CC BY
11Решетнеескцие чтения. 2015
УДК 539.374
О РАСТЯЖЕНИИ ПЛАСТИНКИ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
О. В. Гомонова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: gomonova@sibsau.ru
Рассматривается задача об одноосном растяжении пластинки конечной ширины, ослабленной двумя круговыми отверстиями одинакового диаметра. Приводится методика построения упруго-пластической границы, образующейся вокруг отверстий, с использованием законов сохранения.
Ключевые слова: упруго-пластическая граница, законы сохранения, растяжение пластинки, точное решение.
PROBLEM OF TENSION OF A PLATE HOLED BY TWO CIRCULAR APERTURES
O. V. Gomonova
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: gomonova@sibsau.ru
А problem of uniaxial tension of finite width plate holed by two circular apertures of the same diameter is considered in the research. A technique to construct elasto-plastic boundary appearing around of the apertures, using conservation laws is proposed.
Keywords: elasto-plastic boundary, conservation laws, tension of a plate, exact solution.
В ракетно-космической технике, а также в самолё-то- и судостроении широко используются конструкции, целостность которых нарушена различного рода отверстиями, вырезами и щелями, вокруг которых при эксплуатации конструкций возникают зоны концентраций напряжений, а также упругие и пластические области. Знание границ раздела данных областей позволяет более точно рассчитать допустимые нагрузки на элементы механизмов в процессе их использования.
Точные решения задач о растяжении конечной и бесконечной пластинок с одним круговым отверстием известны. Решение задачи об одноосном растяжении бесконечной пластинки с одним круговым отверстием впервые было получено Киршем в 1898 г. С результатами исследований распределения напряжений вокруг отверстий в пластинках конечной ширины можно ознакомиться в трудах Л. А. Галина [1], С. П. Тимошенко [2], Г. Н. Савина [3].
В данной работе предлагается методика нахождения упруго-пластической границы в задаче об одноосном растяжении пластинки конечной ширины, ослабленной двумя круговыми отверстиями одинакового диаметра. Для ее решения используется техника законов сохранения [4; 5]. Важно отметить, что определение границы между упругой и пластической областями - одна из сложнейших задач механики деформируемого твердого тела. Эта граница заранее не известна и определяется в процессе решения упруго-пластической задачи. В ряде случаев ее форму можно угадать из общих соображений [6].
Для построения границы необходимо решить упруго-пластическую задачу для области, ограниченной контуром Г, состоящим из внешнего контура Г1 и двух внутренних - Г2 и Г3 (см. рисунок).
(1)
Область для решения упруго-пластической задачи На Г ставятся следующие граничные условия:
CTxnl +тп2 = ^ СТуП2 +тп1 = ^
(аx -ау)2 + 4т2 = 4*2,
где п = ( п1, п2 ) - нормальный вектор к контуру Г.
Далее поставленная задача распадается на две. Первая заключается в решении уравнения Лапласа
АР = 0 с граничными условиями Р |г = (аx + ау ) |г
(функции ах, а находятся из условий (1)). Вторая
состоит в решении уравнений
да х + дт = о дт + да х =др (2)
дх ду дх ду ду где Р (х, у) = ах +а со следующими граничными условиями:
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Ъ f —т+—,
if,
W п1
т-А+А
(3)
'2
+ 4т2 = 4k2.
Развернутое решение поставленной задачи будет приведено в последующих работах автора. Подробнее с методикой применения законов сохранения для решения упруго-пластических задач можно ознакомиться в трудах [7; 8], в них разрешена проблема построения упруго-пластической границы для двусвязных областей.
Автор выражает благодарность профессору С. И. Сенашову за постановку задачи и обсуждение результатов.
Библиографические ссылки
1. Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. М. : Наука, 1984. 232 с.
2. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1965. 480 с.
3. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев : Наук. думка, 1968. 888 с.
4. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001. 192 с.
5. Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 139 с.
6. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elasto-Plastic Boundaries Using Conservation Laws [Построение упруго-пластических границ с использованием законов сохранения] // Vestnik SibGAU. 2015. Vol. 16, no. 2. P. 343-359.
7. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Нахождение упруго-пластической границы для областей конечных размеров // Решетневские чтения : материалы XVIII Междунар. науч. конф. (11-14 ноября 2014, г. Крас-
ноярск). В 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2014. С. 155-156.
8. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Об упруго-пластическом кручении стержня, находящегося под действием давления, меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. «Механика предельного состояния». 2015. № 1 (23). С. 75-84.
References
1. Galim L. A. Uprugoplasticheskie zadachi [Elasto-Plastic Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 232 p.
2. Timoshenko S. P. Soprotivlenie materialov [Resistance of Materials]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 480 p.
3. Savin G. N. Raspredelenie napryazheniy vokrug otverstiy [Stress Distribution Around the Holes].Kiev, Naukova Dumka Publ., 1968. 888 p.
4. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yakhno A. N. Prilozhenie simmetriy I zakonov sohraneniya k resheniyu differentsial'nykh uravneniy [Applications of Symmetries and Conservation Laws to Solution of Differential Equations]. Novosibirsk, SB RAS Publ., 2001. 192 p.
5. Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N. Matematicheskie voprosy dvumernukh uravneniy ideal'noy plastichnosti [Mathematical Problems of 2-Dimensional Ideal Plasticity Equations]. Krasnoyarsk : SibSAU Publ., 2012. 139 p.
6. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elasto-Plastic Boundaries Using Conservation Laws // Vestnik SibGAU, 2015. Vol. 16, no. 2, рр. 343-359.
7. Senashov S. I., Gomonova O. V. [Determination of Elasto-Plastic Boundary for the Domains of Limit Sizes]. Materialy XVIII Mezhdunar. nauch. conf. "Reshetnevskie chteniya". [Materails XVIII Intern. Scientific Conf. "Reshetnev Readings"]. Krasnoyarsk, November 11-14, 2014. Vol. 2, рp. 155-156. (In Russ.)
8. Senashov S. I., Gomonova O. V. [About Elasto-Plastic Torsion of a Rod Under the Action of Pressure Changing Along the Generatrix] // Vestnik Yakovlev ChGPU. Series: Mechanics of Limiting State, 2015. no. 1 (23), рp. 75-84 (In Russ.).
© Гомонова О. В., 2015
УДК 517.95
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ГРАНИЦ ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ С МНОГОСВЯЗНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
А. В. Кондрин
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-шаП: sen@sibsau.ru
Решена задача о кручении стержня с многосвязным поперечным сечением. Для решения задачи используются законы сохранения. Для кусочно-гладких границ решение найдено квадратурой. Написаны программы, позволяющие с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне с многосвязным поперечным сечением.
Ключевые слова: законы сохранения, неизвестная граница, задача кручения стержня, дифференциальные уравнения.
