CC BY
103
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 539.3:539.384.4
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ, СЖАТЫХ ПРОДОЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ
Ю.А. Чадаев
Рассматривается упругий составной стержень в рамках гипотез Бернулли, нагруженный продольной нагрузкой, не зависящей от времени. В постановке задачи учитываются квадраты углов поворота сечения, что приводит к известным уравнениям устойчивости прямых стержней. Реализован подход метода начальных параметров, основанный на аналитических решениях уравнений состояния в статике и динамике. Общий алгоритм реализован на конкретных примерах.
Ключевые слова: сжато-изогнутый стержень, поперечные колебания, спектр.
Прямым составным стержнем принято считать такой, у которого жесткость и погонная масса являются ступенчатыми (кусочнопостоянными) функциями координат. С учетом определения стержня из [4], в котором принимается, что упомянутые характеристики являются непрерывными и гладкими функциями продольной координаты, составной стержень следует рассматривать как систему прямых стержней постоянной жесткости, имеющих общую прямую ось, то есть центры тяжести поперечных сечений составляющих стержней считаются лежащими на одной прямой. Для таких неразветвленных стержневых систем простейшая математическая модель может быть построена на основе метода начальных параметров (МНП) [1]. Фактически это означает решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочнопостоянными коэффициентами, для которых в точках разрывов первого рода в коэффициентах учитываются условия непрерывности решения: состояние в конце предыдущего участка является начальным для следующего. В терминах МНП это может быть записано следующим образом:
у <”+1) = V» (1„ )у М (1)
где у - вектор состояния стержня, то есть матрица-столбец, составленная из ненулевых компонент состояния стержня (перемещений, углов поворота сечения, крутящего и изгибающих моментов, продольной и поперечных сил); верхний индекс обозначает номер стержня; нижний индекс 0 относится к начальному состоянию.
Матрица У(х) есть нормированная матрица фундаментальных решений дифференциальных уравнений состояния, вычисленная в точке 0<х<Ь, (Ь - длина стержня). Считается, что уравнения состояния допускают представление решения для одного стержня в виде
у(х) = у(х)уо . (2)
Представление (2) допустимо в статике и динамике при вычислении собственных состояний; тогда в число аргументов следует добавить неизвестную частоту свободных колебаний ю, (все дополнительные аргументы опустим для сокращения записи).
Граничные условия в начале стержня удовлетворяются выбором части начальных параметров, очевидным из условий опирания начала стержня. Недостающие значения начальных параметров определяются из условий опирания конца стержня. При анализе свободных колебаний граничные условия однородные; система уравнений для определения начальных параметров - однородная линейная алгебраическая. Для расчета параметра ю имеем условие равенства нулю ее главного определителя, а вектор начального состояния находится нетривиальным решением этой системы.
Для составного стержня (1) очевидна формула, связывающая начальные параметры с состоянием конца стержня:
N
У к
I У(П (Ьп )
У 0 - У0 N У 0 . (3)
г(п)1
_к-1
Здесь произведение матриц фундаментальных решений следует рассматривать как матрицу влияния начального узла системы стержней, имеющего номер 0, на конечный узел, имеющий номер N. Термин «система стержней» следует понимать в вышеприведенном смысле, нумерация узлов 0,...^, нумерация стержней - 1,...,^ Таким образом, для одного стержня присутствуют узлы 0,...,1 и стержень 1, а матрица У01 представляет собой нормированную матрицу фундаментальных решений У(Ь).
Отметим, что матрица фундаментальных решений вычисляется в локальной координатной системе с началом в начале стержня, направление продольной оси - от начала к концу, оси у и х - главные центральные оси инерции поперечного сечения.
Применим МНП к задаче о поперечных колебаниях составного стержня. В рамках линейных свойств материала и гипотез Бернулли [4, 5] дифференциальное уравнение состояния прямого стержня, учитывающее влияние продольной силы на изгиб, имеет вид [2, 3]
Е^1¥ + рЛ\& - N'(х, г)0 + N(х, г)0"] = ду, (4)
где V- поперечное перемещение; N - продольная сила, которую считаем известной гладкой и непрерывной функцией координат и времени; 0 ^’-угол поворота сечения; Е, р - модуль Юнга и плотность материала, А;
I - площадь и главный центральный момент инерции поперечного сече-
ния; qy(x,t) -распределенная поперечная нагрузка; 1-время, (") - производная по продольной координате; (.) - то же по времени.
На торцах стержня могут быть заданы силовые
EJv"(Ь) - М (Ь) = 0; EJv"(0) + М (0) = 0;
- EJV""(Ь) + N(Ь)0(Ь) - 0(Ь) = 0; (5)
EJv'"(0) - N(0)0(0) - 0(0) = 0
или кинематические
v(0) = 0, 0(0) = 0, v(Ь) = 0, 0(Ь) = 0 (6)
граничные условия, а также смешанные условия, определяющие допустимую пару силовых и кинематических условий. Отметим, что второе слагаемое во второй и третьей строке формул представляет собой проекцию продольной силы на нормаль к деформированной оси в начале или конце стержня и отлично от нуля только при «мертвой» продольной силе, направленной вдоль недеформированной оси стержня. При «следящей» же силе это слагаемое следует опустить, так как «следящая» нагрузка всегда направлена по касательной к оси и в начальном, и в деформированном состояниях.
Начальные условия v(х,0) = V(х); 0(х,0) = 0(х); 1>(х,0) = Уу(х); 0(х,0) = 0у(х). (7)
Приведем уравнение (4) к системе уравнений первого порядка:
V = 0;
0 = М ;
ЕТ
М' = 0; <8)
0 - N'(х, і) в + У ) М + рЛу - ду,
N (х, і)
EJ
причем даже при постоянных параметрах стержня коэффициенты последнего уравнения из (8) зависят как от координаты, так и от времени. Пока будем считать, что продольная сила не зависит от времени, что позволяет разделить переменные в уравнениях (4) и (8).
Приведем систему уравнений состояния в безразмерном виде, используя относительную координату Х=х/Ь, безразмерные переменные Ш=у/Ь, в ц=МЬ/Ы, 0=QL2IEJ. n2=NL2/EJ, ух=цхЬ/ЕЛ, Уy=qyL2IEJ, W=cWT2=cWpЛLAIEJ, Tx=pL2IETy=pЛL/S,IEJ и безразмерное время т=і/Т. То-
гда уравнения состояния упрощаются:
V '(X, т) = Ау(Х, т) - м&|> (X, т)+у(Х);
V = {©■ 0 т 0};
"0 1 0 0" "0 0 0 0"
0 0 1 0 0 0 0 0
А= 0 0 X ;<х>] эх 0 1 ; М = 0 0 0 0
0 п 2(Х) 0 1 0 0 0
(9)
у = {0 0 0 Уу (X, т)}
э
Если продольная сила постоянна по длине, то — п2(Х) = 0, третий
коэффициент последней строки матрицы А в (9) будет постоянным и решение уравнения из (9) можно легко получить, например, используя преобразование Лапласа. Тогда ненулевые компоненты нормированной матрицы фундаментальных решений задачи динамического изгиба имеют вид
1 ,(р12 - п2 )?МР1Х)+ Й + п1 )со8(РзХ)]
V,1 =-
VI,2 = Т7
2 2 Р1 - п
Р1
2 + 2
?Л( Р1Х) + Р3 П 8ІП( РзХ)
Рз
У1,3 = I М(Р1Х)- соз(рзх)]; у1,4 = I
1
*МріХ) 8Іп( Р3Х)
Р1
Р3
У2,1 =^4у1,4; У2,2 = У1,1; У2,3 = —
У2,4 = У1,3; У3,1 = п4Уи; У3,2 = п4Ум;
Р1С^(Р1Х) + Р3 сов(Р3Х)
У3,3 = ^ [р!2сА(рі5)+ РЗСОЇ^Х)] У'3,4 = У2,3;У4,1 = П4Уг,3; У4,2 =п4Уу;
У4,3 = I
/~\4 . 2 2 гч4 2 2
П-+РП- sh( РіХ)-^--^ 8Іп( Р3Х)
Р1
Р3
; У4,3 = У3,3;
I = л/4П4 + п4; Рі =~~ліI + п2; Р3
5(10)
Использовав для решения неоднородной задачи (9) метод модального разложения [4], рассмотрим сопутствующую ей однородную задачу при т=0. Решение однородной задачи можно представить в виде
V (X, П) = У(Х, П )¥ (0, П) = У< х, П )¥ 0(П); ^ 0 ={® в т 0}(0, п).
(іі)
Здесь ¥0 - вектор начальных параметров состояния - имеет смысл ампли-
6
тудных функций в предположении, что состояние стержня может быть представлено по методу Фурье:
V (Х I) = . (12)
Параметр W имеет смысл безразмерной частоты свободных колебаний стержня.
Граничные условия (5), (6) в безразмерном виде выглядят так:
т0 + ть = 0; 11(1) -т е = 0;
0O -п2(0)00 -0ъ = 0; -0(1) + п2(1)0(1)-0е = 0;
(13)
Ш0 = 0; 00 = 0; га(1) = 0; 0(1) = 0.
Здесь нижний индекс 0 обозначает компоненты вектора начальных параметров, индекс Ь указывает внешний силовой фактор, приложенный в начале, а индекс е - то же в конце стержня. При определении спектра безразмерные внешние силы и моменты 0е, 0Ь, це, цЬ следует считать нулями.
Отметим, что для систем стержней безразмерные уравнения применить непосредственно не удастся, так как у каждого стержня свои безразмерные переменные и свое безразмерное время. Тогда для стержневых систем (или составных стержней) следует перейти к размерным состояниям, умножая слева матрицу фундаментальных решений на постоянную диагональную матрицу:
о п =
ь 0 0 0
0 1 0 0
0 0 Е I ^пи п ьп 0
0 0 0 Е I ^п^ п т2
(14)
Введение безразмерного времени нерационально; поэтому в уравнениях состояния следует сохранить физическое время. Тогда в аналитических выражениях (10) вместо безразмерной частоты W следует использовать размерную частоту
П2
-2Т2 Ю 1
2 рАЬ
4
ЕІ
(15)
Теперь для системы стержней матрицу влияния можно записать следующим образом:
У0 N (ю) = УЫ
2 рNANLN
ЕА1
NJ N
N-1
4 ^ 2 рпАпЬп
Е I пп
(16)
П °п+1°п у 1, ®
>=1 V
Структура произведения матриц показывает, что сначала происходит переход от безразмерных переменных предыдущего участка стержня к размерным, а затем - от размерных переменных к безразмерным перемен-
ным следующего участка. Следовательно, воздействием на систему являются безразмерные переменные начального участка, а выходом - безразмерные переменные последнего участка:
V N = Von (W)V о, (17)
и граничные условия следует принимать в форме (13).
В качестве примера применения метода рассмотрим задачу о поперечных свободных колебаниях стержня, состоящего из трех участков, рассмотренную в [3] (рис. 1).
/
Рис. 1. Конфигурация стержня [3]
Параметры стержня задавались следующим образом: материал стержня - сталь с модулем упругости Е=200 ГПа, р=7850 кг/м , длина стержня 1 м, сечение стержня - сплошной круг диаметром ё, соотношение размеров: а=Рі, 0<Р<1, ё2=1ь ё1=аё2. Параметр 1 принят 0.05 (то есть стержень тонкий); остальные параметры - соотношения длин Ь и диаметров а изменялись в процессе исследований.
Прежде всего было принято соотношение диаметров а=1, то есть стержень гладкий; изменялось соотношение длин: Р=0.2...0.8. Результаты расчетов для всех значений оказались идентичны; один из них при Р=0.25 (12=211) приведен на рис. 2.
Вертикальные линии - точки бифуркации гладкого шарнирно-опертого стержня.
На рис. 3 приведены результаты определения критической силы для разных соотношений размеров стержня (см. рис. 1).
Для сравнения полученных результатов (рис. 3) с результатами А.С. Вольмира [3] представим их в форме относительной критической силы К:
К _ Ркр1 J _
Р2 EJ2 2 64
8
Отметим, что обозначение параметра а в данной статье и в [3] различно: в статье - соотношение диаметров участков 1 и 2, в работе [3] - соотношение моментов инерции тех же участков, так что
а = 4 а
([3]
а 1 ♦♦♦ а 2
а 3 ■ а 4
— Ркр1
— Ркр2
— Ркг3
4Х103
Р
Рис. 1. Собственные частоты стержня (рис. 1) при равных Диаметрах (Р - сжимающая сила, кН)
1.5
♦ А - ' / ' J г / / 9
* ■ / . > а'
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 2. Зависимость относительной критической силы К от соотношения диаметров сх=й1/й2; сплошная линия - /3=0.8, пунктирная - /3=0.6, штриховая - /3=0.4, штрихпунктирная - /3=0.2
Из приведенного рисунка видно, что результаты совпадают, но метод начальных параметров более универсален по отношению к количеству участков стержня: формула (16) пригодна для любого количества участков
0
0.5
0
а
и всегда приводится к системе уравнений второго порядка, так как условия совместности при переходе от участка к участку выполняются автоматически. Кроме того, критическая сила определяется по первому скачку в значении первой собственной частоты (рис. 3), то есть в динамической постановке, что важно при решении неконсервативных задач.
Список литературы
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 592 с.
2. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. 340 с.
3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1957. 984 с.
4. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Ч. 1. Статика стержней // М.В. Грязев [и др.]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 112 с.
5. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 580 с.
Чадаев Юрий Андреевич, аспирант, inbi@,tsu. tula.т.Россия, Тула, Тульский государственный университет
TRANSVERSE VIBRATIONS OF COMPLEX RODS UNDER LONGITUDINAL LOAD
Y.A. Chadaev
This is a review about an elastic complex rod under Bernoulli hypotheses. Rod is loaded with time-independent longitudinal load. In formulation of the problem we consider sections square rotation angles that leads to well-known equations describing stability of straight rods. Implemented approach of method of initial parameters based on analytical solution of the equations of rod state in statics and dynamics. The general algorithm is implemented by specific examples.
Key words: compressed-bent rod, transverse vibrations, the spectrum.
Chadaev Yury Andreevich, postgraduate, inbi@,tsu. tula. ru, Russia, Tula, Tula State University
