Определение спектра поперечных колебаний стержней, нагруженных продольной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 225-231

Механика

УДК 539.3:539.384.4

Определение спектра поперечных колебаний стержней, нагруженных продольной нагрузкой

Ю. А. Чадаев

Аннотация. Рассматривается упругий стержень в рамках гипотез Бернулли, нагруженный продольной нагрузкой, не зависящей от времени. В постановке задачи учитываются квадраты углов поворота сечения, что приводит к известным уравнениям устойчивости прямых стержней. Рассмотрены граничные условия для следящей и мертвой нагрузок на концах. Приводятся безразмерные уравнения состояния. Получено аналитическое выражение для фундаментального решения задачи о свободных поперечных колебаниях. Приведены зависимости первых четырех собственных частот от сжимающей нагрузки.

Ключевые слова: сжато-изогнутый стержень, поперечные

колебания, спектр.

Постоянное развитие отраслей промышленного, гражданского и энергетического строительства подразумевает наличие стержней в качестве основных несущих элементов строительных конструкций. Основной нагрузкой на вертикальные элементы каркаса строительного сооружения является вес элементов конструкции и пространственная система сил, обусловленная присоединением горизонтальных элементов каркаса, плит перекрытия, массой установленного оборудования и т. д. Таким образом, моделью каркасного здания является система упругих стержней, часть из которых нагружена продольными сжимающими нагрузками. Сжатые стержни широко применяются в строительной практике. Несущая способность этих элементов зависит не только от площади их поперечного сечения, но и от длины, условий закрепления, формы поперечного сечения, материала. Необходимо отметить, что массовость применения модели требует учитывать как статический, так и динамический характер нагрузок. В данной статье приведён обобщённый метод решения некоторых задач для стержней, нагруженных постоянной по длине силой.

При постановке задачи была выбрана геометрически нелинейная формулировка о динамических состояниях прямого стержня. Нелинейность

заключается в том, что при варьировании деформированного состояния в уравнении Лагранжа-д’Аламбера учитываются слагаемые, пропорциональные квадратам углов поворота. При вычислении напряжений по закону Гука нелинейными составляющими пренебрегаем. Считаются справедливыми гипотезы Бернулли [3, 5]. Принята декартова система координат, в которой ось х — ось стержня, оси у и г — главные центральные оси инерции поперечного сечения.

Дифференциальное уравнение плоского динамического изгиба с учетом влияния продольной силы [2, 1]:

Е7г/у + рАг — [^(ж, £)в + N (ж, £)в; ] = ду, (1)

где г — поперечное перемещение; N — продольная сила, которую считаем известной гладкой и непрерывной функцией координат и времени; в = г1 — угол поворота сечения, Е; р — модуль Юнга и плотность материала; А, .] — площадь и главный центральный момент инерции поперечного сечения; ду (ж, £) — распределенная поперечная нагрузка; £ — время; (/) — производная по продольной координате; (•) - производная по времени.

На торцах стержня могут быть заданы силовые

Е7г"(£) — М (£) = 0; Е7г"(0) + М (0) = 0,

—£7г'"(£) + N (£)в(£) — £(£) = 0, (2)

Е7г'"(0) — N (0)в(0) — ф(0) = 0

или кинематические

г(0) = 0, в(0) = 0, г(£) = 0, в(£) = 0 (3)

граничные условия, а также смешанные условия, определяющие допустимую пару силовых и кинематических условий.

Отметим, что второе слагаемое во второй и третьей строках формул (2) представляет собой проекцию продольной силы на нормаль к деформированной оси в начале или конце стержня и отлично от нуля только при «мертвой» продольной силе, направленной вдоль недеформированной оси стержня. При «следящей» же силе это слагаемое следует опустить, так как «следящая» нагрузка всегда направлена по касательной к оси и в начальном, и в деформированном состояниях.

Начальные условия:

г(ж, 0) = V(ж); в(ж, 0) = 0(ж); г(ж, 0) = Уу(ж); в(ж, 0) = Оу(ж). (4)

Приведем уравнение (1) к системе уравнений первого порядка:

. . М .

г = в; в = —; М = ф;

ф' = N(ж,£) ■ в + N^’£) М + рА) = ^у. (5)

Причем даже при постоянных параметрах стержня коэффициенты последнего уравнения из (5) зависят как от координаты, так и от времени. Пока будем считать, что продольная сила не зависит от времени, что позволяет разделить переменные в уравнениях (1) и ( 5).

Приведем систему уравнений состояния в безразмерном виде, используя относительную координату £ = ж/£, безразмерные переменные: ет = г/Ь, 0, ^ = М£/Е7, 0 = д£2/£7, п2 = Ж£2/£7, т* = ^/ЕА, Ъ = %£2/£7, =

= ш2Т2 = рА£4/Е7, Тх = р£2/ЕТ2 = рА£4/Е7, г2 = (Тж/Ту)2 = 7/А£2 -безразмерный радиус инерции сечения и безразмерное время т = £/Т. Тогда уравнения состояния (5) упрощаются:

Ф'(£, т) = Аф(£, т) - Мф(£, т) + 7(£); ф = {ет 0 ^ 0} ;

А =

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 ; М = 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 дії К(£)] п2(Є) 0 1 0 0 0

7 = {0 0 0 7у({,г)}

(6)

Если продольная сила постоянна по длине, то щ [п2(£)] = 0, третий коэффициент последней строки матрицы А в (6) будет постоянным и решение уравнения из (6) можно легко получить, например, используя преобразование Лапласа. Тогда ненулевые компоненты нормированной матрицы фундаментальных решений задачи динамического изгиба имеет вид: 1

^1,1 = у [(Р2 - п2) еИ (р1£) + (р3 + п2) ео8(рз£)] ;

Р1-П 8Ь (рі *) + Рз±П. 8ІП(РЗЇ)

Рі Рз

эЬ (рі{) 8ІП (рзО

Рі

Рз

VI,3 = ^ [сЬ (рі{) - 008 (РзС)] ; ^1,4 = ^

^2,1 = П4УМ; ^2,2 = ^1,1; ^2,3 = — [р? сЬ (рі£) + р2 008 (рзО] ;

^2,4 = Уі,з; Уз,1 = ПХз; Уз,2 = П4УМ;

^3,3 = — [Рі сЬ (рі£) + Р2 008 (рз£)] ;

^3,4 = ^2,3; У4,1 = П4 У2,з; V4,2 = П4Уі,з;

О4 + ріп2 , П4 - р^2 . '

эЬ (рі{)---------------------8ІП (рз{)

^4.3 = -

Р1

Р3

^4,3 = V™ ;

/2

- = ^4П4 + п4; Р1 = 4-

(7)

Учитывая использование для решения неоднородной задачи (6) метода модального разложения [4], рассмотрим сопутствующую ей однородную задачу при 7 = 0. Решение однородной задачи можно представить в виде:

Ф(£, П) = V(£, П)Ф(0, П) = V(х, П)Фо(П),

Фо = в у 0} (0, П). (8)

Здесь Фо — вектор начальных параметров состояния — имеет смысл

амплитудных функций предположении, что состояние стержня может быть представлено по методу Фурье:

ф(С,г) = Ф(С)еШт. (9)

Параметр П имеет смысл безразмерной частоты свободных колебаний стержня.

Граничные условия (2), (3) в безразмерном виде выглядят так:

Уо + Уь = 0; У(1) — Уе = 0;

0о — п2(0)во — 0ь = 0; —0(1) + п2(1)в(1) — 0е = 0; (10)

ет0 = 0; во = 0; от(1) = 0; в(1) = 0,

где нижний индекс 0 обозначает компоненты вектора начальных параметров, индекс Ь — внешний силовой фактор, приложенный в начале, а индекс е — то же в конце стержня.

При определении спектра безразмерные внешние силы и моменты 0е, 0ь, уе, уь следует считать нулями.

Ниже приводятся результаты вычисления зависимостей безразмерных собственных частот от безразмерной продольной силы для различных видов закрепления стержня (рис. 1-4).

■■■ о, ♦ ♦♦ П2 ••• 03 АДА СХ. — N4,, .... N,*2 N,*3 ... ц* у —ш * ч

У 1 1

■ ■ 300 *** ■ ^ • ■ 1 ■ 0 1 ААААА4 00 2 АА 00 3

П

Рис. 1. Зависимость безразмерной собственной частоты от безразмерной продольной силы при шарнирном опирании концов

Приведенные рисунки имеют одинаковый признак: монотонно

возрастающие с увеличением продольной силы кривые, имеющие начало в

Рис. 2. Зависимость безразмерной собственной частоты от безразмерной продольной силы при защемленном начале и свободном конце (мертвая

нагрузка)

Рис. 3. Зависимость безразмерной собственной частоты от безразмерной продольной силы при защемленном начале и скользящей заделке на конце

зоне отрицательных ее значений (не рассматриваем отрицательные частоты). Все кривые не пересекаются и напоминают вложенные параболы. Отметим, что вершине парабол соответствует вертикальная касательная, причем соответствующее ей значение продольной силы соответствует критическим силам статических задач.

Например, из рис.1 видно, что линия п = 0 дает корень частотного уравнения при отсутствии продольной силы: Оо = 4.73. При значении сжимающей силы п2 = —4п2, равной безразмерной критической силе Эйлера,

>* * Ш| *** 1 ■ ■■ П: ♦ ♦♦ С>2 • •• Оз А А А О, N«[.1

1 ■ ■ ■ ; / / • ^Я>2 ■ ^крз ■ N^4 ♦♦♦

/: ■ ; ■ , ■ • ■ ; ■ ■ г

300 - 200 - 100 О 100 200 300

Рис. 4. Зависимость безразмерной собственной частоты от безразмерной продольной силы при защемленном начале и шарнирном опирании

на конце

корень уравнения равен нулю, что подтверждает вывод о том, что существует универсальная для различных условий закрепления зависимость вида:

п£ (п) = п£ (0)

1 +

п2

к = 1,2,3,..., (11)

О У

где ^ (о) — частота свободных поперечных колебаний при отсутствии

влияния продольной силы на изгиб; (п^р к)2 — статическое значение

( 4 2

критической силы, для любой схемы закрепления эта величина равна ( ^ у — коэффициент приведения длины.

На всех графиках линии определяются сочетанием маркеров; видно, что, кроме самой нижней, все линии определяются сочетаниями маркеров. Этот факт можно объяснить следующим образом: по достижении

сжимающей нагрузкой первой критической силы колебания по первой форме прекращаются, начинается ее апериодическое развитие. В то же время по второй, третьей и т.д. формам продолжаются гармонические колебания, но вокруг экспоненциально развивающейся первой формы. Вторая частота становится первой, третья — второй и т.д. По достижении второй критической силы «выключаются» колебания по второй форме, третья форма становится первой и т.д. С точки зрения устойчивости движения появление первой апериодической составляющей соответствует

потере устойчивости по Ляпунову. Таким образом, потере устойчивости соответствует наименьшая, первая критическая сила (критическая сила Эйлера).

Список литературы

1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 340 с.

2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1957. 984 с.

3. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Часть 1. Статика стержней / М.В. Грязев [и др.]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 112 с.

4. Желтков В.И. Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости: дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. Тула, 2000. 262 с.

5. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 580 с.

Чадаев Юрий Андреевич (inbi@tsu.tula.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Determination of the transverse vibrations spectrum for rods

under longitudinal load

Y. A. Chadaev

Abstract. This is a review about an elastic rod under Bernoulli hypotheses. Rod is loaded with time-independent longitudinal load. In formulation of the problem we consider sections square rotation angles that leads to well-known equations describing stability of straight rods. Also we consider boundary conditions for tracking and dead load at both of rod ends. This article provides dimensionless equations of state, analytical expression for the fundamental solution of free transverse vibrations problem and shows first four fundamental frequencies dependence from the compressive load.

Keywords: compressed-bent rod, transverse vibrations, the spectrum.

Chadaev Yury (inbi@tsu.tula.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 17.01.2014