О ВОЗМОЖНОСТИ УЛУЧШЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ РАСЧёТА ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.735.001.2

О ВОЗМОЖНОСТИ УЛУЧШЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ РАСЧЁТА ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

© 2009 г. А.В. Вовченко, Ю.Н. Резников, А.Н. Соловьёв

Донской государственный технический Donskoy State Technical University,

университет, г. Ростов-на-Дону Rostov-on-Don

Рассматривается методика, близкая по идее к квазирешению, позволяющая ввести обратные задачи формоизменения при объёмной штамповке в класс корректных задач. Представлены результаты применения такого решения обратной задачи к случаю штамповки поковки двутаврового сечения. Определяются геометрические параметры сечения заготовки, обеспечивающие бездефектное заполнение чистового ручья при минимальных размерах заусенца в поковке. Применение изложенного подхода обосновано результатами экспериментов и расчётами, выполненными методом верхней оценки (МВО) и численным методом конечных элементов (МКЭ).

Ключевые слова: обратные задачи формоизменения; квазирешение; объёмная штамповка; метод верхней оценки (МВО); метод конечных элементов (МКЭ).

The technique is considered, allowing to enter inverse problems of metal deformation at forging a class of correct problems. Results of application of such decision of a inverse problem to a case offorging of a detail of considered section are presented. Geometrical parameters of section the preparations providing faultless filling of a stream of a stamp at the minimal sizes of an agnail in a product are defined. Use of the stated approach is proved by results of experiments and the calculations executed by a upper bound element technique (UBET) and the numerical finite elements methods (FEM).

Keywords: inverse problems of metal deformation; processes of forging; upper bound element technique (UBET); finite element method (FEM).

Введение

Применение современных расчётных методов при решении проблем технологии машиностроения позволяет существенно повысить эффективность производства. Важную роль в таком подходе играет математическое моделирование технологических процессов, основанное на решении обратных задач [1]. Это отражено, в частности, в работе [2], где для решения задачи расчёта рациональных переходных форм заготовок при штамповке применена методика решения обратных задач, представленная в статье [3]. Эффективность применения решения обратных задач в технологии прокатки описана в работах [4, 5]. В работе [6] показано, что на основе моделирования формоизменения и решения обратных задач в процессах объёмной штамповки можно направленно, закономерно снижать усилие и работу деформирования.

Однако имеется ряд проблем, связанных с математической некорректностью обратных задач. Одна из возможностей преодоления этих трудностей - введение задач в класс корректных на основе методики, изложенной в монографии [1], показана в работах [7, 8]. Ещё одна такая возможность рассмотрена в настоящей работе.

Рассматривается подход, по существу, реализующий идею, близкую квазирешению [1]. В качестве исходного используется результат решения обратной задачи объёмной штамповки - форма заготовки (а) для поковки (б), полученная обратным теоретическим

расчётом с анализом течения металла методом верхней оценки (МВО) (рис. 1).

а = 91,0 . - b = 73,0 .

б

Рис. 1. Формы сечений расчётной заготовки (а) и готовой поковки (б): * - параметры облоя, принятые по заводской технологии

а

При этом физический эксперимент показывает, что решение является приближённым. Это проявляется в дефекте невыполнения формы (незаполнении ручья) в области А сечения готовой поковки (рис. 2).

Рис. 2. Данные экспериментального физического моделирования штамповки поковки из расчётной заготовки: А - область сечения с дефектом незаполнения формы

Для получения теоретическим путём более точных формы и размеров заготовки, обеспечивающих бездефектное формообразование поковки, выполнены расчёты, близкие по идее к подходу, характерному для квазирешения, состоящие в том, что в диалоговом режиме определяются параметры заготовки и минимизируется разница расчётных и экспериментальных данных. Таким образом, обеспечивается бездефектное заполнение полости чистового ручья.

Результаты математических и физических экспериментов

Исходной является форма заготовки, полученная в работе [3] (см. рис. 1 а).

Моделирование штамповки, выполняемое МВО, характеризуется нечувствительностью процесса формоизменения к условиям граничного трения, которые оказывают влияние только на значение безразмерного удельного усилия. При этом годограф скоростей остаётся приоритетно неизменным как для задачи формоизменения в условиях минимального трения, так и в условиях трения максимального. Поэтому экспериментальная штамповка из заготовки, полученной МВО (см. рис. 1 а) в условиях, отличных от условий минимального трения, приводит к появлению характерного дефекта невыполнения формы поковки в области А (см. рис. 2). Эти недостатки МВО частично компенсирует современный численный метод расчёта формоизменения - метод конечных элементов (МКЭ), реализованный в программном комплексе QForm [9].

Результаты прямого конечно-элементного расчёта (рис. 3) совпадают с данными физического эксперимента (см. рис. 2) уже при условиях контактного трения ц = 0,15, что в свою очередь подтверждается выбором такого метода расчёта для реализации наблюдений в условиях данной задачи. При меньших значениях коэффициента трения ц дефект незаполнения в области А не наблюдается. Однако в реальных условиях штамповки соблюдение условия ц = 0 практически невозможно.

Рис. 3. Результаты конечно-элементного расчёта,

иллюстрирующие дефект незаполнения формы (А) при ц = 0,15

Результаты прямого конечно-элементного расчёта показывают, что заполнение гравюры штампа в проблемных местах сечения не осуществляется даже на фазе доштамповки - вытеснении металла в область облойного мостика, окончательный вертикальный размер которого ко = 3,4 мм (рис. 3).

Подобную схему заполнения ручья при штамповке (при ц = 0,15) нельзя признать эффективной, ввиду как наличия незаполнения, так и превышения необходимого объёма заготовки и усилия штамповки, затрачиваемого на заусенец (фаза доштамповки). При этом следует учесть, что рассматриваемое в работе превышение объёма заготовки определяется только той частью облоя, которая заполняет мостик, а магазинная его часть исключена исходно (см. рис. 1 б). Поэтому целью исследования является определение рациональной формы заготовки путём преобразования результатов обратного расчёта МВО [3] по наблюдениям результатов прямого моделирования МКЭ.

Математическая постановка прямой и обратной задач

Прямая задача формоизменения при штамповке предполагает некоторую заданную ¿-характеристику объекта (форму заготовки) из определенного множества 2, заданную у-характеристику гравюры штампа (форму штампа) из множества V, и - наблюдаемый параметр формоизменения (например, форму поковки), характеризующий степень заполнения гравюры штампа из некоторого множества и, а также свойства материала заготовки и параметры технологического процесса штамповки. Математическая постановка задачи может быть осуществлена в рамках выбранной теории пластического течения (упругопластическое, жесткопластическое тело и т.п.) с учетом д-пара-метров технологического процесса (статика, квазистатика, динамический процесс) и с определением функциональных классов 2, V, и. Эта постановка сведется к решению некоторого интегро-дифференциального операторного уравнения

Lu = 0, и е и , (1)

причем оператор L = L(2, у, д).

Рассматривая далее случай формы штампа с двумя плоскостями симметрии, проходящими через оси системы координат Оху, определим эти функциональные множества в пределах первой четверти следующим образом: V = С1 на [0, х0], где х0 определяет

горизонтальный размер детали (0у - объем области ограниченной функцией у = у(х), у е V); 2 - класс

звездных непрерывных кривых: 2 = {х = ф(/), у = у(0, t е [0, л/2]}, при ф, уе С^/2], ф(0) < х0, у(0) = 0, ф(л /2) = 0, у (л /2) > у(0), О2 > 0у (/- угол, который составляет радиус-вектор точки кривой 2 с осью Ох); и - класс непрерывных кривых и = {х = у(5), у = ^(я),

5 е [0,50]} при у, ^ е С[0 ^ ] и кривая и лежит в области, ограниченной кривой у = у(х).

Пусть построено решение уравнения (1), т.е. построен оператор (например, с помощью МКЭ в QForm)

Az = u , z е Z , u eU

(2)

или равенство

Q <Q <Q

— w — z

Q =Q

wz

(3)

(4)

очевидно, что оператор А зависит от функции у и от параметров процесса д, далее будем считать их фиксированными.

Заметим, что в результате формального решения уравнения (1) найденная кривая и может не удовлетворять целям процесса штамповки (содержать дефекты, описанные, например, в п. 2 и т.п.). Обратная задача нахождения формы заготовки 2 по известной форме поковки и, которая должна удовлетворять определенным требованиям, сводится к решению операторного уравнения (2), но обращение оператора А на паре пространств (2,и) может оказаться некорректной процедурой и требовать некоторой регуляризации [1]. Одним из путей преодоления этой проблемы является сужение данной пары пространств, т.е. построение класса корректности, например, переход к некоторому компакту Ж с 2 и выбор другой пары пространств, на которой решается обратная задача, а также введение некоторой априорной информации относительно этих классов.

Первым таким условием является техническое требование качества процесса штамповки, а именно поиск решения уравнения в пространстве V (очевидно, что имеет место вложение V с и). Дополнительным

требованием качества процесса штамповки является

*

указание точной верхней границы объема О2 (возможный выбор этого предельного объема описан ниже). Далее в соответствии с имеющимся опытом решения подобных обратных задач [3] и с требованием технологичности изготовления заготовок (возможности получения профиля формы из проката стандартного сечения) сузим класс 2 до компакта Ж с 2 : Ж - класс звездных непрерывных кусочно-линейных кривых: 2 = {х = ф^), у = у ^), t е [0, л / 2]}, где ф, у -кусочно-линейны ф(0) < х0, у(0) = 0 , ф(л /2) = 0, у(л / 2) > у(0) , причем имеет место неравенство

Таким образом, решение обратной задачи сводится к решению операторного уравнения

А2 = и , 2 е Ж , и е V (5)

с условиями (3) или (4).

Уточненная постановка обратной задачи

Рассматривая обратную задачу по операторному уравнению (2) и учитывая условный характер уравнения А2 = и , по рекомендациям работы [1], используем вариационную постановку, определяющую переход к задаче минимизации между А2 и и . Тогда приближение 2 к точному решению уравнения А2=и (но не А2 = и ) нужно искать при достижении нижней грани оценки - глубочайшего минимума И между А2 и и :

2 = а^шГ ри (А2,и), 2 е 2 ,

где и - множество наблюдений с учётом возможных

погрешностей и (и е и ); р^ (А2, и) - мера близости

элементов наблюдаемого и готового изделия, или «функционал качества».

Квазирешение операторного уравнения позволяет определить такой элемент 20 е 2 , заданный условием

20 = а^шГ ри (А2,и), 2 е 2,

где 2 - компакт-параметры заготовки, обеспечивающие рациональное заполнение штампа.

Возможна корректная постановка подобной обратной задачи как задачи, близкой к задаче о квазирешении. Обозначим через 2 множество всех допустимых параметров, тогда от ожидаемого й необходимое нам

20 = а^шГ ри (А2,и), 2 е 2. (6)

В качестве класса Ж, согласно принятой в МВО кусочно-линейной аппроксимации границы, рассмотрим ломанные состоящие из трех отрезков прямых, тогда эта ломанная 2 может быть описана с помощью вектора г из метрического пространства 14:

r = (a,b, c, d), r e l4

(7)

где а, Ь, с, d - размеры заготовки (см. рис. 1 а).

В качестве параметра и-формоизменения может быть взят р - относительный периметр формы поковки

п„-п„

Р = "

п

Р е (0, p ],

(8)

где Пс - суммарный периметр контакта граничного контура поковки с формообразующей частью гравюры ручья в заданном сечении (без учёта облойной

канавки); П0 - суммарный периметр контакта граничного контура поковки с облойной частью гравюры ручья в заданном сечения (в области облойной канавки); П у - периметр формовочного контура гравюры

ручья в заданном сечении (без учёта облойной канавки).

Предельно максимальное значение относительного периметра, характерное для рационального процесса штамповки поковки, с учётом выражения (8) можно представить в виде

р = i,

п,'

(9)

тогда операторное уравнение (5) с условием (4), с учетом (7) - (9) сводится к решению трансцендентного уравнения Л7 = р*, при условии

Q = Q

" е l4 , Ar е l1

(10)

с общепринятой метрикой в паре пространств (11, 14):

PW z2) = Pl4 (r1, r2) = yJ(a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 + (c1 - c2)2 + (d1 - d2)

.; (11)

Ру (Pl, р2 ) = Р/1(Р^ Р2) = тах(0,р*] 1 Р1 - Р2 1 . (12)

Практическое применение выражения (6) для уравнения (10) с учетом (11), (12) может быть реализовано посредством поиска условного минимума

Ри (Л, и) = Р/1 (ЛГ, Р=

шах *

(0,р ]

п c (r ) -п 0 (r ) *

--р

П ,

Q = Q ;

w v '

^ тт;

(13)

е 1Л

Компонента Пс в выражении (8) может использоваться как показатель наличия геометрических дефектов при формоизменении заготовки в поковку, не учитывающий значение объёма металла. Так, условие отсутствия дефектов типа «зажим» или «невыполнение формы» можно представить как

П c =П v.

(14)

(рис. 4 а), расчётное деформирование которой при штамповке обеспечивает требуемое заполнение ручья без преимущественного подпора металла в облойной канавке (рис. 4 б).

«_а = 87,1 _^

о

чо

b = 60,2

Нарушение условия (14) приводит к появлению невязки Д = П у -П с, которая может быть представлена как Д = £ , где параметр £ при «незаполнении» -длина свободной граничной зоны, а при «зажиме» -удвоенное значение его протяжённости (£ / 2).

Результат решения обратной задачи

Применение условия (13) совместно с конечно-элементным программным продуктом QForm-2D [9] позволило определить форму рациональной заготовки

б

Рис. 4. Искомая форма сечения заготовки (а) и полученная из неё поковка, по данным расчёта МКЭ, при ц = 0,15 (б)

При этом применение рассчитанной фасонной заготовки (см. рис. 4 а) позволяет не только избавиться от дефекта невыполнения формы, но и почти полностью отказаться от необходимости расхода металла на заусенец (не только магазинной, но и мостовой части облоя).

Выводы

1. Выполнены исследования рациональных форм и размеров заготовки для поковки с двухщелевым сечением. Установлено, что расчёт, выполненный на основе решения обратной задачи, позволяет определить основные параметры заготовки, но выявлена и необходимость улучшения полученного решения в связи с имеющимися дефектами готовой поковки.

2. Для получения теоретическим путём более точных форм и размеров заготовки разработана методика, близкая по идее к подходу, характерному для квазирешения обратных задач.

3. Выполнены исследования для корректной постановки соответствующей обратной задачи штамповки, определяющие множество исходных допустимых параметров уточнённой заготовки. Практическое применение разработанных положений реализовано посредством поиска условного минимума «функционала качества» - меры близости наблюдаемого и гото-

а

r

2

r

вого изделия, как это обычно выполняется в задачах о квазирешении.

4. Результаты математических и физических экспериментов, реализованных в диалоговом режиме, подтвердили эффективность и надёжность разработанной методики.

Литература

1. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М., 1990. 264 с.

2. Резников Ю.Н., Шер М.Л., Корпаков Б.П. Уменьшение расхода металла с облоем при применении оптимальных расчётных заготовок // Кузнечно-штамповочное производство. 1982. № 7. С. 14-15.

3. Резников Ю.Н. Расчет формы и размеров заготовок в процессах объёмной штамповки методом верхней оценки // Изв. вузов. Чёрная металлургия. 1979. № 2. С. 64-70.

Поступила в редакцию

4. Бровман М.Я. Использование обратных задач теории пластичности для анализа процесса прокатки // Технология лёгких сплавов. 1983. № 1. С. 25-31.

5. Бровман М.Я., Дмитриев В.Д. Профилирование поверхностей слитков для уменьшения потерь металла // Сталь. 1985. № 2. С. 40-44.

6. Резников Ю.Н., Вовченко А.В., Быкодоров А.В. Уменьшение длительности стадии доштамповки на основе моделирования формоизменения // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2001. № 4. С. 33-36.

7. Резников Ю.Н., Вовченко А.В. Особенности расчётов процессов объёмной штамповки, основанных на решении обратных задач // Вестн. ДГТУ. 2003. Т. 3. № 4(18). С. 430-437.

8. Вовченко А.В. Особенности обратного гранично-

элементного моделирования процессов объёмной штамповки // Механика деформируемого твёрдого тела и обработка металлов давлением: сб. науч. тр. Ч. 1. / ТулГУ. Тула, 2002. С. 70-76.

9. Автоматизированная система Форм-2D для расчёта формоизменения в процессе штамповки на основе метода конечных элементов / Г.Я. Гун [и др.] // Кузнечно-штам-повочное производство. 1992. № 9, 10. С. 4-7.

31 марта 2009 г.

Вовченко Арменак Владимирович - канд. техн. наук, доцент, докторант, кафедра «Машины и технология обработки металлов давлением», Донской государственный технический университет. Тел. (863) 2-73-84-56; E-mail: A_Vovchenko@mail.ru

Резников Юлий Наумович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Машины и технология обработки металлов давлением», Донской государственный технический университет. Тел. (863) 2-73-84-56; E-mail Ju_Reznikov@mail.ru

Соловьёв Аркадий Николаевич - д-р физ.-матем. наук, доцент, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов», Донской государственный технический университет. Тел. (863) 2-38-15-09 E-mail: Soloviev@math.rsu.ru

Vovchenko Armenak Vladimirovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, person working for doctors degree, department «Machines and production engineering of a metal forming»; Donskoy State Technical University Тел. (863) 2-73-84-56; E-mail: A_Vovchenko@mail.ru

Reznikov Yu.N. - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Machines and production engineering of a metal forming»; Donskoy State Technical University Тел. (863)2-73-85-17; E-mail:Ju_Reznikov@mail.ru

Solovev Arkadiy Nikolaevich - Doctor of Phisico-Mathematical Scince, assistant professor, head of department «Strength of materials», of Donskoy State Technical University. Ph. (863)2-38-15-09; E-mail:Soloviev@math.rsu.ru