CC BY
45
УДК 514.752.8:514.822
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2
ИНДЕКСНАЯ ФОРМА
ДЛЯ НЕГОЛОНОМНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
B. Р. Крым
C.-Петербургский государственный университет, соискатель, [email protected]
1. Введение. Распределением на гладком многообразии N называется семейство подпространств A(x) с TxN, гладко параметризованное точками многообразия. Общая теория вариационного исчисления с неголономными ограничениями <p(t,x,x) = 0 построена в книге [1]. Распределения получаются, если ограничения линейны по скоростям: wx(x) = 0 [2, 3].
Настоящая работа является продолжением статьи [4]. В этой статье была рассмотрена «присоединённая задача» Блисса [1] для регулярных горизонтальных геодезических. Оказывается, что уже на трёхмерном многообразии для таких геодезических существуют две серии сопряжённых точек. Для сопряжённых точек второй серии основные свойства сопряжённых точек из римановой геометрии не выполняются. Поэтому в настоящей работе мы рассматриваем сужение функционала индексной формы на распределение. С помощью этого функционала нами доказано достаточное условие оптимальности.
2. «Присоединённая задача» Блисса. Рассмотрим двумерное распределение A на R3, заданное дифференциальной формой ш = x2 dx1 + dx3. Минимизируемый функционал имеет вид J(x(-)) = ^ /(^((i1)2 + (i2)2)dt, т.е. метрический тензор распределения единичный. Символы Кристоффеля симметричной римановой связности на распределении равны нулю. Лагранжиан условной вариационной задачи L = ^((i1)2 + (i2)2) + Ilu(7'). Сужению тензора F = dui = dx2 л dx1 на распределение соответствует матрица (1 ""д1). Горизонтальные геодезические с началом в нуле при l Ф 0 имеют вид
r1(t) = + «2 cos/t + «i sin/t),
x2(t) = y(wi - «i cos/t + «2 sin/t),
x3(t) = lt{v\ + v\) + 2v\v2 - 4:ViV2 eos It - 4vf sin/í+
+2v1v2 cos 2lt +(v2 - vf) sin 2lt^.
(1)
Горизонтальные геодезические при I = 0 — это прямые, и этот случай мы не рассматриваем. Отметим, что Х1(0) =ги\ и Х2(0) = г^. Неголономные геодезические приведены на рис. 1 при I = -1. Как будет показано ниже, на интервале [0,2п/\1\) геодезическая оптимальна, т. е. функционал . имеет локальный слабый минимум. Если \Щ > 2п, то геодезическая перестаёт быть оптимальной.
Блисс [1, с. 271] сформулировал следующую «присоединённую задачу» для второй вариации функционала. Для нормальной и неособой экстремали 7 можно рас-
© В.Р.Крым, 2012
Рис. 1. Неголономные геодезические.
смотреть задачу минимизации функционала S2J в классе допустимых вариаций п, удовлетворяющих уравнениям вариаций вдоль 7. В рассматриваемом примере распределение задано дифференциальной формой ш = x2dx1 + dx3, следовательно, ограничения в присоединённой задаче имеют вид
Ф = п3 + x2r¡1 + п2Х1 = 0. (2)
Это уравнения вариаций вдоль y. В рассматриваемом примере лагранжиан имеет вид L = l/2((x1)2 + (x2)2) + l(x2x1 + x3). Следовательно, лагранжиан присоединённой задачи Q = ^((/у1)2 + (?Г)2) + Ь?2?)1 + А(?)3 + ж2?)1 + if ж1). Обобщённые импульсы р\ = П1 + П + Ax2, p2 = п2 и p3 = А. Обобщённые силы f1 = 0, f2 = ¿п1 + Ax1 и f3 = 0. Уравнения Эйлера—Лагранжа принимают вид i)1 + П + Ax2 = 0, п2 = ¿п1 + Ax1 и А = 0. С учётом уравнений геодезических (1), получим
п1 + ¿i2 + A(w1 sin lt + v2 cos lt) = 0
п2 - ¿п1 - A(v1 cos lt - v2 sin lt) = 0 , ,
/73 + y (l' 1 - l' 1 COS lt + l>2 sin lt) ?)1 + (V1 COS /í - 1'2 sin /í) 'lf = 0
A = 0.
Это система линейных однородных дифференциальных уравнений относительно переменных п, A. Чтобы найти точки, сопряжённые с to = 0, необходимо найти решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям п(0) = 0, п'(0) +0 и п(^) = 0, t1 > to. В работе [4] мы нашли фундаментальную систему решений этого уранения. Определитель фундаментальной матрицы для переменных п имеет вид -2t(lt cos(lt/2) -2sin(lt/2))sin((lt/2))(v2 + v|)/l4. Эта формула даёт «правильные» сопряжённые точки tk = 2nk/l, к е Z. Но она даёт также и сопряжённые точки, являющиеся корнями уравнения ltcos(lt/2) - 2sin(lt/2) = 0. Легко найти, что tn и ±(п + 2nn)/l, n е N. Первая сопряжённая точка этой серии t1 и 8.98681891581/|l|. Эти точки не являются сопряжёнными точками в смысле определения 2 на стр. 37 настоящей статьи. Основные свойства сопряжённых точек из римановой геометрии для них не выполняются. Например, в сопряжённой точке концы геодезических должны быть близки между
собой. В сопряжённой точке должно увеличиваться отрицательное подпространство функционала индексной формы кривой. Это не выполняется [4]. Появление дополнительных сопряжённых точек обусловлено тем, что порядок классического уравнения Якоби выше, чем требуется в данной задаче.
3. Уравнение Якоби в теории оптимального управления. Рассмотрим кокасательное расслоение Т*М = идем Т*М гладкого многообразия М. Локальные координаты (х1,...,хп) на М определяют канонические локальные координаты на Т*М вида (х1,...,хп,р1,...,рп). В этих координатах каноническая симплектическая структура на Т (Т* М) имеет вид а = £п=1 ¿рг л ¿хг; матрица этой дифференциальной формы — а = (1° ), где 1п —единичная матрица порядка п. Рассмотрим задачу оптимального управления для управляемой системы д = /и(д), Я е М, и е и с Мт, с минимизируемым функционалом . (и) = /д1 р(ди(Ь),и(Ь)) ¿Ь и с начальным условием д(0) = дд в обычных стандартных предположениях [5, с. 135]. Кроме того, предположим, что множество и открыто и что правая часть управляемой системы /и(д) является гладкой по (и,д) [5, с. 289]. Управление предполагается суммируемым с квадратом на отрезке [0,Ь ].
Как известно, задачу оптимального управления на пространстве состояний М можно свести к исследованию множеств достижимости некоторых вспомогательных управляемых систем на расширенном пространстве состояний М = М х М = {д = (у, я) I У е М, д е М}. А именно, рассмотрим следующую расширенную управляемую систему на М: ¿//¿Ь = /и (/), /е М, и е и, с правой частью /и (/) = ^ ). Обозначим через /и(Ь) решение этой расширенной системы с начальными условиями /и (0) = ( ) = ( до). Координату у будем обозначать через хд. У нас также появится соответствующий сопряжённый импульс рд. «Шляпку» далее мы опускаем.
Гамильтониан — это произвольная гладкая функция на кокасательном расслоении: Н е Сте(Т*М). Каждому гамильтониану Н можно сопоставить гамильтоново векторное поле Н е Уео(Т*М) по следующему правилу: ар(,Н) = ¿рН, р е Т*М. Га-мильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид р = Н(р). Но мы не будем объединять обобщённые импульсы с обобщёнными координатами. Для рассматриваемой задачи гамильтониан — это функция Гамильтона—Понтрягина Ни(Р,Я) = -Рд^(Я,и)+Р • /и(Я) [6].
Пусть (и(Ь),р(Ь)) —регулярная экстремальная пара на отрезке [0,Ь 1 ] для задачи с закреплёнными концами. Введём семейство отображений . ■ Мт ^ Тр(д)(Т*М) формулой .¿о = дНи/ди|_• V (свёртка обозначена точкой). Введем обозначения:
НЧ = д2Ни/ди21 (матрица порядка т); Пд с Тргд)(Т*оМ) —вертикальное подпространство (в наших обозначениях векторы из этого подпространства имеют вид (0,...,0,Рд(0),...,Рп(0))).
Теорема 1. Момент т е (0,Ь 1 ] является сопряженным временем тогда и только тогда, когда существует непостоянное решение щ уравнения Якоби гц = .¿((Н")-1)а( ), Ь е [0,т], удовлетворяющее граничным условиям щ е Пд, г/т е Пд. Уравнение Якоби есть линейная неавтономная гамильтонова система на Тр(д)(Т*М): щ = Ь«(п«) с квадратичным гамильтонианом
ЪЫ = -\{Ъ"Г1{<т{-^'Пг), (4)
где (Н")-1 —квадратичная форма на Мт* [5, с. 320].
Вернёмся к нашему примеру. Функция Гамильтона в рассматриваемой задаче имеет вид Ни(р,х) = -ро(и2 + и2)/2 + Р1П1 -рзи1Х2 + Р2^2. Из условия максимума находим оптимальное управление: и1 = (р1 - рзХ2)/ро, и2 = Р2/Р0. Гамильтоново векторное поле имеет вид Н = (-(и2 + и2)/2, и1, и2, -и1Х2, 0, 0, рзи1, 0). Следовательно, ро = 1, р1 = р1(0), рз = /. Теперь можно найти Х2(4) = р2(0)вт(/£)// -р1(0)сов(/4)// + р1 (0)// и р2(4) = р1(0)вт(/£) + р2(0)сов(/4). Наконец, найдём хо(4) = -(р1(0)2 + р2(0)2)^2, Х1 (¿)=р1(0) вт(/*)// + р2(0) сов(/4)//-р2(0)// и хз(0 = -(Ы0)2-р1(0)2) вт(2Й) - 2р1(0)р2(0) сов(2/4) + 4р1(0)2 вт(/4) + 4р1(0)р2(0) сов(/4) - 2(р1(0)2 + p2(o)2)/t - 2р1(0)р2(0))/(4/2). В начальной точке х(0)= 0.
Отображение = 9Ни/9и|_() • г имеет вид = г1рХ2(4) - р1(4))/ро -р2(4)г2/ро, г1, г2, -г1Х2 (4), 0, 0, рзг1, 0). Дифференциальная форма Н" = 92Ни/9и2|и(4) имеет в наших координатах матрицу ("д0 ). Переменные ц запишем как
П =(Уо,...,Уз,Ро,...,Рз). (5)
Индексы у У следует считать верхними; они написаны внизу, чтобы их не путать с показателями степеней. Гамильтониан уравнения Якоби примет вид Ь = р3У22/(2ро)+рз Х2(4)РзУ2/ро -рзР1 У2/ро -р3Х2 (4)РоУ2/р2 +р1рзРоУ2 /ро + Х2(02Р32/(2ро)-Х2(4)Р1Рз/ро -рзХ2(4)2РоРз/р2 + р1Х2(4)РоРз/р§ + Р22/(2ро) -р2(*)РоР2/ро + Р2/(2ро) + рзХ2(4)РоР1/р2 - р1РоР1/р2 + р2х2(4)2Ро2/(2ро) - р1рзХ2(*Р2/ро + р2(4)2Ро2/(2ро) +
р2Ро2/(2ро). Гамильтоново векторное поле выпишем, учитывая, что ро = 1. Тогда Ь = (-р3Х2 (¿)У> + р1рзУ2 - рзХ2(4)2Рз + р1Х2 (4)Рз - р2(4)Р2 + рзХ2(4)Р1 - р1Р1 + р2Х2 (¿)2Ро - 2р1рзХ2(4)Ро + р2(4)2Ро + р?Ро, -рзУ2 - Х2(4)Рз + Р1 + рзХ2 (4)Ро -р1Ро, Р2 -р2(4)Ро, рзХ2(4)У2 + Х2 (4)2Рз - Х2(*)Р1 - рзХ2 (4)2Ро +р1Х2(4)Ро, 0, 0, -р\У2 - рзХ2(4)Рз + рзР1 + рЗх2 (4)Ро - р1рзРо, 0). Мы решили соответствующие уравнения Гамильтона и нашли вектор-функции У = У(4) и Р = Р(4). Вектор-функции У = У(4) являются линейными и однородными функциями коэффициентов Ро(0),...,Рз(0). Чтобы получить фундаментальную систему решений, достаточно выписать функции при этих коэффициентах в виде матрицы. Получится квадратная матрица порядка 4. Чтобы найти сопряжённые точки, необходимо вычислить определитель этой матрицы и найти его корни по переменной Этот определитель имеет вид
^вт^8Р1(0Ь(0)(Р1(0)2 -р2(0)2) sin2 § ^sin2 | - ljx
X I eos ^ sin4 f - sin3 ^ - eos ^ sin2 + 2^ sin ^ - í ^ J eos ^
2
+ (í>i(0)4 - 6^(0)^2(O)2 + р2(0)4)|48П19 | - 8sin7 | + 8t| eos | sin6
5-4Íf)2)sm5f-8feosfsm4f + (2(f^l)sm3f + 3(f^mf-2(f)3eosf
^ /ТЛ2/ л /í li(!¡lt\ , л \ „;„3 It olt It -2 It
+ Р1(0)2Р2(0)2|48Ш5 | - J + 4J sin3 | - 8
Y eos Y Sin Y +
Таким образом, «правильные» сопряжённые точки tk = 2nk/l, к е Z, сохраняются. 34
Вторая серия сопряжённых точек, Ьп и ±(п + 2пп)/1, п е М, также сохраняется. Это равенство приблизительное, потому что этот определитель содержит три тригонометрических многочлена и их корни не совпадают между собой. Но их корни очень близки к точкам Ьп ± 0,2/1. Окончательная позиция дополнительных сопряжённых точек будет зависеть от р1(0), р2(0). Первая сопряжённая точка этой серии Ь1 и 8.99/|1|. Основные свойства сопряжённых точек из римановой геометрии для точки Ь1 не выполняются.
4. Индексная форма горизонтальной геодезической. Мы рассматриваем задачу минимизации функционала энергии .1('у) = ^ /^(7'; 7')^ на множестве горизонтальных путей при закреплённом времени и закреплённых концах. Распределение (локально) определяется семейством 1-форм {иа}а=т+1,..,п, где п — размерность гладкого многообразия N, т — размерность распределения А. В суммах, содержащих
пп
множители Лагранжа £ \аиа и £ \а¥а, индекс а и знак суммирования бу-
а=т+1 а=т+1
дем опускать (Га = ¿иа). Мы предполагаем, что распределение и метрический тензор распределения не зависят от «вертикальных» координат {ха}а=т+1 ,..,п (условие цикличности ). Распределение А и его метрический тензор (д^) могут зависеть только от координат {хк}к=1,..,т.
Двухпараметрической вариацией а геодезической 7 называется двухпараметри-ческое семейство кривых а(Ь, ц, т) такое, что а(Ь, 0,0) = ^(Ь) [1, 4]. Геодезическая 7 иеё вариация а предполагаются С2 -гладкими. Кроме того, мы предполагаем, что третьи д За д3а
производные , существуют при всех допустимых (, /1, т и непрерывны
вдоль 7. В предыдущей работе [4] было показано, что вторая вариация функционала энергии для распределения имеет вид
в«2)) Г
д2.
д^дт
, Б2
=о V ' да
и=д
+ А-
д^
+1 (У, 2),
«о
где У = да/д^, 2 = да/дт. Функционал
(6)
называется индексной формой геодезической 7 (К — преобразование кривизны распределения). Векторные поля У(•,0,0), 2(•, 0,0) вдоль 7 будем обозначать теми же буквами У, 2. Если одно из полей У, 2 вертикально, то I(У, 2) = 0.
Рассмотрим теперь задачу минимизации индексной формы на множестве горизонтальных векторных полей без учёта уравнений вариаций вдоль 7. Выписывать уравнения Якоби в форме уравнений Эйлера—Лагранжа для функционала (6) не рекомендуется, т. к. эти уравнения не будут инвариантны к преобразованиям координат. Чтобы получить инвариантные уравнения, преобразуем сначала функционал.
Индексную форму можно переписать следующим образом. Если векторное поле У С 1-гладкое и производная БУ/¿Ь абсолютно непрерывна, то
Условие гладкости. Так как горизонтальная проекция производной pr(DZ/dt) может быть выбрана произвольно, почти везде вдоль 7
DУ гг
-+ СОУ / ИЛ = 0, (8)
Л Jt0
где Н = Е(У, ч')ч' + Л(УуГ)(^') + ЛР^У/Л), а ковариантный интеграл Н = ооу НС определяется как решение дифференциального уравнения СНк/А + £¡"¿=1 Н1^= Нк, к = 1,..., т. Ковариантный интеграл зависит ещё и от выбора т произвольных постоянных. Условие Гильберта [1, с. 242, 272] гладкости решения в данном случае упрощается. Отметим сначала, почему решение исходной задачи является достаточно гладким. Если решение существует, а метрический тензор и распределение Ск-гладкие, к ^ 1, то субримановы геодезические являются Ск+1-гладкими [7, 8]. Дифференциальные уравнения присоединённой задачи содержат преобразование кривизны распределения и производную тензора неголономности. Поэтому, если решение присоединённой .задачи существует, а метрический тензор и распределение Ск-гладкие, к ^ 2, то решение присоединённой задачи является Ск-гладким. Это сразу же следует из формулы (8) в силу известных теорем о гладкости решения системы дифференциальных уравнений.
Определение 1. Горизонтальное векторное поле У вдоль геодезической 7 с множителями Лагранжа Л будем называть полем Якоби, если оно удовлетворяет «него-лономному» уравнению Якоби
+ Д(У, 7'Ь' + А(УуРХ-у') + 0. (9)
Оператор р — это тензор неголономности Г, у которого второй индекс поднят с помощью обратного метрического тензора распределения, К — преобразование кривизны распределения [9].
Для горизонтальных векторных полей уравнение (9) является системой линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Множество решений этой системы образует линейное пространство. Для любых и, г е Л(хо) существует единственное поле Якоби Уи<у такое, что Уи<у (¿о) = и и Уи у (¿о) = г (штрих означает ковариантное дифференцирование). Второе касательное пространство к многообразию канонически отождествляется с первым. Поэтому размерность пространства (горизонтальных) полей Якоби вдоль 7 равна 2т, где т — размерность распределения А.
Лемма 1. (Лемма о симплектической форме). Пусть для распределения выполнено условие цикличности. Если У, Z — поля Якоби вдоль геодезической 7 с множителями Лагранжа Л, то функция / = (У, Z') - (У- ЛГ(У, Z) постоянна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. /' = (У+ (У^") - (У- (У- Л(угГ)(У^) -ЛГ (У - ЛГ (У, Z') = -(У, Е^, 7')7' + Л(Vz РЪ' + Л¥^) + (К(У, 7')7' + Л(Уу р)7' + Л рУ ',Z) - Л(уг Г)(У, Z) - ЛГ (У ',Z) - ЛГ (У, Z') = -Л(Vz Г)(7 ',У) - Л(Уу Г)^, 7') -Л(угГ)(У,Z) = -ЛСГ(7',У,Z) = 0. Мы использовали определение внешнего дифференцирования, (СГ )(Х,У^)=Х (Г(У^)) + У (Г^,Х)) + Z (Г(Х,У))-Г([Х,У ],Z)-Г([У^],Х)-Г(^,Х],У) (см. [10, т. 1], стр. 43 и примечание на стр. 36). □
Таким образом, поля Якоби сохраняют определённую симплектическую форму. Отметим, что векторное поле У = 7' (при выполнении условия цикличности) является
полем Якоби. Действительно, У' = -АРУ, следовательно, У" = -А(Уур)У - АРУ' и К(У,У)У = 0. Применяя лемму 1 к полям Якоби У и 7', получаем, что (У, 7''} -(У',7'} - АЕ(У, 7') = С. Так как 7 — горизонтальная геодезическая, 7'' = -АР^' и следовательно, (У',7'} = еопБ^
Определение 2. Точки ¿1^2 е [с,Т], ¿1 + ¿2; называются сопряжёнными вдоль горизонтальной геодезической 7, если существует нетривиальное (горизонтальное) поле Якоби У вдоль 7, обращающееся в нуль в этих точках: У (¿1)= 0 и У (¿2) = 0.
Наглядно сопряжённость означает следующее: если из точки 7(¿1) выпустить геодезические, образующие с 7 углы у, то эти геодезические будут проходить на расстоянии о(у) (у ^ 0) от точки 7(¿2) [11].
Если точка не является сопряжённой для точки хс = 7(^0) вдоль геодезической 7, то отображение и ^ Ус,и (¿) является линейным изоморфизмом между А(хс) и А('у^)). Если векторы {ек(хс)}к=1,..,т образуют базис в А(хс) и на геодезической 7 : [¿с,Т] ->■ N нет точек, сопряжённых для ¿с, то поля Якоби {Усе(Х0)}к=1,..,т линейно независимы во всех точках геодезической 7.
Лемма 2. (Лемма Адамара [12]). Пусть 2 — Ск-гладкое, к ^ 1, векторное поле вдоль пути 7 : [¿с,Т] ->■ N, ¿1 е [¿с,Т] и 2(¿1) = 0. Тогда поле 2 представимо в виде 2(¿) = ( - ¿1)У(¿), где поле У является Ск-1 -гладким и У(¿1) = .
Лемма 3. Если векторы {ек(хс)} к=1,..,т образуют базис в А(хо), векторные поля, {Ус,ек(Х0)}к=1,..,т вдоль 7 являются Ск-гладкими и на геодезической 7 : [¿с,Т] ->■ N нет точек, сопряжённых с ¿с, то каждое Ск-гладкое, к ^ 1, горизонтальное векторное поле 2 вдоль 7, удовлетворяющее условию 2(¿с) = 0, допускает разложение
т
2(¿) = £ ск(¿)Ус,ек(Х0)^), где ск — Ск-1 -гладкие на [¿с,Т] функции. к=1
Доказательство аналогично [13, с. 147].
Лемма 4. На геодезической 7 : [о,Т] ->■ N может лежать лишь конечное число сопряжённых с ¿с точек.
Доказательство аналогично [13, с. 149].
Определим пространство Соболева Ш1,2 для одномерного аргумента — пространство абсолютно непрерывных вектор-функций, у которых производная интегрируема с квадратом [14, 15]. Нормой Соболева в Шк,р называется |f к,р =
(£ Г |Daf |Р ГЬ)1Р для 1 < р <ОС.
Определение 3. Обозначим через Х1 с Ш 1,2([^с,Т]) пространство горизонтальных векторных полей вдоль геодезической 7 : [¿с,Т] ->■ N, у которых (слабая) производная интегрируема с квадратом. Индексной формой I геодезической 7 назовём билинейную форму
на Х7, определённую равенством (6).
Если У — поле Якоби, то 1(У, = Для любого векторного поля 2 е Ху.
В задаче с закреплёнными концами вторая вариация функционала энергии равна индексной форме на основном векторном поле вариации а.
Теорема 2. (Экстремальное свойство полей Якоби). Пусть для распределения выполнено условие цикличности. Пусть метрический тензор распределения положительно определен, 7 : [с,Т] -*■ N — геодезическая, У — поле Якоби вдоль 7, поле 2
вдоль 7 горизонтальное и С1 -гладкое, на левом конце У(4о) = Z(4о) = 0, на правом конце У(Т) = Z(Т), на 7 нет точек, сопряжённых с . Тогда
I (Y,Y )<I (Z,Z), (10)
причем равенство имеет место только при Z = Y.
Доказательство аналогично [13, с. 164].
В условиях теоремы 2 индексная форма I геодезической 7 положительно определена на подпространстве горизонтальных C1 -гладких векторных полей вдоль j, удовлетворяющих условиям Z(to) =0 и Z(T) = 0. Действительно, сравнивая поле Z с тривиальным полем Якоби Y = 0, получим I(Z, Z) ^ I(0,0) = 0 с равенством лишь при Z = 0. Итак, I(Z, Z) > 0, если Z Ф 0 и C 1-гладкое. Индексная форма неотрицательно определена на подпространстве с XY векторных полей вдоль 7, обращающихся в ноль на концах.
Далее, если индексная форма I положительно определена на , то на 7 нет сопряжённых точек. Предположим противное: пусть точки ti,t2 e [to,T] сопряжены. Тогда существует поле Якоби Y, обращающееся в ноль в этих точках. Продолжим его нулем на оставшуюся часть отрезка [to,T]. Тогда на этом векторном поле индексная форма равна нулю (противоречие).
Теорема 3. Пусть для распределения выполнено условие цикличности. Пусть метрический тензор распределения положительно определён, нормальная геодезическая Y соединяет две заданные точки xo и xi и на интервале (to,T] нет точек, сопряжённых с to. Тогда на кривой 7 функционал энергии имеет локальный слабый минимум в задаче с закреплёнными концами.
Доказательство. Пусть ao —наименьшее из собственных чисел матрицы 9ij(l(t)) на отрезке [to,T]. Очевидно, что ao > 0. Пусть 0 < a < ao.
Обозначим через P матричное решение уравнения Якоби такое, что P(to) =0 и P'(to) = I (I — единичная матрица). Штрих означает ковариантное дифференцирование. По предположению, det P не обращается в ноль на (to,T]. Вместо задачи минимизации функционала I(•, •) рассмотрим задачу минимизации функционала Ia(-, •), определённого формулой Ia(Y,Y) = I(Y,Y) - a(Y',Y').
Обозначим через P(t, a) матричное решение уравнения Якоби для функционала Ia такое, что P(to,a) =0 и P'(to,a) = I. В силу выбора начальных условий, существует такая окрестность точки to, в которой функция det P(t, a) при всех достаточно малых a строго положительна, кроме точки to: det P(t, a) > 0 при всех t e (to,to + <r], 0 ^ a ^ ai.
По предположению, det P(t, 0) ^ ß > 0 при всех t e [to + a,T]. На этом отрезке функция det P(t,a) равномерно стремится к функции det P(t, 0) при a ^ 0. Следовательно, существует a2 > 0 такое, что det P(t, a) > 0 при всех t e [to + a,T], 0 ^ a ^ a2.
Так как в доказательстве теоремы 2 мы не пользовались тем, что 7 — геодезическая, теорема 2 для функционала Ia сохраняется. Обозначим K = min {ai,a2}. По теореме 2 индексная форма Ik кривой 7 неотрицательно определена на подпространстве векторных полей вдоль 7: IK(Y,Y) = I(Y,Y) - K(Y',Y') ^ 0. Так как I(Y,Y) ^ K(Y',Y') и скалярное произведение эквивалентно |Y'|2, для некоторого K1 > 0 I(Y,Y) ^ K1|Y ||2, где || • || — норма Соболева на .
Рассмотрим теперь приращение функционала A J = (L(x+rh,x+rh, Л) -L(x, X, Л))dt вдоль геодезической 7. Раскладывая подынтегральную функцию по формуле Тейлора, получаем
_2 rTn д2 Т d2 L d2 L ч
AJ=— У (--^h'V+ —JL^VhAdb + rs, (11) 2 Jto ijji^dxldxi дхгд& dild& > У '
где остаточный член
т 3 rT n . Т i Ti Я3 Т I ч
г3 = — / У ( . feW + 3 . tihjhk + 3 . ftWftMdí.
Слагаемые, содержащие третьи производные лагранжиана по скоростям, равны нулю. Значения производных от лагранжиана в остаточном члене вычисляются в некоторой средней точке промежутка (7,7 + rh). Интеграл в (11) — это вторая вариация функционала энергии S2 J(h) = I(h, h) ^ X"i||h||2. Чтобы оценить остаточный член, используем неравенство Пуанкаре: существует C > 0 такая, что h2dt ^ C f^ h2dt для всех h € W1,2([to,T]), h(to) = 0 [16, с. 79]. Поэтому для любого е > 0 существует такая окрестность нуля в пространстве Соболева, что для всех точек h этой окрестности остаточный член не превосходит e|h|2. Это доказательство аналогично [16, с. 76]. □ Это утверждение слабее, чем в римановой геометрии, т. к. вертикальные компоненты поля Якоби Ya могут не обратиться в нуль в сопряжённой точке. Тогда эта точка не будет сопряжённой точкой в задаче с закреплёнными концами. Мы также не можем утверждать, что для оптимальности геодезической необходимо отсутствие сопряжённых точек. В предыдущей работе [4] нами было показано, что на геодезической могут быть сопряжённые точки, не связанные с потерей оптимальности.
5. Пример. В качестве примера рассмотрим двумерное распределение A на R3, заданное дифференциальной формой ш = x2dx1 + dx3. Минимизируемый функционал имеет вид J(x(-)) = ^ /0Т((х1)2 + (x2)2)dt, т. е. метрический тензор распределения g равен единичной матрице второго порядка. Символы Кристоффеля симметричной римановой связности на распределении равны нулю. Преобразование кривизны распределения в этой задаче тождественно равно нулю. Ковариантные производные VyF тензора F = dw также равны нулю. Горизонтальные геодезические с началом в
Í £xL + láXl = о
нуле при l Ф 0 имеют вид (1). Уравнение Якоби (9) имеет вид -! ¿¿^ dyi , общее
y~dt?~ ~ l~dT = 0
решение уравнения Якоби —
yx(t) = ci + у(с2 sin It + c4(cos/í - 1)) Y2(t) = c3 + 7(02(1 - cos It) + c4 sin It)
Если на левом конце геодезической Y(0) = 0, то ci = 0 и С3 = 0. Фундаментальная матрица этой системы решений имеет вид 1/l (1-COH cosínit1). Детерминант этой матрицы равен 2/l2(1 - coslt). Поэтому на промежутке 0 < |l|t < 2п на горизонтальной геодезической нет сопряжённых точек. Но в точках tk = 2nk/l, к € Z, горизонтальные компоненты полей
Якоби Y1 (tk) = 0 и Y2(tk) = 0. Вертикальная компонента поля Якоби определяется уравнением вариаций Y3 + x2Y1 + Y2x1 = 0. Его решение, обращающееся в ноль на левом конце кривой, имеет вид Y3 = C2(2v1lt- 4v1 sin lt + V1 sin 2lt -
(12)
2v2 cos It + v2 cos2lt + v2)/(2l2) + c4(2v2lt - v2 sin2lt - 2v1 cos It + v1 cos2lt + vi)/(2l2). В точках tk = 2nk/l вертикальная компонента Y3(tk) = 2n(viC2 + V2C4)/l2. Если V1C2 = -V2C4, то Y3(tk) = 0. Таким образом, точки tk = 2nk/l сопряжены с начальной точкой to = 0. Автор выражает благодарность А. В. Дмитруку за полезные замечания.
Литература
1. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: Иностранная литература, 1950. (Пер. с англ.: Bliss G. A. Lectures on the calculus of variations. Chicago, Illinois.)
2. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Современные проблемы математики, фундаментальные направления. Т. 16. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 5-85.
3. Дмитрук А. В. Квадратичные достаточные условия локальной минимальности анормальных субримановых траекторий // Итоги науки и техники. Соврем. матем. и её приложения. Тематические обзоры. Т. 65. М.: ВИНИТИ, 1999. С. 5-89.
4. Крым В. Р. Поля Якоби для неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. №4. С. 51-61.
5. Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит,
2005.
6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.
7. Крым В. Р. Метод Эйлера—Лагранжа в формулировке Понтрягина // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. №2. С. 48-58.
8. Крым В. Р Неголономные геодезические как решения интегральных уравнений Эйлера—Лагранжа и дифференциал экспоненциального отображения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. №3. С. 31-40.
9. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. №3. С. 68-80.
10. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. (Пер. с англ.: Kobayashi Sh., Nomizu K. Foundations of differential geometry. Interscience publishers. New York, 1963).
11. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. М.: Факториал, 1998.
12. Рашевский П. К. Любые две точки вполне неголономного пространства могут быть соединены допустимой кривой // Уч. зап. Моск. пед. ин-та им. Либкнехта. Сер. физико-матем. 1938. Вып. 2. С. 83-94.
13. Бураго Ю.Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994.
14. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
15. Jost J. Riemannian geometry and geometric analysis. Springer-Verlag, 2005.
16. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М.: Изд. Моск. ун-та, 1985.
Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.
