Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Р. Крым, Н. Н. Петров

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПЯТИМЕРНОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ С НЕГОЛОНОМНЫМ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ СКОРОСТЕЙ*

В настоящей статье рассматривается задача оптимизации функционала длины на пятимерном многообразии с четырехмерным распределением А. При некоторых предположениях доказано, что решение вариационной задачи для этого распределения удовлетворяет уравнениям движения заряженной частицы общей теории относительности. Построена четырехмерная проекция геодезической сферы, полностью определяющая ее структуру при движении частицы в постоянном магнитном поле.

1. Сублоренцева геометрия

Распределением на гладком многообразии М называется семейство подпространств А(х) С ТХМ одной и той же размерности, гладко параметризованное точками многообразия [1]. Для каждого х € М на А(х) определена квадратичная форма (и, п)Х с метрическим тензором дц (х). Метрический тензор распределения гладко зависит от точки. Абсолютно непрерывный путь х(Ь) называется горизонтальным, если х'(Ь) € А(х(£)) при почти всех Ь. В субримановой геометрии метрический тензор дц (х) распределения положительно определен. В этой геометрии изучают кратчайшие горизонтальные кривые, соединяющие две заданные точки. Если распределение вполне неголономное, а ри-маново многообразие полное, то любые две точки многообразия можно соединить кратчайшей горизонтальной геодезической. На многообразиях, а также на распределениях с метрическим тензором, геодезическая — это решение уравнений Эйлера—Лагранжа для функционала длины J(х(-),и(-)) = (и(£), и(£))Х/2) &.

В сублоренцевой геометрии метрический тензор распределения имеет сигнатуру (+, -,..., —). В этой геометрии следует изучать длиннейшие горизонтальные кривые, соединяющие две заданные точки [2]. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном и гравитационном полях могут быть получены в процессе решения вариационной задачи для распределения [3]. Рассмотрим пятимерное многообразие М5 и четырехмерное распределение А, заданное дифференциальной формой

3

ш(х) = £ М х)<1х1 + йхА, где ковектор (А*)*=о1..,з —4-потенциал электромагнитного

г=0

поля. Рассмотрим функционал длины

1 (х(-),п(-)) = ( Ъ(х(Ь),и,(1)) А, (1)

Ло

где Ь(х,и) = т(и, м)Х/2 —псевдонорма вектора и, т — масса частицы. Рассмотрим задачу максимизации этого функционала на множестве горизонтальных кривых, соединяющих две заданные точки. Решение этой задачи, как доказано в настоящей статье, приводит к уравнениям

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации по поддержке ведущих научных школ НШ-4609.2006.1.

© В. Р. Крым, Н. Н. Петров, 2007

d dL dt duk

dL

O^+Pi^FikU3 =0, k = 0,

j=0

, з,

(2)

где определяются из (4). Эти уравнения совпадают с уравнениями движения частицы с зарядом р4 в электромагнитном и гравитационном полях общей теории относительности. Такая постановка задачи отличается от принятой в физике [4] задачи минимизации функционала действия на четырехмерном многообразии:

/* е 1‘ 3

5\х(-), и(-)) = — тс («(£), «(£)}*(() Л------ А^х(1,))и1(£) Д,

^ 0 с и о п

где е — заряд частицы, с — скорость света. Настоящая работа посвящена решению задачи объединения электромагнитных и гравитационных взаимодействий [5, 6].

В предлагаемой модели частицы рассматриваются на пятимерном многообразии М5 со специальной гладкой структурой. Допускаются только такие гладкие преобразования координат, что

дуг -г. о ду4

^4=0, г = 0,..,3, ^

ду4

Компоненты тгт, * = 0,.. .,3, могут быть интерпретированы как калибровочное пре-

дх1

1.

(З)

образование. Так как преобразования координат гладкие, т^тт^т =

дx4 дxj л~°

д ду1 _ д ду1 _

dv

dxj dx4

i,j = 0, . .., 4. Поэтому условие цилиндричности = 0 для любого тензорного ПОЛЯ V инвариантно. В касательном расслоении TM инвариантно подпространство Lin {с^}. В кокасательном расслоении T*М инвариантно подпространство Lin {dx0, dx1, dx2, dx3}. Предположим, что метрический тензор и 4-потенциал электромагнитного поля не зависят от x4. Это условие инвариантно относительно преобразований координат со свойством (3). Четырехмерное распределение A — это пространство скоростей, т. е. множество всевозможных векторов скорости частицы. Метрический тензор распределения A определяет четырехмерный выпуклый эллиптическый конус, как в общей теории относительности. Отношение причинности в такой теории аналогично отношению причинности в общей теории относительности [7, 8]. В присутствии электромагнитного поля рассматриваемое распределение неголономно.

Электромагнитное поле определяется в физике антисимметричным тензором )j,k=0,..,3:

(Fjk )j,k=0,..,3

0 Ex Ey Ez

- Ex 0 - Hz Hy

- Ey Hz 0 -Hx

\-Ez - Hy Hx 0

(4)

В наших обозначениях трехмерный вектор Е — напряженность электрического поля, трехмерный вектор Н — напряженность магнитного поля. Существует 4-потенциал (Аі)і=о,...із, определяющий тензор электромагнитного поля:

Fj

дАк дАо-

jk

dxj dxk

j,k = 0,..., 3.

(5)

0

4-Потенциал определяется неоднозначно. Он определен с точностью до калибровочного

д/

преобразования Аі і—> Аі + -тгг, гДе / — произвольная гладкая функция.

дх1

Пусть и — некоторая координатная область на гладком многообразии М5. Четырехмерное распределение А на и можно определить с помощью дифференциальной формы

3

их Лі(х)йхі + йх4. (6)

і=0

Это определение корректно, так как при преобразовании координат со свойством (3) ^Аісіх1 + (їх4 = ^2 (+ ^7 ) ЛУЭ + ЛУ4 = ^2^з(1У3 + (1УА- (7)

і=0 5 = 0 V і=о У У ) з=0

Преобразования координат на пятимерном многообразии приводят к преобразованиям _______________ 3 г\ і о 4

4-потенциала Ал = Аі ^-г + Цффт, включающим четырехмерные преобразования ко-

і=0 ду ду

ординат общей теории относительности и калибровочные преобразования 4-потенциала электромагнитного поля [3, 7]. Локально распределение А может быть задано с по-

В В

мощью базиса из векторных полей е* = — Аі-^-%, і = 0, ...,3. Векторные поля

на многообразии можно рассматривать как операторы типа дифференцирования. При преобразовании координат со свойством (3)

_ Вхг

Ву3

і=о у

~ В ~ В

где е,- = -^—т — Аптг~т, І = 0, ...,3. Базис четырехмерного распределения А преоб-Ву3 Ву4

разуется так же, как в общей теории относительности преобразуются координатные

векторные поля (тг~г ) (см- (3))- Коммутаторы векторных полей е*, * = 0,.. .,3,

\ВхЧ і=о,...,з

г)

порождают тензор электромагнитного поля: \еі,еф\ = —Если ф 0, то распределение А вполне неголономно. Допустимые кривые на распределении абсолютно непрерывны и почти всюду удовлетворяют условию горизонтальности

иі(і)(і'(і)) = °. (9)

2. Уравнения движения заряженной частицы в сублоренцевой геометрии

Задача максимизации или минимизации функционала длины на множестве горизонтальных кривых, соединяющих две заданные точки, является одной из основных задач теории оптимального управления [9, 10]. Вектор скорости х'(£) горизонтальных кривых принадлежит распределению А, поэтому мы рассматриваем метрический тензор распределения А. Если векторные поля е*(х), г = 0,..., 3 — базис распределения А(х), то его метрический тензор дц (х) = (е^(х), ец (х))х, г, 2 = 0, . .., 3. Рассмотрим функционал длины

7(х(),и()) = I Ь(х(Ь),и(Ь)) А, (10)

Ло

где

N 1/2 3 4

Е

\і,3=0

Ь(х, и) = т | ^ діз (х) и1 и3 | (11)

и т — масса частицы. Так как метрический тензор имеет сигнатуру (+, —, —, —), то век-йх

тор скорости — принимает значения на конусе будущего У(ж) = {V Є А(х) \ {у,у)х >

0, V0 > 0}. Это множество зависит от точки х. Поэтому рассмотрим некоторую другую задачу.

Все пространства А(х) линейно изоморфны. Поэтому можно рассмотреть конус — Ґ 3 • • 1

V(х) = уи Є К | ^2 дз (х)иіи3 > 0, и0 > 0 к На некоторой окрестности точки

і,і=о -1

хо пересечение всех множеств V(х) непусто и имеет непустую внутренность <3• В этой окрестности точки хо рассмотрим другую задачу, в которой и(£) Є Q. Если (х(Ь), и(і)) — оптимальный процесс для задачи (10), в которой и{Ь) Є У(ж(і)), то эта пара локально является оптимальным процессом и в том случае, когда и(£) Є Q. Из условия горизонтальности (9) следует, что для вектора скорости частицы

dxk dt

dx4 з

' У

= uk, к = О,..., З,

(12)

~ТГ - - Aj (x)

dt

x) u

j=0

Рассмотрим задачу максимизации функционала длины на множестве горизонтальных кривых, соединяющих две заданные точки: хг^о) = хг0 и хг(Т) = хгт, г = 0,..., 4. Функция Гамильтона—Понтрягина имеет вид

33

Н(х, и,р, ао) = -аоЬ(х, и) + рциц — р4 Ац (х)иц. (13)

ц=0 ц=0

В силу принципа максимума Понтрягина [11, 12] существует ао ^ 0 и вектор-функция Рй(£), к = 0,..., 4, tо ^ ^ ^ Т, удовлетворяющая сопряженной системе линейных дифференциальных уравнений

dpk _ _ ЭН dt дхк

(x(t),u(t),P(t),ao) dx j=0

где (x(t),u(t)) —оптимальный процесс для задачи (10). Так как метрический тензор и 4-потенциал электромагнитного поля не зависят от координаты x4, соответствующая компонента импульса является интегралом движения: p4(t) = const (p4 —заряд частицы). Для почти всех t £ [to, T] функция u ^ H(x(t), u,p(t), ao) достигает своей верхней грани на множестве Q при u = u(t). Если максимум достигается во внутренней точке,

dL

Pk-PiAk = a0—r, к = 0,...,3. (15)

duk

Так как функционал длины не зависит от параметризации, можно считать, что оптимальное управление принадлежит псевдосфере L(x,u) = 1. Ковектор нормали к этой

дт

псевдосфере имеет координаты к = 0,..., 3. Проекция вектора импульса рк на подпространство (u0,.. .,u3) имеет координаты pk — P4Ak. Максимум функции Гамильтона достигается, если проекция вектора pk и нормаль к единичной псевдосфере коллине-арны. Уравнение (15) — это в точности условие коллинеарности этих двух векторов.

Чтобы исключить вектор рк из уравнений (13) и (15), используем тождество

С ^ - 3. З А

Ак(х(г)) - Ак(х(го)) = / У~] ~5~тцД ^ к = 0,.. .,3. (16)

г° 3=о

Тогда

/ зь (1 ЗЬ \ [1 3

а° удъ^ ~ ] ~дхк^')+Р4] ^ + Р^Ак{х{Ь0))-рк^о) = 0. (17)

Параметры ао и рк, к = 0,..., 4, можно умножить на положительную постоянную (они определены с точностью до положительного множителя). При ао = 1 получим уравнения горизонтальных геодезических на распределении А. Если дополнительно предположить непрерывность функции и(Ь), то

3

А ЭЬ ЭЬ =0, * = 0,...,3. (18)

А дик дхк ^ 3

3=0

Эти уравнения совпадают с уравнениями движения частицы с зарядом р4 общей теории относительности.

При ао =0 получим уравнения анормальных геодезических. Тогда хотя бы один из параметров рк, к = 0,..., 4, отличен от нуля. В частности, р4 = 0. Решения вариационной задачи при ао = 0 имеют вид

3

"^2Рзк и3 =0, к = 0,..., 3. (19)

3=о

Решения вариационной задачи (10)—(12), не удовлетворяющие уравнениям Эйлера— Лагранжа, называются анормальными геодезическими [13, 14]. Монтгомери построил пример распределения в трехмерном пространстве, для которого коммутатор базисных

2 З

векторных полей равен Чх [15, 16]. В этом примере анормальные геодезические —

это прямые, параллельные оси х2. Если det ¥ = 0, то уравнение для анормальных геодезических может иметь нетривиальное решение.

3. Геодезическая сфера для частицы в магнитном поле

Геодезическая сфера имеет сложную структуру [17, 18]. В следующей части статьи будем предполагать, что М — это линейное пространство М5 и метрический тензор распределения А имеет диагональный вид, д = Diag(1, -1, -1, -1). Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле в пространстве с диагональным метрическим тензором имеют вид

(]цк „Д,

то— V? =0, * = 0,...,3, (20)

3=о

где т — масса частицы, д — заряд частицы, ¥ — тензор электромагнитного поля, ик —

^хк

4 компоненты скорости частицы, —— = ик, к = 0, Пятая компонента вектора

аЬ

ах4

скорости----- определяется условием горизонтальности.

аЬ

Рассмотрим движение частицы в магнитном поле. Предположим, что напряженность магнитного поля Нх = 0, а напряженность электрического поля равна нулю. Тогда ^23 = —^32 = 0, а остальные компоненты тензора электромагнитного поля Ь равны нулю. В этих координатах уравнения движения и условие горизонтальности имеют вид

ап2 3

то----оНТи = 0,

А 4 ’

du3 тг 2

m——+qHxu =0, dt

dx4 ^ fen

— + ^Аки -0.

k=0

(21)

Остальные 4 компоненты вектора скорости постоянны. Предположим, что Hx = const. Тогда из уравнений (21) следует, что в магнитном поле заряженная частица движется по винтовой линии.

Рассмотрим проекцию геодезической сферы на координаты (x2, x3, x4). В плоскости (x2, x3) частица движется по окружности. Выберем следующие 4 компоненты потенциала: Aq = 0, А\ = 0, А2 = <fix3, A3 = 0. Тогда F23 = —<р, Нх = ср. Обозначим р = —<р. Тогда уравнения движения частицы в подпространстве (x2, x3, x4) примут вид

du2

—-------ри = 0,

dt 1 ’

du3 2

——+ри =0, dt

dx4 3 2

-------1- рх и = 0.

dt

(22)

Вдоль геодезической норма вектора скорости постоянна. Предположим, что (п2)2 +

(u3)2 = 1. Тогда

1

х (t) =------cos(a + pt) + lj2.

P

x3(t) = - sin(a + pt) + 63,

P

V

Ap2

(23)

x4(t) = ~гч{—2pt + sin(2a + 2pt)) + —63 cos(a + pt) + 64.

2P

В плоскости (x2,x3) заряженная частица движется по окружности с центром (62,63) и радиусом -—Пусть 62 = (cos a)/p и 63 = — (sin а)/р. Постоянную 64 выберем так,

И

чтобы x4(0) = 0. Тогда

(t) = - (cos а — cos(a + pt)), P

(t) = -(sin(a+pt) — sin a),

(24)

4(t) = -^-(—2pt + sin(2a + 2pt) — sin 2a) + ^ sin a(cos a — cos(a + pt)). 4p2 p2

Длина геодезической y : [0, t] ^ R5 равна t.

2

x

3

x

Уравнение (24) определяет отображение (Ь, а,р) ^ 7«,Р(Ь). В плоскости (х2, х3) точка делает один оборот вокруг центра при |рЬ| = 2п. Более длинные геодезические (|рЬ| > 2п) не являются кратчайшими. Здесь следует рассматривать кратчайшие, т.к. сужение метрического тензора на касательное расслоение к координатной плоскости (х2,х3,х4) положительно определено. Геодезическую сферу радиуса в можно определить следующей формулой:

В (в) = {^а,р(1) | а € [—п, п], Ь = в, |р^ < 2п}. (25)

Нами была построена проекция геодезической сферы радиуса в = 1 на координаты (х2,х3,х4) при ф =1, слева — р € [—2п, 0], справа — р € [0, 2п]. Если |рЬ| > 2п, геодезические являются кратчайшими. У неголономной геодезической сферы при любом радиусе имеется пара точек такие, что если продолжать геодезическую за эту точку, то мы попадем внутрь сферы меньшего радиуса. Если |рЬ| ^ 2п, то геодезическая длины Ь перестает быть оптимальной. Все возможные конечные точки 7а,р(Ь) геодезических длины Ь достигают оси х4 при рЬ = 2пк, к € Ъ, причем в этой точке рассматриваемая поверхность сама себя пересекает. Плотность этих точек возрастает при приближении к началу координат. Это явление называется неголономным волновым фронтом.

Можно построить проекцию поверхности, определяемой геодезическими длины в = 1 на координаты (х2,х3,х4) при ф =1, слева— р € [—8п, —п], справа— р € [п, 8п]. Эти геодезические перестают быть оптимальными при |р| > 2п. При достаточно больших р эта поверхность принадлежит некоторому конусу с вершиной в начале координат. Ось симметрии этого конуса — ось х4. Действительно, при больших значениях р из (24) следует, что

х4(г) = ~^ + ° (“2) (р^оо). (26)

В плоскости (ж2, ж3) частица движется по окружности радиуса -щ. Расстояние от начальной точки до конечной меняется от 0 до ■щ. При достаточно больших р геодезим

ческие длины й принадлежат внутренности конуса с углом наклона у^и вершинои в начале координат.

4. Расстояние, пройденное частицей в направлении координаты х4

В подпространстве (х2,х3) частица движется по окружности. Найдем значение параметра Ь, при котором конец геодезической находится над начальной точкой в подпространстве (х2,х3,х4).

Конец геодезической находится над начальной точкой при рЬ = 2пк, к € Ъ. Используем ряд Тейлора для уравнения (24) в точке р = + в, в —> 0:

Ь2 Ь3

х4(г) =-ср—+ср^-т^в + °(в2) (в —> 0). (27)

Так как Ь = в, расстояние, пройденное частицей в направлении координаты х4, имеет порядок ф^.

Для распределений с положительно определенным метрическим тензором известна теорема о множестве достижимости [19, 20]. В координатной окрестности любой точки можно выбрать векторные поля в*, образующие базис распределения А. Поле плоскостей, порожденное коммутаторами всевозможных векторных полей распределения А,

обозначается A2 = [A, А]. Можно также рассматривать Ak+i = [Ak, А]. Эта последовательность стабилизируется: существует минимальное т такое, что Am = Am+i. Число т, которое может зависеть от точки многообразия, называется степенью неголономно-сти распределения A. Обозначим nk = dim Ak и определим функцию ip(i) = j, если nj_i < i ^ nj. Функция ф задана на множестве чисел {1,..., dim Am} со значениями в {1,.. .,т}. Для вполне неголономного распределения на римановом многообразии существуют такие координаты xj, что множество достижимости оценивается сверху и снизу множеством |xj| ^ . Для двумерного распределения на трехмерном много-

образии имеем no =0, ni = 2, П2 = 3. Следовательно, функция ф(1) = 1, ф(2) = 1, ф(3) = 2.

5. Лагранжев формализм для уравнений движения

Распределение A определяется с помощью дифференциальной формы wx =

3

У~] Ai(x)dxi + dx4. Уравнения Эйлера—Лагранжа для функционала длины (10) при

i=0

условии W7(t)(7'(t)) = 0 имеют вид

ао (——, • \ + Alv + \duj(Af, •) = 0, (28)

\ dt /

где ковариантная производная

3 k 3

^ = (»)

k=0 i,j=0

V — симметричная связность, согласованная с метрикой, и вектор скорости Y(t) =

3

У~] vk(t)ek(^(t)). В методе Эйлера—Лагранжа также необходимо учитывать постоян-

k=0

ную ао ^ 0 [11, с. 279]. Параметры ao, X определены с точностью до положительного множителя. При ао = 1 получим уравнения регулярных геодезических, при ао = 0 — анормальных геодезических. Проектируя уравнения движения на базис распределения A, получаем

ао/ —-, еД + А^^с4^ = 0, * = 0, ...,3. (30)

' t j=o

4

Структурные постоянные определяются следующим образом: [£j, £j] = ^2 cj£1, где £j =

1=0

ej, j = 0,..., 3, £4 = 84. Тогда A [ej, ej] = -Fij84, [ej, 84] = 0. Поэтому c4j = Fji, а все остальные структурные постоянные равны нулю. Так как wx(d4) = 1,

ао ^4\ + А = 0. (31)

Summary

V. R. Krym, N. N. Petrov. The equations of motion of a charged particle in the five dimensional model of the general relativity theory with the nonholonomic four dimensional velocity space.

A nonholonomic distribution defined by the differential form ш = Aodx0 + Aidx1 + A2dx2 + A3dx3 + dx4 on a five dimensional smooth Lorentzian manifold is studied. By means of the Pon-tryagin’s maximum principle we proved that the equations of the horizontal geodesics for this distribution are the same as the equations of motion of a charged particle in the general relativity theory. Thus a model of Kaluza—Klein theory is built by means of sub-Lorentzian geometry. We study the geodesics sphere which appears in a constant magnetic field and its singular points.

Литература

1. Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within // Preprint IHES/M/94/6 (Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 1994).

2. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985. 400 с. (Beem J., Ehrlich P. Global Lorentzian geometry. NY, 1981).

3. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №3. С. 517-528.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

5. Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. М.: Гостехиздат, 1956.

6. Bailin D., Love A. Kaluza—Klein theories // Reports on Progress in Physics. 1987. Vol. 50. P. 1087-1170.

7. Крым В. Р. Гладкие многообразия кинематического типа // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №2. С. 264-281.

8. Крым В. Р., Петров Н. Н. Каузальные структуры на гладких многообразиях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2. №9. С. 27-34.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

10. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

11. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

12. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Серия математика и механика. 1959. №2. С. 25-32.

13. Петров Н. Н. Существование анормальных кратчайших геодезических в субримановой геометрии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1993. Вып. 3 (№15). С. 28-32.

14. Bonnard B., Chyba M. Singular trajectories and their role in control theory //

Mathematiques & Applications. Vol. 40. Paris: Springer, 2003. 357 p.

15. Montgomery R. A survey of singular curves in sub-Riemannian geometry // J. Dynam.

Contr. Syst. 1995. Vol. 1. P. 49-90.

16. Montgomery R. Survey of singular geodesics // Progress in Math. 1996. Vol. 144. P. 325-339.

17. Kupka I. Sub-Riemannian geometry // Asterisque. 1997. Vol. 241. P. 351-380.

18. Kupka I., Oliva W. M. The non-holonomic mechanics // J. Differ. Equ. 2001. Vol. 169. N1. P. 169-189.

19. Гершкович В. Я. Двусторонние оценки метрик, порожденных абсолютно неголономны-ми распределениями на римановых многообразиях // Докл. АН. 1984. Т. 278. №5. С. 1040-1044.

20. Trelat E. Non-subanalyticity of sub-Riemannian Martinet spheres // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. Math. 2001. Vol. 332. N6. P. 527-532.

21. Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics // J. Diff. Geom. 1985. Vol. 21. №1. P. 35-45.

22. Jean F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls. // J. Dyn. Control Syst. 2001. Vol. 7. N 4. P. 473-500.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.