Исследование связанных свободных колебаний галопирования и подёргивания в однородном поезде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 625.282.01 1.1(088.8)

Ф. А. Доронин

ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗАННЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ГАЛОПИРОВАНИЯ И ПОДЁРГИВАНИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЕЗДЕ

Рассматривается расчетная схема, моделирующая однородный поезд в виде континуальной системы и позволяющая учесть связь колебаний галопирования и подёргивания экипажей в поезде. В результате решения системы уравнений в частных производных определены собственные частоты и формы колебаний. Выявлена структура спектра частот свободных колебаний. Этот факт может быть учтен при изучении вынужденных колебаний вагонов в поезде.

связанные колебания, однородный поезд, собственные частоты, собственные формы колебаний, продольные усилия.

Введение

В работе исследованы в линейной постановке малые свободные связанные колебания галопирования и подёргивания вагонов в однородном поезде без учета сопротивления движению (рис. 1).

Рис. 1

Все вагоны в поезде считаются симметричными и одинаково загруженными, а масса локомотива предполагается равной массе вагона. Продольная податливость хребтовой балки вагона не учитывается, а силы упругости автосцепок считаются подчиняющимися закону Гука.

1 Дифференциальные уравнения движения одиночного вагона

Рассмотрим i-й одиночный вагон однородного поезда (рис. 2). Так как для симметричного вагона колебания подпрыгивания отделяются от других

120

видов колебаний (они оказываются не связанными с колебаниями подёргивания и галопирования), то будем считать, что в вертикальной плоскости вагон имеет две степени свободы. За обобщённые координаты системы примем горизонтальное смещение x тележки и угол поворота фк, кузова i-го вагона.

/к

Рис. 2

При выводе дифференциальных уравнений движения вагона примем следующие обозначения: т Jk - масса и момент и инерции кузова i-го вагона относительно центральной оси; тт - масса тележки i-го вагона; ткп, J ; R -масса, момент инерции и радиус круга катания колесной пары i-го вагона; с -коэффициент жёсткости рессорного комплекта тележки i-го вагона; Та - усилие, необходимое для полного сжатия поглощающего аппарата автосцепки; n - число вагонов в поезде; L - длина поезда; хп - длина хода поглощающего аппарата автосцепки. Остальные обозначения приведены на рисунках 1 и 2.

Запишем уравнения Лагранжа II рода для консервативной системы:

dT) dT _ an,. d (dT,) dT dn,

laXTi J 1 Г\ i dt 1дф, J дФ, дф,

(1)

Составим выражение кинетической энергии i-го вагона как сумму кинетических энергий его кузова и двух тележек:

T = T

I к,

+ 2T

Т, '

(2)

Кинетическая энергия кузова i-го вагона, совершающего плоское движение,

T = тк. vc,

+

т * 2

JKi ф i

(3)

где vCi = Хк, (XTi + АФ/) = vAi + h<i>, = Хт, + h<i>,> xK = XTi +

dt

координата центра тяжести кузова -го вагона соответственно.

скорость и

121

С учетом этих выражений формула (3) приобретает вид:

T . =

к

2

тк (+ йф i) , Jk ф2

(4)

Кинетическую энергию тележки определим как сумму кинетических энергий её рамы и двух колесных пар:

+ 2тк.п/')

X

Ti

J x

+ 2 к .ni Ti

2 R2

(5)

Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), после преобразований получим:

f j Л

t, = m + 2 + 2ткп + 2-5f

V R J

+ ( Jk + mKh 2 )y + mKihXTi ф.

X

Ti

+

(6)

Запишем выражение для потенциальной энергии одиночного i-го вагона с точностью до величин второго порядка малости как сумму двух слагаемых - потенциальной энергии рессорных комплектов двух тележек и потенциальной энергии, соответствующей силе тяжести кузова вагона:

П i = 2с1ш

2 Ф,

(7)

В этом выражении статические деформации рессорных комплектов исключаются после применения условий покоя консервативной системы.

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнения (1), приходим к дифференциальным уравнениям движения одиночного вагона:

+ 2

Ki

с j л

mTi + 2 mK.ni + 2-Kf

R J

XTi + тюЛф i = 0

mKihXTi +(JKi + mKihl )ф +(2clK - mKiSh)ф, = °-

(8)

122

2 Дифференциальные уравнения движения однородного поезда

Перейдём от системы с сосредоточенными параметрами и конечным числом степеней свободы (поезд, состоящий из n одинаковых вагонов) к континуальной системе с бесконечным числом степеней свободы, в которой все инерционные и жесткостные параметры равномерно распределены по длине поезда 1.

Будем считать, что поезд представляет собой однородный упругий стержень 1, имеющий продольную жёсткость c распределённую массу цт. Этот стержень с помощью кинематических преобразователей связан с распределённой массой цк и распределённым моментом инерции кузовов экипажей,

входящих в поезд (рис. 3).

Рис. 3

Обобщённая координата хт = f (x,t) является функцией двух переменных - координаты х, характеризующей положение поперечного сечения поезда вдоль его длины, и времени t.

Дифференциальные уравнения свободных связанных колебаний галопирования и подёргивания однородного поезда как континуальной системы имеют вид:

(9)

1 Теория колебаний в транспортной механике : учеб. пособие / В. С. Доев, Ф. А. Доронин, А. В. Индейкин. - М. : Учебно-методич. центр по образованию на ж.-д. транспорте, 2011. -352 с. - ISBN 978-5-9994-0028-4.

123

где Пт =

n

2n

L

mT + 2m + 2 J4n.

1 к-и T>2

R

2n n TalB

Пк =— тк; Пф=у Jк; ca = ;

L L 2 x„

сосн = — (2clK: - mKgh); x - координата, характеризующая положение попе-

L

речного сечения в поезде.

Решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (9) будем искать методом Фурье (методом разделения переменных) в виде:

хт = X (x) [ A sin(nt) + B cos(nt) ]; Ф = X (x) [C sin(nt) + D cos(nt)], (10)

где A, B, C, D - постоянные интегрирования; X (x) - некоторая функция координаты x, характеризующая форму колебаний и удовлетворяющая граничным условиям.

Подставляя выражения (10) в уравнения (9), получаем:

■ (п к + П т) П2 [ A sin(n t) + B cos(n t)] X (x) - hnK n2 [C sin(n t)

+

+D cos(n t)]X(x) - ca [ A sin(n t) + B cos(n t)]

d2 X (x) dx 2

(11)

= 0;

-hnк n2 [ A sin(n t) + B cos(n t)] X (x) - (пф + nKh2) n2 [C sin(n t) + D cos(nt)] X (x) + сосн [C sin(nt) + D cos(nt)] X (x) = 0.

Из уравнений (11) и (12) находим:

[ A sin(nt) + B cos(nt)] x

(12)

x<

X (x)

-h2i4 n4

(Пф + Пк h 2 )n2

(Пк +Пт )n2

осн

d2 X (x) dx1

0.

Или

d2X(x) . 2

dx2

+ Г X (x) = 0,

(13)

где

=n

с

2

(|к + Пт )

/222 h П к n

осн

(Пф+Пк h 2 )n2

(14)

124

Решение дифференциального уравнения (13) имеет вид:

X (x) = Q sin(Xt) + C2 cos(Xt), (15)

где С1, С2 - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Для стержня со свободными концами продольная сила на этих концах должна быть равна нулю и граничные условия имеют вид:

Или

( дхт л = 0- ( dxT л

V дх у — 0- x=0 V dx у x=L

( dX (x) ^ = 0- ( dX (x) ^

V dx у '“'j x=0 v dx у x

= 0.

= 0.

Удовлетворяя граничным условиям, приходим к уравнению частот:

sin(XL) = 0.

(16)

Корни уравнения (16) называются погонными частотами и имеют вид:

X * =

* п L

* = 0,1,2,...

(17)

С учетом этого результата формы колебаний (15) записываются следующим образом:

X (x) = C2 cos

( * п ^ —t

V L у

(18)

Отметим, что при k = 0 частота X* = 0. Этот случай соответствует движению системы как совокупности твёрдых тел.

Подставляя частоты (17) в выражение (14), приходим к биквадратному уравнению

Г

4 2

п -п

*п

L

(^ср +^кh ) + Сосн (Хк +^т )

Цф(Цк +^т ) + ^кIXhh

2

+

Сосн Ca

*п

L

Нчр(^к + Х ) + ^кIXhh

= 0,

125

корни которого являются временными частотами механической системы:

nik ,2k

k п L

(Цф+Цкh2 ) + Сосн (Цк + Цт )

2 [М^к +Цт ) + ЦкЦт^ ]

.+

+

(19)

2 [Цф(Цк + Цт ) + Цк Цт h ] I Цф(Цк +Цт ) + Цк Цт h

Общее решение уравнений (9) представляет собой наложение частных решений (перемещение системы как совокупности твердых тел здесь не рассматривается):

X,

= Ё cos

f

к=1

к п

Л

—X

V L J

[ Л- sin(nu'0 + B1k cos(n1ki) +

(20)

+A2к sin(n2kt) + B2k cos(n2kt)];

ф = ^ cos

k=1

f /^ лт Л

k п

L

-x

V ^ J

^Цк Пи

Сосн -(Цф+Цк^ Kk

[ A1k sin(n1kf) + B1k cos(n1kf)] +

^Цк n2k

(21)

Сосн -(Цф+Цк^ )Пk

[A2k sin(n2kf) + B2k cos(n2kf)]}.

Постоянные A1k, A2k, B1k, B2k определяются из начальных условий. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 перемещения хт сечений поезда, углы поворота ф, скорости сечений Хт и угловые скорости ю заданы уравнениями:

X

,=0 = fx(x); ф ,=0=/ф(x); хт t=0 = fv(x); ф ,=0 = /(x).

t=0

ф

т t=0

t=0

Подставляя t = 0 в уравнения (20) и (21) и производные от этих уравнений по времени, получаем:

Ю

fx (X) = Z cos

k=1

r k п Л

—X

V L J

[B1k + B2k ];

126

L( X )

S C0S

к= 1

f Is TT Л

к п L

x

V ^ J

ййк Пи

'(йф+йкh2 )п1к

f к п ^

= S cos —X

к=1 VL J

В1к + ■

hVK nlk

"оси (йф +йкh )П2к

В

2k

[п1кА1к + П2кА2к ];

L(x) =

= S cos

к=1

f Is IT Л

к п L

x

V ^ J

h^K П1к

'А1к + ■

h^K Пк

Соси -(йф + йкh2 )nu- Сосн -(йф+йкh2 )п2к

А

2 к

Используя свойство ортогональности форм, приходим к системе урав-

нений:

Bu+в2к = w; «1в1к + а2в2к = w;

п1кА1к + П2кА2к = wv; п1ка1 А1к +п2ка2А2к = w

СО ’

где wxt = J j fx (x)cos

L 0

2 L

ук = 7! fv (x)cos

L 0

f Is TT Л

к п L

x

V ^ J

^ к п ^

dX; = 7 J L(x)cos

L 0

/•" TT Л

кп

L

x

w

a

hV- K П1к

— x

V L J

2

dX; Wt = 7 J f (x)cos

L 0

V ^

f Is TT Л

кп

L

x

dx;

dx;

V ^ J

1к

оси

(йф+йк h 2 )п1к

'; a 2 к

h^K Л2к

оси

(йф+йкh 2 )п2к

Из этой системы уравнений находим постоянные интегрирования А

А2Р В1к и В2к:

1Р

А = Wvкa2к - WЮk . А = -alkWvk

^1к _ / \ ’ ^2 к ~

П1к (a2к а1к )

П2к (a2к а1к )

(22)

127

(23)

Bk =

w,

фk

a2kWxk

а1к a2k

B2 к =

Wxk а1к

w

фк

aik a2k

В качестве примера определим частоты и формы малых свободных связанных колебаний галопирования и подёргивания в однородном поезде, составленном из грузовых вагонов типа 11-217, оборудованных двухосными тележками ЦНИИ-Х3 модели 18-100. При проведении расчета приняты следующие значения параметров: тк= 77 500 кг; тт + + 2/и =4150 кг; J = 1,25- 106кг м2;1/ =100кг м2; с = 8106 Н/м; Т = 2106 Н; l = 5 м; l = 14,73 м; x =

’а ’к ’в ’ ’и

= 0,12 м; R = 0,475 м; h = 0,575 м; n = 50.

Графики зависимостей частот свободных колебаний, определяемых по формуле (19), от номера k представлены на рисунке 4.

В качестве примера будем считать, что в начальный момент времени t = 0 перемещения хт сечений поезда, углы поворота ф, скорости сечений

20 40 60 Рис. 4

х и угловые скорости ю заданы уравнениями:

fx (х) = 0,003

/ф (х) = 0,003

/ (х) = 0,003

/ (х) = 0,003

( к

V f

(

V

f

V f

V

5cos5

6cos5

2cos5

3cos5

f 3п Л - 8 / 'Х ^4п > ^ 4 f 2п ЛЛ

х О О х + 6cos х

V L У \ У V L УУ

f 2п Л - 8 f п Л / ~ 4 ^4п лл

х cos6 —х + 9cos —х ;

V L У V L У V L УУ

f 3п Л 3 f 4п \ 3 f 2п лл

х - 4 О О х + 3cos3 х

V L У V L У V L УУ

f 2п Л f п Л г 4 ^4п ЛЛ

х - 5 cos6 —х + 6cos —х .

V L У V L У V L УУ

На рисунке 5 представлены графики начальных функций / (х), / (х), / (х) и/ (х).

После определения постоянных интегрирования по формулам (22) и (23) и подстановки этих постоянных в уравнения (20) и (21) получаем уравнения движения хт = хт (х, t) и ф = ф (х, t).

На рисунках 6 и 7 показаны распределения перемещений и углов поворота сечений балки по ее длине в моменты времени t1 = 1,52п/п1 (1) = 0,528 с и t2 = 22п/п1 (1) = 0,704 с.

128

0,03

0,015

0

-0,015

-0,03

fx(x) МХ) fvb) Ux)

ь 7 А / \

Jr ** \Ч J г *• V ' i

\ V. « У ' •1 и

\ у

х,м

100

300 Рис. 5

500

700

Продольные усилия N(x,t) в сечениях поезда можно определить по формуле:

дх дх

N (х, t) = SE^ = cL^ дх дх

p

= cLхт = -сп£ k sin

k=1

г к п v L

х

T (t),

(24)

где S - поперечное сечение стержня; Е - модуль Юнга; p - количество членов

ряда; T(t) = А^к sin(0ikt) + Bik cos(0ikt) + A2к sin(nkt) + B2k cos(02kt) •

На рисунке 8 представлены графики зависимостей продольного усилия в сечениях балки от пространственной координаты в заданный момент времени при суммировании различного числа p членов ряда (24). При этом график N (х, t1) соответствует случаю суммирования первых пяти членов ряда (р = 5), график N1 (х, t1) - случаю, когда (р = 10), график N2 (х, t1) - случаю, когда (р = 15), график N3 (х, t1) - случаю, когда (р = 20).

129

На рисунке 9 представлены графики изменения продольных усилий в заданных сечениях поезда (х = 0,25L; 0,5L; 0,75L) в зависимости от времени.

Заключение

Спектр частот (см. рис. 3) содержит два непересекающихся множества {n1k} и {n2k} собственных частот свободных колебаний поезда. Это обстоятельство не усматривается при исследовании только продольных колебаний либо только колебаний галопирования. В области частоты свободных ко-

лебаний галопирования вагона (пг =

\2clk - mkgh Jk + mkh 2

= 17,7 с 1) наблюдается

сгущение спектра частот колебаний поезда. Расчеты показывают, что при значениях k = 1...80 половина всех частот спектра находится в интервале от 0,14 с1 до 19 с1. Этот факт должен учитываться при исследовании вынужденных колебаний рассматриваемого поезда.

Анализ кривых, представленных на рисунке 8, показывает, что вид этих графиков зависит от количества суммируемых членов ряда (при 1 < p < 15), а учет большего числа членов ряда (р >15) не оказывает заметного влияния на форму графика (кривые N2 (x, t1) и N3 (x, t1)).

© Доронин Ф. А., 2012

130