Нахождение упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки с отверстиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

УДК 539.374

НАХОЖДЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЫ В ЗАДАЧЕ О РАСТЯЖЕНИИ

ПЛАСТИНКИ С ОТВЕРСТИЯМИ

О. В. Гомонова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: gomonova@sibsau.ru

Приводится методика построения упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки конечной ширины, ослабленной двумя круговыми отверстиями одинакового радиуса. В методике используются законы сохранения.

Ключевые слова: упруго-пластическая граница, законы сохранения, точное решение.

FINDING ELASTOPLASTIC BOUNDARY IN A PROBLEM OF A HOLED PLATE TENSILE

O. V. Gomonova

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: gomonova@sibsau.ru

A technique to construct elastoplastic boundary in a problem of tensile of finite width plate holed by two circular apertures of the same radius is considered in the research. Conservation laws are used in the proposed technique.

Keywords: elastoplastic boundary, conservation laws, exact solution.

В ракетно-космической технике, самолёто- и судостроении широко используются конструкции, целостность которых нарушена различного рода отверстиями. Вокруг них при эксплуатации конструкций возникают зоны концентраций напряжений, упругие и пластические области [4]. Знание границ раздела данных областей позволяет более точно рассчитать допустимые нагрузки на элементы механизмов в процессе их использования.

В представленной работе предлагается методика нахождения упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки конечной ширины, ослабленной двумя круговыми отверстиями одинакового диаметра. Для решения задачи используется техника законов сохранения. Определение границы между упругой и пластической областями - одна из сложнейших задач механики деформируемого твердого тела [5]. Эта граница заранее не известна и определяется в процессе решения упруго-пластической задачи. В ряде случаев ее форму можно угадать из общих соображений [1].

Для построения границы необходимо решить упруго-пластическую задачу, в случае плоского напряженного состояния, для области, ограниченной контуром Г, состоящим из внешнего контура Г и двух внутренних - Г2 и Г3 (см. рисунок).

На Г ставятся следующие граничные условия:

uxn1 + тя2 = X, ступ2 + щ = Y,

°x2 y2 -CTxCTy + 3т2 = 3k2, (1)

где n = (n1, n2) - нормальный вектор к контуру Г.

Г1

Решение поставленной задачи состоит из трех этапов. Первый заключается в решении уравнения Лапласа ДЕ = 0 с граничными условиями Е |г = (стх + сту ) (стх, ст - функции из условий (1)). Второй этап состоит в нахождении функций стх, ст , т в каждой точке (х0, у0) области по следующим формулам:

2^стх ( Уо )= | (( + и2т + /

Г1+Г2 +Г3

-(®2ст х +®1т + ) ^ (2)

Уо )= | (2ст х+®2 т+2 Г1+Г2 +Г3

-(®2стх +®2т + %2 ) ^ (3)

ст у = Е-ст х, (4)

Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

где

х - х0

(х - х0 )2 +(y - 2 y0)

y - y0

(х - х0 )2 +(y ■ \2 - y0)

y - y0

(х - х0 )2 +(y - -Л>)

х - х0

2 _-2-2'

(х - х0 ) + (у - у0 )

/1 = 0 /2 = 0, gl = |ю2 №, g2 = |ю2 №.

На третьем этапе проверяется условие пластичности сх2 + су2 - ахау + 3т2 = 3к2 в каждой внутренней

точке области, ограниченной контуром Г.

Подробнее с методикой применения законов сохранения для решения упруго-пластических задач можно ознакомиться в трудах [2; 3], где получено решение задачи о построении упруго-пластической границы для двусвязных областей.

Автор благодарит профессора С. И. Сенашова за постановку задачи и обсуждение результатов.

Библиографические ссылки

1. Сенашов С. И., Филюшина Е. В., Гомонова О. В. Построение упруго-пластических границ с использованием законов сохранения // Вестник СибГАУ. 2015. Вып. 16. № 2. С. 343-359.

2. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Об упругопла-стическом кручении стержня, находящегося под действием давления, меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. «Механика предельного состояния». 2015. № 1(23). С. 75-84.

3. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Нахождение упруго-пластической границы для областей конечных размеров // Решетневские чтения : материалы XVIII

Междунар. науч. конф. (11-14 нояб. 2014, г. Красноярск). В 2 ч. Ч. 2 / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2014. С. 155-156.

4. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев : Наукова думка, 1968. 888 с.

5. Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. М. : Наука, 1984. 232 с.

References

1. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elastoplastic Boundaries Using Conservation Laws // Vestnik SibGAU, 2015. Vol. 16, No. 2. Рр. 343-359.

2. Senashov S. I., Gomonova O. V. Ob uprugoplasticheskom kruchenii sterznya, nahodya-shchegosya pod deystviem davleniya, menyayushchegosya vdol' obrazuyushchei. [About Elastoplastic Torsion of a Rod Under the Action of Pressure Changing Along the Generatrix] Сенашов // Vestnik Yakovlev ChGPU. Series: Mechanics of Limiting State, 2015. № 1 (23). Pp. 75-84. (In Russ.)

3. Senashov S. I., Gomonova O. V. Nahozhdenie uprugoplasticheskoy granitsy dlya oblastey konechnykh razmerov [Determination of Elastoplastic Boundary for the Domains of Limit Sizes] // Materialy XVIII Mezhdunar. nauch. conf. "Reshetnevskie chteniya". [Materails XVIII Intern. Scientific Conf. "Reshetnev Readings"]. Krasnoyarsk, November 11-14, 2014. Vol. 2. Pp. 155-156. (In Russ.)

4. Savin G. N. Raspredelenie napryazheniy vokrug otverstiy [Stress Distribution Around the Holes]. Kiev : Naukova Dumka Publ., 1968. 888 p. (In Russ.)

5. Galin L. A. Uprugoplasticheskie zadachi [Elastoplastic Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 232 p. (In Russ.)

© Гомонова О. В., 2016

УДК 519.63

НЕТОЧНЫЙ МЕТОД УЗАВЫ - СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ СТОКСА

ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ1

Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова*, И. В. Киреев

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: e.d.karepova@icm.krasn.ru

Для решения системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой предложен и обоснован модифицированный неточный метод Узавы - сопряжённых градиентов. Проведены численные эксперименты.

Ключевые слова: уравнения Стокса, седловая задача, метод конечных элементов, метод Узавы, градиентный метод.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00296).