Неголономные геодезические как решения интегральных уравнений Эйлера-Лагранжа и дифференциал экспоненциального отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕГОЛОНОМНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАК РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

B. Р. Крым

C.-Петербургский государственный университет, соискатель, vkrym2007@rambler.ru

1. Введение

В настоящей работе уравнения горизонтальных геодезических для неголономного распределения получены с помощью метода Эйлера—Лагранжа в формулировке Понт-рягина [1]. В литературе имеются уравнения горизонтальных геодезических в форме уравнений Гамильтона—Якоби, т. е. в импульсном представлении, причем только для регулярного случая [2-5]. Такие уравнения подходят для механики, но неудобны для геометрии. В настоящей работе мы используем геометрический подход к этой задаче [6].

Рассматривается также вопрос о гладкости горизонтальных геодезических. В настоящей работе доказано следующее утверждение: если распределение и метрический тензор распределения являются Ск-гладкими, к ^ 1, то всякое регулярное решение вариационной задачи является Ск+1 -гладким.

Эта вариационная задача имеет интересные приложения в физике. В предыдущих публикациях нами было показано [7-9], что уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности в электромагнитном и гравитационном полях являются решениями вариационной задачи для четырехмерного распределения на пятимерном многообразии. Распределение получает наглядную интерпретацию как пространство скоростей частиц с метрическим тензором лоренцевой сигнатуры.

Мы рассматриваем также свойства экспоненциального отображения ехр^ и, где и € А(х), х € N — точка многообразия N, А — вектор из п — т начальных значений множителей Лагранжа. Оказывается, что при А = 0 дифференциал этого отображения ^о ехрХ = (второе касательное пространство канонически отождествлено с

первым). Это отображение по совокупности аргументов будет диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки (и, А) € А(х) х М”-т, достаточно близкой к нулю, если, например, распределение является сильно скобочно порождающим [2], и = 0 и метрический тензор распределения положительно определен.

2. Уравнения Эйлера—Лагранжа горизонтальных геодезических

Рассмотрим классическую задачу вариационного исчисления: найти абсолютно непрерывную вектор-функцию, которая доставляет экстремум функционалу

на множестве абсолютно непрерывных путей 7 : \Ьо,Т] ^ N с закрепленными концами х(£о) = хо, х(Т) = XI, причем моменты времени £о, Т также закреплены. Предположим,

© В. Р. Крым, 2009

(1)

что допустимые пути удовлетворяют условиям

(2)

0, а = т+1, . .п.

Предполагается, что управление V = (X1,.. .,хт) является измеримой и ограниченной вектор-функцией [1, стр. 279]. Рассмотрим лагранжиан условной вариационной задачи

Пусть ж(-) —экстремаль [1, с. 271] для интеграла (1) при указанных ограничениях, и пусть эта кривая целиком принадлежит некоторой области О С К”.

Теорема 1. Пусть абсолютно непрерывная кривая ж(-) является экстремалью для интеграла (1) при закрепленных концах и ограничениях (2). Пусть лагранжиан Ь(£, х, и) и функции <£>“(£, х, и) непрерывно дифференцируемы по всем аргументам на [£о, Т] х О х К”. Тогда существуют п — т измеримых и ограниченных функций Аа(£), называемых множителями Лагранжа, и постоянная ао ^ 0, не все равные нулю и такие, что функция

почти всюду на [£о,Т] удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа в интегральной форме

Параметры ао, Аа определены с точностью до положительного множителя. Уравнения регулярных геодезических получаются при ао = 1.

Рассмотрим т-мерное распределение на многообразии размерности п. Предположим, что распределение А задано семейством дифференциальных форм |^“}а=т+1,..,”: А(х) = {и € ТХЖ | ш“|х(и) = 0, а = т+1,...,п} для всех х € и, и С N — некоторая область. Будем рассматривать функционал энергии Е(х(-)) = ^ _|^(ж(£), ж(£))ж(4) сМ при ограничениях и>а\х(х) = 0, а = то+1,...,п, и при закрепленных концах х(£о) = хо, х(Т) = XI. Тогда в соответствии с [1, с. 279] vk = хк, к = 1,..., т, —управление, и функционал принимает вид

”

(3)

а=т+1

”

£(£, х(£), х(£), А(£)) = аоЬ(£, х(£), х(£)) +

а=т+1

к = 1,..., п, (5)

где Ск — постоянные [1, стр. 283].

Связь множителей Лагранжа и импульса следующая:

+ Ра(£), а = т+1,..., п.

(6)

Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи принимает вид

(7)

”

Пусть в окрестности точки хо задана система координат (хк)^=1,..,п. Обозначим через дд = д/дхк координатные векторные поля. Пусть базис распределения имеет вид

П

ед = дй - ^2 А^да, к =1,...,ш. (9)

а=т+1

Такой выбор базиса обусловлен тем, что в управляющей системе Жк = ^ Vяе^ должно

,вей ''В

В=1

.,д __ -д

выполняться Vй = Ж , к = 1,...,т [1, с. 279]. Этот базис пополняется до базиса всего касательного пространства ТЖ посредством векторных полей да, а = т+1,.. .,п. Дуальный базис имеет вид

т

Аа^жя + йж“, а = т+1, ...,п. (10)

в=1

Дуальность означает, что ^а(ед) = 0 для всех к = 1,..., т. Этот базис пополняется до базиса всего кокасательного пространства Т*Ж с помощью дифференциальных форм йжк, к = 1, . .., т.

Вектор скорости и = Ж можно разложить по базисным векторным полям распределения:

т

и(^=Х! ^ (^ ек (ж(£)) (11)

к=1

тт

Тогда (и, и)х = 5^ ^(ж)^г^7 = ^ (ж)иги7, т. к. ик = Vй, к = 1,..., т, в силу выбора

*,.7=1 *,д=1

базиса (9). Левая часть уравнений Эйлера—Лагранжа (5) принимает вид

д£(ж, и, А) а

---^----= ао 2_^дгк{х)и + 2^ Л*^*.(ж), к=1,...,т, (12)

*=1 а=т+1

д£(ж, и, А) а

---------= 2^ ^^/з(х), /3 = т+1,.. ,,п.

а=т+1

Так как дЬ(ж, и)/див = 0, в силу (6) множители Лагранжа равны обобщенным импульсам £ ^ ра(£): Аа = ра, а = т+1,..., п. Поэтому функции Аа абсолютно непрерывны. Уравнения Эйлера—Лагранжа (5) определяют систему линейных уравнений относительно (и1,..., ит, Ат+1,..., Ап):

^ao{gik)i,k=^,...,m )а=т+1,...,п, \ /(иг)\ ( /’* 8 С(х(т), ж(т), А(г)) А . .

V 0 (^)а,/3=т^1,.,пУ 1(А«)У Ц0 ^ Т + С^

”

почти везде на где £(ж, м, А) = ^-(у,у)х + ^ Аа(^“|ж(г(), г; = (м1,..., мт).

а=т+1

Решая эту систему при ао = 0, получаем, что (ик)^=1,..,т почти везде на [£о,Т] совпадает с абсолютно непрерывной вектор-функцией. Так как ик = Жк, можно считать, что (ик)й=1 ,..,т абсолютно непрерывны. Абсолютная непрерывность функций (ит+1,.. .,и”) следует из системы (2). Учитывая теперь непрерывность подынтегрального выражения (13), получаем, что функции (и1,..., и”) для регулярных геодезических (ао = 0) С1-гладкие. Повторяя эту процедуру, получаем

Теорема 2. Если распределение и метрический тензор распределения являются Ск-гладкими, к ^ 1, то всякое регулярное (ао = 0) решение вариационной задачи (7) является Ск+1 -гладким.

Запишем уравнения Эйлера—Лагранжа горизонтальных геодезических как систему дифференциальных уравнений в нормальной форме. Так как (5) определяет абсолютно непрерывную вектор-функцию, его можно дифференцировать по £. Учитывая (12), для почти всех £ получаем (в = т+1,..., п)

но п т п П П гл

+ Е + Е Е =

і=1 7=1 і=1 а=т+1 7=1 а=т+1

т Я п п д^а

= |Е^+ Е (и)

г,7=1 а=т+1 7=1

п п п о а т о п п о а

а=т+1 7=1 а=т+1 2?7=1 а=т+1 .7=1

а

Е ^/з+Е Е Ла дх^ и° ~ 2 Е дх} и1и:1 + Е Ла Е

^=т+1 7=1 а=т+1 ї?7=1

Определим неголономную ковариантную производную:

дрзиР + Е Г9|рглг>

Я р=1 р,г=1

где Гд|рг = 1/2^ (е^ д$рд/дж* + ерд$гд/джг — е^ д$рг/джг), р, д, г = 1,...,т, — символы *=1

Кристоффеля связности на распределении [9]. Тогда

/ и \ ” ”

а° ( —сЙ~~ ) + Е Е ^о4ша{и,дк)= 0, /с = 1, ...,то,

\ / к а=т+1 а=т+1

” ” т (15)

УЗ Аа^+ Аа^“(м, 9/3) - у 53 ~о^иЪи3 = /3 = т+1,.. ,,п.

а=т+1 а=т+1 *,7=1

т ” дАа

Отметим, что в силу (10) <коа = ^ ^ | с£гг А с1хв. Вычтем из первого уравнения

Й = 1 *=1 дж

в ”

(15) второе, умноженное на Ав. Так как е& = д& — ^ А^да, получим

а=т+1

р* и

ао ( —-—| + 53 ^а<^а(и, ей) = 0, /г=1,...,т. (16)

/к ... к а=т+1

Так как ^ ^ получим уравнение для множителей Лагранжа:

п т д Аа т д

А/з- 53 Л“Е^-уЕ5ЛЗ=0, /3 = т+1,..., п. (17)

а=т+1 в=1 і,7=1

Теорема 3. Решение вариационной задачи (7) почти везде удовлетворяет системе уравнений (16), (17). Если ао = 0, то это система дифференциальных уравнений. Если ао = 0, то это уравнение на нулевое собственное значение.

В уравнении (16) можно поднять индекс к, т. е. перейти к контравариантной форме записи. Разложим вектор скорости по базисным векторным полям распределения:

т

м(і) = ^2 (і)ед(х(і)). Воспользуемся определением внешнего дифференцирования

к=1

(см. [10], с. 43 и примечание на с. 36):

= Мп) - п^(6 - ^([С,п]). (18)

тт

Так как ^а(ед) = 0, получаем й^а(м, ед) = ^ й^а(е7-,е^)«7 = — ^ ^а([е7-,е^])«7. Этот

7=1 7=1

коммутатор можно выразить через структурные постоянные распределения А: [е7-, ед] =

п

сВкдВ. В базисе (9) все сВк = 0 для в, і, к = 1,..., т, и ^а(д^) = #д, а, в = т+1,..., п.

В= 1

т

Поэтому ^а([е^-,ей]) = сак. Введем обозначение ^ва1 = ^ 01ксаВ, где (дгк)г,к=1,..,т —

к=1

матрица, обратная к матрице метрического тензора распределения. Получим

/ г) \ 1 п т

а° \~с£Г) + Е Аа^^“Ч=0, / = 1,..., т, (19)

' ' а=т+1 в=1

7~) / Т~) \ 1

где —ковариантная производная вектора скорости кривой вдоль пути: =

тт

м1 + 5^ Г*7мгм7, причем связность на распределении [8] Г^г = ^ д1яГЯ|рг зависит не і,7=1 я=1

только от метрического тензора, но и от распределения (і, і, І = 1, . .., т):

^ 1 V"' ^ і і * ддрг \

1 оіиг = — / е„—^ + е„---------------------------------------------------?- — е„—, р, а, г = 1, .. т.

<г|рт 2^-Лгджг р <9жг «аж*/’ ’ ’

І= 1

Следовательно, при движении вдоль регулярной геодезической норма вектора скорости сохраняется. Действительно,

' , „ /ри , „ , „ , , „, > „ „ , ,

^М = 2/^, Л = -2/ 53 XaFa(u),u\ = -2 53 AaF“(U,U)=0,

' ' \a=m+1 / a=m+1

где ,F“ —это отображение, определяемое матрицей (Fs“l)sj;=i,...jm. Итак, (м, м) = const.

1 a1\

s )s,1=1,...,m.

Для уравнения (17), так как wa(de) = #g, а, в = m+1,..., n, и wa(u) = О, в силу (1З)

m

верно dwa(u, де) = —wa([u, де]) = — caevk. Поэтому второе слагаемое в (17) равно

k=1

nm

У~] Aa ^ сЗєvk. Если для распределения выполняется условие цикличности по xa,

a=m+1 k=1

т. е. метрический тензор распределения gjj и потенциалы Aa не зависят от координат

О

ха, а = m+l,...,n, то = 0, k = 1и = 0. Тогда из (17) следует, что

Aa = О, т. е. Aa = const.

З. Дифференциал экспоненциального отображения

Определение І. Регулярной горизонтальной геодезической будем называть путь x(-), соответствующей решению (x(-), A(-)) системы уравнений (1б), (17) при aQ = 1 совместно с (ІІ).

В данном разделе мы рассматриваем только регулярные горизонтальные геодезические и будем называть их просто геодезическими.

Лемма 1. Пусть x о f —репараметризация геодезической, причем f(t) = ct, c = const. Тогда (x о f, cA о f) является решением системы (16), (17), (11).

Доказательство. Обозначим 7 = жос(г>иА = сАос(г>, тогда 7' = сж', ж' = ^ и D*(x'oip) 1-0*7' -рр

--- сЙ— = ИоэтомУ v -) переходит в

00 fD*^ + —duia ( — , ek \ = 0, k=l,...,m. (20)

c2 V dt /, c V c

k a=m+1

Так как A = cA о f, верно = c2A/. Уравнение (17) переходит в

^=™+1,(и»

а=т+1 в=1 *,7 = 1

В обоих случаях можно вынести 1/с2 за скобку. Следовательно, (жо у>, сАо у>) —решение той же системы уравнений. □

Пусть 7^ — геодезическая с начальными значениями А и начальным вектором скорости и £ А(ж), выходящая из точки ж £ N .В силу леммы 1 7^(1) = 7^(^).1 Для некоторой точки ж £ N и любого вектора (и, А) £ А(ж) х М”-т обозначим ехр^ и = 7^(1), если геодезическая 7^ продолжима до значения параметра £ =1. Отображение ехрх, действующее по правилу ехр^ и = 7^(1), называется экспоненциальным отображением. В связи с этим возникает вопрос, чему равен дифференциал отображения (и, А) ^ 7«(1). Рассмотрим сначала часть этого дифференциала для случая фиксированных значений А.

Теорема 4. Для любой точки ж £ N существует такая окрестность нуля Л в пространстве М”-т, что для любого А £ Л существует такая окрестность нуля V в пространстве А(ж), что экспоненциальное отображение ехр^ определено для всех и £ V и является диффеоморфизмом окрестности V на ее образ ехр^ V в N.

Доказательство. Можно считать, что рассматриваемая область на многообразии покрыта одной картой и имеет компактное замыкание. Тогда символы Кристоффе-ля и компоненты внешних производных равномерно ограничены на этой области. Поэтому в некоторой окрестности нуля пространства А(ж) х М”-т отображение ехрх определено. По теореме о гладкой зависимости решения системы дифференциальных уравнений от начальных данных отображение ехрх является в области своего задания гладким. Отметим, что ехр^(-у) —это значение на векторе V £ TиTxN дифференциала отображения ехр^ в точке и £ . Будем считать, что второе ка-

сательное пространство канонически отождествлено с первым. Тогда дифференциал экспоненциального отображения в нуле является тождественным отображением А(ж) на себя: ^о ехрХ = Действительно, в силу замечания, сделанного выше,

ехрХл(£и) = 7^(1) = 7и(£). Там, где определено ехр£(£и),

(■dtuexp°x)(u) = (dtuexpl)(^^j = ^(exp°x(tu)) = (22)

1В римановой геометрии известно, что для невырожденной геодезической 7 путь 7 о будет геодезической в том и только в том случае, когда t = <^(т) = С1Т + С2. Такие геодезические считаются эквивалентными [6, с. 56].

Полагая £ = 0, получаем ^о ехрХ и = 7/Ц.(0) = и. Следовательно, ^о ехрХ = По-

этому существует окрестность нуля Л С Мп-т такая, что ^о ехр^ имеет максимальный ранг на этой окрестности. По теореме об обратном отображении для всех Л £ Л отображение ехр^ в некоторой окрестности нуля V С А(х) является диффеоморфизмом окрестности V на ее образ ехр^ V в N. □

Отображение (и, Л) ^ ехр^0 (и) по совокупности аргументов не является диффеоморфизмом ни для какой окрестности нуля в А(хо) х Мп-т, так как 7о (1) = хо при всех Л. Но если взять проколотую в точке и = 0 окрестность нуля V С А(хо) и некоторую окрестность нуля Л С Мп-т, и если распределение вполне неголономно, то это отображение на V х Л, как правило, будет диффеоморфизмом. Чтобы сформулировать теорему, нам понадобятся некоторые определения и обозначения.

Предположим, что для распределения и для метрического тензора распределения выполняется условие цикличности по (х“)а=т+1,..,„. Рассмотрим уравнения (19) для случая ао = 1, т. е. для регулярных геодезических. Они имеют вид

' т

= и1 = ^ 'У'Ч, I = 1, .. ., п, в=1

т т п /00ч

* V1 = - £ Г^- -£ Е Ла^“; Vя, I = 1, ...,т, (23)

г,7=1 в=1 а=т+1

Лв = 0, в = т+1,...,п,

тт

где в^- = Е Г^-в; и = ^ сО,. Если £ мало, то первые т координат («го-

;=1 к=1

ризонтальные» координаты) приближенно равны Vй£, к = 1,...,т. «Вертикальные»

т

координаты равны ^ в^^, а = т+1,..., п. Неголономную геодезическую сферу сле-

в= 1

дует изучать в привилегированных координатах [4]. Привилегированные координаты

т

второго порядка в точке хо имеют вид ж“ = ж“ + Е Аа(хо)хя. В привилегированных

в= 1

координатах первые члены формулы Тейлора сокращаются. Поэтому, если решать это дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора, то это необходимо делать с большой точностью.

Применим теорему о дифференцировании решения дифференциального уравнения по начальным данным [11]. Предположим, что правые части (23) определены и непрерывны вместе со своими частными производными по координатам первого порядка в некоторой области. Тогда решение системы (23) имеет частные производные по начальным данным, непрерывные как функции £ и начальных данных в некоторой ограниченной области. Пусть х(0) = ^о, «к(0) = , Ла(0) = Л^. Введем обозначения:

/ йЛа

у = ——, 1=1, г =——, к = 1, . .то, а „ = ——, а = то+1, • •п. 24

У (IV* ’ ’ ’ ’ (IV* ’ ’ ’ ’4 (Ь* ’ ’ ’ у 7

Здесь в качестве V* могут выступать х*;, V*®, Лв. Согласно теореме о дифференцирова-

нии решения дифференциального уравнения по начальным данным

n m a | m

1

n / m drl m n ЯРа^\ m/m

* = -EE^p-E E^ (25)

k=1 \i,j=1 s=1a=m+1 J s = 1 \j = 1

n \ n / m \

+ 53 AaFsa4 zs - ]T ]TFsaIvM qa, l = 1,..., m,

a=m+1 / a=m+1 \s = 1 /

qa = 0, a = m+1,...,n.

Напомним, что уравнения (16), (17) инвариантны к репараметризациям вида

expXJ(tv) = 7^(1) = Yu(t)- Мы изучаем дифференциал экспоненциального отображения (Л, Л) ^ y~ (1) в некоторой окрестности нуля по (Л, A). Поэтому можно выбрать t такое, что (Л, Л) = (vt, At), где |v|2 + |A|2 = 1. При малых t образ правой части является некоторой окрестностью нуля по переменным (Л, Л), причем любая окрестность нуля содержит некоторую окрестность указанного вида. Мы будем искать дифференциал с помощью разложения по формуле Тейлора d7^(1)/dvfc = dYJ(t)/dvk и (1)/dAa = dYJ(t)/dAa. Чтобы сделать обратный переход, достаточно заметить, что

д7^ (1)/dvk = tdY^(1)/дЛк и dY^(1)/dAa = tdY~(1)/dV ^

Найдем сначала производные координат по начальным скоростям dx1 /dv”, где

i = 1,..., m. Тогда начальные данные для системы (25) имеют вид z®(0) = 1, а все

остальные zk, у1 и qa в начальной точке равны нулю. Будем считать, что z;(t) =

P1(t) + O(t2) (t ^ 0), где P1 (t) — многочлен от t первой степени. Тогда из второ/ m n \

го уравнения (25) получим, что z1 = ^ ^ 2rjvj + ^ AaFjaMt + O(t2). Так

j=1 a=m+1 '

m del

как e^(x(t)) = els(0) + ^ из первого уравнения (25) следует, что

k=1 dx

n m del m / m dpi \ / / m n ч ч

з/' = E Е«+Е К(о)+Е |%^)к5-(Е2Г|^+ е AaF^U)+o(t2).

j=1 s=1 dx s=1v k=1 OX J \ j=1 a=m+1 y y

Для «горизонтальных» координат є^ = Sls, l = 1, . .., m, поэтому (i, l = 1, .. ., m)

dX’ <^-^(E2rV + E AaJF4 ]t2+0(t3) (t-0). (26)

Будем считать, что ва(0) =0, а = т+1,..., п. Тогда для «вертикальных» координат

1 / дв? дв,а \ , 0^.0..

5^ = 51:(а7 + й?) А +0(‘’ (‘“0)- (27)

й=1

Рассмотрим теперь йж;/йЛв, I = 1,...,т, в = т+1, ...,п. Начальные данные для

системы (25) имеют вид (0) = 1, а все остальные гк, у® и да в начальной точке

т

равны нулю. Из второго уравнения (25) следует, что г;(0) = — ^ Р8в^8. Поэтому

Й = 1

т

йи;/йЛв = г1 = — ^ Р8в^8£ + 0(£2). Базис распределения имеет вид (9), т. е. в, = ^,

8=1

в, 1 = 1,..т. Тогда из первого уравнения (25) у1 = г1, 1 = 1,..т. Для «горизонтальных» координат

^ = у1 = -2Е^ + °((3) (*^°)- (28)

в 8=1

Рассмотрим производные от «вертикальных» координат по множителям Лагранжа

п т деа т /

г1ха/г1Х*0. Из первого уравнения (25) следует, что */“ = ^ ^ у>>~^гтУ:* ~ Е (ей(0) +

^•=1 8=1 дХ Й=Л

т Дра \ т

Е Е Р3^кьЧ + 0(*2), а = то+1,..., п. Будем считать, что е^(0) = 0. Тогда

0'_ 1 дХ /о_____________________ 1

Лх“ 1 деа _т 1 де“ _т.

Ж-"їЕ + (29)

ЙЛв 6 ^=1 дХ 8=1 3 ^=1 дХ 8 = 1

формулы (26)-(29) можно объединить в одну матрицу Е = .

Вспоминая о репараметризации ехрХл(ім) = 7(«(1) = 7«(і) и применяя обратное преобразование, получим

Теорема 5. Пусть для распределения выполняется условие цикличности по (ж“)а=т+1,..,„. Тогда матрица 1/іЕ является матрицей дифференциала экспоненциального отображения ехрх в точке (її, Л) = («і, Лі).

Введем обозначение: Ра —тензор Ра = (Р3)іІ^=1І...Іт с поднятым вторым индексом (подъем индекса осуществляется с помощью матрицы обратного метрического тензора распределения).

Теорема 6. Пусть для распределения выполняется условие цикличности по (ж“)а=т+1,..,„. Пусть матрица ((Р“«,Рв«))а,в=т+1,..,п невырождена для некоторого вектора V Є А(хо), хо Є N и Л Є М”-т, причем |«|2 + |Л|2 = 1. Тогда при достаточно малых і = 0 отображение ехрХо по совокупности аргументов является диффеоморфизмом для некоторой окрестности точки («і, Лі).

Доказательство. Матрицу Е можно привести к верхнетреугольному виду, если к последней строке этой матрицы прибавить первую строку, умноженную на — 1/і йх*/^Лв (свертка по і = 1,..., т). Тогда в нижнем правом углу этой матрицы будет

йх“ йх“ ^ йх“ 1 ві йх“ ^ 1 ^ / де^ де“ \ . 21 ві 8

----=--------Ь > ----г— > Р/гЛ =---------Ь > -> —* Н----V * г - ) Р/г-у8і,

^ сЬ*12^ й\*я ^2^1<9хг 9x4 2 ^ ’

в в г=1 8=1 в г=1 к=1 8=1

т. е.

^Х“ 1 ..т

— = ]Г р^/УлЧо((4) (*^о). (зо)

в 3,к,8=1

Вспомним теперь о репараметризации ехрХл(ім) = 7І«(1) = 7«(і) и применим обрат —"Х, т

ное преобразование. Получим йх“/^Ав = —1/12 ^ Р^* Р8вк-у8?3' + 0((|її|2 + |Л|2)3/2)

3,к,8 = 1

((її, Л) ^ 0). Из (26) аналогично получаем, что йхг/йїї* = ^ + 0((|її|2 + |Л|2)1/2) ((її, Л) ^ 0), і,1 = 1,.. .,т. Следовательно, существует окрестность V точки V = 0 и Л = 0, на которой йхг/йїї* = ^ + г1 и определитель матрицы йхг/йїї®, і, 1 = 1,..., т, мало отличается от единицы. Аналогично, существует окрестность V точки V = 0 и Л = 0, на

—"X. m --- —^

которой dx“/dAg = —1/12 ^ FyFsefcAsAj + s“e и определитель матрицы dx“/dAa,

j,fe,s=1

m

а, в = m+1,..., n, мало отличается от определителя матрицы —1/12 FjFsefcAsAj,

j,fe,s=1

причем этот определитель по предположению отличен от нуля. Следовательно, на V = V1 П V2 определитель матрицы дифференциала отличен от нуля. □

Из этой теоремы следует теорема Стрихартца [2, с. 241] для сильно скобочно порождающих распределений.

Литература

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

2. Strichartz R. S. Sub-Riemannian geometry // J. Diff. Geom. 1986. Vol. 24, N2. P. 221-263.

3. Strichartz R. S. Corrections to “Sub-Riemannian geometry” // J. Diff. Geom. 1989. Vol. 30, N2. P. 595-596.

4. Bellai'che A., Risler J.-J., Eds. Sub-Riemannian Geometry. Basel, Birkhauser, 1996. (Progress in Mathematics. Vol. 144).

5. Montgomery R. A Tour of Subriemannian Geometries. AMS, 2002. (Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 91).

6. Бураго Ю.Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994.

7. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119, №3. С. 517-528.

8. Крым В. Р., Петров Н. Н. Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. №1. С. 62-70.

9. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. №3. С. 00-00.

10. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981.

11. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963.

Статья поступила в редакцию 25 марта 2009 г.