CC BY
34
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 98-106
Механика =
УДК 642.074.4.042.7
Определение жесткостных параметров слабонеоднородных стержней по их динамическим характеристикам. Часть II
В. А. Гордон, П. Н. Анохин, Е. В. Брума
Аннотация. Дана постановка обратной задачи определения параметров слабонеоднородных стержней по их динамическим характеристикам. Задача решена косвенным методом подбора квазирешения, которое минимизирует разницу расчетных и экспериментальных функциональных зависимостей виброперемещения середины стержня от времени. Косвенный метод преобразует некорректно поставленную обратную задачу в корректно поставленную задачу подбора квазирешения.
Ключевые слова: слабонеоднородный стержень, эталонный
стержень, виброперемещения, динамические характеристики стержня, прямой метод решения обратной задачи, метод подбора квазирешения.
Задачу идентификации коэффициентов уравнения в случае слабой неоднородности материала можно решить методом подбора квазирешения [1]. Этот метод накладывает некоторые ограничения на характер неоднородности жесткостных параметров стержня, но поскольку решение может носить только приближенный характер (из-за того, что экспериментальные данные в любом случае известны не точно, а с некоторой погрешностью), это не сказывается существенно на точности полученного решения. В то же время этот метод хорошо обоснован и широко применяется при решении обратных задач, что позволяет сделать вывод о его применимости к решению поставленной задачи.
Метод подбора квазирешения состоит в решении прямой задачи для элементов некоторого заранее заданного подкласса возможных решений и определении такого элемента, который минимизирует разницу полученного решения прямой задачи и данных эксперимента.
Представим жесткость слабонеоднородного стержня в виде суммы жесткости эталона и некоторой функции Е£ (£), величина которой не превосходит 30% от жесткости эталона по определению слабой неоднородности:
Е(С) = Е0 + Е 2(С).
(1)
Далее полагаем Е0, как и р, известными.
Представим выражения продольного перемещения стержня в первом (■Ш1 = -Ш1 (С,т)) и втором (-Ш2 = ^2(С,т)) экспериментах в виде
М1(£, т) = ^(С, т) + ад|(с, т),
^2(С,т) = ^(С.т) + м|(С,т),
К(С,т)| < 1,
К(С,т)| < 1
Подставляя выражения (1) и (2) в уравнения (4) из [2], получим:
(2)
д2-ш° д2ад°
{ ^ (С, т) - /*(С, т) = ^2 (С, т) + ^ (С, т)
^(г)(С,т ) = Е(
К>(г)(С,т ) = Е(
*3(<)(С,т) = § (Е2^
дС2
д2-ш,2
Ж
р
р
дт 2 д 2 ад2
д
-
д?/;0
_____^ I____| Е2 дШ"
дт2 дС \ дС
(г = 1,2) (3)
Решение задачи методом подбора квазирешения возможно в случае, когда выполнены следующие условия:
V(г г2 )(С,т) < )(С,т ) V* = 1, 2
V(* г3 )(С,т) < V(* г2 )(С,т ) V* = 1, 2
При выполнении всех указанных условий уравнения (3) распадаются на два уравнения:
Е
Е
д 2„,0 0 д Ш1
дС2
0 д^0
дС2
р
р
д 2-ш°
дт 2 д 2^0
дт 2
/1(С,т), /2(С,т )
(4)
с граничными и начальными условиями:
^0(0, т) = м?(1, т) = ^0(0, т) = ^0(1, т) = 0,
„0/л пЛ ^ д^0 '
^1(С>0) = ^1(С),
дт
™0(С>0) = ^2(С),
= ^1(С),
(?,0)
= ^2(С)
(5)
и два уравнения:
Е
Е
д2ш| д 2 ш
"аС2 р
0 д2ш1
дС2
дт2
д 2 ш2
- А М
дС V дС
д / дш0
- дё'Е£
дС
(6)
с однородными граничными и начальными условиями: ш|(0,т) = ш|(1,т) = ш|(0,т) == ш2 (1,т) = 0,
ш!(С, 0) = ш 2(С, 0) = 0,
дш|
"дт"
(5,0)
дш|
^7
0.
(7)
(5,0)
Сопоставляя выражения (2) с экспериментальными данными (4) из [2], получаем дополнительные исходные данные для решения задачи:
ш2(а, т) = X(т) = Х1(т) - ш^а, т), ш 2(а, т) = х2(т) = х 2(т) - ш0(а, т),
(8
Для решения дифференциальных уравнений (4) с начальными условиями
(5) воспользуемся формулой Даламбера:
5+кт
«кс, т)=у-(С+кт >+у-(С - кт >+2к / * (*) *+
2
т 5+&(т—х)
5—кт
(9)
+ 2 I I /(п,г)^г (г = 1,2).
0 5-к(т—х)
Из (6) с однородными граничными и начальными условиями (7) выразим перемещения «2 через неизвестную функцию Е2(С):
ш2(С,т) =
Л т — г \ дш0 ( т — г
Е' (С+—)-аТ (С + ~^'т] ~
-Е* (С - ^^ (С - — ,т
к
дС
к
(г = 1,2).
(10)
Для решения поставленной обратной задачи определения Е2 (С) необходимо решить систему интегральных уравнений (10) относительно неизвестной функции Е2(С) и известных данных эксперимента (4) из [2].
Определим множество подбираемых решений Е2(С) (0 ^ С ^ 1)
следующим образом. Рассмотрим п точек:
С" =
п - 1
I = 0, п - 1) .
(11)
В каждой точке С = С" определим значение Е* = Е2(С"), причем
1
Етіп ^ Е ^ Етах (* — 0, п — і) • (12)
Значения и Етах определяют минимальное и максимальное
априорно известные теоретические значения искомой функции Е£(£). Поскольку функция Е£(£) имеет физический смысл, и, кроме того, является малой функцией (не превосходит по модулю 30% от соответствующего параметра стержня-эталона), то всегда можно указать границы ее возможных значений.
Введем многочлены
П_ 1
£'«) = £ м‘. (13)
і=0
Подставляя п значений и Е в (13), получим линейную систему из п уравнений с п неизвестными
Еі — Ло,
Е2 — Ло + Лі------------- + Л2 ( --------г ) + • • • + Лга_і
п - і п - і п - і
І / І \2 / І ^ п_1
Е — Ло + Лі--------- + Л2 (-- ) + • • • + Лп_1
п - і п - і п - і
„ — Л0 + Л1 + Л2 + • • • + Лга_Ъ
(14)
откуда однозначно определяем значения Л*, г = 0,п - 1.
Многочлены (13) определяют пространство поиска, то есть все возможные решения обратной задачи. Определим расстояние между любыми двумя возможными решениями обратной задачи [3] в виде функции
1
1/2
РЕ (Е(1)(С),Е(2)(С))= [ I (Е(1)(С) - Е(2)(С))2 . (15)
0
Тогда множество решений
М = {Е*,г = 1,п} (16)
является компактным [4].
При достаточно большом п многочлены (13) позволяют с достаточно большой точностью аппроксимировать любую непрерывную функцию, для которой выполняются условия
Етп < /(Є) < Етах, £ Є [0, !]•
(17)
Лемма 1. Если функция Е1(С) является одновременно решением двух уравнений:
I Н t) - ^ = Л«,т).
IHt) - р(«) =/2(«.т)
с граничными условиями
wi(0, т) = wi(1, т) = -w2(0, т) = w2(1, т) = 0 и начальными условиями
dw1
(18)
(19)
wi(C,0) = ^i(C), w2(C, о) = ^(C),
' dW2 )
W)
дт
dW2
дт
(f,o)
= с
(f,o) dw1
"дС
= ^i(C), = ^2(С),
(20)
(21)
то не существует других функций Е(С), удовлетворяющих одновременно двум уравнениям (18) с теми же граничными (19) и начальными условиями (20).
Доказательство. Предположим, что существует второе решение Е2(С) = = Е1(С), которое удовлетворяет одновременно двум уравнениям (18) с граничными (19) и начальными условиями (20). Интегрируя уравнения (18), выразим Е1(С):
Ei(C) =
Ci
dWi
Ei(C)
= C2
dw2
~w
+
+
1
p(c)
д wi
dWi df ,/ 0
i f \ d2
+ Л(С,т)
dw2
~W) о
дт 2
I P(C + /2&т) d?.
dC,
(22)
Поскольку по условию леммы 1 Е1(С) известно, то можно считать константы интегрирования С1 и С2 в системе уравнений (22) известными. Выразим также второе решение Е2(С):
E2(C) =
E2(C) =
Ci
dwi
df
C2
+
+
1
dWi
df У 0 1
f
P(C)
P(C)
д 2 wi дт 2
д 2 w2 дт 2
+ Л(с,т)
+ /2(С,т)
dC,
dC,
(23)
f
f
причем константы интегрирования С1 и С2 неизвестны. Найдем разность решений Е1(£) и Е2(£):
Поскольку С1, С2, С1 и С2 — константы и не зависят от £, то для решения уравнения (25) необходимо выполнение одного из двух условий:
Первое условие не выполняется по условию леммы (21), значит, выполняется второе условие. Подставляя это условие в (25), получаем:
что противоречит принятому предположению Е2(£) = Е1(£). Значит, предположение неверно, и не существует других функций, удовлетворяющих одновременно двум уравнениям (18) с теми же граничными (19) и начальными условиями (20).
Лемма 1 означает, что данные о перемещениях произвольного сечения стержня в процессе колебаний в двух экспериментах с различными начальными условиями однозначно определяют искомый коэффициент Е(0 = Е0 - Е(О, то есть определяет условие единственности решения обратной задачи.
Существование же квазирешения не требует доказательства, так как квазирешение существует всегда по определению.
/
С - С1
(24)
Приравнивая правые части уравнений системы, получим
(25)
С
(26)
или
С1 - С1 = 0.
(27)
(28)
или, подставляя в (24)
Е2 (0 = Е1 (0 ,
(29)
Компактность множества решений М, единственность решения прямой задачи и единственность решения обратной задачи являются достаточными условиями того, что квазирешение интегральных уравнений (10) будет единственным и непрерывно зависеть от экспериментальных данных (доказательство этого можно найти, например, в [1]). Таким образом, некорректно поставленная обратная задача определения коэффициентов преобразована в корректно поставленную задачу подбора квазирешения.
Для ее решения, необходимо найти решение, которое минимизирует функционал [5]
где ад1, -ш2 заданы уравнениями (10); х1(т), х2(т) заданы уравнениями (8).
Учитывая представление для Е£(£) в виде ряда (13), для решения задачи минимизации функционала (30) необходимо определить такой набор коэффициентов {Л,0, ^1,..., Л,га-1}, который минимизирует функцию п переменных
Для определения {Л,0, ^1,..., Л,га-1} найдем экстремумы функции (31)
[6]. Для этого продифференцируем Ф0га(Л,0, ^1,..., Л,га-1) по каждой из переменных Л-0, Л-1, ..., Л,га_1 и, приравняв производные нулю, получим систему из п уравнений с п неизвестными:
1
ф0 (Е) = J [(Ц(а т) - х?(т))2 + (ад2(а т) - х2(т))2] ^ (30)
0
(31)
Каждое уравнение системы будет иметь вид:
дФ0п „ ,
$з'г—г — 0,
3 г=0
1
1 J (Іі1)(а,т)І]1)(а,т) + Іі2)(а,т)І]2)(а,т^ ^ (33)
І — 2рЕ 7 \/г
0
1
1
/~Е01 (7]1)(а,т)хі(т) + /]2)(а,т)х2(т^
Vр о
Решая линейную систему уравнений (32) и подставляя значения ^ в (13), получим искомую функцию Е£(£). Система (32) имеет единственное решение, кроме случая равенства нулю определителя матрицы в [7].
Указанный алгоритм решения обратной задачи в случае слабой неоднородности косвенным методом был реализован в специализированном программном обеспечении Мар1е.
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.
2. Гордон В.А., Анохин П.Н., Брума Е.В. Определение жесткостных параметров слабонеоднородных стержней по их динамическим характеристикам. Часть I // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 90-97.
3. Ватульян А.О. Математические модели и обратные задачи // Соровский образовательный журнал. 1998. № 11. С. 143-148.
4. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: Ком-Книга, 2006. 304 с.
5. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. М.: Стройиздат, 1986. 316 с.
6. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1963. 376 с.
7. Сехниашвили Э.А. Интегральная оценка качества и надежности предварительно напряженных конструкций. М.: Наука, 1988. 217 с.
Гордон Владимир Александрович (gordon@ostu.ru), д.т.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра высшей математики, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Анохин Павел Николаевич (gordon@ostu.ru), к.т.н., доцент кафедры высшей математики, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Брума Екатерина Владимировна (sad.kafedra@yandex.ru), аспирант, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Definition of the stiffness parameters of weakly-heterogeneous rods on their dynamic characteristics. Part II
V. A. Gordon, P. N. Anohin, E.V. Bruma
Abstract. The formulation of the inverse problem of determining the parameters of weakly-heterogeneous rods on their dynamic characteristics is proposed. Problem is solved by an indirect method of choice quasiselection, which minimized the difference between calculated and experimental functional dependencies vibro-core mid times. Indirect method converts the non-correct inverse problem into the correct task of choise of quasiselection.
Keywords: weakly-heterogeneous rod, the standard rod, vibrodisplacement, the dynamic characteristics, the direct method of solving the inverse problem, choice method quasiselection.
Gordon Vladimir (gordon@ostu.ru), doctor of technical sciences, professor, head of department, department of higher mathematics, State University ESPC, Orel.
Anohin Pavel (gordon@ostu.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of higher mathematics, State University ESPC, Orel.
Bruma Ekaterina (sad.kafedra@yandex.ru), postgraduate student, State University ESPC, Orel.
Поступила 29.03.2013
