш^^ = шоj + ІJоj. Рассмотрим интеграл
Г1мЩ/М-«‘м = 0' (4)
.] X — ш
с
где ро — предельное значение р(ш) вдали от резонанса, а — ступенчатая функция, равная нулю в длинноволновой области спектра и скачкообразно увеличивающаяся на 2п в каждой из точек шоj, контур С состоит из прямой, параллельной вещественной оси и смещенной на величину 7 в /+(ш), полуокружности бесконечно малого радиуса, обходящей полюс х = ш и вырезающей симметричный относительно него участок на вышеуказанной прямой, полуокружности бесконечно большого радиуса, замыкающей контур на бесконечности, и участков, обходящих логарифмические особенности ш = Шоj по берегам разрезов от точек Шоj до прямой х = х + *7. Обход логарифмических особых точек требуется только при Yоj > 7.
В результате вычисления интеграла (4) по отдельным участкам контура С, учета равенства р*(ш) = р(-ш*), вытекающего из требования вещественности отклика при вещественном значении сигнала [13], и разделения вещественной и мнимой частей приходим к интегральным амплитудно-фазовым соотношениям
СЮ
хг,л-ш [ ЧЪ/Щх)] ^ , лл
Ог(сс?) — I ^ ^ 1 (5)
п У х2 — ш2
о
СЮ
, ^ ! 4 Г х\5г(х) — а] , „ , „
Ь Д и /До = ----------5---<1х + 1аа{и) , (6)
п ] х2 — ш2
о
где интегралы понимаются в смысле главного значения, Д(ш) = р(ш)р*(ш), Ко = ро Ро — энергетические коэффициенты отражения, 6Г (ш) —разность фаз комплексного коэф-
фициента отражения р(ш) и его предельного значения ро, Заа(ш) и fad(ш) —дополнительные слагаемые — спектральные функции, являющиеся вкладом нулей отражения:
&а4 (ш) — 2 Е аг<Лап
70з ~ 7 — ш
+ а ,
(7)
]ай(ш) — 2 ^ІП
1 +
70о ~ 7
Ш0з — ш
(8)
Соотношения (5), (6) с учетом (7), (8) представляют собой дополненные амплитуднофазовые ДС для отражения в области изолированного резонанса. При ^ < 7 они переходят в классические ДС Крамерса—Кронига, а при ^ > 7 количественно описывают отклонения от них.
Дополненные ДС для энергетического коэффициента пропускания О(ш) =
т(ш)т* (ш) и фазы прошедшего света 5^ (ш) получаются аналогично и имеют вид
[ 1п[Д)/£>(ж)] ^
^£г(^) — / 9 9
п У х2 — ш2
0
2 V атсЛ&п —-“ ш0і
■7
+ а .
(9)
п ч , ^ п 4 /* х[&-г (х) — а] ,
1п _0(а>)/Д) = -----------------^^—сіх
п У х2 — ш2
0
2 Іп
1 +
(10)
Здесь До = тот* —предельное значение О(ш) вдали от резонанса, шоj и Yоj —координаты нулей пропускания в 1+ (ш) с Yоj > 7.
Для изучения свойств интегрального поглощения при учете добавочных волн и многократных отражений света внутри кристаллической пластинки в качестве спектральной характеристики поглощения удобно рассматривать функцию 1п \Во/С(ш)\. В зависимость этой функции от частоты дает вклад спектральное изменение отражения, однако она обладает такими же интегральными свойствами, как и спектр истинного поглощения, и, кроме того, допускает прямое сравнение с экспериментом. Под ИКЭП, таким образом, понимается величина
СЮ СЮ
5=- J 1п|£)0/-ОН|^=-Ие J
йт (ш)
(11)
где г —толщина пластинки. Здесь подразумевается, что пределы интегрирования достигают удаленных краев резонансной области, где О(ш) ^ Во, поэтому формально можно рассматривать интеграл в бесконечных пределах, не учитывая сопряженного резонанса в области отрицательных частот (т*(ш) — т(—ш*)).
Составим контур интегрирования Сі из участка, смещенного в I+ (ш) относительно вещественной оси на величину 7, и полуокружности бесконечно большого радиуса с центром на вещественной оси. Вычислим следующий интеграл по контуру Сі:
1 — / (ш — )
Сі
йт (ш)
т(й)
2п*Е [шо^ + і(^0з — 7)]>
(12)
где под знаком суммы учитываются только нули, оказавшиеся внутри контура интегрирования. Если разбить интеграл (12) на сумму интеграла Т\ по участку 1тш = 7
2
ш
2
ш
и интеграла 1о по полуокружности, то очевидно, что первое слагаемое будет равно интегралу в правой части (11) при значении затухания, равном 7. Тогда
Б = - 11е/1 = Б0 - — У^(7су - 7) >
(13)
j
где Бо = — (2/г)Кв1о —значение ИКЭП при 7 > тах{7о^-}, второе слагаемое — вклад интерференционных нулей пропускания с Yоj > 7.
Предельное (классическое) значение Б = Бо вычисляется для разложения функции т(ш) в ряд по степеням параметра в/(ш — шгеа) на полуокружности радиуса \ш — шгее\ ^ ж, где шге8 (резонансная частота) — вещественная часть комплексной частоты шсг = шге8 + г^сг, соответствующей условию равенства комплексных показателей преломления п^(сй) = п-(си) (критическая точка, 7сг = 2^/~ёф)~ьт]3 — критическое значение константы затухания). Полуокружность для контура С1, таким образом, нужно выбирать с центром в точке ш = шге8. Величина Бо прямо пропорциональна силе осциллятора, зависит от других параметров экситонного перехода (ео и шт), толщины кристалла (при учете многократных отражений в пластинке) и угла падения света (при наклонном падении).
Мнимые координаты нулей пропускания Yоj также определяются параметрами резонанса, толщиной и зависят от угла падения. Рассмотрение условий интерференции све-тоэкситонных волн на задней поверхности кристалла [28] показывает, что Yоj < 1сг, то есть при 7 > 7сг в пропускании всегда справедливы классические амплитудно-фазовые соотношения Крамерса—Кронига и Б = Бо.
В случае, когда влияние многократных отражений света в кристалле несущественно, вместо В(ш)/Во в (11) при нормальном падении света можно рассматривать квадрат модуля функции
где Ап± = п± — по, по = л/ёо—фоновый показатель преломления, </ = (Е-/Е+)|2=о — отношение комплексных амплитуд «—» и «+» волн на поверхности кристалла, определяемое дополнительными граничными условиями. Функция 6(ш) будет аналитической в 1+(ш), как и т(ш), поскольку равенство р(ш) = —1 в соответствии с принципом максимума модуля аналитической функции в данном случае может выполняться только на вещественной оси.
Полученные теоретические результаты далее используются нами для исследования температурной зависимости интегральных характеристик экситонных спектров поглощения и отражения тонких плоскопараллельных пластинок CdSe, квадрупольного дву-преломления и поглощения в кристаллах Си2 0, амплитудно-фазовых соотношений для спектров отражения кристаллов ZnSe*.
Экспериментальные спектры поглощения кристаллической пластинки CdSe толщиной 0,37 мкм в области экситонного состояния Лп=\ при нормальном падении света, поляризованного перпендикулярно гексагональной оси Сб, находящейся в плоскости пластинки, приведены на рис.1,а. При повышении температуры от 8 К до 60 К наблюдается характерная для пекаровского поляритона эволюция спектров поглощения:
* Приведенные в данной работе экспериментальные результаты получены совместно с Л.Е.Со-ловьевым и А.Б.Новиковым [26, 31—34].
(14)
1п[До/Д(ш)] Б х 10 6, см 2
- 10 8 -
+
60 К _
-15 -10 -5 0 5
0
0
0,4
0,8
1,2
%(ш — шт), мэВ
Т/Тсг
Рис. 1. а — Экспериментальные контуры поглощения кристалла CdSe (Ап=\, ^ = 0, 37 мкм) при нормальном падении света и различных температурах (отсчет частоты от значения при Т = 8 К). б — Зависимость интегрального поглощения от температуры: сплошная кривая — расчет по формулам (13), (15), пунктир — расчет без учета многократных отражений в кристалле,
(+)—экспериментальные значения £.
до температуры, соответствующей критическому значению затухания (для данного образца Тсг ~ 50 К), происходит увеличение поглощения в максимуме и интегрального поглощения, при Т > Тсг с ростом температуры поглощение в максимуме уменьшается, а ИКЭП становится постоянным, что соответствует классической температурной зависимости контура поглощения.
Значения интегрального поглощения, полученные численным интегрированием экспериментальных спектров по формуле (11), на рис. 1,б сравниваются с зависимостью Б(Т), рассчитанной по формуле (13). Соответствие между значениями температуры и константы затухания устанавливалось из предположения о постоянстве вклада в затухание примесей и дефектов решетки и линейном возрастании с температурой вклада рассеяния поляритонов на фононах [35]. Кроме того, значения затухания при Т < Тсг были независимо определены при помощи дополненных ДС (9) и экспериментальных спектров поглощения и фазы прошедшего света (см. ниже).
Предельное значение Б в (13), вычисленное нами с учетом многократных отражений в пластинке для данной геометрии равно
— волновой вектор вблизи частоты ит и отражательная способность поверхности кристалла, соответствующие фоновой диэлектрической проницаемости £о^ в рассматриваемой поляризации, Го = 4Ко/(1 — Ко)2.
где — продольно-поперечное расщепление в см 1,
(15)
С
На рис. 1,б представлена также расчетная температурная зависимость ИКЭП без учета многократных отражений. В этом приближении вычисление высокотемпературного предела ИКЭП дает Бо = пи^тко. Качественное соответствие теории и эксперимента наблюдается для обеих кривых, однако количественно экспериментальные результаты значительно ближе к значениям Б(Т), полученным с использованием (15).
Сравнение экспериментальных фазовых спектров пропускания той же пластинки CdSe с расчетами, проделанными с использованием спектров 1п(^о/^(ш)) (рис. 1,а) по классическим и дополненным ДС (9), приведено на рис. 2 для температур Т = 8 К (а) и Т = 60 К (б). Спектр фазы прошедшего света при Т = 60 К с хорошей точностью описывается классическим интегральным слагаемым в (9). При Т = 8 К фазовая кривая, рассчитанная по классическому соотношению Крамерса—Кронига, ни количественно, ни качественно не соответствует эксперименту (на рисунке масштаб по вертикальной оси увеличен для нее в 4 раза), тогда как кривая, рассчитанная по дополненным ДС с учетом вклада нулей пропускания, хорошо согласуется с экспериментом. Такая же картина наблюдается для других температур, меньших критической. Величина константы затухания, использованная в расчете добавочного фазового слагаемого, варьировалась для улучшения согласия расчетов с экспериментальными спектрами 5^ (ш). Полученные таким образом значения 7 в пределах погрешности совпадают с определенными по величинам интегрального поглощения при Т < Тсг и соответствуют предположению о линейной зависимости 7(Т). Последнее предположение при построении зависимостей Б(Т) в данной работе экстраполировалось и на область Т > Тсг, однако другие данные (ширина контура и величина поглощения в максимуме) указывают на более быстрое возрастание затухания в этой температурной области.
Для света, поляризованного параллельно оси Сб, дипольный экситонный переход Ап=1 запрещен. При наклонном падении света в плоскости, содержащей вектор напряженности электрического поля и ось Сб, в кристалле могут возбуждаться смешанные (продольно-поперечные по отношению к вектору Е) волны. В окрестности состояния Ап=1 пространственная дисперсия при этом приводит к возбуждению двух светоэк-ситонных волн, показатели преломления которых в случае, когда ось Сб параллельна поверхности кристалла (см. рис. 3,г), равны [3, 36]
р — угол падения света, Єдц, £о± — фоновые диэлектрические проницаемости для поляризаций Е||Сб и Е±Сб, шь = шт + шьт —предельное (к ^ 0) значение частоты продольного экситона, шТ, ш*^ — эффективные массы экситонов с волновыми векторами
В такой геометрии интенсивность светоэкситонного взаимодействия (эффективная сила осциллятора) увеличивается с ростом угла падения, так как при этом возрастает проекция вектора Е на направление, соответствующее разрешенной поляризации. Кри-
Ії\ = Єї (92) + єіп2 + Г)(ш, ір) ± л/Г)2 (и, <р) + «1 (<р) ,
где
П(ш,Р)
к||С6 и к±С6.
тическое значение константы затухания 7СГ = 2^£о|||^ьт/3±/ео± вше,? также возрастает с углом падения.
-0,6 +
Рис. 2. Сравнение экспериментальных фазовых спектров пропускания Сё8е (Ап=1, % = 0, 37 мкм) при нормальном падении света с рассчитанными из спектров поглощения при помощи ДС при температурах 8 К (а) и 60 К (б): сплошные кривые — эксперимент, пунктир — расчет по классическому соотношению Крамерса—Кронига, штриховая кривая — расчет по формуле (9).
Вычисление So при учете многолучевой интерференции светоэкситонов в пластинке в данном случае дает
sin2^ (1 + i?i)/(l - Ri) + vrF\sm(2k0zz)/2k0zz
S0 = HVLTkOz----------—-----------------1 , „ ,2 n-----n------------- > (16)
£0± - sin ф 1 + Fi sin (kozz)
ln[Do/DH] ln[Do/DH]
0,1
0,2
U'Y, мэВ
Рис. 3. Экспериментальные контуры поглощения кристалла CdSe (Ап=1, £ = 0,41 мкм) в геометрии смешанного экситона при углах падения = 25° (а), = 45° (б) и различных
температурах (отсчет частоты от значения шт при Т = 4, 5 К). Зависимость интегрального поглощения от температуры и константы затухания (в): сплошные кривые — расчет по формулам (13), (16), пунктир — расчет по формуле (17), (+)— экспериментальные значения Схема геометрии эксперимента (г).
0
где
LOT .-- т> ( _ £°ll COSiP^ 2
™0z — л/^-1? ,-- .
с V л/ёГ + £о|| cos^
— нормальная компонента волнового вектора и отражательная способность поверхности, соответствующие фоновым диэлектрическим проницаемостям £о|| и £0^, Fl = 4Ri/(1 — Ri)2. Аналогичный интеграл без учета отражения от задней грани равен So = nvLTkoz sin2 <p/(£0L — sin2 ф).
Зависимость S(7) мы рассчитывали также методом, предложенным в [18]. В данном методе под интегральным коэффициентом поглощения (в нашем случае — при на-
клонном падении света) понимается интеграл в бесконечных пределах от однозначной функции
где в качестве п(ш) выступает комплексный показатель преломления светоэкситонной волны с меньшей в данной точке спектра мнимой частью.
При вычислении этого интеграла учитывается, что функция п(ш), являющаяся решением дисперсионного уравнения, имеет в 1+(ш) точку ветвления шсг, при обходе которой две ветви решения п±(ш) переходят друг в друга. Контур интегрирования на комплексной плоскости обходит точку ветвления по берегам разреза вдоль кривой, соответствующей условию 1тп+(ш) = 1тп — (ш), и замыкается на бесконечности полуокружностью бесконечно большого радиуса. Зависимость Б(7) при этом является следствием вклада от участка контура, обходящего точку ветвления. Вычисление интеграла Б таким способом дает следующий результат:
где х = ^/7сг < 1, Бо —высокотемпературный предел Б, совпадающий с величиной, входящей в (13) для приближения, в котором не учитывается многократное отражение света в кристалле. При х > 1 (7 > 7сг) Б = Бо.
Спектры поглощения в геометрии смешанного экситона для двух углов падения представлены на рис. 3,а (ф = 25°) и рис. 3,б (ф = 45°). Спектры сняты на одном и том же образце CdSe толщиной 0,41 мкм в интервале температур 4,5-60 К. Для ф = 25° температурная зависимость контуров поглощения при всех температурах имеет классический характер, тогда как при ф = 45° до Т =18 К наблюдается увеличение поглощения в максимуме и площади под контуром, а при Т > 18 К интегральное поглощение перестает изменяться, уменьшение поглощения в максимуме компенсируется уширением линии. На рис. 3,е результаты численного интегрирования экспериментальных спектров сравниваются с расчетами ИКЭП по формулам (13), (16) и формуле (17). Соответствие между значениями затухания и температуры устанавливалось описанным выше способом по четырем значениям Б при 7 < 7сг для ф = 45°. Как и в случае нормального падения света в поляризации, соответствующей разрешенному переходу, лучшее количественное соответствие теории и эксперимента получено при учете многолучевой интерференции светоэкситонов в пластинке.
Для дипольно запрещенного перехода п =1 закиси меди сила осциллятора примерно на шесть порядков меньше по сравнению с характерными значениями для ди-польных экситонных переходов. Измерения и расчеты двупреломления и поглощения в окрестности квадрупольного экситонного состояния С^О в геометрии Е||С4, к||С2 (нормальное падение света) [31-33] показали, что минимальное аппаратное уширение спектрального прибора значительно превосходит расчетную ширину линии при значениях затухания, достаточно малых для проявления эффектов ПД. Тем не менее уменьшение интегрального поглощения и отклонения от классических ДС на лучших гидротермальных образцах закиси меди при температуре жидкого гелия были зарегистрированы.
Выражения для комплексных показателей преломления в окрестности квадруполь-ной линии Си2 0 [37] могут быть приведены к виду (3) с изменениями в выражениях для п(ш) и а: п = (ш +— шо — в£о + д)/2в, а = £од/в, где шо — частота механического
экситона n = 1 в пределе k ^ 0, g — величина с размерностью частоты, пропорциональная силе осциллятора. Точка ветвления функции П(ш) в /+(ш) имеет координаты
сигез = и>0 + /?£о - д, icr = 2л/еодр.
Размах дисперсионной кривой и спектральные изменения отражения в области квадрупольного перехода CU2O из-за малой силы осциллятора незначительны. Поэтому наблюдение двупреломления возможно только на кристаллах достаточно большой толщины (несколько миллиметров). При этом отражением от задней грани кристалла можно пренебречь, а фаза и амплитуда прошедшего света совпадают с фазой и модулем функции 0(ш) (14). Вещественная и мнимая части логарифма 0(ш) связаны с коэффициентом поглощения K(ш) и двупреломлением Дп(ш):
2 с
К (и) = —ReLn0(w), Ап(и>) = —ImLn0(w).
Аналитичность 0(й) в 1+(й) позволяет получить для данных функций дополненные
ДС
с Г K (х) 2с
Лп(ш) = — — —т----------------------------тг ах Н-У arctan
п J х2 — ш2 шх
Юз ~ 7
шоу — ш
(18)
4uj2 [ Ап(х)
dx----------In
1 +
7о j ~ 7 шоу — ш
(19)
а также выразить зависимость интегрального поглощения от константы затухания в виде (13). Для рассматриваемого перехода величина йо в (13) получается равной Бо = тгк0д (к0 = ш^/ёо/с).
Для кристалла Си20 толщиной 3 мм расчетное количество нулей пропускания в I+ (й) около 140. Ранее для расчета дополнительного слагаемого в ДС (18) нами использовалось приближение, в котором все нули помещались в критическую точку, а их количество бралось несколько меньше расчетного, что позволяло достичь удовлетворительного согласия теории и эксперимента [26]. Здесь мы применим другое приближение, в котором не требуется задания количества нулей и определения их координат.
При большом количестве нулей пропускания их распределение в I+ (й) можно считать квазинепрерывным. Согласно (14), условие в(й) = 0 приводит к системе уравнений
— 11е[п+(й) — п-(ш)\ = Ф(й) + (2;? — 1) 7Г, с
— 1т[п_|_(а)) — гг_(с2>)] = — 1п 1дг(с2>) I, с
где Ф(й) —фаза комплексной функции ц(й), изменяющаяся в пределах (0, 2п). При г можно пренебречь Ф(й) и 1п |#(й)|. Это означает, что нули пропускания в I+ (й)
приближаются к кривой, определяемой условием 1тП+(й) = 1тп_(й), и удовлетворяют уравнению
— 11е[п+(й) — п—(й))\ = (2j — 1) тг. (20) с
Разность вещественных частей волновых векторов «+» и « —» волн при условии равенства мнимых частей находится из (3):
— Re(n+ — п_) = —\ 4(1 — х'2) с CV в
2
где x' = Yher, y' — переменная, соответствующая мнимой координате нуля пропускания в квазинепрерывном приближении. Данное равенство с учетом (20) позволяет ввести плотность распределения нулей пропускания в I+ ((D):
. luz Гд х' Sqz х'
р(х ) = ----, —
А/ а
27ГС у (3 VI - ж/2 тг27сг а/1 - Ж/2
Используя р(х') в (13) переходим от суммы к интегралу:
1
- 7) = 1сг J{х' - х)р(х')с1х' = ^ - хл/1 -X1 - ап^ап —^===^ .
3 х
Подставляя этот результат в (13), приходим к (17). Заметим, что вычисление интегрального поглощения в приближении квазинепрерывного распределения нулей пропускания для дипольных переходов отличается от приведенного здесь только лишь заменой д на ь'ьт.
Выражение для ИКЭП (17) получено нами, таким образом, в отличие от [18], исходя из представлений об интерференционных нулях пропускания. Тем самым уточняется критерий приближения, приводящего к формуле (17) в [18]: кристалл должен иметь достаточную толщину, чтобы в (13) координаты дискретных нулей пропускания можно было заменить квазинепрерывным распределением.
В дополненных ДС для пропускания (9)—(10) и (18)—(19) при большом количестве нулей также можно перейти от сумм к интегралам:
1
Е, Юз - 1 [ , 1от (х' - х) ,
аг<Лап—-------= аг<Лап—:— ---------------------------р(х )ах , 21
и0з - и ] и'(х') - и ; к 1
Eln
1 +
( 703 - 7
\UJ0j - UJ
ln
2 I х' — x
1 + 7 сг ~ТГТ\
' ш'(х') — (
p(x')dx',
(22)
где и' — переменная, соответствующая вещественной координате нуля пропускания, связанная с хХ условием 1тп+ (и) = 1тп —(и). Для квадрупольного перехода связь и' и х' имеет вид и' = итев + д(1 - х'2). Малое значение д позволяет в данном случае с хорошей точностью положить и' « ите8. Для дипольного перехода и' = итев + и^т (1 - х'2).
На рис. 4 представлены экспериментальные спектры двупреломления (а, сплошная кривая) и поглощения (б) кристалла Си2 0 толщиной 3 мм в области квадрупольного перехода при температуре 4,2 К в геометрии кНС^, Е||С4. Контур двупреломления Апкт, полученный интегральным преобразованием спектра поглощения в соответствии с классическим соотношением Крамерса—Кронига (а, штриховая кривая), существенно отклоняется от экспериментального. Разность Ап - Апкт, на рис. 4,в сравнивается с добавочным слагаемым Апад (второе слагаемое в правой части (18)), вычисленным с учетом (21) и аппаратного уширения. Полуширина аппаратной функции 0, 6 • 10—4 эВ (« 0, 5 см—1) определялась по ширине экспериментальных спектров поглощения и двупреломления. Константа затухания Й7 = 10—7 эВ, использованная в расчете Апад, была выбрана в соответствии с экспериментальным значением интегрального поглощения (см. рис. 4,г).
2
2
Б, см 2
15
10
4 6
Н'у х 107, эВ
%((Л — ^тея) X 104, эВ
Рис.4• Двупреломление (а), поглощение (б) и добавочное слагаемое (в) в области квадруполь-ной линии поглощения Си2О при Т = 4,2 К. Сплошные линии — эксперимент, штриховые — дву-преломление, рассчитанное по классическому ДС (а) и Аиал(ш) (в), вычисленное в приближении ква-зинепрерывного распределения нулей и аппаратного уширения. (г)— Зависимость интегрального поглощения от затухания: расчет по формуле (17) и экспериментальное значение.
г
5
0
2
Хорошее согласие теоретического и экспериментального спектра Аиаа(ш), полученное здесь без дополнительных предположений о количестве и координатах нулей пропускания в /+(£) с использованием значения затухания, определенного в рамках того же приближения, позволяет говорить о возможности наблюдения в интегральных характеристиках экситонных спектров эффектов, связанных с добавочной светоэкситон-ной волной, даже в случае существенного спектрального уширения.
В качестве примеров использования дополненных амплитудно-фазовых ДС для спектров отражения (5), (7) приведем здесь результаты обработки экспериментальных спектров кубических кристаллов ZnSe и расчетных спектров для тонких пластинок
саве.
Дипольный переход, соответствующий головной линии экситонного спектра кристаллов ZnSe, разрешен для любых состояний поляризации, поэтому спектральные изменения (амплитудные и фазовые) всегда имеют место как в р-, так и в в-компоненте отраженного света. Фазовые измерения, основанные на использовании интерференции поляризованных лучей, возможны, таким образом, только при наклонном падении света. При этом измеряемой величиной является разность фаз комплексных коэффициентов отражения для р- и в-компоненты: 5т(и) = 5тр(и) - 5та(и). Спектры 5та(и), получаемые непосредственным расчетом и интегральным преобразованием соответствующего спектра отражения по классическому соотношению Крамерса—Кронига, находятся в хорошем согласии. При углах падения, близких к углу Брюстера (фвт ~ 71°), фаза в в-компоненте, согласно этим расчетам, изменяется в резонансной области незначительно (при ф = 67° в пределах 6°), что позволяет в этом случае приближенно считать Зт (и) ~ Зтр(и).
Экспериментальные спектры фазы и отражения в р-компоненте, полученные для угла падения ф = 67° при Т = 4, 2 К на двух образцах ZnSe большой толщины, приведены на рис.5,а,б. Длинноволновый и коротковолновый пределы фазы отличаются на 2п, что свидетельствует о наличии нуля отражения с 70 > ^. Это подтверждается отклонением экспериментальных спектров 5т (и) от контуров 6кт(и), рассчитанных из спектров Кр(и)/Ко при помощи классических ДС.
На координаты нуля отражения существенно влияет поверхностная неоднородность светоэкситонного поля [29], которую можно учесть в модели «мертвого» слоя [38]. При заданном угле падения света в этой модели ио и 70 для конкретного резонанса однозначно связаны с толщиной слоя I. Это позволяет, определив ио из условия 6т(и)-6кт(и) = п, найти I и 7о(1). Затем в результате сравнения разности 5т(и)-6кт(и) с дополнительным фазовым слагаемым 5ад(и), вычисленным в соответствии с (7) при известных ио и 70 и варьируемом значении 7, определяется величина затухания.
Для первого образца (рис. 5, а) в результате были получены значения параметров Н(ио —ит) = 2, 25 мэВ, Й7о = 1,41 мэВ, Н^(ио) = 0, 7±0,1 мэВ, I = 7,1±0, 5 нм. Фазовый спектр второго образца (рис. 5,б), зарегистрированный спектроинтерференционным методом с использованием интерферометра Беккереля, имеет двухмодовую структуру. Нижняя ветвь оказывается в хорошем согласии с 6кт(и), верхняя ветвь описывается формулами (5), (7) при Н(ио - ит) = 2, 2 мэВ, Н^о = 1, 42 мэВ, Й7(ио) = 1, 2 ± 0,1 мэВ, что соответствует I = 7, 3 ± 0, 5 нм. Двухмодовая спектроинтерференционная картина может быть обусловлена разбросом значений затухания для различных участков поверхности кристалла.
В работах [30, 39] нами были получены выражения для коэффициентов отражения и пропускания тонких кристаллических пластинок при наклонном падении света в р-компоненте с учетом добавочных светоэкситонных волн, многократных отражений в кристалле, а также безэкситонных слоев на поверхностях пластинки. На рис. 5, в, г представлены расчетные спектры фазы отраженного света в области экситонного перехода Ап=1 СаВе при ф = 50° (р-компонента), 7 = 0, 057ет. Расчеты проведены для однородной пластинки толщиной 0,5 мкм (в) и пластинки толщиной 0,514 мкм с безэк-ситонными слоями на каждой из поверхностей толщиной 7 нм (г). В этих же условиях были вычислены функции Яр (и) в резонансной области, найдены координаты нулей отражения (в каждом из случаев их 3), и выполнен расчет 6тр(и) из спектра отражения при помощи (5), (7). Кривые, рассчитанные интегральным преобразованием спектров отражения с учетом вкладов нулей полностью соответствуют фазовым спектрам, по-
Яр, отн. ед
Зт/п, 3Кт /П
ЗаД/п
+ Ч----1--1--1--1---1 V-!-----1—
т 2
+ ч—I—I—I—I-
-2 0 2 Н(и - ит), мэВ
Зтp/п, ЗКт/п
-2 0 2*-
Н(и - ит), мэВ
х-1
Зтp/п, ЗКт/п
Рис. 5. Обработка экспериментальных и расчетных спектров отражения при помощи дополненных ДС. а, б —Энергетические и фазовые спектры отражения двух образцов ZnSe в области головной экситонной линии при Т = 4,2 К, ф = 67°. в, г —Расчетные спектры фазы отраженного света кристаллов CdSe в р-компоненте (Ап=1, ф = 50°, 7 = 0, 05^ет); в —однородная пластинка толщиной 0,5 мкм, г — пластинка толщиной 0,514 мкм с «мертвыми» слоями по 7 нм на каждой из поверхностей. Сплошные линии — экспериментальные спектры и расчет Sad(ш) (а, б), прямой расчет фазы (в, г), штриховые — интегральные преобразования спектров отражения по классическому ДС, пунктир — экспериментальные значения Sad(ш) (а, б), расчет при помощи ДС (5) с учетом добавочного слагаемого (7) (в, г).
1
6
4
2
0
лученным прямыми расчетами.
Заключение. Предложенная здесь интерпретация неклассических интегральных эффектов в спектрах отражения и пропускания как следствий особенностей аналитических свойств оптических функций отклика в I+ ((), обусловленных интерференцией светоэкситонных волн, получает, таким образом, подтверждение как в случае тонких кристаллических слоев, когда интерференционная структура непосредственно проявляется в спектре (рис. 6), так и для условий, при которых прямое наблюдение интерференции «+» и « —» волн невозможно из за большой толщины кристалла или аппаратного уширения спектра.
В заключение автор выражает глубокую признательность Л. Е. Соловьеву за продуктивные обсуждения и постоянный интерес к работе.
Summary
S. B. Moskovskiy. Nonclassical integral effects in excitonic reflection and transmission spectra caused by additional photoexcitonic waves.
Breakdown of the classical Kramers—Kronig dispersion relations and temperature dependence of the integral absorption in the exciton-resonance region are interpreted as effects caused by interference of photoexcitonic waves. Theoretical results are used for describing of experimental and direct calculations excitonic reflection and transmission spectra.
Литература
1. Пекар С. И. Журн. экспер.-теор. физики. 1957. Т. 33, вып. 4. С. 1022-1036.
2. Гинзбург В. Л. Там же, 1958. Т. 34, вып. 6. С. 1593-1604.
3. Агранович В. М., Гинзбург В. Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. М., 1979. 432 с.
4. Пекар С. И. Кристаллооптика и добавочные световые волны. Киев, 1982. 295 с.
5. Киселев В. А., Разбирин Б. С., Уральцев И. Н. Письма в Журн. экспер.-теор. физики. 1973. Т. 18, вып. 8. С. 504-507.
6. Kiselev V. A., Razbirin B. S., Uraltsev I. N. Phys. Stat. Sol. B. 1975. Vol. B72, N 1. P. 161-172.
7. Segawa Y, Aoyagi Y, Azuma K, Namba S. Sol. Stat. Comm. 1978. Vol. 28, N10. P. 853-855.
8. Masumoto Y, Unuma Y, Tanaka Y, Shionoya S. J. Phys. Soc. Jap. 1979. Vol. 47, N6. P. 1844-1849.
9. Лебедев М. В., Страшникова М. И., Тимофеев В. Б., Черный В. В. Письма в Журн. экспер.-теор. физики. 1984. Т. 39, вып. 8. С. 366-369.
10. Демиденко А. А., Лебедев М. В., Пекар С. И. и др. Журн. экспер.-теор. физики. 1985. Т. 89, вып. 1. С. 330-335.
11. Brenig W., Zeyher R., Birman J. L. Phys. Rev. B. 1972. Vol. B6, N12. P. 4617-4622.
12. Вейсбух К., Ульбрих Р. Рассеяние света в твердых телах / Под ред. М. Кардоны. М., 1985. C. 228-291.
13. Нуссенцвейг Х. М. Причинность и дисперсионные соотношения. М., 1976. 461 с.
14. Леонтович М. А. Журн. экспер.-теор. физики. 1961. Т. 40, вып. 3. С. 907-912.
15. Давыдов А. С. Там же. 1962. Т. 43, вып. 5. С. 1832-1840.
16. Гинзбург В. Л., Мейман Н. Н. Там же. 1964. Т. 46, вып. 1. С. 243-253.
17. Киржниц Д. А. Успехи физ. наук. 1976. Т. 119, вып. 2. С. 357-369.
18. Ахмедиев Н. Н. Журн. экспер.-теор. физики. 1980. Т. 79, вып. 4. С. 1534-1543.
19. Бродин М. С., Прихотько А. Ф., Соскин М. С. Опт. и спектр. 1959. Т. 6, вып. 1. С. 28-32.
20. Бродин М. С., Страшникова М. И. Физика тв. тела. 1962. Т. 4, вып. 9. С. 2454-2460.
21. Voigt J. Phys. St. Sol. B. 1974. Vol. B64, N2. P. 549-556.
22. Крейнгольд Ф. И., Макаров В. Л. Письма в Журн. экспер.-теор. физики. 1974. Т. 20, вып. 7. С. 441-445.
23. Ахмедиев Н.Н., Голубев Г. П., Днепровский В. С. и др. Физика. тв. тела. 1983. Т. 25, вып. 7. С. 2225-2227.
24. Новиков А. Б., Соловьев Л. Е., Талалаев В. Г. Там же. 1986. Т. 28, вып. 6. С. 1931-1934.
25. Московский С. Б., Соловьев Л.Е. Вестн. ЛГУ. Сер. 4: Физика, химия. 1983. №22. С. 1824.
26. Московский С. Б., Соловьев Л.Е. Журн. экспер.-теор. физики. 1984. Т. 86, вып. 4. С. 1419-1430.
27. Григорьев С. Р., Московский С. Б., Новиков А. Б. и др. Вестн. ЛГУ. Сер. 4: Физика, химия. 1987, вып. 3, №18. С. 107-110.
28. Московский С. Б., Новиков А. Б., Соловьев Л.Е. Физика тв. тела. 1988. Т. 30, вып. 5. С. 1431-1435.
29. Певцов А. Б., Селькин А. В. Журн. экспер.-теор. физики. 1982. Т. 83, вып. 2. С. 516-531.
30. Москалев Ю. В., Московский С. Б., Соловьев Л.Е. Опт. и спектр. 2003. Т. 94, вып. 2. С. 238-244.
31. Соловьев Л. Е., Московский С. Б. Там же. 1982. Т. 52, вып. 4. С. 583-585.
32. Московский С. Б., Соловьев Л.Е. Вестн. ЛГУ. Сер. 4: Физика, химия. 1983. №10. С. 8587.
33. Московский С. Б., Соловьев Л.Е. Опт. и спектр. 1986. Т. 61, вып. 4. С. 745-750.
34. Московский С. Б., Новиков А. Б., Соловьев Л.Е. Журн. экспер.-теор. физики. 1994. Т. 105, вып. 4. С. 994-1004.
35. Демиденко А. А. Физика тв. тела. 1963. Т. 5, вып. 10. С. 2835-2846.
36. Пермогоров С. А., Селькин А. В., Травников В. В. Там же, 1973. Т. 15, вып. 6. С. 18221829.
37. Davydov A. S., Eremko A. A. Phys. Stat. Sol. B. 1973. Vol. B59, N1. P. 251-258.
38. Hopfield J. J, Thomas D. G. Phys. Rev. 1963. Vol. 132, N2. P. 563-572.
39. Московский С. Б. Опт. и спектр. 2005. Т. 94, вып. 2. С. 238-244.
Статья поступила в редакцию 2007 г.