Напряженно-деформированное состояние неоднородного стержня при вынужденных продольных колебаниях Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Павлова Т.А., канд. техн. наук, доцент, ФГОУВПО Орловский государственный агарный Университет

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ

рау!оуа tatyana@-mail.ru

В данной работе на примере элементарной один раз статически неопределимой неоднородной однопролетной балки исследуется влияние на напряженно-деформированное состояние резонанса вызванного совпадением частоты вынуждающей силы с первой собственной частотой стержня. Ключевые слова: продольные колебания, консоль, напряжения, неоднородный стержень.

Одной из основных задач строительной отрасли является повышение качества и безопасности конструкций при экономичном использовании материальных ресурсов.

Практика эксплуатации сооружений дает пример того, что возможны ситуации, когда реальная конструкция отличается от расчетной схемы или сооружение подвергается действию запроектных нагрузок. Причинами разрушений могут выступать как воздействия, не предусмотренные условиями нормальной эксплуатации конструкций, связанные с чрезвычайными ситуациями, так и грубые человеческие ошибки. В связи с этим актуальным направлением теоретических и экспериментальных исследований является разработка методов и алгоритмов расчета, которые учитывали бы эволюционные и внезапные повреждения системы. При этом важными являются задачи, которые наиболее полно и адекватно учитывали бы механические свойства реальных материалов, геометрические особенности конструкций, условия опи-рания и взаимодействия их элементов.

В монографии [1] на энергетической основе без привлечения аппарата динамики сооружений даны методики теоретического анализа процессов деформирования и разрушения балочных и стержневых систем от различных запроектных воздействий. Однако при проектировании конструкции необходимо иметь возможность прогнозировать и влиять на динамические характеристики элемента конструкции. Одной из таких возможностей является подбор соответствующего профиля. Развитию теории и практических методов расчета балок при динамическом воздействии и внезапных структурных изменениях посвящены работы [2, 3].

Рассмотрим продольные колебания консольного неоднородного стержня под действием переменной осевой силы приложенной к свободному концу (рис. 1). Неоднородность заключается в том, что площадь поперечного сечения изменяется вдоль оси по произвольным законам. Уравнение свободных продольных колебаний стержня имеет вид [4]:

| (* (- ж уи ^

(1)

где г — осевая координата (0< <1); I — длина стержня; ( — время; и = и (-, ^) — продольное смещение поперечного сечения; Е, р — соответст-

венно значения модуля Юнга и погонной плотности; А — площадь поперечного сечения.

шишнт

I

7— 4

Рис. 1. Расчетная схема. Введем безразмерные параметры

г = - к=и Т=±

д I' I' т I \

Е

_0

Ро

0 =

ЕА

Ео Ао

£ =

РА Ро Ао

где Ео, ро, Ао — некоторые значения механических и геометрических характеристик стержня. Будем считать, что Е и р постоянны, а поперечные

размеры изменяются вдоль оси стержня.

Уравнение (1) приводится к безразмерному виду

д2К д2Г

(2)

д£2 4 ' дт2'

и должно удовлетворять граничным условиям

V (1, т) = о, V '(о, т) = Р, (3)

где

Ч() = О' Р = А(о)Е(о) •

Для формулировки начальных условий используется решение соответствующей статической задачи.

V (,о) = V, (&

где — статическое смещение попереч-

ных сечений под действием силы Р, т.е. свободные колебания вызваны только первоначальным деформированием стержня данной силой.

В итоге задача сводится к интегрированию однородного уравнения (2) с неоднородными граничными условиями (3).

Выберем функцию V в виде:

дК

дт

= о,

(4)

р

г=о

У(й,т) = У-(й,т)+У; (й,т). (5)

Подставляя представление (5) в (2), получим уравнение для функции У;:

\Т " + ш2Т = 0, \а" + да' + ш2 а = 0,

(11)

д 2У; дй2

+ д(й)

X д X

дй дт2

где

= к (й,т),

где

^д 2У

К(й, т) = - ^ + д(й)

I дй

дУ2 д У ^

дй дт2

(6)

(7)

вид

Граничные условия для функций У; и У2 имеют

у (1,т)=0, У1(0,т)= 0 и У2 (1,т)= 0, у;(0,т) = Р (8)

Найдем вначале решение соответствующего однородного уравнения (6), с однородными граничными условиями (8):

а" + да' Т" 2

-= — = —ш .

аТ

Первое из уравнений системы имеет вид уравнения свободных колебаний системы с одной степенью свободы; оно выражает простое гармоническое колебание с частотой ш. Второе уравнение определяет форму свободных колебаний. При его интегрировании удобно воспользоваться методом начальных параметров:

а" + да' + ш2 а = 0. (12)

Исключим из уравнения (12) слагаемое, содержащее первую производную а с помощью подстановки

д2У дУ д2У

д У- + д(^)дУ- — дУ- = 0.

(9)

дй2 4 7дй дт2 Разделяя переменные в уравнении (9) подстановкой

У = а(й)Т (т), (10)

получим систему

1 «

/ Ч —Ю-С а = /(й) 0 .

Уравнение (12) примет вид:

/''+/• а (й)=0,

где

О" (О')2

а (й)=

ш2--

- + -2О 4О2

Решение для уравнения (14) найдено в работе [4]

Г = Г [У\й + ГзУ2 й + Г2 А, (й) + Гз А2 (й)] + ГГ [* (й) — У2 й + А, (й) — А2 ()],

Г' = /0 [ у- (й)+Гз у2 (й)+Г2 А1 (й)+Гз А2 (й)] + г-Г [у- (й)—у2 (й)+а; (й)—а; (й)] ,

(13)

(14)

(15)

(16)

где

у; (й) = а

Г0= . с/. (0),

у2 (й) = а

^4 -а(й,0,

У2 (0) —

й 2

й,0) = |л/0п, /0 = е с у (0), . =;

.=-

юУ4 (0)

^2 =■

4 а(0)

2У4 (0)

^3 =■

4 а(0)

2У4 (0)

а .. =йя(Я,г)..(г)г, а'. *.м*, ~(й)=-4^, ий)= 1 а' 5 га°

0

-й

2а ^ (й)

4 а -61 а

' у- (й) у 2 й

у-(г ) у 2 (г),

(й) = ~(й)у. (й) + Е|Р)(й, и)у. (г, Н(й, г) = /•

и=; 0

Р(й, г ) = ~(й)Н (й, г ).

Разделяя переменные в граничных условиях (8) и подставляя их в первое уравнение системы (16) получим:

(г; ^+](у;(;)+А; (;))+12 (;)+А 2 м)(г3—г; ^Ю1^=0 ■

Представим функцию а (й) в виде

(17)

а (й)=ш2т(й)

(18)

где

е

2

0

(л л 1 Í(G')2

m(í) = 1 + —г ^---

vw ш2 4G2 2G

2 4G2 2G

После подстановки функций у . ) и констант ^ , ^2 и У3 с учетом (18)

в частотное уравне-

ние (17) получим:

(

у-q(0)+^ т?4 (0)-^5

1 im'(0)

+

4л[шш/4 (0)

' е -4Í.0 j . V

-+0 F(1,z )>-2 (г )d:

4шт' 4 (l) 0

8т7 4 (0)

V ™(í,0j . Л -+J Р(1,г ) (г )d:

4шт' 4 (l) 0

+

4ш

1 im1' (0)

-г- ^ ^4 ю+щ^

4Л/шт/4 (0) 8т' 4 (0)

= 0.

Асимптотическое представление частотного уравнения принимает вид

cosí ш| т

V 0

} т 12 (flA m' (0)+ 2q,(0)m(0) sinLj т * (f)df

—| sin ш|т 12 (ПпЛ cos ш|т 12 (n)dn

У „ххх 1 т'

4шт'2 (0) V 0

^ ( л ,, \

+

+ -

шт/4 (1)0 Ví

1 ( 1

ш

V 0 j

т'(0)+ Iq^^) (1)1 . í 1-Х ( ) í Л ——-^—— g(1)1 sin ш| т2 (п)пЛ sin| ш

4шт'2(0) 0 V í J

Корни уравнения (19) имеют вид [4]:

1

+ -

dí + I т 12 (ji)dn

(19)

Л

dí = 0.

0 + __2__

ш = ш +---г-Т-

n П п(2п-1) ( л 1

Л

ш°п i т2 лл 0

т'(0) + 2q(0)OT(0) .

( 01 У ^ sin ш1° |т 2 (í)dí

т'

'(0)

n

0

e(1) 1si ( -1 1

+ у' Isin

У4 (1)0

ет Iт 2 {пЫ

ní

ео5

л у ~ Iт 2 n)dn

+-

ш n

где

m'(0) + :,q(0)m(0)g(l)|sin(ш01 т Уг (n)dn|sinf ш°|т ^

т

'(0)

л ( 0Л У Л

ш | т 2 (n)dn

V П 0

dí

У

n

V0

=0

dí

+ (20)

ш0 = n(2n -1)

п 1 у 21т' 2 (^

о

Асимптотическое выражение для форм собственных колебаний, отвечающих частоте :

(21)

х

1

Г -

гп (й)=г

п0

ш'

(0)

соб

ш

й ;

шп Iш 2 (п)ап

л

п

V 0

+ -

ш

Ш (й)1

| б1п

ш ш' п

'(й)

0

й1

шп IШ2 (пУп

п

V t

(

соб

+ ш'(0) + 2д(0)ш(0) §.п

шп 2ш-4 (0)ш-4 (й)

t V л

(

й1

шп Iш 2 (пУп

п

V 0

+

(22)

шп Iш/ 2 (пУп 0

Л

Тогда формы колебаний с учетом соотношения (1з) имеют вид:

/п (й)

(2з)

а =- ,— .

п 4О

Так как каждый корень ТПп дает решение для

функции У (й, т), то полное решение однородной задачи (9) может быть представлено в виде бесконечной суммы

Подставим (24) в уравнение (6), умножая обе части выражения на функцию ап (й) и интегрируя от 0 до 1, получим уравнение для определения функций

а (т)

е;(т)+аб;+шп2бп (т)=к (т), (25)

где

У-=Е а та (й),

(24)

п=;

К (т) = —-

I к (й,тК (й)й

(26)

где бп = бп (т) — неизвестные функции, опреде- Iа2 (й)^й

ляемые из уравнения (2). При этом функция К (й, т) 0

должна быть разложена в ряд по однородным решениям задачи.

Общее решение неоднородного уравнения (25), найденное методом вариации произвольных постоянных имеет вид:

Г Л

б (т) =

С собш т + В бшш т + -

п

п

п

п

1 т

— I яп (п)

ш Л п

)81П шп (т — пП^П

Учитывая все выше изложенное, решение уравнения (2) будет определяться формулой:

У (й,т) = Е бп (т)ап (й) + У; (й, т),

(28)

где функция У2 (й,т), удовлетворяющая неоднородным граничным условиям (8) может иметь вид:

(27)

п п

п 0 ^

Таким образом, согласно формуле (з0) для вычисления коэффициентов Сп необходимо решение

статической задачи.

Задача о растяжении бруса продольными силами решается следующими формулами: напряжение в

Р

st

У2 = Р

Гй2 з 22

Л

А(г )

. Согласно

(29)

При т = 0 выражение (28) примет вид

У (й,0) = У;(й,0)+У2 (й,0) = У^ (й).

Используя свойство ортогональности собственных функций ап (й), определим из последнего уравнения коэффициенты Сп, умножая обе части на

ап (й) и интегрируя по 4 от 0 до 1:

;Г Л

произвольном сечении ъ равно О =

закону Гука

ди t (г, t) о = Е (г £ = Е (г -.

дг

где £ — относительное удлинение.

Исключая О из двух последних формул, получим уравнение для перемещений:

Р

st

= £ .

А (г )Е (г ) Таким образом

(з1)

С = п

У —У

2

ап (йЛй

Р^ _дUst(t)

I а2п (й)й

0

(з0)

Переходя к безразмерным величинам и учитывая, что Е=сош(, имеем:

п=;

dV

st

P

st

dg G(g)'

Интегрируя последнее, получим:

dg

Следовательно, статические смещения поперечных сечений стержня вычисляются по формуле:

Г , . Л

Vt=-Pt

st st

V = P f st st1 G(g)

+ C.

'_ dg

dg _

G(^)"lJ G(g)

g = 1

(32)

Постоянную интегрирования С находим из граничного условия в заделке:

(

Vst(1)= 0, C = -Pst f

dg

G(Ü

Полагая в начальный момент скорости точек упругой линии стержня нулевыми, т.е. полагая

У (й,0) = 0, получим Бп= 0.

g = 1

После выполнения соответствующих подстановок уравнение продольных колебаний (29) примет вид:

V = ZЦ0\ Cn cos й7„т + — f Rn (n)sin (t - n)dn

n=i \G \ J

=; 40

Формула (зз) позволяет рассчитывать движения свободного конца консоли с произвольными законами изменения площади поперечного сечения вдоль оси стержня при воздействии на свободный конец переменной осевой силы.

Рассмотрим движения концевого сечения для консоли с круглым или квадратным поперечным сечением для трех случаев закона изменения площади

поперечного сечения: 1) в=1; 2) 0 =(- + й) ; з) О = (- — 0.5й)2. При совпадении частоты вынуждающей силы с первой собственной частотой стержня возникает наибольшее отклонение и соответственно наибольшее напряжение в заделке.

Анализ графиков движения концевого сечения показал, что наибольший амплитудный размах наблюдается у однородного стержня. Этот факт не противоречит действительности и подтверждает правильность решения. Вычисленные напряжения в заделке при максимальном отклонении показали, что:

1. однородный стержень (случай 1) испытывает напряжения почти в 2,5 раза большие, чем стержень, у которого площадь поперечного сечения на свободном конце в 4 раза меньше, чем в заделке (случай 2);

2. однородный стержень (случай 1) испытывает напряжение почти в з,5 раза больше, чем стержень, у которого площадь поперечного сечения на свободном конце в 4 раза больше, чем в заделке (случай з);

3. стержень, у которого площадь поперечного сечения в заделке больше, чем на свободном конце (случай 2) испытывает напряжения в 1,4 раза больше чем стержень, площадь поперечного сечения которого в заделке меньше, чем на свободном конце (случай

з).

Таким образом, влияние резонанса приводит к росту максимальных напряжений. Поэтому в дополнение к основным расчетам конструкции следует

( £2

+P

g2 3

Л

2

(33)

У

учитывать и расчет на возможные нештатные воздействия. В качестве последних необходимо рассмотреть внезапные выключения линейных и угловых связей, расслоения, обрывы, отколы и тому подобные явления. Кроме того, следует проводить дополнительные расчеты, учитывающие изменения механических и геометрических характеристик стержня. По результатам таких расчетов и анализа возможных схем разрушения необходимо предложить соответствующую защиту элементов конструкции от нежелательных воздействий и тем самым обеспечить надлежащую прочность и жесткость.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гениев, Г. А. Прочность и деформативность железобетонных конструкций при запроектных воздействиях [Текст] / Г.А. Гениев, В.И. Колчунов, Н.В. Клюева, А.И. Никулин, К.П. Пятикрестовский. - М.: Изд-во АСВ, 2004. - 216 с.

2. Павлова, Т.А. Динамические явления в армированной балке, при внезапном разрушении одного из материалов [Текст] / Т.А. Павлова // Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии (XVII Научные чтения): Материалы научно-практической конференции. (5-7 октября 2005г., Белгород) - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2005. - №10. - с. 418-421.

3. Минаева, Е.Д. Продольные колебания неоднородного стержня [Текст] / Е.Д. Минаева // Механика неоднородных деформируемых тел: методы, модели, решения: Материалы II международной научно-технической конференции (5-8 октября 2005г., Севастополь) - Изд-во ОрелГТУ. - с. 121-130.

4. Гордон, В. А. Метод решения задач механики неоднородных тел [Текст] / В.А. Гордон, В.С. Шоркин, М.И. Борзенков. - Орел: ОрелГТУ, 2005. - 161 с. ISBN 5-93932-098-8

f