CC BY
76
ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
И ПРОБЛЕМА ТОПОЛОГИЧЕСКОГО КВАНТОВАНИЯ ЗАРЯДОВ
В. Р. Крым1, Н. Н. Петров2
1. С.-Петербургский государственный университет, соискатель, vkrym2007@rambler.ru
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор,
Nikolai.Petrov@pobox.spbu.ru
1. Введение
Настоящая работа завершает статью [1]. Распределением на гладком многообразии N называется семейство подпространств АХ С TХN касательных пространств, гладко параметризованное точками многообразия. Если распределение является полем касательных пространств к некоторому слоению из подмногообразий, то оно называется интегрируемым, или голономным. Если нет, то оно называется неголономным. Известна теорема Фробениуса об интегрируемости инволютивного распределения. Пусть {ег} —базис распределения. Распределение интегрируемо в том и только в том случае, если коммутаторы {[ег,ец]} горизонтальны, т.е. [ег,вц] € А. Для каждой точки х € N на АХ определена квадратичная форма (п,п)Х Уп € АХ, т. е. метрический тензор дгц(х) = (ег,вц)Х. Метрический тензор распределения гладко зависит от точки. Будем считать, что метрический тензор дц (х) распределения имеет лоренцеву сигнатуру — • • -,-).
Ранее нами была предложена модель, в которой уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности получены как уравнения Эйлера—Лагранжа для функционала длины для некоторого четырехмерного неголономного распределения.
Уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности всегда выводят как уравнения Эйлера для функционала действия Б(7) = ^(у', У) (Ь + ц ^ и(у') (Ь [2]. Мы доказали, что эти уравнения являются уравнениями Эйлера— Лагранжа для функционала длины (у' ,у')1/2(Ь на распределении [3, 4]. Минимизируемый функционал имеет вид ^(7',7')1/2(Ь + ^ Аи(у') (Ь, где А(-) —множитель Лагранжа. В предлагаемой модели (в силу условия цикличности) А действительно оказывается постоянной. Для этой модели нами была определена симметричная риманова связность и тензор кривизны для распределения и получены инвариантные уравнения Эйнштейна [1, 5]. В этой модели можно определить оператор Дирака, операторы зарядов и связать квантование зарядов с топологической структурой пространства. Данная модель является продолжением теории Калуцы—Клейна [6, 7]. Отношение причинности в предлагаемой теории является обобщением причинности в лоренцевой геометрии [8-12].
Связность (с символами Кристоффеля ГЦк) также можно рассматривать как распределение, но не на многообразии М, а в расслоении координатных реперов, т. е. в
3
фиксированной системе координат. Тогда 1-форма ^ ГЦ(хг определяет распределение.
г=0
© В. Р. Крым, Н. Н. Петров, 2009
При преобразовании координат х ^ у она преобразуется в соответствии с формулой Картана
/ дхк \
«/ = Ф_1«;Ф + Ф_1с£Ф, где Ф = ( ——г ) . (1)
\ ду ) ],к=0,..,3
В главном расслоении Р (М, О) рассматривается форма со значениями в алгебре Ли
3
группы О, например, У~] Лгв,хг, где Аг —4-потенциал электромагнитного поля. Так как
г=0
эта форма преобразуется по такому же правилу, она также получила название «форма связности». Совпадение правила преобразования не является достаточным основанием для интерпретации этого объекта как связности. Сравнение уравнений геодезических [1] и уравнений движения частиц показывает, что символы Кристоффеля ГЫ и напряженность поля входят в эти уравнения однотипно. Сравнение уравнений Эйнштейна и Максвелла показывает, что однотипными объектами являются тензор кривизны и тензор У ы(это выражение должно быть интерпретировано как кривизна распределения). Поэтому мы предлагаем следующую таблицу соответствия объектов общей теории относительности и субримановой геометрии (табл. 1).
Таблица 1.
Соответствие объектов теории относительности и субримановой геометрии
Основная структура Связность Кривизна Основание
3 . . Метрика ^2 gijdxгdxJ 1,3 = 0 Г^. и форма связно- г3 3 . сти ^ Г£у<йгг г=0 оЫ Уравнения Эйнштейна
Распределение, заданное дифференциальной формой 3 . ^2 А1с1хг + ЗхА г=0 Напряженность поля рл гз VfciV Уравнения Максвелла
Мы также рассматриваем вопросы, связанные с топологическим квантованием зарядов. В теории Калуцы—Клейна известно, что электрический заряд квантуется, если многообразие в направлении пятой координаты топологически является окружностью. Период вдоль этой координаты в теории Калуцы—Клейна получается следующим: л/1б7гС?Аг/е, где е — заряд электрона, С?дг —гравитационная постоянная Ньютона. Авторы обзора [13, с. 1094] признают, что это слишком большая величина.
В настоящей работе получено следующее значение для периода вдоль пятой координаты: (2пН)/е = 4.135669±4 • 10-15 В-м, где е — заряд электрона, Н — постоянная Планка. В отличие от теории Калуцы—Клейна, в нашем случае эта величина не зависит от гравитационной постоянной. Мы также рассматриваем возможности топологического квантования других типов зарядов. Стандартной группы О = и(1) х Би(2) х Би(3) для этого недостаточно, так как она не обладает необходимой топологией. Поэтому главное расслоение необходимо расширить. Чтобы получить топологическое квантование электрического, трёх лептонных и барионного зарядов, необходимо рассмотреть расслоение со слоем ТХМ4 © (Ь® ТЯТ5), где Т5 = Б1 х ... х Б1 — 5-тор. Классическое действие операторов стандартной модели при этом сохраняется. Итак, настоящая работа отличается от стандартной модели тем, что:
1) оператор Дирака (5) не зависит от заряда е, а волновая функция (6) является собственной функцией оператора заряда с собственным значением е;
2) горизонтальный лифт (8) векторных полей д/дхк, к = 0,.. .,3, не зависит от электрического, лептонных и барионного зарядов, а волновая функция (10) является собственной функцией операторов заряда с соответствующими собственными значениями.
Отметим также вид конуса будущего в главном расслоении (рис. 1).
2. Распределение в ассоциированном расслоении
Пусть Р(Мт, О) —главное расслоение, где Мт — многообразие, О — группа Ли. Пусть р : О ^ ОЬ(У) —представление группы О преобразованиями линейного пространства V, Е — расслоение, ассоциированное с Р(Мт,О), со стандартным слоем V [14, с. 60]. Предположим, что в ассоциированном расслоении Е задано распределение А, такое, что:
1) ТуЕ = А + УУ (прямая сумма), где Уу —подпространство ТуЕ, состоящее из векторов, касательных к слою через V;
2) Ауа = (Да)*А для всех V € Е и а € О (инвариантность относительно действия группы);
3) А гладко зависит от V.
Распределение А может также быть задано на главном расслоении Р, с соответствующей заменой обозначений. В силу (1) каждый вектор Х € ТуЕ может быть единственным образом записан как X = Л.Х + уег1Х, где Л.Х € А —горизонтальная компонента, уег1Х € УУ — вертикальная компонента. Определим 1-форму ш на Е со значениями в алгебре Ли группы О. Для каждого вектора X € Ту Е значение ш(Х) равно А € © такому, что фундаментальное векторное поле А*, индуцированное А, равно вертикальной компоненте для Х. Ясно, что ш(Х) = 0 тогда и только тогда, когда Х горизонтален. Форма ш по своим трансформационным свойствам совпадает с формой связности (Д*ш = а^а-1)ш), но её (и соответствующее ей распределение) нельзя интерпретировать как связность. Форму ш мы будем называть пфаффовой формой, а соответствующее распределение {Х | ш(Х) = 0} — пфаффовым распределением. Горизонтальный
лифт векторных полей дк будем обозначать через рг(ды) = еы. При преобразовании
т— 1 й 7
координат на Мт этот базис переходит в е'к = ^ ^Гkej■
7=0 ду
Линейный репер и в точке V € Е(Мт,О, V, п) —это упорядоченный базис «касательного пространства» ТП(У)Мт х V. Пусть Г — распределение связности в расслоении линейных реперов Ь(Е). Связность в расслоении линейных реперов называется линейной связностью. Пусть То — соответствующая форма связности. Внешняя ковариантная производная г-формы ^ определяется как (Б<^>)(Х1,.. .,Хг+1) = (й^>)(НХ1,.. .,НХг+1), где Н — горизонтальный лифт (проекция на распределение связности). Это (г+1)-фор-ма на Ь(Е).
Пусть Ь(Е) —расслоение линейных реперов со структурной группой Ли ОЬ(К”) (п = т + ёт V). Каноническая форма в для Ь(Е) — это К”-значная 1-форма на Ь(Е), определенная как в(Х) = и-1(п*(Х)) для всех и € Ь(Е) таких, что п(и) = V, и всех Х € ТИЬ(Е). Отметим, что в(уег1Х) = 0. Внешняя ковариантная производная 0 = Бв называется формой кручения линейной связности. Внешняя ковариантная производная О, = ВТо называется формой кривизны. Имеют место следующие структурные уравнения1 :
йв{Х,У) = -(ш(Х)в(У) -ш(У)в(Х)) + в(Х,У), (2)
(£й(Х,У) = -р(Х),й(У)} + П(Х,У). (3)
Доказательство аналогично [14, с. 119]. Из этих уравнений следуют тождества Бианки: БП = 0, Б0 = П Л в.
Тензорное поле кручения связности определяется как Т(Х, У) = и(0(Х,у)) для всех Х, У € Ту Е, Х = НХ, У = НУ — соответствующие горизонтальные лифты, и € Ь(Е) такое, что п(и) = V. Тензорное поле кривизны определяется как Д(Х, У)^ = и(П(Х, У)(и—1^)) для всех Х, У, ^ € ТуЕ, где и € Ь(Е) такое, что п(и) = V. Выражение П(Х,у) принимает значения в алгебре Ли группы ОЬ(К”) и действует на и-1^ € К” как линейное преобразование. Учитывая, что (УхУ)У = и(Хи(в(у))), где п(и) = V, можно доказать, что Т (Х, У) = Ух У — Уу Х — [Х, У ] и
Д(Х, У )£ = [Ух, Уу ]Я — У[х,у]^. (4)
3. Квантование электрического заряда на многообразии М4 х Б1
Мы рассматриваем общий релятивистский случай. Напомним, что векторные поля на главном расслоении Р можно рассматривать как операторы типа дифференцирования. Пусть Р — главное расслоение, V С Р — некоторая область. Обозначим через Ф = {<£> | ^ : Р ^ К, ^ € Сто} множество С-гладких функций на Р. Оператором типа дифференцирования называется линейный оператор Б : Ф ^ Ф, для которого выполняется Б(^>1<£>2) = Б(у>1 )у>2 + ^^(у^) при всех у>1,у>2 € Ф. Оператор типа дифференцирования является векторным полем на Р. Производные дк = д/дхк задают координатные векторные поля, которые можно принять за базис касательного расслоения ТР в окрестности данной точки. В квантовой теории наблюдаемым соответствуют операторы, а состояниям частицы соответствуют волновые функции со значениями в
1В этих уравнениях часто пишут 1/2 перед антисимметризацией. Мы используем альтернативное
определение внешнего дифференцирования (см. примечание на стр. 36 в [14]), поэтому этот множитель
не требуется.
C”. Размерность пространства C” определяется размерностью представления группы Ли SU(2).
Возникает вопрос, почему классический оператор Дирака в присутствии электромагнитного поля не является оператором типа дифференцирования (с соответствующей спинорной надстройкой). Поэтому мы сначала обобщим оператор Дирака так, чтобы он был оператором типа дифференцирования, а затем докажем, что электрический заряд квантуется в силу топологической структуры пространства. Мы будем использовать (неголономный) базис {ek}k=0,..,3, где ek = дk — Akд4. Для стандартной модели физики элементарных частиц [15] это базис основного для этой модели левоинвариантного распределения. Поэтому всё, что написано далее, верно как для теории Калуцы—Клейна, так и для стандартной модели.
Для частиц с полуцелым спином можно рассмотреть оператор Дирака вида D =
3
—ih 7kek. Тогда уравнение Дирака имеет вид
k=0
3
—*^53 7k ek ф = m^. (5)
k=0
Здесь 7k —матрицы Дирака (они определяются уравнением 7j7k + 7k7j = 2gjk/4, где /4 —единичная матрица четвертого порядка), ф —волновая функция частицы, h — постоянная Планка, m — масса частицы. Предположим, что волновая функция зависит следующим образом от пятой координаты:
ф(х) = ехр ( —Xі ) <р(х), (6)
h
где e — фундаментальный заряд, и отображение ^ со значениями в C” не зависит от ж4. Тогда вкф(х) = ехр (^ж4) (дк — j^Ak(x)) <р(х), и для отображения получим классическое уравнение Дирака
-ih^2~fk (дк - J-Ak) <р = т<р- (7)
k=0 h
В квантовой механике импульсу частицы pk соответствует оператор — ihдk, причем в присутствии электромагнитного поля импульсу pk соответствует оператор — ihдk — eAk. Пятой компоненте импульса р4 в предлагаемой теории соответствует оператор — Лд4. Оператор — Лд4 можно интерпретировать как оператор заряда, так как величина р4 интерпретируется как заряд [4]. Оператор заряда [23] достаточно тензорно умножить на —Лд4, и предположить (б). После этого все выводы совпадут. Поскольку 4-потенциал
электромагнитного поля и метрический тензор не зависят от координаты x4, оператор
заряда коммутирует с оператором Дирака. Поэтому оператор заряда можно включить в алгебру наблюдаемых. Волновая функция частицы должна быть собственной функцией оператора Дирака с собственным значением m, оператора заряда и, возможно, других наблюдаемых.
Известно из большого количества экспериментальных данных, что заряды всех элементарных частиц кратны заряду электрона (фундаментальному заряду e). Предлагаемая модель позволяет объяснить это теоретически. На многообразии M4 x S1
траектории векторного поля $4 = д/дж4 гомеоморфны окружности. Поэтому множество собственных функций оператора заряда счётно: функция ж4 ^ ехр(*£ж4/К) может быть задана на окружности длины Ь, только если £ = 2пкК/Ь, к € Ъ. Это может служить объяснением квантования электрического заряда. На окружности собственные функции оператора заряда с собственным значением ке должны иметь вид ехр(*кеж4/К), к € Ъ. Отсюда можно найти, что период вдоль координаты ж4 равен Ь = (2пК)/е = 4.135669±4 • 10-15 В^м.
Для частиц с целым спином необходимо рассматривать уравнение Клейна—Гордона. Для распределения, заданного базисом {ек}к=о,..,з, естественно рассмотреть неголоном-ный оператор Лапласа, предложенный в [16]. Те же рассуждения доказывают существование топологического квантования в этом случае.
Квантование электрического заряда — это нетривиальное явление, для объяснения которого Дираком была предложена новая физическая частица — монополь [17]. Существование монополей не было подтверждено экспериментально [18]. С другой стороны, существование 4-потенциала электромагнитного поля подтверждается экспериментально [19].
4. Топологическое квантование зарядов
Известно три семейства фундаментальных частиц: (^е, е, и, й), т. е. электронное нейтрино, электрон, кварки и и (^м,^, с, в), т. е. мюонное нейтрино, мюон, кварки с и в; (мт, т, £, 6), т. е. тау-лептонное нейтрино, тау-лептон, кварки £ и 6. Поэтому необходимо вводить три варианта лептонных зарядов и еще барионный заряд для тяжёлых частиц. Рассмотрим сначала обычную процедуру построения распределения связности2.
Рассмотрим главное расслоение Р(М4,О), где О = V(1) х Би(2) х Би(3) —группа Ли стандартной модели. Пусть р — представление группы О в конечномерном линейном пространстве Ь. Пусть Е(М4, О, Ь, п) — ассоциированное расслоение, для которого левое действие группы О на Ь определяется формулой д£ = р(д)£ Уд € О € Ь. Тогда горизонтальный лифт координатных векторных полей д/дж^, V = 0,.. .,3, имеет вид
гл .3 .О
_а_ _ ^ _ чм £тН|,4 _ £л.6„ (8)
к=1 а=1
где д1, д2, дз — константы связи, 2:4 = ±1 или 0 — электрический заряд частицы, 2; = ±1 или 0 — лептонный заряд частицы, I = 5, 6, 7, 2о = ±1 или 0 — барионный заряд частицы. Здесь тк —базис алгебры Ли группы Би(2) (матрицы Паули), Аа —базис алгебры Ли группы Би(3), В, , Оа —потенциалы соответствующих калибровочных полей.
Итак, распределение связности зависит от констант связи д1, д2, дз и от зарядов частицы 24,. . .,2о. Но распределение связности должно иметь универсальный характер, т. е. оно не должно зависеть от зарядов частицы.
Рассмотрим 5-тор Т5 = Б1 х ... х Б1. Заметим, что распределение связности А = Ып{Х^ | V = 0,.. .,3} — это некоторое подпространство в (ТМ4) х ОЬ(Ь). Рассмотрим
2 Исторически «ковариантные производные» для неабелевых калибровочных полей были введены следующим образом. Пусть горизонтальный лифт имеет вид — гдА^, ц = 0,.. .,3, где А^ —
поле сил взаимодействия, которое описывается квадратными матрицами, д — некоторая постоянная. При преобразовании волновой функции ф' = и'ф, где V — некоторая матрица, должно выполняться соотношение П'^ф' = V(П^ф), т.е. (Э^ — гдА'^иф = V(Э^ — гдА^)ф. Если это уравнение разрешить относительно А^, то получится гдА^иф = (Э^V)ф + гдиА^ф. Так как это равенство справедливо для произвольной функции ф, можно исключить ф и умножить справа на матрицу V-1. Тогда [21, с. 54] получим А^ = иА^и-1 — ^(д^и)и~1.
тензорное произведение Ь <8> ТЯ0 Т5 слоя Ь на касательное пространство ТЯ0 Т5 к тору Т5 в некоторой (произвольной) точке во € Т5. Соответствующее расслоенное пространство обозначим Е(М4, О, Ь, п) х Т5. Тогда горизонтальный лифт производных д^ на это расслоенное пространство имеет вид
д д з д о
^ = а? -
к=1 а=1
Этот горизонтальный лифт по-прежнему состоит из операторов, действующих из Ь в Ь, но теперь некоторые из этих операторов тензорно умножены на операторы типа дифференцирования, действующие на функции на торе (такие операторы являются векторными полями в касательном расслоении). Волновую функцию выберем в виде
ф(х) = (р(х)ехр (^ ^2йж*Ч, (10)
V к=4 )
где у>(ж) не зависит от координат ж4,...,жО. Отображение (10) является собственной функцией операторов заряда —*Кд/джк, к = 4,.. .,8, с собственными значениями 24,.. .,2о. Предположим, что 24 —это электрический заряд частицы, лептонные заряды 25, 26, 27 принимают значения 25 = 1 для электрона е-, соответствующего нейтрино Ve, и кварков и, й; 26 = 1 для мю-лептона ^-, соответствующего нейтрино ^, и кварков с, в; 27 = 1 для тау-лептона т-, соответствующего нейтрино ^, и кварков £, 6; 2о — ба-рионный заряд. Так как траектории векторных полей —*Кдк, к = 4,.. .,8 гомеоморфны окружностям, множество собственных функций этих операторов счетно и характеризуется набором целых чисел. Это объясняет квантование электрического, лептонных и барионного зарядов.
Отсюда еще не следуют законы сохранения этих зарядов. Неизвестно, как одна волновая функция переходит в другую волновую функцию, является ли это гомотопией и т. д. Экспериментальные данные о распаде Л-бариона показывают, что лептонный заряд может не сохраняться [15].
Отметим, что если включить 5-тор непосредственно в группу Ли, т. е. рассмотреть главное расслоение Р(М4, О х Т5), то тогда должны появиться дополнительные калибровочные поля А. Нельзя считать, что все эти поля равны нулю, т.к. это условие нарушается при замене сечений а : М4 ^ Р. Можно предположить, что для любого (допустимого) сечения его координаты на Т5 равны единичному элементу. Но с таким предположением это не главное расслоение. Поэтому 5-тор приходиться вводить как внешний множитель.
Появление пяти дополнительных координат можно объяснить следующим образом. Многообразие М4 можно комплексифицировать, т. е. считать каждую координату комплексной. Предположим, что по каждой мнимой координате это многообразие свернуто в окружность. Еще одна окружность — это группа V(1), входящая в группу О. Получится 5-тор. Это реализация идей Хокинга [22].
Для электромагнитного поля нами установлено, что период вдоль координаты ж4 равен Ь = 2пК/е = 4.135669±4• 10-15 В-м. Мы вычисляем правую часть по современным данным, но на это уравнение можно смотреть и как на соотношение между периодом Ь, фундаментальным зарядом е и постоянной Планка К. Возможно, что две или три из этих величин медленно меняются со временем. Это может быть существенно в космологии при изучении ранних стадий эволюции Вселенной.
д
(9)
Пока наилучшими приближениями к описанию электрона являются «солитонные» решения уравнений Дирака и Максвелла [24]. Но методы, использованные в этой работе, являются спорными.
Литература
1. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. №3. С. 67-79.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. М.: Наука, 1988.
3. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №3. С. 517-528.
4. Крым В. Р., Петров Н. Н. Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. №1. С. 62-70.
5. Крым В. Р. Уравнения Эйнштейна в отсутствие материи на пятимерном многообразии с каузальной структурой // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1999. Т. 261. С. 155-166.
6. Klein O. Quantentheorie und fiinfdimensional Relativitatstheorie // Zeits. f. Phys. 1926. Vol. 37. P. 895-906.
7. Einstein A., Bergmann P. On a generalization of Kaluza’s theory of electricity // Annals of Math. 1938. Vol. 39. P. 683-701.
8. Крым В. Р. Гладкие многообразия кинематического типа // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №2. С. 264-281.
9. Крым В. Р., Петров Н. Н. Каузальные структуры на гладких многообразиях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2. №9. С. 27-34.
10. Крым В. Р., Петров Н. Н. Локальный порядок на многообразиях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 3. №17. С. 32-36.
11. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.
12. Misner Ch. W., Thorne K. S., Wheeler J. A. Gravitation. W. H. Freeman, 1973.
13. Bailin D., Love A. Kaluza—Klein theories // Reports on Progress in Physics. 1987. Vol. 50. P. 1087-1170.
14. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981.
15. Yao W.-M. et al. The Review of Particle Physics // J. Phys. G. 2006. Vol. 33. N1.
16. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономный оператор Лапласа // Проблемы математического анализа. 1990. Т. 11. С. 96-108.
17. Dirac P. A. M. Quantized Singularities in the Electromagnetic Field // Proc. Royal Soc. A. 1931. Vol. 133. P. 60-72.
18. Milton K. A. Theoretical and experimental status of magnetic monopoles // Rep. Prog. Phys. 2006. Vol. 69. P. 1637-1712.
19. Aharonov Y., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev., 2nd series. 1959. Vol. 115. N3. P. 485-491.
20. Осипов В. Ф. Структура пространства-времени. Т. 1, 2. Векторная алгебра и анализ. СПб.: Изд. С.-Петерб. ун-та, 1995. Т. 3. Геометрия Вейля и калибровочные поля. СПб.: Изд. С.-Петерб. ун-та, 2003.
21. Кейн Г. Современная физика элементарных частиц. М.: Мир, 1990.
22. Хокинг С. От большого взрыва до черных дыр. М.: Мир, 1990.
23. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. М.: Физматлит, 1993.
24. Esteban M. J., Georgiev V., Seze E. Stationary solutions of the Maxwell—Dirac and the Klein—Gordon—Dirac equations // Calculus of Variations. 1996. Vol. 4. P. 265-281.
Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.
