CC BY
21Решетневские чтения. 2017
УДК 539.374
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ, ОСЛАБЛЕННОЙ круговыми отверстиями
О. В. Гомонова, С. И. Сенашов
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: gomonova@sibsau.ru
Приводится методика построения упругопластической границы в задаче о растяжении пластинки конечных размеров, ослабленной двумя круговыми отверстиями разных радиусов. В методике используются законы сохранения.
Ключевые слова: упругопластическая граница, законы сохранения, растяжение пластинки.
PLANE STRESS STATE OF A FINITE-SIZE PLATE WEAKENED BY CIRCULAR HOLES
O. V. Gomonova, S. I. Senashov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: gomonova@sibsau.ru
A technique to construct elastoplastic boundary in a problem of tension of a finite-size plate weakened by two circular holes of different radii is considered in the research. Conservation laws are used in the proposed technique.
Keywords: elastoplastic boundary, conservation laws, tension of a plate.
В представленной работе предлагается методика нахождения упругопластической границы в задаче о растяжении пластинки конечных размеров, ослабленной двумя круговыми отверстиями разных диаметров. Для решения задачи используется техника законов сохранения.
Определение границы между упругой и пластической областями - одна из сложнейших задач механики деформируемого твердого тела. Эта граница заранее не известна и определяется в процессе решения упругопластической задачи. В ряде случаев ее форму можно угадать из общих соображений.
Рассмотрим прямоугольную пластинку, размера а х Ь (а = 10 см, Ь = 2 см) с двумя круговыми отверстиями в центре радиусов г1 = 2,5 мм, г2 = 5 мм (рис. 1).
Для построения границы необходимо решить уп-ругопластическую задачу для области, ограниченной контуром Г = Г1 иГ2 иГ3, состоящим из внешнего контура Г1 и двух внутренних - Г2 и Г3.
В упругой области будут иметь место уравнения равновесия и уравнение совместности в напряжениях (здесь стх, ст , х - компоненты тензора напряжения
в случае плоского напряженного состояния).
Эстх Эх п Эст у Эх / ч п
—- +— = 0, —- +— = 0, Д(стх +сту ) = 0. (1)
дх дУ дУ Эх V у'
ст2х +ay -стхстy + 3т2 = 3k2
(2)
дх
где к - постоянная пластичности.
Граничные условия для пластинки выглядят следующим образом:
CTxnl +Tn2 = X, стyn2 +W?J = Y .
(3)
Условие пластичности, выполняющееся на границах пластинки, для плоского напряженного состояния имеет вид
где п = (пх, п2) - вектор нормали к контуру Г;X, У -
компоненты вектора внешних усилий.
Пусть на пластинку действует растягивающее усилие вдоль оси абсцисс и сжимающее - вдоль оси ординат. Выпишем соответствующие значения для нормальных и касательных напряжений на внешнем контуре пластинки Г1:
х = 0, 0 < у < Ь : стх = л/3к, сту = х = 0;
х = а,0 < у < Ь : стх = у[3к, ст = х = 0;
у = 0, 0 < х < а : сту = -л/3к, стх = х = 0;
у = Ь,0 < х < а : ст = -у[3к, стх = х = 0 .
Для контуров Г2 и Г3 получаем
ст х = \/зк, ст = \/3к .
Решение поставленной упругопластической задачи состоит из трех этапов. Первый этап заключается в решении уравнения Лапласа ДР = 0 с граничными условиями Р |г = стх + ст (стх, ст - функции из условий (2)-(3), Р = стх + ст - гармоническая функция из третьего уравнения системы (1)).
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Рис. 1. Пластинка конечного размера с круговыми отверстиями в центре
Рис. 2. Распределение упругой (синие крестики) и пластической (красные точки) областей в рассматриваемой пластинке с отверстиями
Получаем следующие значения для F на Контуре Г:
F и = ^, F и = ^, F Ц = -л/3£, F |у=4 = -^3&, F |г2 = 2^, F |гз =
Второй этап решения задачи состоит в нахождении функций ст**, ст , х в каждой точке (х0, у0 ) области, по формулам, найденным с использованием законов сохранения:
ст** С Уо ) =
= 2— | (ст** +®2х + Л ))-(-о^ст* +ю1х+й1 )й* ,(4)
2— г1+г2 +гз
х( ^ Уо ) =
= -— | (С +ю2х+Л2 ))-(-ю11стх +®2х+g2 )й* ,(5)
2— г1+г-+гз
сту (xo, Уо) = F-ст* (xo, Уо), (6)
где
„1 =_Х - х0_ „2= _у - у0_
ю1 =----, ю1 =-----,
(**- *0) + (у - Уо ) (**- *0) +(у - Уо )
„1 =_У - у0_ „-=_Х - х0_
(**-*о)- + (у-уо)- ' (**-*о)- + (у-уо)- ' Л = 0, Л- = 0, й = |ю-й/, g- = |ю-й/.
На третьем этапе решения поставленной задачи проверяется условие пластичности (2) в каждой внутренней точке области, ограниченной контуром Г. Те точки, для которых выполняется условие ст+ ст 2 - ст*ст + 3х- < 3k2 принадлежат упругой об-
ласти. Точки, не удовлетворяющие данному условию, принадлежат области пластической.
На рис. 2 представлены упругая и пластическая области, полученные в результате вычислений и соответствующие выбранным граничным условиям:
Подробнее с методикой применения законов сохранения для решения упругопластических задач можно ознакомиться в трудах [1; 2].
Библиографические ссылки
1. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elasto-Plastic Boundaries Using Conservation Laws [Построение упругопластических границ с использованием законов сохранения] // Vestnik SibGAU. 2015. Vol. 16, № 2. P. 343-359.
2. Сенатов С. И., Гомонова О. В. Об упругопла-стическом кручении стержня, находящегося под действием давления, меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2015. № 1 (23). С. 75-84.
References
1. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V.
Construction of Elastoplastic Boundaries Using Conservation Laws // Vestnik SibGAU. 2015. Vol. 16, № 2. P. 343-359.
2. Senashov S. I., Gomonova O. V. Ob uprugoplas-ticheskom kruchenii sterznya, nahodyashchegosya pod deystviem davleniya, menyayushchegosya vdol' obrazu-yushchei. [About Elastoplastic Torsion of a Rod Under the Action of Pressure Changing Along the Generatrix] Сенатов // Vestnik Yakovlev ChGPU. Series: Mechanics of Limiting State. 2015. № 1 (23). P. 75-84. (In Russ.)
© Гомонова О. В., Сенатов С. И., 2017
