Поля Якоби для неголономного распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЛЯ ЯКОБИ ДЛЯ НЕГОЛОНОМНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

B. Р. Крым

C.-Петербургский государственный университет, соискатель, vkrym2007@rambler.ru

1. Введение. Статья посвящена построению теории второй вариации функционала длины и уравнению Якоби для распределения. Распределением на гладком многообразии N называется семейство подпространств А(х) С ТХМ, гладко параметризованное точками многообразия. Построена общая теория вариационного исчисления с неголо-номными ограничениями р(Ь,х,Х) = 0 [1]. Распределения получаются, если ограничения линейны по скоростям: шХ(X) = 0. Для этого случая в настоящей работе были изучены как необходимые, так и достаточные условия оптимальности, предложенные в [1]. В настоящей работе построен пример, для которого «присоединённая задача» Г. А. Блисса приводит к появлению «новых» сопряжённых точек, не связанных с потерей оптимальности. После каждой «правильной» сопряжённой точки размерность «отрицательного подпространства» индексной формы геодезической увеличивается. Как доказывается в настоящей работе, для новых сопряжённых точек этого не происходит.

В настоящей работе вторая вариация функционала энергии для регулярных горизонтальных геодезических выражена через тензор кривизны распределения.

2. Вариации и уравнения вариаций. Пусть 7 : [Ьо, Т] ^ N — кусочно С 1-гладкий горизонтальный путь. Элементарной вариацией С1-гладкого отрезка пути 7 : [¿1, ¿2] ^ N будем называть однопараметрическое семейство отображений а(-,т) : [¿1,^2] ^ N, \т\ < £, если существуют непрерывные производные да/дЬ, да/Вт, на «центральной линии» а(Ь, 0) = ^(Ь) и да/дЬ € А(а(Ь,т)) при всех допустимых Ь и т. Вторые производные д2а/дЬдт, д^а/дтдЬ существуют при всех допустимых Ь и т и непрерывны в точках пути 7. Элементарные вариации примыкают друг к другу, если они определены на примыкающих интервалах [Ь1,Ь2], [Ь2,Ьз], и полученная таким образом вариация непрерывна на своей области определения.

Горизонтальной вариацией горизонтального пути 7 : [Ьо, Т] ^ N называется однопараметрическое семейство а(-,т) : [Ьо(т),Т(т)] ^ N, состоящее из конечного числа последовательно примыкающих друг к другу элементарных вариаций, заданных на примыкающих интервалах [^,£2], [Ь2,Ьз], ... [Ьк—1,Ьк], причем ^ < Ьо(т) < Ь2 и Ьк—1 < Т (т) < Ьь. Предполагается также, что функции Ьо, Т имеют непрерывные производные по т.

С каждой вариацией связаны два векторных поля вдоль отображения а: X = да/дЬ и У = да/дт. Векторное поле У(•, 0) вдоль 7 будем называть основным векторным полем и обозначать просто У.

Горизонтальная вариация удовлетворяет условиям (да/дЬ) = 0. Дифференцируя

это тождество по т, получаем

© В. Р. Крым, 2010

При т = 0 получим уравнения вариаций вдоль j:

_n ¿yk я, a

+ S ф'ку’ = °' “ = + >- (1>

Эти уравнения мы будем обозначать &°(Y',V) =0, а = m + 1,...,п. Это система из п — m дифференциальных уравнений, и ранг матрицы (,%) равен п — m. Поэтому горизонтальная проекция основного векторного поля может быть выбрана произвольно, а вертикальные компоненты Vа определяются начальным условием.

Если на концы кривой наложены ограничения, то такие же ограничения наложены и на её вариацию: фр(t0(r), a(t0(т), т),Т(т),а(Т(т),т)) =0, л = 1,...,р. Будем считать, что функции фр зависят от переменных (to,xo,T,XT). Дифференцируя это тождество по т и полагая т = 0, получаем

Ж("'+ Ш (гы + У(адь-)+ & + ê (у(г> + У(Г)&) = °- (2)

где CÍ0 = dío/dr|т_0, Ст = dT/¿т|т_Q. Это уравнения вариаций краевых условий.

Лемма 1. Пусть распределение является С3-гладким. Пусть Y —горизонтальная кривая, поле V вдоль Y удовлетворяет уравнениям вариаций (1), числа Cto ,Ст Є К. Тогда существует горизонтальная вариация а кривой y = а\т=0 такая, что V = да/дт^_0 и Cto = dto/dт|т_0, Ст = ¿Т/¿т|т_0 [1, c. 233].

Доказательство. К условиям горизонтальности ,a(Y') = 0, а = m+1, ...,п, добавим уравнения (t, X, X) = ze(t), в = l,...,m, где — линейные функции относительно переменных X с коэффициентами, зависящими от t, причем функциональный определитель системы функций (,, ц>) по переменным X не обращается в нуль на y. Правая часть ze определяется левой частью на кривой y. Пусть а — вариация пути y, возможно, тривиальная. Тогда (t, a(t, т), a'í(t, т)) = fв(t, т). Продифференцируем это

тождество по т, получим

д<рРдак\ df13

“ ^дХк drdt + дхк дт ) дт '

При т = 0 получим

dt дхк )

Эти уравнения мы будем обозначать (Y',V) = , в = l,...,m. Правая часть Z

определяется левой частью на поле V.

Систему уравнений ,a(X) = 0, (t,X,X) = zв(t) можно разрешить относительно X:

X = x(t,X,z), где функции х являются С3-гладкими на окрестности imY. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Xі = \г {t, X, z (t) + тÇ(t)), т. е.

Í ,(X) = 0

\^(t,X,X) = z(t) + ^(t) .

Пусть ti есть первое следующее за t0 значение t, соответствующее угловой точке кривой

Y или точке разрыва какой-либо из функций Y'. Если таких значений нет, то положим

¿1 = Т. Пусть 71 — дуга кривой 7, соответствующая интервалу [¿о, ¿1]. Функции г, если их рассматривать только на интервале [¿о, ¿1], могут быть произвольно продолжены так, чтобы они остались непрерывными на несколько большем интервале. Тогда правая часть системы хг = хг {¿,х, г{Ь) + т£(Ь)) непрерывна относительно х, т, и имеются непрерывные частные производные третьего порядка но переменным х, т в окрестности значений т = 0, соответствующих дуге 71. Возьмем решение этой системы с начальной точкой (¿о,хо + тУ(¿о)):

а(Ь,т) = хо + тУ(¿о)+ [ ^(¿,а(г,т),г(г)+тф))&.

Ло

Очевидно, что в начальной точке а'т |( = У (¿о). Продольные линии (т = еопБ^ этого

семейства горизонтальны и удовлетворяют ограничениям ^(¿,а(Ь,т),а[(¿,т)) = г(¿) + т£^). Следовательно, это решение удовлетворяет уравнениям вариаций (1) и Ф(У', У) = £. Но у этой системы есть только одно решение с начальным условием У (¿о) = Уо. Следовательно, а'т\т=о = У.

Пусть ¿2 —первое следующее за ¿1 значение ¿, соответствующее угловой точке кривой 7 или точке разрыва какой-либо из функций У'. Система дифференциальных уравнений хг = \г{¿,х,г(¿) + т£(Ь)) с начальной точкой (¿1,х1 + тУ(¿1)) определяет на некотором интервале, содержащем интервал [^ 1, ¿2], новую вариацию, примыкающую к ранее найденной вариации. Продолжая этот процесс построения элементарных вариаций, мы получим допустимую однопараметрическую вариацию, удовлетворяющую всем требованиям леммы.

Функции ¿о(т), Т(т) определяются равенствами ¿о(т) = ¿о + С0т и Т(т) = Т + Стт, где параметры ¿о, Т соответствуют концам кривой 7. □

Лемма 2. Пусть 7 — горизонтальная кривая, поля Yk вдоль 7 удовлетворяют уравнениям вариаций (1), числа Сок, Стк Є К, к = I,..., s. Тогда существует s-параметрическая горизонтальная вариация а кривой 7 = а\Т=о такая, что Yk = да/дтк\т= и Сок = діо/дгк\т=0, Стк = дТ/дтк\т=0 [1, с. 235].

3. «Присоединённая задача» Блисса

Рассмотрим двумерное распределение А на К3, заданное дифференциальной формой и) = х^Зх1 + ¿х3. Минимизируемый функционал имеет вид J(х(-)) = 1/2 ((і1)2 +

(х2)2)Зі, т. е. метрический тензор распределения единичный. Символы Кристоффе-ля симметричной римановой связности на распределении равны нулю. Лагранжиан условной вариационной задачи Ь = 1/2(у(х1 )2 + (х2)2) + 1и(^'). Сужению тензора ¥ = Зи = Зх2 Л Зх1 на распределение соответствует матрица (0 "01). Для этого функци-

(gij) (ші) ) 0

онала выполняется условие Гильберта [1, с. 242]: определитель не обращается в нуль. Поэтому геодезические будут Сто-гладкими. Можно считать, что вектор скорости допустимой кривой принадлежит единичному шару. Тогда решение вариационной задачи существует по лемме Филиппова [2] и теореме Рашевского—Чжоу

[3, 4].

Рис. 1. Неголономные геодезические.

Горизонтальные геодезические с началом в нуле при l = 0 имеют вид

Ж1(#) = - (—1’2 + 1’2 eos lt + sin lt),

i

x2(t) = т(г’1 — i’i eos lt + vn sin lt),

li , (3)

x3(t) = —y (2lt(i>1 + v2) + 2г?1 í'o — eos/í — Av\ sinlt+

4l2 V ч

+2v\v2 cos 2lt + (v2 — v|) sin 21Л.

Горизонтальные геодезические при l = 0 — это прямые, и этот случай мы не рассматриваем. Отметим, что x 1(0) = vi и x2(0) = V2. Неголономные геодезические приведены на рис. 1 при l = —1. Как будет показано ниже, на интервале [0, 2n/|l|) геодезическая оптимальна, т. е. функционал J имеет локальный слабый минимум. Если 1Щ > 2п, то геодезическая перестаёт быть оптимальной.

Рассмотрим вариационную задачу минимизации функционала ftg f (t, x, x) dt с него-лономными ограничениями p(t,x,x) = 0. Пусть матрица (д^а/дхк)а=т+1,..,п, имеет

k=1,.. ,п

п

ранг n—m для всех (t, х, х), и пусть L(t, х, х, l) = f (t, х, х)+ la^a(t, х, х). Вторая

a=m+1

вариация функционала J = L(t, х, х, l) dt имеет вид

г2 J = Щ, X, хК +2 £ ^ + £ -rf Í

k=1

Т dL к дЬ

ío —' дхк ^ i ЭХ

k=1 k=1

т т п

+ /

т dL 2

н— t0 dt

+

t0 -Jt° i,j = 1

^ f d2L д2L i, d2L i „ ,

( o.,:,-,1)V + '/' + TT-m1!'1! ) ,lL (4)

\дXi дXj

дх’1дх^

где £(£о) = dt0/dт, £(Т) = dT/dт, (¿о) = d2t0/dт2, (Т) = d2T/dт2, п = да/дт при

т = 0.

Г. А. Блисс [1, с. 271] сформулировал следующую «присоединённую задачу» для второй вариации функционала. Для нормальной и неособой экстремали 7 можно рассмотреть задачу минимизации функционала 52 J в классе допустимых вариаций п, удовлетворяющих уравнениям вариаций вдоль 7. В рассматриваемом примере распределение задано дифференциальной формой ш = х2dx1 + dx3, следовательно, ограничения в присоединённой задаче имеют вид

Ф = п3 + х2П1 + rj¿ х1 = 0.

21

(5)

Это уравнения вариаций вдоль 7. В рассматриваемом примере лагранжиан L = 1/2((x1)2 + (i2)2) + l(x2x1 + x3). Следовательно, лагранжиан присоединённой задачи П = 1/2((П 1 )2 + (rj2)2) + ln2n1 + Л^3 + x?nl + n2X1). Обобщённые импульсы

P1 = n1 + ln2 + ^x2, p2 = n2 и рз = Л. Обобщённые силы /1 =0, /2 = In1 + ^x1 и

/з = 0. Уравнения Эйлера—Лагранжа принимают вид n1 + ln2 + ЛX2 = 0, n2 = ln1 + ЛX1

и Л = 0. С учётом уравнений геодезических (3),

n1 + ln2 + Л(г>1 sin lt + v2 cos lt) = 0, n2 — ln1 — Л(г>1 cos lt — v2 sin lt) = 0,

1 (6) r)3 + y (yi — V\ eos lt + V2 sin lt)rjl + (yi eos lt — v2 sin lt)rj2 =0,

Л = 0.

Это система линейных однородных дифференциальных уравнений относительно переменных n, Л. Чтобы найти точки, сопряжённые с to = 0, необходимо найти решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям n(0) = 0, n'(0) = 0. Соответствующая часть фундаментальной матрицы системы решений имеет вид

/ sin It cos It — 1 (vilt-v2) cos lt — (vi+v2lt) sin lt+v2 \

'11 I2

1-cos It sin It (V1H-V2) sin lt+(v1+v2lt) COS lt—vi

I I I2

P = — ((v2+v2)lt-4v2 sin lt+(v2— + 2v 1 v2lt) sin 2lt+

2v ilt — 4v 1 sin lt+ 2v2 It — v2 sin 2lt+ +2(v 1 lt — 2v2)v 1 cos lt — 2v 1 v2lt sin lt+2v 1 v2 +

+vi sin 2lt — 2v2 cos lt+ +v1 COs2lt + v1— , _2 2n,.n oj.)

+v2 cos 2lt+v2 -2-Ü1COS It + (2v1v2 + (v2-v1)lt)cos2lt)

\ 212 212 213 /

Решение имеет вид (n1,n2,n3)T = P(а1,а2,Л)т, где a1, a2, Л — постоянные интегрирования. Повторим решение для n3: n3 = a^2v1 lt — 4v1 sin lt + V1 sin 2lt — 2v2 cos lt + v2 cos 2lt + v2)/(2l2) + a2 (2v2lt — v2 sin 2lt + v1 cos 2lt + v1 — 2v1 cos lt)/(2l2) — Л((v2 + v|)lt — 4v2 sin lt + (v2 — v2 + 2v1v2lt) sin 2lt + 2(v1lt — 2v2)v1 cos lt — 2v1v2lt sin lt + 2v1v2 + (2vi_v2 + (v| — v2)lt)cos2lt)/(2l3). Определитель матрицы коэффициентов detP =

—2t(lt cos(lt/2)—2sin(lt/2))sin(lt/2)(v1 +v^)/l4. Эта формула даёт «правильные» сопряжённые точки tk = 2nk/l, k € Z. Но она даёт также и сопряжённые точки, являющиеся корнями уравнения lt cos(lt/2) — 2sin(lt/2) = 0. Легко найти, что tn « ±(п + 2nn)/l, n € N. Первая сопряжённая точка этой серии t1 « 8.99/l. Соответствующее поле Якоби a1 « 4.49v2/l, а2 ~ —4.49v1/l, Л =1.

Легко доказать, что в задаче с закреплёнными концами и закреплённым временем индексная форма (т. е. гессиан) для рассматриваемого лагранжиана имеет вид

Ст n / д2 Т Р)2 Т r)2j \

'<* о -1 £ + <■*' + л <7>

г,з = 1 4 7

В рассматриваемом примере (3) лагранжиан L = 1/2((x1)2 + (x2)2) + l(x2x1 + x3) не зависит от вертикальной координаты x3, а производная OL/dx3 = l. Поэтому индексная форма I(n,Z) = n1Z1 + n%2 + l(С2n1 + n2Z1) не зависит от вертикальных компонент n3, Z3. Рассмотрим её на подпространстве горизонтальных векторных полей из Х®. Оказывается, что для функционала I\а точки tn не сопряжены с начальной точкой.

Индексом IndY геодезической y называется точная верхняя граница размерностей подпространств, на которых индексная форма отрицательно определена. Можно доказать, что этот индекс конечен. После каждой «правильной» сопряжённой точки размерность «отрицательного подпространства» этого функционала увеличивается. Для

геодезических на многообразии соответствующую теорему можно найти в [5]. Но после точки 8.99/1 увеличения размерности отрицательного подпространства этого функционала не происходит.

Поэтому в настоящей работе мы заново построим теорию второй вариации функционала энергии для горизонтальных кривых на распределении.

4. Связность и кривизна распределения. На любой достаточно малой области и С N координаты хк, к = 1,..., п, можно выбрать так, чтобы «проекция» распределения А на первые т координат была максимальной. Тогда базис распределения А выражается через координатные векторные поля следующим образом:

П

ек = дк — ^2 Аакда, к =1,...,т. (8)

а=т+1

Функции Аа будем называть потенциалами распределения. Мы предполагаем, что они С1 -гладкие. Этот базис пополняется до базиса всего касательного пространства TN с помощью векторных полей да, а = т+1, ...,п. В силу (8) [е*, е^] Є Ьіп{да}а=т+1,...,п. Это распределение может быть также задано дифференциальными формами =

т

У~] Аа-сХ + ¿ха, а = т+1,... п. Для каждого х Є N на А(х) определена квадратичная

Й=1

форма {■, -)х. Метрический тензор распределения определяется как д^(х) = {е*,е^)х. Метрический тензор распределения гладко зависит от точки.

т п

Компоненты коммутаторов [е*,е^] = ^ скек + ^2 сада будем обозначать ск. В

к = 1 а=т+1

базисе (8) отличны от нуля могут быть только компоненты Са .

Чтобы определить ковариантное дифференцирование V на распределении, необходимо ввести симметричную риманову связность. Римановость определяется как обычно, а условие симметричности необходимо модифицировать: VхУ — VYX = рг([Х, У]),

т

где рг = ^2 ек <8> Схк —проекция на распределение. Чтобы эта проекция была инвари-

к=1

антна к преобразованиям координат, необходимо ограничить гладкую структуру многообразия: дук/дха = 0, к = 1,...,т, а = т+1,...,п, и (дув/дха^а^_т+^ п —единичная матрица [6-8]. Для каждой точки х Є N и любых трёх векторов и^,й Є А(х) преобразование кривизны распределения А в точке х определяется тензором Схоутена

[9-12]

Е(и^)й = VйVï,й — V ^ ий — Vpr[йJv]W; — рг[(1 — рг)[и, 'о],й\, (9)

где и, V, й — некоторые гладкие векторные поля на окрестности точки х такие, что и(х) = и, V(x) = V, й(х) = й. Преобразование кривизны не зависит от способа распространения векторов и, V, й до векторных полей. Симметричная риманова связность на распределении полностью определяется метрическим тензором распределения. Для вертикальных векторных полей мы будем считать, что Гка = Г^^ = 0 и Г^ = 0, к = 1,..., т, а, в = т+1, ...,п, і = 1,..., п. Так как связность рг-симметрична, необходимо предположить, что если поле % вертикально, то Vх% = 0. Ковариантная про-

п

изводная по вертикальному полю VzX = рг ^ %адХ/дха. Если все допустимые

а=т+1

векторные поля не зависят от вертикальных координат, то тензор кривизны будет такой же, как в физике: V ^ ъй — VíVйй — V[uIv]й [13].

Чтобы получить уравнения Эйлера—Лагранжа в нормальной форме, необходимо выбрать метрику д на N такую, что её сужение на распределение совпадает с метрическим тензором распределения: ^(е*,е^) = (е*,е^). В действительности «вертикальные» компоненты вектора скорости кривой определяются условием горизонтальности. Их можно исключить из уравнений Эйлера—Лагранжа и перейти к внутренней метрике распределения. Рассмотрим метрику Калуцы—Клейна [14]:

П

(и,у) ее д(и,у) = д(рт(и),рт(у)) + £ Ъаиа(и)и;а(у), (10)

а=т+1

где д(-, ■) — метрический тензор распределения, рг — горизонтальная проекция. Это скалярное произведение невырождено, если все Ьа = 0. Ковариантное дифференцирование

V на N и символы Кристоффеля симметричной римановой связности Г* к определяются по формуле Кошуля [15, с. 43]. Отметим, что в базисе {ei}i=l, . . ,т, {да}а=т+1,..п симво-

__ _ _ т

лы Кристоффеля Г к = Гк, 1,], к = 1,..., т, Г“ = — = 1/2^2 дк {Ьас,ав + дд^/дха),

в=1

и Г“- = —1/2 (са + 1/Ьадд— /дха). Связность на распределении в принципе можно определить как рг\7хУ (для подмногообразий соответствующую теорему можно найти в [15, с. 113], [16, т. 2, с. 2о]).

5. Формула первой вариации. Будем рассматривать распределение Л размерности т на многообразии N размерности п. Распределение определяется с помощью пфаффовой системы 1-форм {ма}а=т+1,..,п. В методе Эйлера—Лагранжа появляются п — т множителей Лагранжа Аа. Рассмотрим задачу минимизации функционала ■7 = /(Ь,х,х) & на множестве горизонтальных путей, заданных на произвольных

промежутках [Ьо(т),Т(т)], \т| < е. Концы путей удовлетворяют ограничениям

ф^(ьо,1(ьо),Т,1(Т)) = 0, И =1,...,Р < 2п + 2. (11)

Матрица производных от функций ф по их аргументам имеет ранг р.

Рассмотрим этот функционал на продольных линиях ат вариации а. Получим функцию

,-т (т) ,-т (т) «

ао3(т) = а0 /(Ь,а,Х) А + Ааша(Х) А. (12)

0(т) 0(т) а=т+1

Напомним, что на горизонтальных вариациях ш(Х) = 0. Функция Лагранжа принимает вид

п

Ь(Ь,х,х,А) = ао/(Ь, х, X) + Ааша(Х). (13)

а=т+1

Поэтому

<и

ао ~г~ ат т=о

т [т (П дЬ , к А дЬ аУк

т.-,,™ц +<»)

57

к=1 к=1

гДе£к = ^|т=

£1 т = ж\т=о- обозначим Л = ІІ 44 <й + ск, к=1,...,п. Тогда

ао

<м

¿т

т=0

го дхк

.«,т,х.л<+/Г(Ё§г* + Ё^

л0 к=1 аъ к=1

п р т п

= Ь(і,7,Х,Л)С|Т0 + ^/кУк,Т

к=1

ІІ0

+

дхк ¿і

дЬ

¿і

Е{~-

к=1

'го дХк

¿У к

л )-*-*■

Чтобы получить уравнения Эйлера—Лагранжа в интегральной форме, достаточно правильно выбрать вариацию.

Пусть поля Ук вдоль 7, к = 1,...,р+1, удовлетворяют уравнениям вариаций (1), числа Сок,Стк Є К. По лемме 2, существует (р+1)-параметрическая вариация а кривой 7 такая, что Ук = да/дтк ,т=0 и Сок = діо/дтк,т=0, Стк = дТ/дтк,т=0. Подставляя вариацию а в функционал J ив условия для концов (11), получаем функции .1 (т), фр (т). Легко найти, что

<% і дфц ґ , дфц ,лг и ,

---- -------«ой + -7^г(ук{іо)

¿Тк

\т=0

ді0

дхі

+ 7/(^о)Со к) + ~^£тк + -^7 (■Ук(Т) + 7 '(Т)£тк)-

дхо

Уравнения .1 (т) = .1 (0) + V, фм(т) =0, ¡л = 1,...,р, имеют решение т = 0, V = 0, соответствующее геодезической (оптимальной кривой) 7. Функциональный определитель левых частей этих уравнений по параметру т должен быть равен нулю. Иначе при достаточно малых по абсолютной величине V < 0 получим .1 (т) < .1 (0), что противоречит предположению о минимуме. Пусть ц < р+1 —наибольший возможный ранг матрицы этого определителя для всевозможных векторных полей У и чисел Сг0, Ст, соответствующих горизонтальным вариациям. Пусть для векторного поля У и чисел С0 ,Ст эта матрица имеет максимальный ранг. Найдётся система постоянных ао,ам, л = 1,...,Р, не равных одновременно нулю такая, что

р

aо5J(С,У ) + > а^5ф^ (С,У) = 0,

р=1

(15)

где 51(С,У) = dJ/dт\т=о, 5фц(С,У) = йф^/йт|т о для вариации, у которой основное векторное поле равно У и вариации времени равны Сг0, Ст. Для этих постоянных уравнения (15) должны иметь место для всевозможных векторных полей У и чисел Сг0, Ст, соответствующих горизонтальным вариациям.

Всякое решение 7 : [Ьо,Т] ^ N задачи с подвижными концами является также решением задачи с закреплёнными концами 7(Ьо), 7(Т) и соответствующим закреплённым временем. Поэтому для 7 выполняется то же самое уравнение геодезических. Пусть правый конец кривой скользит вдоль пути Ь = Т(т), х = хт (т), а левый конец скользит вдоль пути Ь = Ьо(т), х = хо(т). Это значит, что а(Ьо(т), т) = хо(т) и а(Т(т), т) = хт(т). Дифференцируя эти тождества и полагая т = 0, получаем 7/(Ьо)С*0 + У(Ьо) = йхо/йт и 1/(Т)Ст + У(Т) = йхт/йт. Внеинтегральный член в (15) принимает вид

р

ЬС

Следовательно,

к=1 и=1

¿х

¿т

0.

ЬС

к=1

г0

+ Е*

дфц^+ дф_

¿Х дфа .. дфа ¿Х

діо

+

дх1 ¿т дТ

С +

дх2 ¿т

г0

0. (16)

В этой формуле сохранены только независимые смещения (дифференциалы). Если эти уравнения выполняются при любом выборе Сг0, Ст, Лхо/Лт, ¿хт/¿т, то из них следуют классические условия трансверсальности. Но вертикальные компоненты смещения конечной точки не всегда могут быть выбраны произвольно. Например, на интегрируемом распределении вертикальное смещение конечной точки равно вертикальному смещению начальной точки. Действительно, локально интегральные подмногообразия интегрируемого распределения в соответствующих координатах образуют слоение из плоскостей. Точки из различных интегральных подмногообразий нельзя соединить путём.

Теперь можно сформулировать теорему о существовании вариации, в которой учтено условие для концов.

Определение 1. Говорят, что порядок анормальности кривой 7 равен ц, если для этой кривой выполнено правило множителей Лагранжа, причем существует ровно ц линейно независимых систем множителей вида ао = 0, Ха(-), а = т+1, . ..,п.

Если ц = 0, то геодезическая (оптимальная кривая) 7 называется нормальной, в противном случае — анормальной. Система множителей, для которой ао = 0, называется анормальной системой множителей. Нормальная геодезическая 7 может иметь не более одной системы множителей с ао = 1, т. к. в противном случае разности соответствующих множителей двух таких систем образовывали бы анормальную систему для 7.

Теорема 1. Для нормальной горизонтальной геодезической 7, удовлетворяющей условиям для концов ф(ро, 7(^0), Т, 7(Т)) = 0, всегда существует горизонтальная вариация

а, удовлетворяющая условиям для концов ф{Ьо (т), а(Ъо(т), т), Т(т), а(Т(т), т)) = 0 и содержащая в любой окрестности геодезической 7 допустимые кривые, не совпадающие

с 7 [1, с. 254].

Теорема 2. Пусть У — векторное поле вдоль нормальной горизонта,льной геодезической ^, удовлетворяющее уравнениям вариаций (1), а числа , Ст удовлетворяют (2). Горизонтальную вариацию а, указанную в теореме 1, можно выбрать так, чтобы У было её основным векторным полем и £І0 = йіо/Лг|т_о, Ст = ¿Т/¿т|т_о [1, с. 255].

6. Формула второй вариации. Рассмотрим теперь задачу минимизации функционала д на множестве горизонтальных путей при закреплённом времени. Будем рассматривать только нормальные геодезические (ао = 1). Для упрощения записи в

П П

суммах вида ^ \аша и ^ индекс а и знак суммирования будем опус-

а=т+1 а=т+1

кать. Наша цель — получить выражение для гессиана (индексной формы) функционала энергии д =1/2 £ {у',ч') ^Ь. Поэтому рассмотрим двухпараметрическую вариацию а = а(Ь,т,л). В этом разделе геодезическая 7 и её вариация а предполагаются С2-гладкими. Кроме того, мы предполагаем, что третьи производные д^а/д^дЬдт, д3а/дЬд^дт существуют при всех допустимых Ь, л, т и непрерывны вдоль 7. Векторные поля вдоль а будем обозначать X = да/дЬ, У = да/дт, Z = да/дц. Дифференцируя д(л,т), получаем

д2д Гт(/ВХ ВХ\ / В Т>Х\\ , [т. д (дш,^ (дХ\\ , „ .

ща -1 ((1Ц-’ 17)+ Сх’ Щ,1н ))л +1 % (а7т + Ч 97)) Л' (17)

Заметим, что DX/dt = DX/dt + 2 ГfjXlXjda, где Г“- = -1/2(с“- +

a=m+1 i,j = 1

l/ba8gij/дхаЛ). Предположим, что метрический тензор распределения не зависит от вертикальных координат Тогда DX/dt = DX/dt. Отметим, что Га|^ =

— 1/2{bacfj + dgijIдхау Следовательно, при Ъа = 0 выполняется (D/д/л DX/дт, X) =

(D/B^DX/дт, prX). Далее будем считать, что все ba = 0.

Если вариация а является вложением, то векторные поля X, Y можно распространить до векторных полей на окрестности ima так, чтобы [X, Y] = 0. Тогда VzVxY =

V хVzY + R(Z, X)Y, где R — преобразование кривизны распределения. Следовательно, D/d¡л DY/dt = D/dt DY/д¡л + R(Z, X)Y. Если а не является вложением, эта формула доказывается аналогично [15, с. 102]. Так как символы Кристоффеля симметричны, DX/дт = DY/dt. Интегрированием по частям получаем

Гт > DDY \, / DY\т Г / DX DY \1

Предположим также, что пфаффовы формы wa не зависят от вертикальных координат Тогда Faj = Fja = 0 и F(DX/dr,Y) = F(DX/дт, ргУ). Далее,

(Vyi%- = - Е гksiYsFkj - ]Г rs>s^fc = (VyF)y.

k,s = 1 k,s=1

Таким образом, мы рассматриваем эту задачу при выполнении условия цикличности для распределения, а тогда, в силу уравнений геодезических, Л = const. Интегрированием по частям получаем

Итак,

d2J

длдт

=X

DY' т <'т

UY \

Т + f l/DZ Ш\

^_о \ діл / to Ло V' dt ’ dt / х ^ у ’ 7 \ dt ’ діл

+ {R(Z,X)Y, A'>-<“L, !£))<*+

дл t0 дл V дт дЬ

Преобразуя последнее подынтегральное выражение, получим

А|;(^т-^(у>) = А|;№Х)) = л<у^><УА’)+АЧ|г’А1 ^у|!г)-

Так как уравнения геодезических имеют вид О^' /А + Л^7' = 0, члены, содержащие ОУ/дл, сокращаются, что позволяет упростить (18) при т = 0, л = 0. Итак, вдоль геодезической 7

d2J

длдт

т=0 ^=0

- j\{{VzF){i,Y)+F(^,Y))dt. (19)

Векторные поля Y(■, 0,0), Z(■, 0, 0) вдоль y будем обозначать теми же буквами Y, Z. Эта формула определяет индексную форму векторных полей Y, Z.

Литература

1. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: Иностранная литература, 1950.

2. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ, серия математика и механика. 1959. №2. С. 25-32.

3. Рашевский П. К. Любые две точки вполне неголономного пространства могут быть соединены допустимой кривой // Уч. зап. Моск. пед. ин-та им. Либкнехта, сер. физико-матем. 1938. Вып. 2. С. 83-94.

4. Chow W.L. Uber systeme von linearen partiellen differentialgleichungen erster Ordnung // Math. Ann. 1939. Vol. 117, N1. P. 98-105.

5. Jost J. Riemannian geometry and geometric analysis. Springer-Verlag, 2005.

6. Крым В. Р., Петров Н. Н. Каузальные структуры на гладких многообразиях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2. №9. С. 27-34.

7. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. №3. С. 67-79.

8. Крым В. Р., Петров Н. Н. Главные расслоения и проблема топологического квантования зарядов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. №1. С. 10-17.

9. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. Казань: Изд-во Каз. физ.-мат общ., 1939.

10. Горбатенко Е. М. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий (по В. В. Вагнеру) // Геом. сб. Томского ун-та. 1985. Вып. 26. С. 31-43.

11. Schouten J. A., van Kampen D. Zur Einbettung und Krümmungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Annalen. 1930. Vol. 103. P. 752-783.

12. Schouten J. A., Kulk V. D. Pfaffs problem and its generalization. Oxford: Clarendon Press, 1949.

13. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №3. С. 517-528.

14. Klein O. Quantentheorie und funfdimensional Relativitatstheorie // Zeits. f. Phys. 1926. Bd 37. S. 895-906.

15. Бураго Ю.Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.

17. Крым В. Р. Метод Эйлера—Лагранжа в формулировке Понтрягина // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. №2. С. 48-58.

18. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Современные проблемы математики, фундаментальные направления. Т. 16. С. 5-85. М.: ВИНИТИ, 1987.

Статья поступила в редакцию 20 мая 2010 г.