О собственных частотах продольных колебаний неоднородного стержня с переменным поперечным сечением Текст научной статьи по специальности «Математика»

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2016. №1

31

УДК 539.3:534.1;539.4:624.07

О СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТАХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

В. И. Горбачёв1

Рассматривается задача о собственных частотах продольных колебаний стержня, модуль Юнга, плотность и площадь поперечного сечения которого являются функциями продольной координаты. Для решения задачи использована интегральная формула, позволяющая представить общее решение исходного уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами через общее решение сопутствующего уравнения с постоянными коэффициентами. Получены частотные уравнения в виде быстросходящихся рядов Лейбница для трех типов краевых условий. Для этих случаев выписаны частотные уравнения нулевого приближения, позволяющие достаточно быстро и с приемлемой точностью находить низшие собственные частоты.

Ключевые слова: механика деформируемого твердого тела, упругость, динамические задачи, неоднородные стержни переменного сечения, методы осреднения.

The problem on the natural frequencies of longitudinal oscillations of a rod such that its Young's modulus, the density and the cross-sectional area are functions of the longitudinal coordinate is considered. For solving this problem, an integral formula is used to represent the general solution to the original Helmholtz equation with variable coefficients in terms of the general solution of the accompanying equation with constant coefficients. Frequency equations are obtained in the form of rapidly converging Leibnitz series for three types of boundary-conditions. For these cases the frequency equations of the zeroth approximation are derived to quickly find the lowest natural frequency with an adequate accuracy.

Key words: mechanics of deformable solids, elasticity, dynamic problems, nonuniform rods of variable cross section, averaging methods.

1. Постановка задачи. В рамках гипотезы плоских сечений Бернулли-Эйлера задача о собственных частотах продольных колебаний стержня состоит из однородного уравнения Гельмгольца

Е{х) и'{х) ' + ш2в{х) и {х) = 0 (1)

и двух однородных граничных условий, например

и (0) =и (L) = 0, либо и (0) = 0, (7 (L) = 0, либо а (0) = cr (L) = 0. (2)

Здесь и (х) — амплитуда установившихся гармонических колебаний перемещений с частотой oj; (т= Е(х) и (х) — амплитуда колебаний напряжений; Е(х), д(х) — переменные модуль Юнга и плотность; L — длина стержня. В случае переменной площади поперечного сечения F(x) коэффициенты Е{х) и д(х) следует заменить на E{x)F{x) и q{x)F{x) [1].

Задача (1), (2) имеет очевидное нулевое решение и= 0. Требуется найти те значения параметра со (собственные частоты колебаний), при которых существует нетривиальное решение задачи (1), (2).

Обозначим через v(x,t) = v (x)e%ujt периодические во времени продольные колебания однородного стержня с параметрами Eq = const, Qq = const. Уравнение Гельмгольца для однородного стержня имеет вид

E0V"(X)+UJ2Q0V (х) =0. (3)

Уравнение (1) назовем исходным уравнением, а уравнение (3) — сопутствующим уравнением. Постоянные коэффициенты Eq и Qq сопутствующего уравнения — это любые положительные константы. Однако их целесообразно увязать со свойствами исходной задачи, например положить их

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: vigorbyQmail.ru.

равными эффективным характеристикам [2], так что

Ео =

т

£>о = (в)

Для исходного стержня с переменным сечением соответственно имеем

-Ё'О-^О —

1

1 /ЕЕ)

£>0^0 =

(4)

где Ео — постоянное (эффективное) поперечное сечение сопутствующего стержня. Из двух выражений (4) не удается однозначно определить Ео- Возможные способы назначения эффективного сечения рассмотрены в работе [2].

Общее решение сопутствующего уравнения Гельмгольца может быть представлено следующим образом:

Ь (х) = С\ е со + С2 е со где С\ и С*2 — произвольные комплексные константы, а

(5)

со

= V Ео/до =

1

0*7(1 /Щ

— скорость продольной волны в стержне с эффективными свойствами (эффективная стержневая скорость).

2. Интегральная формула представления общего решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи. В работах [3, 4] приведена интегральная формула, с помощью которой решение исходного уравнения (1) выражается через решение сопутствующего уравнения (3):

ь „ ь

и (х) =Ь (х) + у Щу) 9С^,У) ь \у) йу - Ш2 I ]

с (X, £) V (у) (1у ,

(6)

где

Е(у) =Ео- Е(у) =

Ж

~ Е(у)

= во- сКу) = <£>) - сКу),

а С (%,у) — непрерывное по переменным х ж у фундаментальное решение [5] исходного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее уравнению

Е{х) С '(ж, у) + ш2д(х) С (х, у) = -5(х - у).

(7)

Подстановкой выражения (6) в уравнение (1) убеждаемся, что последнее в точности удовлетворяется, если справедливы уравнения (3) и (7).

Если теперь подставить (5) в (6), то получим общее решение исходного уравнения Гельмгольца:

й (х) = С\

ь * ь

Ш ш [— д С (х, у, ш) ш. 2 Г

е со + — / Е{у) к ' е (1у-ш2 1

со

о

ду

+ С2

ь

ш [ — д С (х,у,ш) -

о ь

гшх _

е" со - — I Е(у) Со J о

гшу

ду

е °о с1у —

*

С (х,у,ш) е со с1у

*

С (х,у,ш) е со с1у

+

(8)

Дифференцируя (8) по переменной х, найдем и'(х), а затем и амплитуду колебаний напряжений в стержне а (х) = Е{х) й'(х):

а (х) = С1

гшЕ(х)

Со

Ш Г д2 с (х, у, ш) , . 7 , . д О (х,у,ш) ш. е со + / Е{у) — ' ' е со йу + гшс0 / в(у) V ' е со йу

дхду

дх

-с2

гсоЕ(х)

Со

+ i а» о («,»,*) d;l/ _ шсо / Я ) ао(»,у,ц)

(9)

<9ж<9у J дх

о о

3. Фундаментальное решение исходного уравнения. Фундаментальное решение урав нения Гельмгольца (1) есть любая обобщенная функция, удовлетворяющая обобщенному уравнению (7).

В случае постоянных коэффициентов Е = const, g = const уравнение (7) принимает вид

Е G"(x, у) + co2g G (х, у) = -5(х - у).

Обобщенное решение уравнения (10) будет следующим [5, с. 198]:

* , . h(x — у) с . со(х — у)

G (х, у) =--V У> sin^-

Есо с

(Ю)

(П)

где с = л/Е/д — скорость продольной волны в однородном стержне, а к(х — у) — единичная функция Хевисайда [6]:

{0, если х < у, 1, если х ^ у.

Если синус в формуле (11) разложить в ряд Тейлора, то получим фундаментальное решение в виде ряда по четным степеням частоты со:

G (х,у) = --

h(x — у) с (—l)fc \со(х — y)]2k+l h(x — y)c

£

Ей ¿¿(21- + 1)!

£

со

2 к

(-1)'

Е (2к + 1)!

х~У с

2к+1

(12)

Решение уравнения (7) по аналогии с разложением (12) ищем в виде ряда по четным степеням со:

6(х,у,со) = ^2ш2к Gk (х,у)

(13)

к=О

где коэффициенты Ск Уже не зависят от со. Подстановка ряда (13) в уравнение (7) и последующее приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях со в левой и правой частях дает рекуррентную последовательность уравнений для функций С к (х,у):

Е{х) Go{x,y) =-5{х-у), Е{х) Gk{x,y) = -д{х) Gk-\ {х, у), к > 0.

(14)

Началом рекурсии является функция С!о (х,у), определяемая из первого уравнения формулы (14):

0, х < у,

* , % f h(z — у) , , , . f dz Go (x, y) = - л dz = -h(x - y)

E(z)

E(z)

X X\

* f dx \ f *

Gk (x, y) = - J J g{x2) Gk-1 (x2,y) dx2 , к > 0.

В итоге получаем

X X XI Х2

G (х,у,со) = - [ dz + со2 [ -^р- [ g(x2)dx2 [ ^Г ^ dz-

E(z)

J E(xi) J

о 0

E(z)

X X\ X2 XS X4

f dx \ f f dx з f f h f z_ij J

— со4 I ——г I g{x2) dx2 / —г / g{x4) dx4 / —— dz + ... =

J E(xi) J

о 0

E(x3) J о 0

E(z)

= -!г{х - у)

X XI Х2

йх\ 2 [ йх\ [ . . , [ (1х 3

- и) i —-г I 6{Х2) ах2 I ——г +

Е(х

у

X1

7 Е{х 1)7

у у

Е(х3)

у

Х4

Х2 Хз

, 4 / <1х\ [ Г йх 3 [ , . , [ <1х5

+ ш I ——7 / д(х2) ах2 / —г / £>(^4) аж4

7 Е{х 1)7

у у

Я(я3) 7

у у

у

(15)

4. Вспомогательные интегральные операторы. Для удобства записи рядов, подобных (15), введем интегральный оператор &-(х,у;Е,е)1 представляющий собой двукратный интеграл, который переводит функцию /(ж) на отрезке [0, £] в функцию /(ж) на этом же отрезке по правилу

XI

¡(х)=А{х^^)(/(х)) = у <р(х1)(1х1 у ф(х2)!{х2)йх2.

у у

Целая неотрицательная степень оператора является 2/г-кратным интегралом

X XI

К\х,уЖф)Ц(Х)) = J J ф{х2)(1х2 X

Х2к-1

X J<~p(xз)dxз ! ф(х4) (1X4 ■ ■ ■ ! <~р(х2к_г) г1х2к_1 ^ ф(х2к)/(х2к) с1х2к .

у у у у

При к = 0 имеем А°ж ^ (/(ж)) = /(ж). Дифференцирование оператора по переменной х осуществляется по правилу

7'0*0

при к = 0,

]ф)Ак{-1у;М^ф(г)1\г)с1г1 при к> 1. В соответствии с этим правилом формула (15) переписывается следующим образом:

С (х, у, ш) = -Н(х - у) £(-1)( / щ) •

(16)

' у

Ряд (16) является знакопеременным рядом Лейбница. Он равномерно сходится на отрезке [0, Ь], поскольку

/ X \

2кьк

йг

(х,у,л,д) I у

\ у

> 0.

причем для х ^ у

Ш2кАк

<1г

ш2к (ж — у)

<

2к+1

(х,у±,в)\ ] I ЕтЫя2к {2к + 1)\ '

у '

М — Етт/ (?тах ,

а ряд

2к+1 X А 1

^л Щ2к (х-у) ■ = ^ \ -

(2Л + 1)! Ет1пи (2к + 1)!

ш(х-у)

К

2к+1

сходится к непрерывной функции - вЬ —--—. Если в представлении фундаментального ре-

Ет-т ш ж

шения ограничиться частичной суммой ряда

С (х, у, и) « -И(х - у) ( / щ) = ^ ,

к—0 у

то остаток ряда не превысит по абсолютной величине первого отброшенного члена, т.е.

\ г>, /

<

Запишем в виде рядов, аналогичных (16), нужные нам первые и вторые производные:

дд(х,у,и) Нх-У)у{_1)кш 2^ (1)

/—Л ' (х,у;в,Ё>у ' к=0

дх Е{х)

дд(х,у,ш) \ к{х — у)

ду Е{У)

д 2С(х,у,ш) д(х — у) к{х - у)

дхду Е(у) Е(х)Е(у)

д2С(х,у,ш) д(х — у) к{х - у)

к=0

к=0

Е{х) Е{х)Е{у) ^ 1 (*>™,-е) 1 У ^ ;

дудх — и-

к—0 \ у /

Далее нам понадобятся интегралы, входящие в выражения (8) и (9) для перемещений и напряжений:

Г дс(х, у, ш) Х[Ё(у) ^Л. ..к 2кАк ..

I Е{у) УдуУ> е с° йу = I « ¿у,

О О

ь ж / х \

/, «¿у /• 00 [Г г17 \ I

Жу)С(х,у,Ш)е±со б,у = -]т У ад е Со ^ >

О О к=0 ^ у '

ь

Г д2С(х,у,ш) ±1^2, £Ь

У д(у) е со ^^ со +аде +

о

+ / ш / «м *) » «< ■

0 ^1 ^ у '

, дО(х,у,ш) 1

е со йу = —

<9ж Е(х)

X

/ гшу

да Е(-1)^2Ч^)(1)е со

п й=0

В новых обозначениях формулы (8), (9) для амплитуд перемещений и напряжений в сечениях стержня примут вид

и (х) = С\А+(х,ш) + С2А~(х,ш) , а (х) = С\В+(х,ш) + С2В~{х,ш), (17)

18 ВМУ, математика, механика, № 1

где

ь „ ь

^(ж, ш) = е со ± — / Е(у) \ у е со с1у - со2 / Ж

со У <Эу У

о о

С (х,у,со)е± (1у =

со

п &=0

+ Ш'

к=0

к, ,2к а к ( [ ^г \ ¿^

1 у

е с° (1у.

(18)

В±(х,со) = ±

гсоЕ(х)

Со

[ , , дС(х,у,со) ,

+ гшсо / ё У - я е со ЛУ

I ох

шЕ0 ,

= ±-е со ±

Со

^ / Ц „ ,, / к.) «И » *+

О ^1 ^ у '

ж

/ гшу

да Е(-1)^2Ч,^)(1)е со

о

5. Точные частотные уравнения. Получим точные частотные уравнения для отыскания собственных частот колебаний неоднородного стержня с переменным поперечным сечением при различных граничных условиях на его концах.

5.1. Стержень с защемленными концам,и. Для стержня с защемленными концами граничные условия будут следующими:

и( 0) = и(Ь) = 0 й(0)=й(Ь) =0. (19)

В случае однородного стержня собственные частоты п-го порядка находятся из уравнения

соЬ вт — = 0

со

пттсо птт г——- П7Г

= —= у Ео/до = ——

1

ь ь

Ьу(дЕ)(1/(ЕЕ))> П 1'2'--

В общем случае из (17) и граничных условий (19) вытекает однородная система уравнений относительно произвольных констант С\ и С2, при которых удовлетворяются граничные условия и решение отлично от тривиального:

(Сг+С2 = 0,

\с1А+(Ь,и})+С2А-(Ь,и}) = 0.

(20)

Приравнивая к нулю определитель системы (20), получаем

А+(Ь,и) - А~(Ь,со) =0.

Подставив в последнее соотношение выражения для со), из (18) найдем точное частотное

уравнение

уу> к=О

вт--Ь

со с0

со

+

о

Каждый из двух рядов, присутствующих в уравнении (21), является знакопеременным сходящимся рядом. Введем безразмерную частоту П = шЬ/со и представим уравнение (21) в безразмерном виде:

оо

+ )кЯ>к(П) = 0.

к=0

Здесь

1_ 1 _ / х \

*'(П) = "2'+1 / т (1) с°8 (1уЛу+/ ^ / Щ

0 0 4 у '

где

1 Х1 %2к-2 %2к-1

АЛ Еп в\(1)= I \ [ с1х2 ■ ■ ■ с1х2к-2 [ -[

\}>У'-£>±) 3 ЕКХ\) / Й } Е{Х2к-\) } во

у у у у

(X ч 1 XI Х2

Imdz) =liikdxili^dx2liikdx3

„■Ео _ во ! \

у 'у у у

%2к-2 %2к-1 Х2к

,„dx2k_.2 f / >—ixw.

J E(x2k-1) J во J E(x2k+i)

У У У

5.2. Стержень, у которого один конец защемлен, а другой свободен. Пусть начало стержня х = 0 закреплено, а конец х = L свободен, т.е.

u(0) = 0, <т(Ь) = 0 й (0) = 0 , a (L) = 0 .

Для однородного стержня частотное уравнение имеет вид

шЬ ПТТСо

cos— = 0 => Шп = —— , п = 1,2,.... с0 2 L

В неоднородном случае частотное уравнение следует из системы уравнений

(с\ + с2 = о,

< В+(Ь,ш) - В~(Ь,ш) = 0.

\CiB+(L,u) +С2В~(Ь,ш) = 0

В итоге частотное уравнение принимает вид

cc.f + f^D-D^A.Ui.W-bf)-

В безразмерном виде последнее уравнение представляется следующим образом:

оо

сое П + = 0,

(22)

к=0

где

Фк(П) = П2к+1

■ А,

9о

(1)8Ш Пу<1у-П2к+2 I ^-Ак

У Е{у) £>о

о 4 у

йг сое 0.у йу.

5.3. Стержень с двумя свободными концам,и. Граничные условия для этого случая имеют вид

<т(0) = а(Ь) = 0 а (0) =<т (Ь) = 0.

Из граничных условий получается следующая система уравнений для констант:

Г с\ - с2 = о,

\ С1В+(Ь, и) + С2В~{Ь, и) = О

В+(Ь,ш) + В~(Ь,ш) = 0.

Отсюда

\ к=0 / Ео\Е(у) ^ ' ^ у ^ ; ) с0 /

В безразмерном виде имеем

8тП + ^2(-1)кТк(П) =0.

(23)

к=0

где

Тк(П) = п2к+1

■ А,

9о ^У^

(1)8т Пу<1у-П2к+2 I Ша^

д(г)

во ' и / у и 90

4 у

йг сое 0.у йу .

5.4- Частотные уравнения нулевого приближения. При решении частотных уравнений (21)-(23) приходится вычислять интегралы возрастающей кратности. Чем более высокие частоты нас интересуют, тем большее количество членов необходимо удерживать в частичных суммах. Приведем приближенные частотные уравнения, в которых удержаны только первые члены соответствующих рядов.

Защемленные торцы:

этП рз -Ф0(П) = -П У

о

9{у)Р{у)

1

Е(у)Е(у)(1/ЕЕ)

- 1

-П'

1 -

9Р)

Е(г)Е(г)(1/ЕЕ)

сов £1у с1у —

вт £1у с1у.

(24)

Свободные торцы:

1

ятП ра —'То(П) = —П J

1 -

9{У)Р{У) (9Р)

сое £1у с1у + Г^

1

Е(у)Е(у)(1/ЕЕ)

- 1

ß(xl)F(xl

(qF)

■ dx

dx 2

J E(x2)F(x2)(l/EF) J

у у

g{x3)F{x3)

(qf)

dxз sin Qy dy .

Торец x = 0 защемлен, торец x = L свободен:

1

cos Q pa Ф0(П) = —О, J

1 -

в(у)Пу) (ßF)

sin Qy dy + Q2

1

E(y)F(y)(l/EF)

- 1

(25)

g(xi)F(xi

(qf)

dx 1

dx 2

E(x2)F(x2)(1/EF)

g(x3)F(x3)

dx3 cos Qy dy.

(26)

Уравнения (24)-(26) существенно упрощаются в случае однородного стержня с переменным сечением, например уравнение (26) принимает вид

cos Q = —Q

о

1 -

F{y)

(F)

sin üydy + Q

1

F(y)(l/F)

- 1

Fix i

IE1

■ da;i

dx 2

IC2

dx3 cos Qy dy .

У У У y

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12—01—00020а)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

2. Горбачёв В.И. О колебаниях в неоднородном упругом теле. Упругость и неупругость // Мат-лы. Между-нар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. Москва, 20-21 января 2011 г. М.: Изд-во МГУ, 2011. 319-326.

3. Горбачёв В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 31-37.

4. Горбачёв В.И. Динамические задачи механики композитов // Изв. РАН. Сер. физ. 2011. 75, № 2. 117-122.

5. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.

6. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1976.

Поступила в редакцию 12.11.2014