CC BY
22
УДК 539.3
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ СИЛОЙ, ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ, ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ ЗАКРЕПЛЕНИЯ
Т.К.Хамитов1, Ф.Г.Шигабутдинов2
Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 420043, г. Казань, ул. Зеленая, 1.
Получены критические длины потери устойчивости стержней при продольном приложении на торце силы (напряжения), изменяющейся по заданному закону. Учитывается неоднородность напряженного состояния по длине стержня. Результаты представлены для 2-х видов нагружения и 4-х комбинаций граничных условий в виде таблицы, пригодной для использования в проектной работе, Ил, 2, Табл. 1. Библиогр, 9 назв,
Ключевые слова: продольный удар; устойчивость упругих стержней; волна сжатия,
THE LOSS OF STABILITY OF ELASTIC BARS WITH DIFFERENT METHODS OF ATTACHMENT UNDER LONGITUDINAL IMPACT BY THE FORCE VARYING ACCORDING TO THE LINEAR LAW Т.К. Hamitov, F.G. Shigabutdinov
Kazan State Architectural and Building University
1 Zelenaya St., Kazan, 420043
The authors obtained critical lengths of bare stability loss under the face longitudinal application of force (stress) varying according to the specified law, The in homogeneity of the stressed condition along the bar-length is taken into consideration. The results for 2 types of loading and 4 combinations of boundary conditions are presented in the form of the table applicable for designing.
2 figures. 1 table, 9 sources.
В статье исследована потеря устойчивости упругих стержней, один из торцов которых подвергается ударному воздействию силы, изменяющейся, в общем случае, по произвольному закону. Учитывалась неоднородность напряженного состояния по длине стержня, связанная с двумя причинами. Во-первых, волновой характер распространения деформаций вдоль стержня вынуждает рассматривать потерю устойчивости стержня переменной длины, Во-вторых, в каждом сечении возмущенного участка за фронтом продольной волны напряженное состояние изменяется с течением времени из-за переменности напряженного состояния на торце, воспринимающем удар, Для определения критических параметров процесса использованы динамический и статический критерии потери устойчивости стержня. Результаты представлены для 2-х видов нагружения и 4-х комбинаций граничных условий в виде таблицы, пригодной для использования в проектной работе. Ставилось целью получение результатов в привычной для проектировщиков форме, При выборе метода исследования авторы старались удовлетворить требованиям воспроизводимости результатов решения в условиях КБ и возможности применить результаты исследования в тех случаях, которые в данной статье не рассматривались,
1. Постановка задачи и уравнения движения.
Пусть имеется упругий стержень, к левому торцу которого в момент времени / = 0 прикладывается сила, действующая строго по прямолинейной оси стержня и изменяющаяся по произвольному закону, Начало пространственной системы координат Оху расположено
о сочоымм, воспринимающем удэрноо воздействие,
ось направлена по оси стержня к его правому концу, а ось Оу - вниз (см. рисунки в таблице). Для
сечений стержня координата х > 0.
После приложения силы по стержню начинает распространяться продольная волна сжатия, за фронтом которой возникает напряженное состояние, определяемое законом приложения нагрузки. Перед фронтом волны - невозмущенный участок стержня,
Продольно-поперечные движения стержня будем описывать системой из двух уравнений, первое из которых описывает движение продольной волны, а второе - уравнение типа С,П. Тимошенко - описывает поперечные движения стержня с учетом сдвига и инерции вращения:
1Хамитов Тагир Камилевич, ассистент кафедры теоретической механики, тел,: (8432) 510-47-91, сот.: 89172730326; e-mail: [email protected],
Hamitov Tagir Kamilevich, an assistant of the Chair of Theoretical Mechanics, Tel.: (8432) 510-47-91, mob.tel,: 89172730326; e-mail: [email protected].
2Шигабутдинов Феликс Галлямович, кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики, тел.: (8432) 510-47-91, СОТ.: 89172695293, e-mail: [email protected]
Shigabutdinov Felix Gallyamovich, a candidate of physical and mathematical sciences, a professor, the head of the Chair of Theoretical Mechanics, те!.: (8432) 510-47-91, mob.tel.: 89172695293, e-mail: [email protected]
д_
дх
д2н
а1 Л
1А
2дх
<4
ч дх
\2
(1)
. Е+к2в
—г -и • р
дх4 ' к2 о
д4м дх2дг
+
-г---г + — —
/га а/4 а*1 4 'а*
(2)
а/:
ах:4
где //(дг,/), ■ продольное перемещение и про-
гиб сечения стержня; Р(х, () - функция распределения продольных усилий по сечениям стержня; ,/, Р - минимальный момент инерции и площадь поперечного сечения стержня соответственно; р ,Е ,0 плотность, модуль упругости и модуль сдвига материала стержня соответственно; - начальная
погибь стержня; скорость продольной волны в стержне (скорость звука в материале).
а,=4ЁП>, Р(х,0 = Ы?еК,
\2
_ди_ | \_
где + -
дх 2
СИ'
()Х
(1х
Для численного решения задачи о движении ко= нечного стержня под действием продольного удара абсолютно твердым телом, движущимся с постоянной скоростью, при шарнирном закреплении торцов эти уравнения использовались в [3], [4]. Близкая задача решалась в [5]. При этом в [4] было установлено, что вклад членов, учитывающих сдвиг и инерцию вращения пренебрежимо мал в количественном отношении. Учитывая это при аналитическом решении, второе и третье слагаемые в уравнении (2) опустили, В аналогичной задаче также поступили авторы работ [6]. Кроме того, рассматривая начальные стадии движения стержня [2], предполагаем, что
/ \2 i Г
ди 1 — » —
дх 2
дм
ОХ
<4
дх
и квадратичными составляющими в выражениях для продольных деформаций можно пренебречь. Влиянием начальной погиби на формы волнообразования при аналитическом решении также можно пренебречь, но при численном решении введение начальной погиби позволяет, в частности, начать счет.
Окончательно с учетом сделанных допущений система уравнений движения (1), (2) принимает вид
1 д2и Л
= 0, 3
д2и
д
К]—— н—
дх дх
ч
дх
Сделанные допущения позволяют при решении системы (3), (4) применить метод раздельного интегрирования, механический смысл которого заключается в том, что поперечные движения стержня рассматриваются на фоне напряженного состояния, определяемого решением уравнения (3), Это решение известно и может быть найдено в литературе.
Начальные условия для уравнений (3), (4) принимаются нулевыми, граничные условия для уравнения (3) записываются для деформаций торца стержня: на торце задается закон деформирования (закон приложения нагрузки). В данной работе рассмотрены два закона изменения нагрузки на торце: 1) нагрузка мгновенно возрастает до своего максимального значения и убывает по линейному закону; 2) нагрузка на торце стержня возрастает по линейному закону, Промежуток времени, в течение которого это происходит, равен промежутку времени, в течение которого невозможна потеря устойчивости по принятым в работе критериям. Эпюры продольных сжимающих напряжений, соответствующие вариантам нагружения, показаны на рис.1 и 2. Граничные условия для торца, воспринимающего удар, для уравнения (4) будут приведены в ходе решения задачи, а на фронте продольной волны ставятся во всех случаях условия жесткого закрепления, На рис,1 и 2 заделанное сечение - это не конец стержня, а сечение, до которого дошла продольная волна.
Р(х) А
Р(0
.-гГТТТ
X
Рис.1
Рис.2
Функции, описывающие законы распределения продольной силы подлине стержня, имеют вид
дг
/>М = /,оу.
рМ=Р0
(5)
(6)
дг
а,
дх'
причем функция (5) соответствует рис.1, а функция (6) - рис. 2.
2. Решения и результаты. Как уже было сказано, решение уравнения (3) при различных начальных и граничных условиях хорошо изучено. Для интегрирования уравнения (4) будем переходить к интегро-дифференциальному уравнению типа Бубнова-Галеркина. Рассмотрим четыре типа граничных условий и два типа нагружения.
2.1. Шарнирное опирание торца, воспринимающего удар. Пусть торец, воспринимающий удар (здесь и далее - это начало координат) шарнирно оперт. Тогда граничные условия будут иметь вид
х = 0; = 0, ф* = 0;
(7)
х-1: м> - 0, -0.
Здесь (и в других случаях) вторая пара граничных уо ловий ставится на фронте продольной волны, то есть на границе возмущенного и недеформированного участков.
Следуя [2], [9] второе из уравнений (3), (4) заменим уравнением
d2w
pi о w п rrc)4w д — pb+kj—г + -JI дг дхА дх
дх
(8)
х 8\\>кс1х - 0
где функция Р(х,1) получается из решения уравнения (3) для конкретного вида изменения импульса на торце. Для принятых в этом пункте граничных условий функцию прогиба И можно представить в виде
w(xj) = e"vfk
■ СЬХ Чк Sin —^---j-XZQ>U¡k
'к 'к
(9)
где с}к - спектр корней уравнения tgq = ц
«/3 <..., = <7, -4,493409458).
2.1.1. Пусть в начальный момент времени сила мгновенно достигла своего максимального значения и убывает по линейному закону (5). По стержню начинает распространяться продольная волна, за фронтом которой образуется напряженное состояние, показанное на рис. 1. Подставляя (9), (5) в уравнение (8) после интегрирования в пределах переменной длины, зависящей от времени, получим
аА
Е1у<Р-ръ¥ + Рр®ьХ = 0 -
(10)
где
/
#> = -sin~ ¿у,
—(q2 + 3 sin2 q) + 2(cosc/ -1) 4
„ 5/ . 2
При фиксированных значениях 'k все выписанные функции зависят лишь от длины, на которую
продвинулась продольная волна нагрузки вдоль стержня.
Как видно из уравнения (9), темп нарастания амплитуд различных полуволн оказывается различным
и зависит от показателя экспоненты а>к, Из уравнения (10) для этой величины получим выражение
4
р /4
сд„ =
PoV^-EI
(р
IpFC, (11)
где введены обозначения
Ф
Г
Ш = ¥1, с=си
В [1] было показано, что при превышении эйлеровых критических сил стержень конечной длины, мгновенно сжатый продольной силой, изгибается по высшим формам потери устойчивости, Согласно этому применим следующий динамический критерий потери устойчивости при продольном ударе по полубесконечным элементам типа стержней и оболочек [2], [8].
Под критической длиной потери устойчивости полубесконечного стержня будем понимать наименьшую длину 1йН = , на которую должна
продвинуться по стержню продольная волна, соответствующая приложенной на торце нагрузке, чтобы появилось поперечное колебание (поперечная полуволна) с наибольшим темпом возрастания амплитуды.
Отыскивая по (11) гармоники с наибольшим темпом возрастания амплитуды, приходим к выражению
2 / а \
ц
^1 = 0 дп
Р0у-2 EI
1
Ч>
(12)
откуда критическая длина по динамическому критерию запишется в виде
2 _ 2£/<у>
Если воспользоваться статическим критерием сок = 0, который применительно к задачам статической устойчивости в литературе трактуется как динамический, то получим
из»
Сравнивая (12) и (13) легко увидеть, что 1Ш = л/21Нд. Это полностью согласуется с закономерностями, выявленными в[1].
2.1.2. Рассмотрим случай, когда нагрузка на стержень действует по закону (6). По длине стержня напряженное состояние определяется эпюрой с рис.2. Подставляя (9), (6) в уравнение (8), получим
/4 °/2
<p+P^-pFcok2C = 0.
После аналогичных предыдущему вычислений, для определения критических длин по указанным ди-
намическому и статическому критериям получим следующие формулы:
г _ 2Е/д'Ф
2Ь2
/2 _
(15)
2.2. Подвижная заделка торца, воспринимающего удар. Рассмотрим случай, когда торец, воспринимающий удар, имеет подвижную заделку. Граничные условия для этого случая записываются в виде X = 0: м; = 0, и/ = 0;
(16)
х = I: = 0, < = 0.
Функцию, удовлетворяющую условиям (16), запишем в виде
лк • (17) Л=у, (к = 2,4,6...,)
Результаты для двух вариантов нагружения (эпюры на рис.1 и 2) совпадают, и после подстановки (17) в (8) и вычисления интегралов разрешающее уравнение имеет вид
Е1Л4к--^- + рГфк2- = 0. (18) 2 /42
Формулы для критических длин имеют вид
/2 -
я
п _2К/ж2к2
' Ид ~
Я
(20)
2.3. Заделка торца, воспринимающего удар, подвижная в двух направлениях. Граничные условия имеют следующий вид:
дс = 0: п = /, < = 0;
(21)
м> = 0, м/ = 0.
(к = 1,3,5....)
(22)
И в этом случае для вариантов нагружений (3), (4) после подстановки (22) в (8) получается одно уравнение:
^¿-¿о^ + ^'З/- 0. (23) 2 /42 Критические длины, полученные по двум критериям, запишутся в виде
АЕЗлк Я
4 =
1Юж2к2 Я
(24)
(25)
2.4. Свободный конец, воспринимающий удар.
Граничные условия и функцию прогибов возьмем в виде
х = 0: ^" = 0, =
х = 1: = 0, и/ = О,
(26)
к ж
, (/<=1,3,5.,,,).
(27)
Приведенные выше результаты показывают, что во всех случаях опирания стержней наблюдается выполнение соотношения 1Ш = л/2/дй. Воспользуемся
указанным свойством для получения динамических критических длин для стержня со свободным концом по известным статическим решениям.
В [4] приведено решение задачи устойчивости консольного стержня под действием собственного веса, при этом исходили из уравнения
Л п/ ¿Л/ Т+Р(х, О—
№
¿1х
¿X
-^-(¿мк)с!х = 0. (28) с/х
2.4.1. Рассмотрим сначала вариант нагружения (5), который дает эпюру напряжений за фронтом продольной волны, формально совпадающую с эпюрой
погружения собственным весом в статике. При этом
выражение (27) для статического прогиба нужно записать так:
м>(х,Ъ = /к[\-тАкх],
ктг
(/<=1,3,5....).
(29)
Подставляя (5), (29) в уравнение (28) и вычисляя интегралы, получим следующее уравнение:
/ Р1 ( 1 ^
откуда
4/
К!ж
\
Ютг2
(30)
Для динамической критической длины имеем 2 К}тг2 _ 2К1ж2
1йН - с , ~
Я
1-
1,1894Р0
(31)
V
к
2.4.2. Для нагружения типа (6) получим
К1Як--Р0Як
21И к2 2,81 Р0
3. Сравнение с известными результатами и выводы. В литературе отсутствуют работы, с которыми можно было бы провести непосредственное сравнение динамических критических длин. Однако, если воспользоваться математической аналогией, критические силы (силы, соответствующие критическим длинам), полученные по статическому критерию, при законе нагружения (5) можно сравнить с имеющимися в литературе справочными данными для стержней, нагруженных собственным весом.
Номер нагружения Характер закрепления стержня V Точное значение Расхождение, %
1.1 Шарнирное опирание т ШМтттптгггт^ 0,411 0,433 5,1
"С /
1.2 Шарнирное опирание т ^гпптгггшт 0,565 0,576 1,8
/
2.1 Под| Ро р(оШ вижная заделка ШПШттттггггг^ 1, 0,353 0,364 2,88
1 -- —>
2.2 Подвижная заделка т ^тлпш лГ 0,353 0,364 2,88
3.1 Скол РОЩ ъзящая заделка »0 ШПТТПттттттт. I 0,707 0,725 2,5
3.2 Скользящая заделка Г —=> 0,707 0,725 2,5
4.1 С Рс P(t) Свободный конец 1,676 1,685 0,53
1
4.2 Свободный конец W ^птппШШШ Po 1,09 1,12 2,62
/
Для удобства при сравнениях формулы (13), (15), (20), (25), (30), (32) переписаны и объединены одной формулой:
пгК]
р __ тш
Здесь ^ - параметр, учитывающий характер нагруже-ния и вид граничных условий. Результаты сравнений приведены в таблице. В третьем столбце таблицы
приведены значения ^, полученные в данной работе с использованием статического критерия потери устойчивости. В четвертом столбце приведены соответствующие значения ' из [7]. Расхождение результатов приведено в последнем столбце таблицы, Совпадение результатов вполне удовлетворительно.
ьиолиографическии список
1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем II ДАН СССР. 1949. Т. 64, №6 . С. 779-782.
2 Терегулов И.Г., Шигабутдинов Ф.Г Устойчивость уп-ругопластического стержня при динамическом нагружении II Сб. «Прочность и жесткость тонкостенных конструкций»: с Казань: 1977. Вып.2. С. 77=86/Сб. деп. в ВИНИТИ №4101 = 77Деп. от 25.10.1977г.
3. Вольмир A,G-, Кильдибеков И,Г, Исследование выпучивания стержней при продольном ударе //ДАН СССР, 1966. T.167, №4. С, 775-777.
4. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М, Наука, 1963.880 с.
5. Шигабутдинов Ф.Г., Петухов Н.П. Выпучивание стержней конечной длины в форме усеченной пирамиды при продольном ударе по торцу с учетом волнового характера распространения продольных деформаций II Труды Международной конференции, посвященной 100-летию проф. Муилари Х.М., ЭО-лешию проф. Галимова КЗ., 80-ле1ию проф, Корнишина М,С, Казань, 26-30 июля 2000г./ Казань: Новое Знание, 2000. С.439-444,
6. Кирюхин A.B., Малый В.И, Выпучивание упругого стержня при продольном ударе II Вестник МГУ. 1974. №3. С. 81-86.
7. Прочность, устойчивость, колебания: справочник/ под ред. И.А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т.З. 568с.
8. Шигабутдинов Ф,Г. Выпучивание упругопластических элементов конструкций, связанных с упругим основанием, при продольном приложении ударной нагрузки, возрастающей по линейному закону II 8-й Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 23-29 августа 2001 г. Аннотация докладов / Пермь, 2001, С, 607.
9. Хамитов Т.К. Потеря устойчивости полубесконечных стержней при ударном приложении импульса различной формы.// Материалы 56-й республиканской научной конференции: сб, научн. тр. докторантов и аспирантов. Казань: КГАСА, 2004. С. 30-35.
