О распространении тепла в неоднородном стержне с переменным поперечным сечением Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Зисмап Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. 1: механика, молекулярная физика, колебания и волны. М.: Наука, 1974.

11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.

12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.

13. Голямина И.П. Ультразвук. М.: Советская энциклопедия, 1979.

Поступила в редакцию 21.03.2016

УДК 539.30, 519.6

О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕПЛА В НЕОДНОРОДНОМ СТЕРЖНЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

В. И. Горбачёв1

С использование интегральной формулы проведено осреднение связанной задачи термоупругости для неоднородного стержня с переменным поперечным сечением. Найдены эффективные характеристики. Показано, что кроме ожидаемых эффективных констант появляются еще пять независимых констант, которые отражают влияние скорости изменения температуры на напряжения в стержне, продольный поток тепла и распределение энтропии по длине стержня. Особенностью новых констант является то, что они обращаются в нуль в случае однородного материала. Результаты осреднения уравнений термоупругости для неоднородного стержня позволили обоснованно построить новую теорию теплопроводности в стержне, которая отличается от классической тем, что в закон Дюгамеля-Неймана, закон теплопроводности Фурье и в выражение для энтропии добавлены члены, пропорциональные скорости изменения температуры во времени. Показано, что в новой теории теплопроводности скорость распространения гармонических тепловых возмущений зависит от частоты колебаний и имеет конечное значение при частоте, стремящейся к бесконечности.

Ключевые слова: композиционные материалы, теория неоднородной термоупругости, метод осреднения, интегральные формулы в термоупругости.

An integral formula is used to average a coupled problem of thermoelasticity for a nonuniform rod of variable cross section. Effective characteristics are found. It is shown that, in addition to the expected effective constants, there appear five independent constants characterizing the temperature rate change on the stresses in the rod, on the longitudinal heat flux, and on the entropy distribution along the length of the rod. A feature of these new constants is that they become equal to zero in the case of a homogeneous material. The homogenization of the thermoelasticity equations for nonuniform rods allows one to propose a new theory of thermal conductivity in rods. This new theory differs from the classical one by the fact that some new terms are added to the Duhamel-Neumann law, to the Fourier thermal conductivity law, and to the entropy expression. These new terms are proportional to the temperature rate change with time. It is also shown that, in the new theory of thermal conductivity, the propagation velocity of harmonic thermal perturbations is dependent on the oscillation frequency and is finite when the frequency tends to infinity.

Key words: composite materials, theory of nonuniform thermoelasticity, homogenization method, integral formulas in thermoelasticity.

1. Исходная и сопутствующая задачи. Рассмотрим неоднородный по длине упругий стержень с переменным поперечным сечением. Будем предполагать, что центры тяжести всех поперечных сечений расположены на прямой линии, которую примем за ось координат х. Предполагаем также, что все искомые величины равномерно распределены по сечению, зависят от координаты х, 0 ^ х ^ L, ш времени t ^ 0.

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorbyQmail.ru.

Уравнения связанной задачи термоупругости в одномерном случае для неоднородного стержня с постоянным по длине сечением состоят из уравнения движения, соотношения Дюгамеля-Неймана и выражения для продольной деформации:

(lii

а' + Х = ей, а = Ее-¡30 , £ = — . (1)

ах

Здесь штрих обозначает производную по координате х, а точка над символом — производную по времени; и — продольное перемещение поперечного сечения; е — продольная деформация; а — продольное напряжение; Е — модуль Юнга; /3 — коэффициент связности; = Т(х, t) — То — разность температур текущего и начального состояний (отклонение от начального состояния); д — плотность материала; Х(х, t) — распределенная вдоль оси стержня нагрузка.

Тепловая часть уравнений термоупругости состоит из уравнения баланса энтропии, закона теплопроводности Фурье для медленных термодинамических процессов и из выражения для энтропии при |$/То| "С 1:

TS = -q' + w, q = —XT', S = f3e + С£ , (2)

J о

где q — плотность теплового потока, w(x,t) — плотность источников или стоков тепла, S — плотность энтропии, Л — коэффициент теплопроводности, Се — удельная теплоемкость при постоянной деформации.

Коэффициенты Е, (3, А, д, Се являются интегрируемыми функциями продольной координаты х. При переменном сечении все пять коэффициентов умножаются на площадь поперечного сечения F{x).

В случае малого относительного отклонения температуры от естественного состояния, т.е. при |Т — То|/То = I'&l/To <С 1, уравнения (1), (2) можно записать в виде связанной системы линейных уравнений термоупругости относительно компонент вектора перемещений и отклонения температуры от начального значения [1, с. 76]:

(Ей' - РФ)' - дй + Х(х, t) = 0, (А0')' - СеЬ - Тори1 + w(x, t) = 0.

Чтобы выделить единственное решение системы уравнений (3), необходимо добавить граничные и начальные условия для искомых величин u(x,t), rd(x,t). Примем их в виде

U(X^l=0,X=L = U0,L(t), 4x,t)\x=QtX=L = #0,L(t)l u(x, 0) = j(x), й(х, 0) = g(x), i9(x, 0) = h(x).

В случае постоянных термомеханических характеристик и постоянного по длине сечения вместо уравнений (3) имеем

E°v" - р°ф' - g°v + Х(х, t) = 0,

(5)

Х°ф" - С°ф - T0p°v' + w(x, t) = 0,

где v и ip = Т°(х, t) — To — перемещения и относительная разность температур в однородном стержне при тех же самых входных данных, что и в исходной задаче. Задачу для стержня с теми же входными данными, что и в исходной задаче, но из материала с постоянными механическими характеристиками будем называть сопутствующей задачей. В сопутствующие уравнения входят постоянные коэффициенты Е°, д°, /3°, \° и С°. Пока они — произвольные положительные величины. Позже увяжем их с коэффициентами исходных уравнений.

2. Интегральные формулы представления решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи. В работе [2] получены интегральные формулы, представляющие решение исходной трехмерной неоднородной задачи термоупругости через решение сопутствующей задачи термоупругости для однородного тела. Из этих общих формул следуют формулы в одномерном по координате случае:

t L t L

u(x,t)=v(x,t)-J J [E(Z)-E°]u{(x,Z,t-T)v\(Z,T)dZdT-J J [g(0~6°]Ui(x,C,t-r)v(C,r) d^dr + 0 0 0 0

4 Ь

г ь

о о

о о

4 Ь

+ 11 Ш)-Р°] [и^ы-тЖМ+Тое^ы-т^&т)]^^..

(6)

о о

4 £

4 Ь

11 [Е(0-Е°]и1(х,Ы-т)у\(£,т№т-11 [в(0-во]и2(х,Ы-т)Щ,т№т+ 0 0 0 0

4 £

4 £

о о

о о

4 £

+

11 [т ~ Р°][и1(х,(,1-тЖ(,т) +Т0в2(х,(,1-т)уК(,т)]^(1т. (7)

о о

Интегральные представления (6), (7) справедливы при любых входных данных, так как последние явно не присутствуют в этих формулах. Вертикальная черта означает производную по переменной Непосредственной проверкой можно убедиться, что выражения (6), (7) удовлетворяют исходным уравнениям (3), если имеют место сопутствующие уравнения (5), а функции Грина — г),

0/(ж,£,£ — г) (I = 1,2) удовлетворяют следующим уравнениям:

(ЕЩ)' - дй! - (/36/)' = -5п5{х - - г), (Ав^У - С£@! - ТоРЩ = -5п5{х - - т)

и нулевым граничным и начальным условиям (4).

3. Представление в виде рядов. Структурные функции. Предположим далее, что функции и и 1р бесконечно дифференцируемы по всем переменным и раскладываются в ряды Тейлора по времени и координатам, тогда из интегральных формул (6), (7) следует эквивалентное представление в виде рядов по всевозможным производным от перемещений и температуры в однородном стержне:

и(х, ¿) = У(х, ¿) + и$ф(х, <) + £ ^ !,(*) (ж, ¿) + ^ Ф(*> (ж, ¿)

Р+<7=1

(9) с№

(ч) д&

(8)

р^гО;

, *) = #М) + £ К") ^ ^ + ^ ^ г)

р+д= 1 р^гО;

г(р) 7т(р) дж(р) Т/(р)

(9)

В формулах (8) и (9) функции Л^, по сути дела, — это взвешенные моменты тен-

зоров Грина исходной задачи, непрерывные функции переменных х и причем = 1, М^ = 1,

= 0. Кроме того, все перечисленные функции обращаются в нуль в том случае, когда свойства исходного и сопутствующего тел совпадают. В этой связи попробуем удовлетворить всем условиям исходной задачи, считая, что все функции Л^, и^, М^, зависят только от координаты х. В этом случае перемещение и температура в виде рядов (8), (9) удовлетворяют граничным условиям (4), если

и{0) М(0)

х=0,х=Ь

= [0, 1]

д^, Ыд1 м^, у({д1

(«О' (р) ' (Р) ' (Р)

х=0,х=Ь

= 0 при р + д ^ 1. (10)

Будем называть функции Л^, 17$, М^, У^ структурными функциями, поскольку их появление связано с неоднородностью свойств материала стержня, а также с его переменным поперечным сечением (если этот факт имеет место). Подстановка рядов (8), (9) в исходные уравнения (3) с учетом уравнений (5) сопутствующей задачи приводит к рекуррентным уравнениям для структурных функций.

Распишем эти уравнения подробно для случаев р + д = 0 и р + д = 1. Структурные функции с индексом р д = 0, т.е. М^, являются постоянными, что следует из представления

в виде рядов. Неопределенной остается только функция С^ц)' Для котоР°й получается следующая задача:

Еи^-Р

= 0, и$(0) = и^>(Ь) = 0,

* /%) - (Р/Е)/(1/Е)

откуда имеем

и(о)(х) = /

Е(У)

йу.

Угловые скобки обозначают среднее по длине стержня. Рассмотрим далее случай р + д = 1: 1) если р = 0, д = 1, то

(о)

0.

XV,

(о )/■

(1)

'ЕКУ + с® " рмЦП' - (Р/Е)/(1/Е) = -0°

+1)

(11)

2) если р = 1, д = 0, то

КТ-^/о1)

= 0,

XV,

(1)/'

(о)

0,

хм,

(1)/'

(о)

-Се- Т0ри$' = -С,

(12)

Прежде чем идти дальше, определимся с константами /3° и С° сопутствующих уравнений (5), входящими в уравнения (11), (12), увязав их с коэффициентами исходной задачи. Для этого положим

РР = {- Еи+ /ЭМ%>) = (Р/Е)/(1/Е

(о).

С° = {Се + Т0ри^') = {Се) + То

(1/Е)

(13)

После этого из уравнений (11), (12) с учетом граничных условий (10) находим

= о у(1) = о = о

у(1) - и' у(о) - и> 1У(о) - и'

=

1

ЕШУЩ

-1

йу,

< =

1

КУ) <1/А

-1

йу,

<<*> - /

Е(У)

йу -

йу

Е(У) (1/Е)

Е

(0)

(1) тт{0) и(0)

М$(х) =

А (У)

Се(г) - <С£

йг —

йу

У Х(у)(1/Х) \АШ

о х о

Се(г) - (Се

йг

йу

Е(У) (1/Е)

Е(°)

Се(х) = Се+ Т0ри= Се(х) + Т0|Ц

Р{х) - (р/Е)/(1/Е)

Запись и интегрирование уравнений, соответствующих индексу р+д = 2, не представляет труда. Однако мы этого делать не будем, поскольку используем уравнения с индексом р + д = 2 лишь для определения коэффициентов сопутствующих уравнений:

1

1/Я

д=(д.

(14)

4. Формулы для напряжения, количества движения, потока тепла и энтропии. По

формулам (8), (9) найдем ряды для напряжения, потока тепла, энтропии и количества движения. Сохраним в этих рядах только слагаемые, у которых р д = 0 и р д = 1:

1

а

[УК

, Ф/Е) .

■ V —,. , ф —

1

1/Е)^ <1 /Д)\Д (°)

1

'т

(0) (1)

т

Е

-и,

(о) (о)

У:

ди^ду

(15)

1/А

П

где

№ = Р

+1

Р{Х)

То т То Р(х)

(16)

ЕШ1/Е)

Се(х) = Се + Тори^' = Се(х) +ТоЕ^х)

Р(х)-(Р/Е)/(1/Е)

т{х) = АМ«' = / [С£(у) - {Се)]<1у -

х(х) = Тори '' + СеМ ' =\Се +

£ Е

<р(х) = ТоР(и^ + + СеМ%> =[Се + ^\ м$ _ ТоР {

г(0)

(0)

ТоР2

г(°)

/К) ^

\ £

Как видно, в первом приближении скорость перемещения точки V не влияет на напряжение и плотность энтропии, а на поток тепла влияет только градиент температуры ф' и скорость изменения температуры ф. Количество движения в первом приближении представляется только через V.

5. Основные и дополнительные эффективные коэффициенты. Предположим теперь, что коэффициенты неоднородного стержня являются быстроосциллирующими, периодическими с периодом I <С Ь функциями продольной координаты. Тогда и все структурные функции являются периодическими быстроосциллирующими функциями продольной координаты с тем же самым периодом, что и у коэффициентов. В этом случае гладкие функции у(х) и ф(х) вместе со своими производными мало меняются в пределах периода. Усредняя формулы (15), (16) в пределах любого из периодов О, получаем

(<7>0 и Ел V1 -РЛФ- 7е® ф - ХЛ Ф' :

-Алф' -тлф,

(17)

, О /

г^еК

(<3)о = (бй)о ~ длу.

(18)

Здесь Ее® = Е°, /3е® = Р°, Ае® = А°, С|® = С°, де® = д° — эффективные коэффициенты термоупругости, с помощью которых средние напряжения, средний поток тепла и средняя плотность энтропии выражаются через V1, ф и которые как раз и есть средние величины в ячейке. Как видно из формул (13), (14) и (17), (18), ранее определенные по формулам (13), (14) коэффициенты сопутствующей задачи совпадают с классическими эффективными коэффициентами термоупругости (см. [3, 4]).

Кроме перечисленных пяти эффективных коэффициентов мы имеем еще пять дополнительных эффективных коэффициентов 7е®, те®, которые обращаются в нуль в однородном

случае. Новые эффективные коэффициенты, так же как и старые, выражаются через пять термоупругих коэффициентов исходной задачи:

=-([Еи$ - РМ$]) ,

т* = <АМ«'> =

1 -

Се(у) - (С£) йу

<Р* = =

ус

.ей

У(1) + То

ри'7 + — с£м,

Се +

X

ей

(0) (1)

То/3* Е

м,

ей

'т

Е

-То/?'

(0)

(1) _гг(0)

' (ЗМ

Е

(0)

(1) тт{0) и(0)

6. Обобщенное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Представим теперь, что тепловые процессы в однородном стержне описываются следующими соотношениями:

Тв = —д' + уи , д = -Хф'-тЬ,

(19)

Подчеркнем еще раз, что вид уравнений (19) подсказан осреднением уравнений нестационарной задачи термоупругости для неоднородного стержня. Из уравнений (19) получаем линеаризованное уравнение теплопроводности

АТ - СеТ + тТ - кТ +ю = 0.

новые члены

Т = Т — (р.

(20)

Оно отличается от классического уравнения теплопроводности параболического типа наличием двух дополнительных новых членов, которые меняют тип уравнения, что приводит к конечной скорости распространения тепловых возмущений. Пусть на торце х = 0 теплоизолированного по боковой поверхности стержня задана гармоническая температура То + Ае~шг, где А — действительная амплитуда колебаний, г — мнимая едеиница, со — круговая частота. Положим ии = 0, тогда решение гиперболического уравнения (20), удовлетворяющее граничному условию Т(0, ¿) = То + Ае~ш1 и принимающее значение То на бесконечности, имеет вид

Т(х,г) = То + Ае~кх ег(гх-Ш*))

(21)

где

к =

шС£ 1/ г2

"Г' а( 4а

X

у = arctan — , г = —— + к у/1 + ш2Ъ2 сое шо 2А 2

7. Предельная скорость распространения тепла. Решение (21) представляет собой гармоническую тепловую волну, распространяющуюся вправо от границы стержня. Амплитуда температурной волны, равная А на границе стержня, убывает с удалением от нее по экспоненте. При т ф 0 и ус ф 0 скорость распространения волны, ограниченная в случае роста частоты колебаний, определяется по формуле

ш

X

+ \/1 + ш2Ъ2 сое (75 аг^ап ^

2А

? +

С,

т2

к+ш:

Если в формуле (22) положить т = 0, а ус ф 0, то уравнение (20) останется гиперболическим, при этом b = к/\ и для скорости тепловой волны получается более простое, ограниченное по частоте выражение

с_ _\[Щ(Те__Л

+ w2x2/A2 cos arctan

Если же ус = 0, а т ф 0, то

л/ш _ Л

+ ^Я* yi + w2r4/(4ЛСе)2 cos arctan f'

А если в формуле (22) положить т = 0 и х = 0, то из нее получим формулу для неограниченной по частоте скорости тепловой волны, такую же, как и в классическом случае:

с = л/2ш\/~С~е —> оо .

ш—>оо

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "ТГПУ им. JI.H. Толстого" при финансовой поддержке Мин-обрнауки РФ (проект № 14.577.21.0207, уникальный идентификатор проекта RFMEFI57715X0207).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

2. Горбачев В.И. Интегральные формулы в связанной задаче термоупругости. Применение в механике композитов // Прикл. матем. и механ. 2014. 78, № 2. 277-299.

3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

4. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Эдиториал УРСС, 2003.

Поступила в редакцию 22.04.2016