Метод Эйлера-Лагранжа в формулировке Понтрягина Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОД ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА В ФОРМУЛИРОВКЕ ПОНТРЯГИНА

B. Р. Крым

C.-Петербургский государственный университет, соискатель, vkrym2007@rambler.ru

1. Введение

В работе [1] были получены необходимые условия оптимальности для классической задачи вариационного исчисления с неголономными ограничениями с помощью принципа максимума. Необходимо найти абсолютно непрерывную вектор-функцию, которая доставляет экстремум функционалу J(x(-)) = L(t, x(t), x{t)) dt на множестве абсолютно непрерывных путей y : [to,T] ^ Rn с закрепленными концами, x(to) = xo, x(T) = xi, при неголономных ограничениях ipa(t,x,x) =0, а = m+1, ...,n. Тогда в качестве управляющего вектора можно выбрать vk = xk, k = 1,..., m, и применить принцип максимума Понтрягина [1, 2] для открытого множества допустимых значений управления. Минимизируемый функционал примет вид J(v(-)) = ftg L(t,x(t),v(t)) dt. Лагранжиан L(t, ж, v) — это сужение лагранжиана L(t, ж, ж) на подмногообразие в ТR", выделенное системой ограничений.

Заметим, что исходная задача Лагранжа может быть сформулирована как с использованием лагранжиана L(t, x, v), где v = (x1,..., xm), так и с использованием лагранжиана L(t,x,x) при тех же ограничениях. Если задан лагранжиан L(t,x,v), то «общий» лагранжиан L(t, ж, ж) может быть выбран произвольно, лишь бы его сужение на подмногообразие в TRn, выделенное системой ограничений, совпадало с L(t, x, v). Решение всех этих вариационных задач должно быть одним и тем же. Но при использовании лагранжиана L(t, ж, ж) множители Лагранжа оказываются только измеримыми функциями [1, с. 283]. В настоящей работе метод Эйлера—Лагранжа сформулирован таким образом, что множители Лагранжа оказываются абсолютно непрерывной вектор-функцией.

Применим эту теорему к задаче об определении горизонтальных геодезических для неголономного распределения на гладком многообразии. Ранее эта задача рассматривалась в статье [3], но авторы не указали, какую связность используют. Оказывается, были использованы два вида связности, связность на распределении и связность на многообразии, что не было специально оговорено. Поэтому в настоящей работе мы уточняем представленные результаты [3]. Предлагаемая нами теория имеет приложения в физике [4, 5].

2. Модифицированный метод Эйлера—Лагранжа

Рассмотрим классическую задачу вариационного исчисления: найти абсолютно непрерывную вектор-функцию, которая доставляет экстремум функционалу

на множестве абсолютно непрерывных путей 7 : \ро,Т] ^ М” с закрепленными концами, © В. Р. Крым, 2009

•T

(1)

ж(£о) = жо, ж(Т) = Ж1, причем моменты времени ^о, Т также закреплены. Предположим, что допустимые пути удовлетворяют условиям

Таким образом, компоненты скорости йж“/Л, а = т+1,.. .,п, не являются независимыми. Предполагается, что управление V = (Ж1,...,Жт) является измеримой и ограниченной вектор-функцией [1, с. 279]. Рассмотрим лагранжиан условной вариационной задачи

Пусть ж(-) —экстремаль [1, с. 271] для интеграла (1) при указанных ограничениях, и пусть эта кривая целиком принадлежит некоторой области О С К”.

Теорема 1. Пусть абсолютно непрерывная кривая ж(-) является экстремалью для интеграла (1) при закрепленных концах и ограничениях (2). Пусть лагранжиан Ь(і, ж,«) непрерывен на [іо,Т] х О х Кт и непрерывно дифференцируем по (ж, V) на [іо, Т] х О х Кт. Пусть функции у>“(£, ж, Ж) непрерывны на [іо, Т] х О х К” и непрерывно дифференцируемы по (ж, ж) на [іо,Т] х О х К”. Тогда существуют п — т абсолютно непрерывных функций Аа(і), называемых множителями Лагранжа, и постоянная ао ^ 0, не все равные нулю и такие, что функция

почти всюду на [£о, Т] удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа в интегральной форме

где — постоянные.

Доказательство аналогично доказательству Понтрягина [1, с. 283]. Рассмотрим управляемую систему

где v(t) —управление (управляющий вектор). Область допустимых значений управления совпадает с Мт. Очевидно, что всякое решение этой оптимальной задачи (с закрепленным временем) является экстремалью для задачи Лагранжа (1), (2) и, наоборот, произвольная экстремаль ж(-) задачи Лагранжа является оптимальной траекторией, соответствующей некоторому оптимальному управлению [1, с. 280].

Функция Гамильтона—Понтрягина рассматриваемой вариационной задачи имеет вид

(2)

”

(3)

а=т+1

”

£(і, ж(і), ж(і), А(і)) = аоЬ(і, ж(і), «(і)) +

а=т+1

к = 1,..., п, (5)

т

”

(6)

к=1

а=т+1

Пусть v(•) —оптимальное управление, ж(-) —соответствующая ему оптимальная траектория управляемой системы, удовлетворяющая граничным условиям ж(£о) = жо, ж(Т)= ж1. Пусть р(^) —решение сопряженной системы, соответствующее вектор-функциям v(•) и ж(-):

с1рк дН дЬ ^ <9/“

■ЗГ—Л?-*(7)

а=т+1

Из условия максимума получаем, что почти всюду на отрезке [£о,Т] имеет место дН/д^' = 0, т. е.

дГ ^ д/а

-ао^+^'+ 2. Р“а^ = 0> ^ = 1> •••."»• (8)

а=т+1

д^а д^а д /а

Из условий (2) следует, что = (5^ и удг = ~ ^ к ■ Проинтегрируем сопряженную

систему (7):

( дЬ ^ д/а \

* = !. •••.«• (9)

дГ П д / а

Из (8) следует, ЧТО ПОЧТИ ВСЮДУ ^ = вотру — Ра Д 7- , ;? = 1, • • ., ш. Комбинируя

^ а=т+1 дv

это уравнение с (9), получаем, что почти всюду

дГ д/а . . Г / дГ д/а » ,

“«а?- 2. р--^=р,Ы + 2. !>»&?)*’ ? = (Ш)

а=т+1 Со \ а=т+1 /

Обозначим Ла = ра, а = т+1,..., п, и введем функцию Лагранжа

П

С(Ь, ж, ж,Л)= аоГ(^, ж, у) + Ла<^>а(£, ж, ж). (11)

а=т+1

Для скоростей ж', = 1,..., т, получаем

дС _ дГ ^ д^>а _ дГ ^ д/а

&Р"~а°д^" + ^ ^ .Ра~э^ ~

а=т+1 а=т+1

дГ ^ д/ '

= ^(*о) + / «отг- - 53 ра7г- :

У(о \ дж' дж'

Со \ а=т+1 /

^ АV дГ ^ Л д^Л ,

= »((»)+/ 1»0^+ /«*?)* =

^о \ а=т+1 /

, ч [1 дС

= Рэ^о)+! ^-^т, 3 = 1,...,т. (12)

Для скоростей Xе, в = т+1,..п, получаем

□

3. Метод Эйлера—Лагранжа в формулировке Понтрягина

В [1] метод Эйлера—Лагранжа сформулирован для задачи минимизации функционала

на множестве абсолютно непрерывных путей 7 : [£о, Т] ^ К” с закрепленными концами, ж(£о) = хо, х(Т) = хі. Этот функционал отличается от функционала (1) тем, что он зависит от всех компонент вектора скорости. Функция Лагранжа услов-

а=т+1

Лагранжа в интегральной форме (5), но множители Лагранжа оказываются только измеримыми функциями [1, с. 283]. Связь множителей Лагранжа и импульса следующая:

Параметры ао, Аа определены с точностью до положительного множителя.

Рассмотрим т-мерное распределение на многообразии размерности п. Предположим, что распределение А задано семейством дифференциальных форм у“, а = т+1, ...,п: А(х) = {и € ТХК” | ш“|х(и) = 0, а = т+1, ...,п} для всех х € V, V С К” —некоторая область. Будем рассматривать функционал энергии Е(х(-)) = 1/2 ^ (Х(£), Х(£))ж(4) А при выполнении условий ш“|ж(Х) =0, а = т+1, ...,п, и при закрепленных концах: х(£о) = хо, х(Т) = Х1. Угловые скобки означают скалярное про-

Пусть в окрестности точки хо задана система координат (хк)^=1,..,”. Система ограничений имеет вид

(14)

ной вариационной задачи с ограничениями (2) также имеет вид (3): £(£, х, и, А)

”

аоЬ(і, х, м)+ ^ Аа<ра(і, х,и). В этом случае также выполняются уравнения Эйлера

+ Ра(£), а = т+1,..., п.

(15)

”

изведение: (и,и)х = ^ д^(х)иги:1. Тогда функция Лагранжа для рассматриваемой

*,.7=1

задачи принимает вид

”

(16)

а=т+1

и ее можно переписать в виде жк = ^ V9(і)ек(ж(і)), где {е9}9=1,..,т —базис распреде-

9=1

ления. Обозначим через дк = д/джк координатные векторные поля. Тогда базис распределения имеет вид

”

ек = дк - ^ А* да, к = 1,..т. (17)

а=т+1

Функции Аа будем называть потенциалами распределения. Этот базис пополняется до базиса всего касательного пространства ТМ” с помощью векторных полей да,

т

а = т+1,.. .,п. Дуальный базис имеет вид ^а = ^ Аа^жя + йжа, а = т+1,.. .,п.

а (-}'Т»3

в=1

”

Этот базис пополняется до базиса всего кокасательного пространства Т*М” с помощью дифференциальных форм йжк, к = 1,..., т. Дуальность означает, что ^а(ек) = 0, йж5 (ек) = , <^а(дв) = ^а, йж5 (де) = 0 для всех к = 1, . .., т, а, в = т+1, . .., п.

В задаче об определении горизонтальных геодезических лагранжиан имеет вид

__ П

квадратичной формы Ь(х,и) = \ ^ д^(х)иги3, т. е. лагранжиан зависит от метри-

*5 = 1

ческого тензора во всем касательном расслоении. Если считать, что метрический тензор распределения др9 = (ер,е9}, р, ц = 1, ...,т, известен, то метрический тензор на

”

всем касательном расслоении д^ следует определять из уравнения дрч = ^ д^ег е3,

*,5=1

р, q = 1,..., то. В базисе (17) отсюда можно найти только компоненты д^, *,;?’ = 1,..., то. Компоненты да^ j = 1, . . ,,п, а = то+1, .. ., п, останутся неопределенными функциями. Естественно ожидать, что геодезические не зависят от выбора компонент да

__ _ _ П _

Так как £(ж, м, А) = аоЬ(х,и) + ^ Хасиа\х(и), уравнения Эйлера—Лагранжа в

а=т+1

интегральной форме имеют вид (к = 1, . . ., п)

^2д^и8+ X Ки%-ск+[ («07^+ X л“ дхк ’ ) д,Т' ('18')

в=1 а=т+1 \ а=т+1 /

Введем обозначения: д^ = ^ к = 1,.. ,,п, j = 1,.. .,т. Так как ив = У~]

ке т?

я = 1 5=1

т” т” /т т / т /т / т ” О''*''"'

їЕь-*' = гЕї-Е”**? = = Е»^ +

Так как правая часть (18) является абсолютно непрерывной вектор-функцией от £, ее можно дифференцировать. Ясно, что полученные уравнения будут выполняться только почти везде на [£о,Т]. Получим

т ” ” ” ” а

“о(Е^/+ЕЕ^у + X X л X »}■"

у5=1 5=1 *=1 } а=т+1 а=т+1 *=1

?ЕЭ"+ X ' '."• аз)

*,5=1 а=т+1 *=1

Умножим этот вектор на матрицу (ек)д=1,..,т, суммируя по к. Получим

к=1,...,,п

””

«0 І Е^' + Е X + Е Е ечІ^иІ

^5=1 5=1 *,к=1 у а=т+1 *,к=1

а

а

п п о— п п гч а

уЕЕ40" + Е ^Е4^Н </ = !,•••,-• (20)

г,5=1 к=1 а=т+1 г,к=1

Везде, где это возможно, перейдем к метрическому тензору распределения. Получим

Й 1 п т Я

«о | Е^+ЕЕ^Л'-Е Е Е^^8 ] +

5=1 5 = 1 к=1 к=1 Р,5 = 1 г,в = 1 р=1

- £/.£ 4« = <*>

а=т+1 г,&=1 4 7

п

где е^р — это компоненты коммутатора [ед, ер] = ^ сдрд. Чтобы исключить компонен-

г=1

ты $а5-, а = т+1, .. ., п, = 1, .. ., п, воспользуемся соотношением (15) между множите-

лями Лагранжа и обобщенными импульсами:

л 9Ь ,

Аа = ~аот^ +Ра, а = т+1,...,п.

П _

Для лагранжиана Ь(х,и) = \ ^ д^(х)иги3 это соотношение имеет вид Аа =

*,5=1 ”

— а0 ~9ази3 +Ра- Отметим, ЧТО

5=1

” / д а д а \ т т т

Е •{ (■$• - $-) “• = Е'«і’'" = -Е““([»р. «»]>’’ —Е<&*

*,к=1 р=1 р=1 р=1

”

где с^ — компоненты коммутатора [ер, е9] = ^ ср9д*. В базисе (17) все ср9 = 0,

*= 1

к,р, ц = 1, .. ., т. Отличны от нуля только, вообще говоря, с^, а = т+1, . .., п. Поэтому последнее слагаемое в первой строчке уравнения (21) сокращается с

■ ±±-^’±4Ш-ШУ'-

а=т+1 5 = 1 *,к=1

Итак, для ц = 1,..., т

т ” ” т

«о ІЕ^+ЕЕ7Йл' - оЕез Е I + Е ра^а(«,е,) = о.

■ джк 2 ' 9 ^ джк ,

<5=1 5=1 к=1 к=1 *,5=1 / а=т+1

(22)

Уравнение для множителей Лагранжа получается из (19) при к = в = т+1,..п:

т п о~ \ п о— п п о а

Е ^Е^>- (23)

15=1 5=1 4=1 / г,д = 1 дХ а=т+1 *=1

Это уравнение зависит от компонент метрического тензора . Чтобы ис-

в=т+1,...,п

ключить эти функции, воспользуемся соотношением (15):

П ‘Л—

' ■ ' ■ ■

А/з = -а0'^9р^3 ~ ао Е ~д^Ь‘Ь? + ^/3’ ^ = т+1’ •••’”-

5=1 *,5=1

Поэтому (23) принимает вид

П п— п п п г\ /-V п П г\ /-V

^ = уЕ-ао Е ЕЕ+ Е ^Е(24)

Так как

2.4^3^ ^ ^-Уа5 дхв ' ^ дхв

*,5=1 а=т+1 5=1 *=1 а=т+1 *=1

ддш=у- е1^зез+ У' д+ У'

ах/3 ^ рдж^ 9 ^ дх/9гз 11 ^ р9г1дх/

*,5=1 *,5=1 4,5=1

и

= — е«, ^ = 1, . . ., т,

приходим к виду

т Й ” ” й а

Р^ = уЕ^У+ Е /3 = т+1,..., п. (25)

*,5=1 а=т+1 *=1

Итак, компоненты метрического тензора (<?^)*=1,...1П исключены. Тем не менее, этот

в=т+1,..,п

результат легче получить, если с самого начала использовать модифицированный метод Эйлера—Лагранжа, как в разделе 2.

4. Классическая формулировка метода Эйлера—Лагранжа

Пусть необходимо найти абсолютно непрерывную вектор-функцию, которая доставляет экстремум функционалу .1(х(-)) = Ь(£, ж(£), ж(£)) Л на множестве абсо-

лютно непрерывных путей 7 : [£о,Т] ^ К” с закрепленными концами, ж(£о) = хо, х(Т) = Х1, при выполнении условий ^а(£, ж, ж) =0, а = т+1,..., п. Предполагается, что на рассматриваемой области матрица (д<^>а/джй)&=1,..,п имеет максималь-

а=т+1,..,”

ный ранг. В классическом варианте метода Эйлера—Лагранжа по данному лагранжиану ЫЬ,х,и) и условиям у>“(£, ж, ж) = 0, а = т+1,.. .,п, строится новый лагранжиан

__ __ __ П _

£(£, ж, и, А) = аоЬ{Ь, ж, и) + ^ Аау>“(4, ж, ж). Этот метод сформулирован Гриффит-

а=т+1

сом [6, с. 281] при ао = 1, т. е. только для регулярного случая. Мы будем считать, что функция £(£, ж(£), м(£), А(£)) вдоль оптимальной кривой почти всюду удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа (5).

Применим этот метод к рассматриваемой задаче об определении уравнений горизонтальных геодезических. Так как лагранжиан имеет вид квадратичной формы

_ 1

Ь(х, и) = 2 Е *,5=1

левая часть уравнений Эйлера—Лагранжа превращается в ковариантную производную: сI дЬ(х,и) дЬ(х,и)\ (Ии\к ,к —к

у, к, и; = ^ = к у, т .VіV?

\сИ дия <9жя ) I <М ) го

в=1 4 / \ / 4,5=1

__

где Г^- —символы Кристоффеля симметричной римановой связности (г,_7, к = 1, .. .,п). Нам удобнее записать это выражение с нижними индексами:

с1 дЬ{х,и) дЬ{х,и) ^ ^ г.; , , .

~129^и + Е г*1«ии > (27)

в=1 *,5=1

где Гк|у = 1/2 (дд^/дх3 + дд^к/дх1 — дд^/дхк"). Так как С(х,и, А) = аоЬ(х,и) +

71 _

У~] Аа(^“|ж(г(), уравнения Эйлера—Лагранжа в интегральной форме имеют вид

а=т+1

V-- « V- Т а [* ( 9Ь ^ т С^“(М)\ , 1 .

ао}^9кзи + 2^ Кик=ск+ а0 —^ + ^ А« Лт {к = 1,...,п).

в=1 а=т+1 ^0 \ а=т+1 /

(28)

Дифференцируя это тождество по £ и учитывая (27), получаем

71 71 71 ' 71 71 / г\ сх \

+ао ^ Аао;^ + ^ Аа ^ ( —у - —) у? = 0. (29)

з=1 4,5=1 а=т+1 а=т+1 5=1 ^ Х дх /

т

Система ограничений имеет вид ик = ^ «Рер, причем здесь уже не предполагается,

р=1

т / п дек \

что базис распределения имеет вид (17). Поэтому йк = ХМ ~\~ ур ^2 ~рГТи% Ь и

р=1 V 4=1 дх /

п т / п о5

_ ____ __________ ___________ ____________

«оХЖЕ ( ^ ) +а° Е +

в=1 р=1 \ 4=1 / 4,5=1 а=т+1

+ Е *.Е(^-3)«'-°. *->..- <»>

д^а д.а

'а / I I ^

1 л V дх° дх )

а=т+1 5 = 1

Умножим это уравнение слева на е^, суммируя по к. Получим для д = 1,..., т

7П 71 7П 71 71 71 71

«О ^9ЧР^Р + а°^2 е^кз^уР^^Лиг + а°^2е9 Е Гк\г^ги:3+ ^ \а<]ша(и,ед) = О,

р=1 &,в=1 р=1 *=1 &=1 *,5=1 а=т+1

(31)

где (ддр)д,р=1,..,т — метрический тензор распределения. Уравнение упростилось, так

™ ™ / ди>а дш<?\ —

как ^ еашк = 0, и ^ 4 (“я-?— я к ) = , е9). В качестве уравнения для Аа

к= 1 й=1 ^ дх ах /

необходимо использовать уравнение (30) при /г = то+1,..п. Попытаемся связать Т^\ц и связность на распределении. Связность на распределении, в соответствии с формулой Кошуля [7], имеет вид Гд|рт = ± Е (4^ + 4“|“Г “ е?7§г) “ 5 £(^4? +

\ " . " (де?

9р1С1Гд - 9д1С1рг). Так как дрг = ^ е3рд^ек, получаем = £ ЬЛд^Л +

/ 5,^=1 дх 5,к=1 4дХ

ер1к^ег+ Так как ^ = 4ззк4’ полУчаем ^ = Ё (|^^й4 +

5,к=1 5,к=1

- д~(^ - ^ . Зе*х ^ ^ / <9

е^1Ф~еР + е$зк7ь?) и’ аналогично> Для 9Чг- Поэтому Т ч\рг = \ £ (е® Е Д^^4 +

,дд1к к _ дек\ 1 й %,д, й _ дек\ ; ” [де1- к ,

*~ТкееР ч9зк~д^) +еР + ч~дхг€'г ч9^!^) ~Сч 1а?5'^ег

5,к=1 5,к=1

7 ^9зк к I 7— ^ ( I , I I

ер £}х1 ег 2^ ^ггСрдг “Ь 9р1СГ^ ~ П' ,Г

' ’А- • <9е^ \ \ т / \

^~4 + ep9jk-faJ^) - \ Т,\9г1С1рд + дР1С1гд - дЧ1С1рг\. Сравнивая это выражение

с 1^444^ = К ЕФК& + д~Ш ~ §0’ получим’ чт0 гч\Рг =

п __ п / п /ЯрЗ с)рк\ п /г)рЗ Р)юк\

У е^&Ти-- + 1 V ( е4 V (—^а-,ек + е3а-,—^)+е{ Т (—1а-, ек + е3а-, I -

т 2 \дхг 0 Р 4 0 дх1 ) Р . \дхг 0 4 0 дхг)

*,5,к = 1 * —— 1 5,к —— 1 5,к —— 1

4 ,Е (|“Г^4 + ерЗзк^лУ) - \ Ё + Зрг49 “ й1^) • Следовательно, Гд|рт =

п _ п / Ярк Я~к\ п / ЙрЗ ЙрЗ

Т еке{ е^Ги" + 1 V е^о-, (е4—] + 1 У (е{—Яа-,ек + ^—^а-,ек -2_^ щг1 -Г 2 Ч91к\г ()хг Р дхг) 2. дхг 0 Р рдхг 9]кст

I, ^ ^ 1 *, 5,^ ^ 1 ъ,5,к ^ 1

94 _ д, г 1— дек\ 1 / ; | I ( \ п

,д^9окег - е\еР9]к~о~[) - 2 Е ^г(49 + -7Рг4д - 5^44 • Поэтому

Гд|рг — Е едер4Гй|^' + 2 Е (е^ + ер ) + 2 ^2дч1СРг" (32)

*,5,к=1 *,5,к=1 1=1

Теперь можно преобразовать (31), получим для д = 1,..., т

ао УЗ 9дРУР + ар УЗ Тд\рг°РУТ + УЗ Хадыа(и, еч) = 0. (33)

р=1 р,г = 1 а=т+1

Последнее слагаемое можно выразить через значения дифференциальных форм ш на коммутаторе базисных векторных полей распределения, т. к. йш(^, п) = ^ш(п) — П^(С) — ш([£, п]), причем первые два слагаемые в этой формуле равны нулю.

Сравним уравнения (33) с уравнениями неголономных геодезических, опублико-

т

ванными в [3, с. 44]. Первое уравнение — это управляемая система хк = Е "^е^

р=1

к = 1,..., п. Второе уравнение совпадает с (33) при ао = 1, но в работе [3] базис распределения предполагается ортонормированным. Третье уравнение — это уравнение для множителей Лагранжа:

а,е;

. дхг .

= 1 / 4,5=1 а=т+1

+ ^^ Аай^“(м, дв) = 0, в = т+1, ...,п, (34)

а=т+1

(это уравнение (30) при к = т+1,...,п). В работе [3] предполагается, что метрический тензор во всем касательном расслоении ТМ” невырожден, у распределения есть ортогональное дополнение, и в этом ортогональном дополнении выбран ортонормиро-ванный базис £т+1,..., £п. Но тогда уравнение для множителей Лагранжа в [3] долж-

т

но содержать У Vрев. С другой стороны, наиболее естественный выбор метрического

р= 1

тензора д^ во всем касательном расслоении ТШп состоит в том, чтобы обнулить его: да^ = д^а = 0 для j = 1,..., п, а = т+1,.. ,,п. Тогда уравнение (34) при ао = 1 совпадет с третьим уравнением [3], если дополнительно предположить, что ,

а, в = т+1,..., п (если здесь выбрать знак плюс, то знак минус перед символами Кри-стоффеля в [3] —опечатка).

Формула Кошуля для симметричной римановой связности на распределении имеет вид

2(УХУ, Я) = X(У, Я) — (У, рг([Х, Я])> + У(Я, X) — (X, рг([У, Я])> —

— Я (X, У > + (Я, рг([Х, У ])>, (35)

т

где рг = ^2 <8> —проекция на распределение [7]. Эта формула была известна

Й=1

еще В. В. Вагнеру [8]. Поэтому, вообще говоря, связность на распределении не является сужением связности на многообразии на базис этого распределения, потому что в формуле Кошуля для распределения используется горизонтальная проекция, а в соответствующей формуле для связности на многообразии ее нет. Но если на распределении выбран ортонормированный базис, то соответствующие символы Кристоффеля совпадут. В общей ситуации необходимо учитывать, что в уравнении (33) используется связность на распределении, а в уравнении для множителей Лагранжа (34) необходимо использовать связность во всем касательном пространстве с компонентами Та\ц.

Литература

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

3. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Динамические системы — 7. Итоги науки и техн. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 16. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 5-85.

4. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №3. С. 517-528.

5. Крым В. Р., Петров Н. Н. Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 1. С. 62-70.

6. Гриффитс Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М.: Мир, 1986.

7. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 68-80.

8. Горбатенко Е. М. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий (по В. В. Вагнеру) // Геометрический сборник (Труды Томского ун-та. Вып. 26). 1985. С. 31-43.

Статья поступила в редакцию 25 июня 2008 г.