CC BY
35
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 90-97
Механика =
УДК 642.074.4.042.7
Определение жесткостных параметров слабонеоднородных стержней по их динамическим характеристикам. Часть I
В. А. Гордон, П. Н. Анохин, Е. В. Брума
Аннотация. Дана постановка обратной задачи определения параметров слабонеоднородных стержней по их динамическим характеристикам. Задача решена путем определения распределения отклонений параметров исследуемого слабонеоднородного стержня от параметров эталона по полученным в результате эксперимента функциональным зависимостям виброперемещений середины стержня от времени.
Ключевые слова: слабонеоднородный стержень, эталонный
стержень, виброперемещения, динамические характеристики стержня, прямой метод решения обратной задачи.
Современная измерительная техника позволяет регистрировать виброперемещение определенных точек исследуемых конструкций в процессе свободных или вынужденных колебаний и преобразовать эти данные в функциональные зависимости динамических характеристик виброперемещений от времени. Эта информация регистрируется во время экспериментов, а соответствующие функции, полученные после компьютерной обработки, принимаются исходными данными для определения жесткостных параметров неоднородного стержня.
Распространение продольных упругих волн в неоднородном стержне описывается уравнением:
д ( dw \ d2w
dt(EK)*) -дТ2 = ftt.TJ, (1)
где введены безразмерные переменные и параметры:
x u t E* E(x)A(x) ... pix)A(x)
t = T , w =— , T =-\ ---------------, E(t) = ------—— ------, pit) = ----------:----
s Г Г IV p* ’ vs,; E*A* ’ FVS,; p*A*
I, А*, Е*, р* — некоторые значения геометрических и механических характеристик стержня.
Без снижения общности рассуждений предположим, что концы стержня защемлены:
Здесь и далее подразумевается, что работа ведется с безразмерными величинами, а все необходимые физические замеры и условия уже преобразованы к безразмерному виду.
Обратная задача идентификации коэффициентов уравнения (1) означает определение неизвестных переменных по координате £ механических параметров {E(£), р(£)}, когда известны функции {f(£,т), Ф(£)},
а также некоторые сведения о функции w(£,T) — экспериментальные данные, полученные в ходе замеров перемещений, вызванных заданными начальными условиями и продольной силой.
Рассмотрим случай слабой неоднородности и определим лишь один параметр — модуль Юнга E(£), в предположении, что второй параметр р известен и постоянен.
Для определения неизвестного параметра E (£) необходимо провести два эксперимента с различными начальными условиями и продольной распределенной нагрузкой. Перемещения w\(£,T) и w2(£,T) в этих экспериментах будут удовлетворять следующим дифференциальным уравнениям:
w(0, т) = w(1,T) = О,
(2)
а начальные условия имеют вид:
(3)
д_
w
= fi(t,T); (i = 12)
(4)
с граничными:
w1(0, т) = w1(1, т) = w2(0, т) = w2(1, т) = 0
(5)
и начальными условиями:
0)=
ф1(t),
w2(t, 0) = <£2(t), —
^2(t)-
В ходе экспериментов измеряется перемещение произвольного поперечного сечения стержня:
'Ш1(а,г) = Х1(т),
д,ш\ , .
~оТ =7 (т), (7)
д? (а,т)
W2(a,т) = Х2(т),
где а — расстояние от торца стержня до исследуемого сечения (0 < а < 1). Это расстояние может быть произвольным, однако желательно измерять перемещение вдали от границ, например, в середине стержня.
Необходимость и достаточность исходных данных (7) для решения обратной задачи обосновывается далее.
Обычная стратегия решения обратных задач определения коэффициентов дифференциальных уравнений [1] состоит в косвенном подходе, при котором минимизируется разница между вычисленным решением прямой задачи при известном подбираемом коэффициенте и экспериментальными данными. Численные методы позволяют найти коэффициент, минимизирующий эту разницу.
Большой интерес представляют прямые решения, то есть аналитические представления коэффициента через известные функции. Такие решения в большинстве случаев проблематичны, но если их удается найти, то с ними лучше исследовать существование, единственность и стабильность результата.
Рассмотрим вначале приближенное аналитическое решение обратной задачи в случае слабой неоднородности.
Для приближенного аналитического решения поставленной задачи используем метод решения обратных задач, предложенный в работах [2, 3].
Дадим определение слабой неоднородности жесткостных параметров стержня. Пусть существует некоторый однородный стержень — эталон с жесткостными параметрами (Е0,р), постоянными по длине стержня. Для стержня, параметры которого переменны по длине стержня, определим величину неоднородности относительно эталона как
тах |Е (£) - Е0|
Ятах = е€[0;11 Е 0------------100%. (8)
Неоднородный стержень, величина неоднородности которого Нтах ^ ^ 30%, будем считать слабонеоднородным. Выбор значения 30% обосновывается вычислительными факторами.
Представим жесткость слабонеоднородного стержня суммой жесткости эталона и некоторой функции Е£(£), величина которой не превосходит 30% от жесткости эталона по определению слабой неоднородности:
Е(£) = Е0 + Е £(£).
(9)
Далее полагаем Е0, как и р, известными.
Представим w1 = w1(С,т) в виде:
М1(£,т )= w0(С,т)+ w£(С,т), (10)
^е(^,т)| « 1.
Подставляя выражения (9) и (10) в первое уравнение (4), получим
(С, т) - /1 ({, т) = -Р2 ({, т) + Р ({, т), (11)
где
г. и- \ ^0 д2w0 д2w0
Р) = Е -щг -р~ы,
^ . ^0 д2w£ д2w£ д ( „£ дw0
Р ^ )= Е0 - Р+ *(Е V
Р (С,т) = -^(е£ дП]£
дЦ\ дС
Аналитическое решение задачи возможно в случае, когда выполнены следующие условия (не утверждается, что при невыполнении этих условий невозможно решить задачу аналитически, однако выполнения этих условий достаточно для аналитического решения указанным ниже способом):
- рассматриваются только собственные колебания, то есть /1 (С, т) = 0;
- начальные условия подбираются таким образом, чтобы в соответствующем эталонном стержне такие же начальные условия вызывали гармонические колебания;
- |Р2(С,т)|<|Р1(С,т)|;
- |Рэ(С,т)|«|Р2(С,т)|.
При выполнении всех указанных условий, уравнение (11) распадается на два уравнения:
е0 ^ - Р^ =0 (12)
с граничными и начальными условиями:
w0(0, т) = w0 (1, т) = 0, дw0
w0(С, 0) = Р1 (С),
(?,0)
(13)
= МО у 7
Е0 ^ - = -д ( ^' (14)
Е дС2 р дт2 дС Vе дС ' (14)
и
с однородными граничными и начальными условиями:
w£(0, т) = w£(1, т) = 0,
we(£, 0) =0,
dw£
~дт~
0.
(15)
(?,°)
Сопоставляя выражения (9) и (10) с экспериментальными данными (7) получаем дополнительные соотношения для решения задачи:
w£(a, т) = х£(т ) = xi(t) - w°(a, т),
dw£
dw°
= 'f (т) = y(t) - —-
(о,г) дё
(16)
(о,Г )
Для выполнения условия гармоничности колебаний в стержне-эталоне, перемещение w0(С,т) должно иметь вид
w°(£, т) = sin(ak()(B sin ат + C cos ат),
(17)
где а = пп, к = у/ EL., п е N, а начальные условия должны иметь вид
w°(£,0) = <pi(£) = C sin(ak^),
dw°
= Мё) = aB sin(ak^).
(?,°)
дт
(18)
Считаем параметры начальных условий В, С, п известными. Определим w£(С,т) из уравнения (14) с учетом начальных и граничных условий (15) и экспериментальных данных (16). Подставляя (17) в (14), получим:
- к2 ~д^Г = - д (Е£(ё)cos(ak£))(B sin ат + C cos ат). (19)
Применив оператор д2 + а2I (где I — единичный оператор) к уравнению (19), получим систему дифференциальных уравнений
д2У(ё,Т) _ k2 д2У(ё,Т) = 0
дё2 k дт2 0 (20)
^ , д^£(ё,т) 2 _ . (20)
V(£’T) = ---дТ2----+ а w (ё,т).
Для определения v(£, т) из первого уравнения системы (20) воспользуемся экспериментальными данными. Подставляя (16) во второе уравнение системы (20), получим
>’(а,т) = х°(т) = д Хт(т^ + «2Х£(т),
- = -I’(т)= д <' (т) + а27£(т)
дС (а,т) 1( ) дт2 + “^т)
Решая первое уравнение системы (20) с учетом (21) находим:
(21)
/ т+ка—к£
х’(т - ка + кС) + х’(т + ка - кС) + 1 I J 7’ (*0^
V—ка+к£
Найдем w£(С,т) из второго уравнения системы (20) с учетом (22):
w£(С, т) = С1(С) сов ат + С2(С) вт ат + Ш(С, т), (23
(22)
где
(т т >
8ш ат ь(С,г)со8 агйг - сов ат ь(С,г) 8ш агйг
где С1(С) и С2(С) — произвольные функции, определяемые из однородных начальных условий (15):
w£(С,0) = С1(С) + Ш (С, 0) = 0,
дw£
~дГ
= а^2(С) +
(?,0)
£1(С) = -ш (С, 0) 1 дШ
^(С) = - -
а дт
дШ
~дГ
(?,0)
(24)
(?,0)
Подставляя выражение (23) в (19), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно Е£(С). Решая его, находим
Е £(С) = -
Е0
ак сов акС
О +
1
В 8ш ат + С сов ат
д2w£(z,т) 2 д2w£(z,т) .
- к2------dz
дz2
дт 2
(25)
где О — произвольная константа, подлежащая определению. Ее можно установить, задав значение Е£ при С = 0:
0
х
X
Е 0 —
Е £(0) =---- = Е0£ ^
_ = Е0ак ак (26)
- Е0 .
Указанный алгоритм решения обратной задачи в случае слабой неоднородности прямым методом был реализован в специализированном программном обеспечении Мар1е.
Заметим, что в полученном решении (25) присутствует переменная т, хотя Е£ зависит только от С. Это указывает на то, что задача, вообще говоря, некорректна, что присуще большинству обратных задач. В то время как решение прямой задачи (нахождение колебаний) существует для любого стержня, решение обратной задачи (нахождение параметров стержня) существует не для всякой математической функции перемещений.
В случае, если данные эксперимента известны без погрешностей, то в указанном решении (25) все члены, содержащие время, сократятся и решение будет корректным. Если же данным эксперимента не соответствует ни один стержень, то решение содержит две переменные, то есть будет некорректным.
Определить условие существования решения в данном случае затруднительно и, кроме того, в реальности приходится иметь дело с погрешностями измерений, поэтому даже сформулированные условия существования решения мало что меняют, отвергая большинство возможных экспериментальных данных. В связи с этим рассмотренный метод представляет скорее теоретический, чем практический интерес.
Рассмотренный во II части метод подбора квазирешения лишен указанных недостатков.
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.
2. Гордон В.А., Анохин П.Н. Постановка и решение обратной задачи для продольных колебаний слабо-неоднородного стержня // Ударно-вибрационные системы, машины и технологии: матер. Междунар. симпозиума / Орел: ОрелГТУ, 2006. С. 11-14.
3. Ломазов В.А. Задачи диагностики неоднородных термоупругих сред. Орел: ОрелГТУ, 2003. 127 с.
Гордон Владимир Александрович (gordon@ostu.ru), д.т.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра высшей математики, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Анохин Павел Николаевич (gordon@ostu.ru), к.т.н., доцент, кафедра высшей математики, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Брума Екатерина Владимировна (sad.kafedra@yandex.ru), аспирант, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Definition of the stiffness parameters of weakly-heterogeneous rods on their dynamic characteristics. Part I
V. A. Gordon, P. N. Anohin, E.V. Bruma
Abstract. The formulation of the inverse problem of determining the parameters of weakly-heterogeneous rods on their dynamic characteristics is proposed. Problem is solved by determining the distribution of the deviations of parameters of the investigated rod from the parameters of the standard rod obtained by the experiment of the functional dependencies vibrodisplacements of the middle rod from time.
Keywords: weakly-heterogeneous rod, the standard rod, vibrodisplacement, the dynamic characteristics, the direct method of solving the inverse problem.
Gordon Vladimir (gordon@ostu.ru), doctor of technical sciences, professor, head of department, department of higher mathematics, State University ESPC, Orel.
Anohin Pavel (gordon@ostu.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of higher mathematics, State University ESPC, Orel.
Bruma Ekaterina (sad.kafedra@yandex.ru), postgraduate student, State University ESPC, Orel.
Поступила 29.03.2013
