Научная статья на тему 'Нахождение упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки с отверстиями'

Нахождение упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки с отверстиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
74
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ ГРАНИЦА / ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ / ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ / ELASTOPLASTIC BOUNDARY / CONSERVATION LAWS / EXACT SOLUTION

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Гомонова О. В.

Приводится методика построения упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки конечной ширины, ослабленной двумя круговыми отверстиями одинакового радиуса. В методике используются законы сохранения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Finding elastoplastic boundary in a Problem of a Holed plate tensile

A technique to construct elastoplastic boundary in a problem of tensile of finite width plate holed by two circular apertures of the same radius is considered in the research. Conservation laws are used in the proposed technique.

Текст научной работы на тему «Нахождение упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки с отверстиями»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

УДК 539.374

НАХОЖДЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЫ В ЗАДАЧЕ О РАСТЯЖЕНИИ

ПЛАСТИНКИ С ОТВЕРСТИЯМИ

О. В. Гомонова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Приводится методика построения упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки конечной ширины, ослабленной двумя круговыми отверстиями одинакового радиуса. В методике используются законы сохранения.

Ключевые слова: упруго-пластическая граница, законы сохранения, точное решение.

FINDING ELASTOPLASTIC BOUNDARY IN A PROBLEM OF A HOLED PLATE TENSILE

O. V. Gomonova

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

A technique to construct elastoplastic boundary in a problem of tensile of finite width plate holed by two circular apertures of the same radius is considered in the research. Conservation laws are used in the proposed technique.

Keywords: elastoplastic boundary, conservation laws, exact solution.

В ракетно-космической технике, самолёто- и судостроении широко используются конструкции, целостность которых нарушена различного рода отверстиями. Вокруг них при эксплуатации конструкций возникают зоны концентраций напряжений, упругие и пластические области [4]. Знание границ раздела данных областей позволяет более точно рассчитать допустимые нагрузки на элементы механизмов в процессе их использования.

В представленной работе предлагается методика нахождения упруго-пластической границы в задаче о растяжении пластинки конечной ширины, ослабленной двумя круговыми отверстиями одинакового диаметра. Для решения задачи используется техника законов сохранения. Определение границы между упругой и пластической областями - одна из сложнейших задач механики деформируемого твердого тела [5]. Эта граница заранее не известна и определяется в процессе решения упруго-пластической задачи. В ряде случаев ее форму можно угадать из общих соображений [1].

Для построения границы необходимо решить упруго-пластическую задачу, в случае плоского напряженного состояния, для области, ограниченной контуром Г, состоящим из внешнего контура Г и двух внутренних - Г2 и Г3 (см. рисунок).

На Г ставятся следующие граничные условия:

uxn1 + тя2 = X, ступ2 + щ = Y,

°x2 y2 -CTxCTy + 3т2 = 3k2, (1)

где n = (n1, n2) - нормальный вектор к контуру Г.

Г1

Решение поставленной задачи состоит из трех этапов. Первый заключается в решении уравнения Лапласа ДЕ = 0 с граничными условиями Е |г = (стх + сту ) (стх, ст - функции из условий (1)). Второй этап состоит в нахождении функций стх, ст , т в каждой точке (х0, у0) области по следующим формулам:

2^стх ( Уо )= | (( + и2т + /

Г1+Г2 +Г3

-(®2ст х +®1т + ) ^ (2)

Уо )= | (2ст х+®2 т+2 Г1+Г2 +Г3

-(®2стх +®2т + %2 ) ^ (3)

ст у = Е-ст х, (4)

Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

где

х - х0

(х - х0 )2 +(y - 2 y0)

y - y0

(х - х0 )2 +(y ■ \2 - y0)

y - y0

(х - х0 )2 +(y - -Л>)

х - х0

2 _-2-2'

(х - х0 ) + (у - у0 )

/1 = 0 /2 = 0, gl = |ю2 №, g2 = |ю2 №.

На третьем этапе проверяется условие пластичности сх2 + су2 - ахау + 3т2 = 3к2 в каждой внутренней

точке области, ограниченной контуром Г.

Подробнее с методикой применения законов сохранения для решения упруго-пластических задач можно ознакомиться в трудах [2; 3], где получено решение задачи о построении упруго-пластической границы для двусвязных областей.

Автор благодарит профессора С. И. Сенашова за постановку задачи и обсуждение результатов.

Библиографические ссылки

1. Сенашов С. И., Филюшина Е. В., Гомонова О. В. Построение упруго-пластических границ с использованием законов сохранения // Вестник СибГАУ. 2015. Вып. 16. № 2. С. 343-359.

2. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Об упругопла-стическом кручении стержня, находящегося под действием давления, меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. «Механика предельного состояния». 2015. № 1(23). С. 75-84.

3. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Нахождение упруго-пластической границы для областей конечных размеров // Решетневские чтения : материалы XVIII

Междунар. науч. конф. (11-14 нояб. 2014, г. Красноярск). В 2 ч. Ч. 2 / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2014. С. 155-156.

4. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев : Наукова думка, 1968. 888 с.

5. Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. М. : Наука, 1984. 232 с.

References

1. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elastoplastic Boundaries Using Conservation Laws // Vestnik SibGAU, 2015. Vol. 16, No. 2. Рр. 343-359.

2. Senashov S. I., Gomonova O. V. Ob uprugoplasticheskom kruchenii sterznya, nahodya-shchegosya pod deystviem davleniya, menyayushchegosya vdol' obrazuyushchei. [About Elastoplastic Torsion of a Rod Under the Action of Pressure Changing Along the Generatrix] Сенашов // Vestnik Yakovlev ChGPU. Series: Mechanics of Limiting State, 2015. № 1 (23). Pp. 75-84. (In Russ.)

3. Senashov S. I., Gomonova O. V. Nahozhdenie uprugoplasticheskoy granitsy dlya oblastey konechnykh razmerov [Determination of Elastoplastic Boundary for the Domains of Limit Sizes] // Materialy XVIII Mezhdunar. nauch. conf. "Reshetnevskie chteniya". [Materails XVIII Intern. Scientific Conf. "Reshetnev Readings"]. Krasnoyarsk, November 11-14, 2014. Vol. 2. Pp. 155-156. (In Russ.)

4. Savin G. N. Raspredelenie napryazheniy vokrug otverstiy [Stress Distribution Around the Holes]. Kiev : Naukova Dumka Publ., 1968. 888 p. (In Russ.)

5. Galin L. A. Uprugoplasticheskie zadachi [Elastoplastic Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 232 p. (In Russ.)

© Гомонова О. В., 2016

УДК 519.63

НЕТОЧНЫЙ МЕТОД УЗАВЫ - СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ СТОКСА

ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ1

Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова*, И. В. Киреев

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

Для решения системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой предложен и обоснован модифицированный неточный метод Узавы - сопряжённых градиентов. Проведены численные эксперименты.

Ключевые слова: уравнения Стокса, седловая задача, метод конечных элементов, метод Узавы, градиентный метод.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00296).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.