CC BY
34
НЕГОЛОНОМНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАК РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
B. Р. Крым
C.-Петербургский государственный университет, соискатель, [email protected]
1. Введение
В настоящей работе уравнения горизонтальных геодезических для неголономного распределения получены с помощью метода Эйлера—Лагранжа в формулировке Понт-рягина [1]. В литературе имеются уравнения горизонтальных геодезических в форме уравнений Гамильтона—Якоби, т. е. в импульсном представлении, причем только для регулярного случая [2-5]. Такие уравнения подходят для механики, но неудобны для геометрии. В настоящей работе мы используем геометрический подход к этой задаче [6].
Рассматривается также вопрос о гладкости горизонтальных геодезических. В настоящей работе доказано следующее утверждение: если распределение и метрический тензор распределения являются Ск-гладкими, к ^ 1, то всякое регулярное решение вариационной задачи является Ск+1 -гладким.
Эта вариационная задача имеет интересные приложения в физике. В предыдущих публикациях нами было показано [7-9], что уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности в электромагнитном и гравитационном полях являются решениями вариационной задачи для четырехмерного распределения на пятимерном многообразии. Распределение получает наглядную интерпретацию как пространство скоростей частиц с метрическим тензором лоренцевой сигнатуры.
Мы рассматриваем также свойства экспоненциального отображения ехр^ и, где и € А(х), х € N — точка многообразия N, А — вектор из п — т начальных значений множителей Лагранжа. Оказывается, что при А = 0 дифференциал этого отображения ^о ехрХ = (второе касательное пространство канонически отождествлено с
первым). Это отображение по совокупности аргументов будет диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки (и, А) € А(х) х М”-т, достаточно близкой к нулю, если, например, распределение является сильно скобочно порождающим [2], и = 0 и метрический тензор распределения положительно определен.
2. Уравнения Эйлера—Лагранжа горизонтальных геодезических
Рассмотрим классическую задачу вариационного исчисления: найти абсолютно непрерывную вектор-функцию, которая доставляет экстремум функционалу
на множестве абсолютно непрерывных путей 7 : \Ьо,Т] ^ N с закрепленными концами х(£о) = хо, х(Т) = XI, причем моменты времени £о, Т также закреплены. Предположим,
© В. Р. Крым, 2009
(1)
что допустимые пути удовлетворяют условиям
(2)
0, а = т+1, . .п.
Предполагается, что управление V = (X1,.. .,хт) является измеримой и ограниченной вектор-функцией [1, стр. 279]. Рассмотрим лагранжиан условной вариационной задачи
Пусть ж(-) —экстремаль [1, с. 271] для интеграла (1) при указанных ограничениях, и пусть эта кривая целиком принадлежит некоторой области О С К”.
Теорема 1. Пусть абсолютно непрерывная кривая ж(-) является экстремалью для интеграла (1) при закрепленных концах и ограничениях (2). Пусть лагранжиан Ь(£, х, и) и функции <£>“(£, х, и) непрерывно дифференцируемы по всем аргументам на [£о, Т] х О х К”. Тогда существуют п — т измеримых и ограниченных функций Аа(£), называемых множителями Лагранжа, и постоянная ао ^ 0, не все равные нулю и такие, что функция
почти всюду на [£о,Т] удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа в интегральной форме
Параметры ао, Аа определены с точностью до положительного множителя. Уравнения регулярных геодезических получаются при ао = 1.
Рассмотрим т-мерное распределение на многообразии размерности п. Предположим, что распределение А задано семейством дифференциальных форм |^“}а=т+1,..,”: А(х) = {и € ТХЖ | ш“|х(и) = 0, а = т+1,...,п} для всех х € и, и С N — некоторая область. Будем рассматривать функционал энергии Е(х(-)) = ^ _|^(ж(£), ж(£))ж(4) сМ при ограничениях и>а\х(х) = 0, а = то+1,...,п, и при закрепленных концах х(£о) = хо, х(Т) = XI. Тогда в соответствии с [1, с. 279] vk = хк, к = 1,..., т, —управление, и функционал принимает вид
”
(3)
а=т+1
”
£(£, х(£), х(£), А(£)) = аоЬ(£, х(£), х(£)) +
а=т+1
к = 1,..., п, (5)
где Ск — постоянные [1, стр. 283].
Связь множителей Лагранжа и импульса следующая:
+ Ра(£), а = т+1,..., п.
(6)
Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи принимает вид
(7)
”
Пусть в окрестности точки хо задана система координат (хк)^=1,..,п. Обозначим через дд = д/дхк координатные векторные поля. Пусть базис распределения имеет вид
П
ед = дй - ^2 А^да, к =1,...,ш. (9)
а=т+1
Такой выбор базиса обусловлен тем, что в управляющей системе Жк = ^ Vяе^ должно
,вей ''В
В=1
.,д __ -д
выполняться Vй = Ж , к = 1,...,т [1, с. 279]. Этот базис пополняется до базиса всего касательного пространства ТЖ посредством векторных полей да, а = т+1,.. .,п. Дуальный базис имеет вид
т
Аа^жя + йж“, а = т+1, ...,п. (10)
в=1
Дуальность означает, что ^а(ед) = 0 для всех к = 1,..., т. Этот базис пополняется до базиса всего кокасательного пространства Т*Ж с помощью дифференциальных форм йжк, к = 1, . .., т.
Вектор скорости и = Ж можно разложить по базисным векторным полям распределения:
т
и(^=Х! ^ (^ ек (ж(£)) (11)
к=1
тт
Тогда (и, и)х = 5^ ^(ж)^г^7 = ^ (ж)иги7, т. к. ик = Vй, к = 1,..., т, в силу выбора
*,.7=1 *,д=1
базиса (9). Левая часть уравнений Эйлера—Лагранжа (5) принимает вид
д£(ж, и, А) а
---^----= ао 2_^дгк{х)и + 2^ Л*^*.(ж), к=1,...,т, (12)
*=1 а=т+1
д£(ж, и, А) а
---------= 2^ ^^/з(х), /3 = т+1,.. ,,п.
а=т+1
Так как дЬ(ж, и)/див = 0, в силу (6) множители Лагранжа равны обобщенным импульсам £ ^ ра(£): Аа = ра, а = т+1,..., п. Поэтому функции Аа абсолютно непрерывны. Уравнения Эйлера—Лагранжа (5) определяют систему линейных уравнений относительно (и1,..., ит, Ат+1,..., Ап):
^ao{gik)i,k=^,...,m )а=т+1,...,п, \ /(иг)\ ( /’* 8 С(х(т), ж(т), А(г)) А . .
V 0 (^)а,/3=т^1,.,пУ 1(А«)У Ц0 ^ Т + С^
”
почти везде на где £(ж, м, А) = ^-(у,у)х + ^ Аа(^“|ж(г(), г; = (м1,..., мт).
а=т+1
Решая эту систему при ао = 0, получаем, что (ик)^=1,..,т почти везде на [£о,Т] совпадает с абсолютно непрерывной вектор-функцией. Так как ик = Жк, можно считать, что (ик)й=1 ,..,т абсолютно непрерывны. Абсолютная непрерывность функций (ит+1,.. .,и”) следует из системы (2). Учитывая теперь непрерывность подынтегрального выражения (13), получаем, что функции (и1,..., и”) для регулярных геодезических (ао = 0) С1-гладкие. Повторяя эту процедуру, получаем
Теорема 2. Если распределение и метрический тензор распределения являются Ск-гладкими, к ^ 1, то всякое регулярное (ао = 0) решение вариационной задачи (7) является Ск+1 -гладким.
Запишем уравнения Эйлера—Лагранжа горизонтальных геодезических как систему дифференциальных уравнений в нормальной форме. Так как (5) определяет абсолютно непрерывную вектор-функцию, его можно дифференцировать по £. Учитывая (12), для почти всех £ получаем (в = т+1,..., п)
но п т п П П гл
+ Е + Е Е =
і=1 7=1 і=1 а=т+1 7=1 а=т+1
т Я п п д^а
= |Е^+ Е (и)
г,7=1 а=т+1 7=1
п п п о а т о п п о а
а=т+1 7=1 а=т+1 2?7=1 а=т+1 .7=1
а
Е ^/з+Е Е Ла дх^ и° ~ 2 Е дх} и1и:1 + Е Ла Е
^=т+1 7=1 а=т+1 ї?7=1
Определим неголономную ковариантную производную:
дрзиР + Е Г9|рглг>
Я р=1 р,г=1
где Гд|рг = 1/2^ (е^ д$рд/дж* + ерд$гд/джг — е^ д$рг/джг), р, д, г = 1,...,т, — символы *=1
Кристоффеля связности на распределении [9]. Тогда
/ и \ ” ”
а° ( —сЙ~~ ) + Е Е ^о4ша{и,дк)= 0, /с = 1, ...,то,
\ / к а=т+1 а=т+1
” ” т (15)
УЗ Аа^+ Аа^“(м, 9/3) - у 53 ~о^иЪи3 = /3 = т+1,.. ,,п.
а=т+1 а=т+1 *,7=1
т ” дАа
Отметим, что в силу (10) <коа = ^ ^ | с£гг А с1хв. Вычтем из первого уравнения
Й = 1 *=1 дж
в ”
(15) второе, умноженное на Ав. Так как е& = д& — ^ А^да, получим
а=т+1
р* и
ао ( —-—| + 53 ^а<^а(и, ей) = 0, /г=1,...,т. (16)
/к ... к а=т+1
Так как ^ ^ получим уравнение для множителей Лагранжа:
п т д Аа т д
А/з- 53 Л“Е^-уЕ5ЛЗ=0, /3 = т+1,..., п. (17)
а=т+1 в=1 і,7=1
Теорема 3. Решение вариационной задачи (7) почти везде удовлетворяет системе уравнений (16), (17). Если ао = 0, то это система дифференциальных уравнений. Если ао = 0, то это уравнение на нулевое собственное значение.
В уравнении (16) можно поднять индекс к, т. е. перейти к контравариантной форме записи. Разложим вектор скорости по базисным векторным полям распределения:
т
м(і) = ^2 (і)ед(х(і)). Воспользуемся определением внешнего дифференцирования
к=1
(см. [10], с. 43 и примечание на с. 36):
= Мп) - п^(6 - ^([С,п]). (18)
тт
Так как ^а(ед) = 0, получаем й^а(м, ед) = ^ й^а(е7-,е^)«7 = — ^ ^а([е7-,е^])«7. Этот
7=1 7=1
коммутатор можно выразить через структурные постоянные распределения А: [е7-, ед] =
п
сВкдВ. В базисе (9) все сВк = 0 для в, і, к = 1,..., т, и ^а(д^) = #д, а, в = т+1,..., п.
В= 1
т
Поэтому ^а([е^-,ей]) = сак. Введем обозначение ^ва1 = ^ 01ксаВ, где (дгк)г,к=1,..,т —
к=1
матрица, обратная к матрице метрического тензора распределения. Получим
/ г) \ 1 п т
а° \~с£Г) + Е Аа^^“Ч=0, / = 1,..., т, (19)
' ' а=т+1 в=1
7~) / Т~) \ 1
где —ковариантная производная вектора скорости кривой вдоль пути: =
тт
м1 + 5^ Г*7мгм7, причем связность на распределении [8] Г^г = ^ д1яГЯ|рг зависит не і,7=1 я=1
только от метрического тензора, но и от распределения (і, і, І = 1, . .., т):
^ 1 V"' ^ і і * ддрг \
1 оіиг = — / е„—^ + е„---------------------------------------------------?- — е„—, р, а, г = 1, .. т.
<г|рт 2^-Лгджг р <9жг «аж*/’ ’ ’
І= 1
Следовательно, при движении вдоль регулярной геодезической норма вектора скорости сохраняется. Действительно,
' , „ /ри , „ , „ , , „, > „ „ , ,
^М = 2/^, Л = -2/ 53 XaFa(u),u\ = -2 53 AaF“(U,U)=0,
' ' \a=m+1 / a=m+1
где ,F“ —это отображение, определяемое матрицей (Fs“l)sj;=i,...jm. Итак, (м, м) = const.
1 a1\
s )s,1=1,...,m.
Для уравнения (17), так как wa(de) = #g, а, в = m+1,..., n, и wa(u) = О, в силу (1З)
m
верно dwa(u, де) = —wa([u, де]) = — caevk. Поэтому второе слагаемое в (17) равно
k=1
nm
У~] Aa ^ сЗєvk. Если для распределения выполняется условие цикличности по xa,
a=m+1 k=1
т. е. метрический тензор распределения gjj и потенциалы Aa не зависят от координат
О
ха, а = m+l,...,n, то = 0, k = 1и = 0. Тогда из (17) следует, что
Aa = О, т. е. Aa = const.
З. Дифференциал экспоненциального отображения
Определение І. Регулярной горизонтальной геодезической будем называть путь x(-), соответствующей решению (x(-), A(-)) системы уравнений (1б), (17) при aQ = 1 совместно с (ІІ).
В данном разделе мы рассматриваем только регулярные горизонтальные геодезические и будем называть их просто геодезическими.
Лемма 1. Пусть x о f —репараметризация геодезической, причем f(t) = ct, c = const. Тогда (x о f, cA о f) является решением системы (16), (17), (11).
Доказательство. Обозначим 7 = жос(г>иА = сАос(г>, тогда 7' = сж', ж' = ^ и D*(x'oip) 1-0*7' -рр
--- сЙ— = ИоэтомУ v -) переходит в
00 fD*^ + —duia ( — , ek \ = 0, k=l,...,m. (20)
c2 V dt /, c V c
k a=m+1
Так как A = cA о f, верно = c2A/. Уравнение (17) переходит в
^=™+1,(и»
а=т+1 в=1 *,7 = 1
В обоих случаях можно вынести 1/с2 за скобку. Следовательно, (жо у>, сАо у>) —решение той же системы уравнений. □
Пусть 7^ — геодезическая с начальными значениями А и начальным вектором скорости и £ А(ж), выходящая из точки ж £ N .В силу леммы 1 7^(1) = 7^(^).1 Для некоторой точки ж £ N и любого вектора (и, А) £ А(ж) х М”-т обозначим ехр^ и = 7^(1), если геодезическая 7^ продолжима до значения параметра £ =1. Отображение ехрх, действующее по правилу ехр^ и = 7^(1), называется экспоненциальным отображением. В связи с этим возникает вопрос, чему равен дифференциал отображения (и, А) ^ 7«(1). Рассмотрим сначала часть этого дифференциала для случая фиксированных значений А.
Теорема 4. Для любой точки ж £ N существует такая окрестность нуля Л в пространстве М”-т, что для любого А £ Л существует такая окрестность нуля V в пространстве А(ж), что экспоненциальное отображение ехр^ определено для всех и £ V и является диффеоморфизмом окрестности V на ее образ ехр^ V в N.
Доказательство. Можно считать, что рассматриваемая область на многообразии покрыта одной картой и имеет компактное замыкание. Тогда символы Кристоффе-ля и компоненты внешних производных равномерно ограничены на этой области. Поэтому в некоторой окрестности нуля пространства А(ж) х М”-т отображение ехрх определено. По теореме о гладкой зависимости решения системы дифференциальных уравнений от начальных данных отображение ехрх является в области своего задания гладким. Отметим, что ехр^(-у) —это значение на векторе V £ TиTxN дифференциала отображения ехр^ в точке и £ . Будем считать, что второе ка-
сательное пространство канонически отождествлено с первым. Тогда дифференциал экспоненциального отображения в нуле является тождественным отображением А(ж) на себя: ^о ехрХ = Действительно, в силу замечания, сделанного выше,
ехрХл(£и) = 7^(1) = 7и(£). Там, где определено ехр£(£и),
(■dtuexp°x)(u) = (dtuexpl)(^^j = ^(exp°x(tu)) = (22)
1В римановой геометрии известно, что для невырожденной геодезической 7 путь 7 о будет геодезической в том и только в том случае, когда t = <^(т) = С1Т + С2. Такие геодезические считаются эквивалентными [6, с. 56].
Полагая £ = 0, получаем ^о ехрХ и = 7/Ц.(0) = и. Следовательно, ^о ехрХ = По-
этому существует окрестность нуля Л С Мп-т такая, что ^о ехр^ имеет максимальный ранг на этой окрестности. По теореме об обратном отображении для всех Л £ Л отображение ехр^ в некоторой окрестности нуля V С А(х) является диффеоморфизмом окрестности V на ее образ ехр^ V в N. □
Отображение (и, Л) ^ ехр^0 (и) по совокупности аргументов не является диффеоморфизмом ни для какой окрестности нуля в А(хо) х Мп-т, так как 7о (1) = хо при всех Л. Но если взять проколотую в точке и = 0 окрестность нуля V С А(хо) и некоторую окрестность нуля Л С Мп-т, и если распределение вполне неголономно, то это отображение на V х Л, как правило, будет диффеоморфизмом. Чтобы сформулировать теорему, нам понадобятся некоторые определения и обозначения.
Предположим, что для распределения и для метрического тензора распределения выполняется условие цикличности по (х“)а=т+1,..,„. Рассмотрим уравнения (19) для случая ао = 1, т. е. для регулярных геодезических. Они имеют вид
' т
= и1 = ^ 'У'Ч, I = 1, .. ., п, в=1
т т п /00ч
* V1 = - £ Г^- -£ Е Ла^“; Vя, I = 1, ...,т, (23)
г,7=1 в=1 а=т+1
Лв = 0, в = т+1,...,п,
тт
где в^- = Е Г^-в; и = ^ сО,. Если £ мало, то первые т координат («го-
;=1 к=1
ризонтальные» координаты) приближенно равны Vй£, к = 1,...,т. «Вертикальные»
т
координаты равны ^ в^^, а = т+1,..., п. Неголономную геодезическую сферу сле-
в= 1
дует изучать в привилегированных координатах [4]. Привилегированные координаты
т
второго порядка в точке хо имеют вид ж“ = ж“ + Е Аа(хо)хя. В привилегированных
в= 1
координатах первые члены формулы Тейлора сокращаются. Поэтому, если решать это дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора, то это необходимо делать с большой точностью.
Применим теорему о дифференцировании решения дифференциального уравнения по начальным данным [11]. Предположим, что правые части (23) определены и непрерывны вместе со своими частными производными по координатам первого порядка в некоторой области. Тогда решение системы (23) имеет частные производные по начальным данным, непрерывные как функции £ и начальных данных в некоторой ограниченной области. Пусть х(0) = ^о, «к(0) = , Ла(0) = Л^. Введем обозначения:
/ йЛа
у = ——, 1=1, г =——, к = 1, . .то, а „ = ——, а = то+1, • •п. 24
У (IV* ’ ’ ’ ’ (IV* ’ ’ ’ ’4 (Ь* ’ ’ ’ у 7
Здесь в качестве V* могут выступать х*;, V*®, Лв. Согласно теореме о дифференцирова-
нии решения дифференциального уравнения по начальным данным
n m a | m
1
n / m drl m n ЯРа^\ m/m
* = -EE^p-E E^ (25)
k=1 \i,j=1 s=1a=m+1 J s = 1 \j = 1
n \ n / m \
+ 53 AaFsa4 zs - ]T ]TFsaIvM qa, l = 1,..., m,
a=m+1 / a=m+1 \s = 1 /
qa = 0, a = m+1,...,n.
Напомним, что уравнения (16), (17) инвариантны к репараметризациям вида
expXJ(tv) = 7^(1) = Yu(t)- Мы изучаем дифференциал экспоненциального отображения (Л, Л) ^ y~ (1) в некоторой окрестности нуля по (Л, A). Поэтому можно выбрать t такое, что (Л, Л) = (vt, At), где |v|2 + |A|2 = 1. При малых t образ правой части является некоторой окрестностью нуля по переменным (Л, Л), причем любая окрестность нуля содержит некоторую окрестность указанного вида. Мы будем искать дифференциал с помощью разложения по формуле Тейлора d7^(1)/dvfc = dYJ(t)/dvk и (1)/dAa = dYJ(t)/dAa. Чтобы сделать обратный переход, достаточно заметить, что
д7^ (1)/dvk = tdY^(1)/дЛк и dY^(1)/dAa = tdY~(1)/dV ^
Найдем сначала производные координат по начальным скоростям dx1 /dv”, где
i = 1,..., m. Тогда начальные данные для системы (25) имеют вид z®(0) = 1, а все
остальные zk, у1 и qa в начальной точке равны нулю. Будем считать, что z;(t) =
P1(t) + O(t2) (t ^ 0), где P1 (t) — многочлен от t первой степени. Тогда из второ/ m n \
го уравнения (25) получим, что z1 = ^ ^ 2rjvj + ^ AaFjaMt + O(t2). Так
j=1 a=m+1 '
m del
как e^(x(t)) = els(0) + ^ из первого уравнения (25) следует, что
k=1 dx
n m del m / m dpi \ / / m n ч ч
з/' = E Е«+Е К(о)+Е |%^)к5-(Е2Г|^+ е AaF^U)+o(t2).
j=1 s=1 dx s=1v k=1 OX J \ j=1 a=m+1 y y
Для «горизонтальных» координат є^ = Sls, l = 1, . .., m, поэтому (i, l = 1, .. ., m)
dX’ <^-^(E2rV + E AaJF4 ]t2+0(t3) (t-0). (26)
Будем считать, что ва(0) =0, а = т+1,..., п. Тогда для «вертикальных» координат
1 / дв? дв,а \ , 0^.0..
5^ = 51:(а7 + й?) А +0(‘’ (‘“0)- (27)
й=1
Рассмотрим теперь йж;/йЛв, I = 1,...,т, в = т+1, ...,п. Начальные данные для
системы (25) имеют вид (0) = 1, а все остальные гк, у® и да в начальной точке
т
равны нулю. Из второго уравнения (25) следует, что г;(0) = — ^ Р8в^8. Поэтому
Й = 1
т
йи;/йЛв = г1 = — ^ Р8в^8£ + 0(£2). Базис распределения имеет вид (9), т. е. в, = ^,
8=1
в, 1 = 1,..т. Тогда из первого уравнения (25) у1 = г1, 1 = 1,..т. Для «горизонтальных» координат
^ = у1 = -2Е^ + °((3) (*^°)- (28)
в 8=1
Рассмотрим производные от «вертикальных» координат по множителям Лагранжа
п т деа т /
г1ха/г1Х*0. Из первого уравнения (25) следует, что */“ = ^ ^ у>>~^гтУ:* ~ Е (ей(0) +
^•=1 8=1 дХ Й=Л
т Дра \ т
Е Е Р3^кьЧ + 0(*2), а = то+1,..., п. Будем считать, что е^(0) = 0. Тогда
0'_ 1 дХ /о_____________________ 1
Лх“ 1 деа _т 1 де“ _т.
Ж-"їЕ + (29)
ЙЛв 6 ^=1 дХ 8=1 3 ^=1 дХ 8 = 1
формулы (26)-(29) можно объединить в одну матрицу Е = .
Вспоминая о репараметризации ехрХл(ім) = 7(«(1) = 7«(і) и применяя обратное преобразование, получим
Теорема 5. Пусть для распределения выполняется условие цикличности по (ж“)а=т+1,..,„. Тогда матрица 1/іЕ является матрицей дифференциала экспоненциального отображения ехрх в точке (її, Л) = («і, Лі).
Введем обозначение: Ра —тензор Ра = (Р3)іІ^=1І...Іт с поднятым вторым индексом (подъем индекса осуществляется с помощью матрицы обратного метрического тензора распределения).
Теорема 6. Пусть для распределения выполняется условие цикличности по (ж“)а=т+1,..,„. Пусть матрица ((Р“«,Рв«))а,в=т+1,..,п невырождена для некоторого вектора V Є А(хо), хо Є N и Л Є М”-т, причем |«|2 + |Л|2 = 1. Тогда при достаточно малых і = 0 отображение ехрХо по совокупности аргументов является диффеоморфизмом для некоторой окрестности точки («і, Лі).
Доказательство. Матрицу Е можно привести к верхнетреугольному виду, если к последней строке этой матрицы прибавить первую строку, умноженную на — 1/і йх*/^Лв (свертка по і = 1,..., т). Тогда в нижнем правом углу этой матрицы будет
йх“ йх“ ^ йх“ 1 ві йх“ ^ 1 ^ / де^ де“ \ . 21 ві 8
----=--------Ь > ----г— > Р/гЛ =---------Ь > -> —* Н----V * г - ) Р/г-у8і,
^ сЬ*12^ й\*я ^2^1<9хг 9x4 2 ^ ’
в в г=1 8=1 в г=1 к=1 8=1
т. е.
^Х“ 1 ..т
— = ]Г р^/УлЧо((4) (*^о). (зо)
в 3,к,8=1
Вспомним теперь о репараметризации ехрХл(ім) = 7І«(1) = 7«(і) и применим обрат —"Х, т
ное преобразование. Получим йх“/^Ав = —1/12 ^ Р^* Р8вк-у8?3' + 0((|її|2 + |Л|2)3/2)
3,к,8 = 1
((її, Л) ^ 0). Из (26) аналогично получаем, что йхг/йїї* = ^ + 0((|її|2 + |Л|2)1/2) ((її, Л) ^ 0), і,1 = 1,.. .,т. Следовательно, существует окрестность V точки V = 0 и Л = 0, на которой йхг/йїї* = ^ + г1 и определитель матрицы йхг/йїї®, і, 1 = 1,..., т, мало отличается от единицы. Аналогично, существует окрестность V точки V = 0 и Л = 0, на
—"X. m --- —^
которой dx“/dAg = —1/12 ^ FyFsefcAsAj + s“e и определитель матрицы dx“/dAa,
j,fe,s=1
m
а, в = m+1,..., n, мало отличается от определителя матрицы —1/12 FjFsefcAsAj,
j,fe,s=1
причем этот определитель по предположению отличен от нуля. Следовательно, на V = V1 П V2 определитель матрицы дифференциала отличен от нуля. □
Из этой теоремы следует теорема Стрихартца [2, с. 241] для сильно скобочно порождающих распределений.
Литература
1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
2. Strichartz R. S. Sub-Riemannian geometry // J. Diff. Geom. 1986. Vol. 24, N2. P. 221-263.
3. Strichartz R. S. Corrections to “Sub-Riemannian geometry” // J. Diff. Geom. 1989. Vol. 30, N2. P. 595-596.
4. Bellai'che A., Risler J.-J., Eds. Sub-Riemannian Geometry. Basel, Birkhauser, 1996. (Progress in Mathematics. Vol. 144).
5. Montgomery R. A Tour of Subriemannian Geometries. AMS, 2002. (Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 91).
6. Бураго Ю.Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994.
7. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119, №3. С. 517-528.
8. Крым В. Р., Петров Н. Н. Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. №1. С. 62-70.
9. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. №3. С. 00-00.
10. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981.
11. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963.
Статья поступила в редакцию 25 марта 2009 г.
