Неточный метод Узавы - сопряжённых градиентов для задачи Стокса для несжимаемой жидкости[3] Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

х - х0

(х - х0 )2 +(y - 2 y0)

y - y0

(х - х0 )2 +(y ■ \2 - y0)

y - y0

(х - х0 )2 +(y - -Л>)

х - х0

2 _-2-2'

(х - х0 ) + (у - у0 )

/1 = 0 /2 = 0, gl = |ю2 №, g2 = |ю2 №.

На третьем этапе проверяется условие пластичности сх2 + су2 - ахау + 3т2 = 3к2 в каждой внутренней

точке области, ограниченной контуром Г.

Подробнее с методикой применения законов сохранения для решения упруго-пластических задач можно ознакомиться в трудах [2; 3], где получено решение задачи о построении упруго-пластической границы для двусвязных областей.

Автор благодарит профессора С. И. Сенашова за постановку задачи и обсуждение результатов.

Библиографические ссылки

1. Сенашов С. И., Филюшина Е. В., Гомонова О. В. Построение упруго-пластических границ с использованием законов сохранения // Вестник СибГАУ. 2015. Вып. 16. № 2. С. 343-359.

2. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Об упругопла-стическом кручении стержня, находящегося под действием давления, меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. «Механика предельного состояния». 2015. № 1(23). С. 75-84.

3. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Нахождение упруго-пластической границы для областей конечных размеров // Решетневские чтения : материалы XVIII

Междунар. науч. конф. (11-14 нояб. 2014, г. Красноярск). В 2 ч. Ч. 2 / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2014. С. 155-156.

4. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев : Наукова думка, 1968. 888 с.

5. Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. М. : Наука, 1984. 232 с.

References

1. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elastoplastic Boundaries Using Conservation Laws // Vestnik SibGAU, 2015. Vol. 16, No. 2. Рр. 343-359.

2. Senashov S. I., Gomonova O. V. Ob uprugoplasticheskom kruchenii sterznya, nahodya-shchegosya pod deystviem davleniya, menyayushchegosya vdol' obrazuyushchei. [About Elastoplastic Torsion of a Rod Under the Action of Pressure Changing Along the Generatrix] Сенашов // Vestnik Yakovlev ChGPU. Series: Mechanics of Limiting State, 2015. № 1 (23). Pp. 75-84. (In Russ.)

3. Senashov S. I., Gomonova O. V. Nahozhdenie uprugoplasticheskoy granitsy dlya oblastey konechnykh razmerov [Determination of Elastoplastic Boundary for the Domains of Limit Sizes] // Materialy XVIII Mezhdunar. nauch. conf. "Reshetnevskie chteniya". [Materails XVIII Intern. Scientific Conf. "Reshetnev Readings"]. Krasnoyarsk, November 11-14, 2014. Vol. 2. Pp. 155-156. (In Russ.)

4. Savin G. N. Raspredelenie napryazheniy vokrug otverstiy [Stress Distribution Around the Holes]. Kiev : Naukova Dumka Publ., 1968. 888 p. (In Russ.)

5. Galin L. A. Uprugoplasticheskie zadachi [Elastoplastic Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 232 p. (In Russ.)

© Гомонова О. В., 2016

УДК 519.63

НЕТОЧНЫЙ МЕТОД УЗАВЫ - СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ СТОКСА

ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ1

Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова*, И. В. Киреев

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

Для решения системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой предложен и обоснован модифицированный неточный метод Узавы - сопряжённых градиентов. Проведены численные эксперименты.

Ключевые слова: уравнения Стокса, седловая задача, метод конечных элементов, метод Узавы, градиентный метод.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00296).

<Тешетневс^ие чтения. 2016

INEXACT UZAWA CONJUGATE GRADIENT METHOD FOR THE STOKES PROBLEM

FOR INCOMPRESSIBLE FLUID

E. V. Dementyeva, E. D. Karepova*, I. V. Kireev

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

In this paper, we propose and verify the modified inexact Uzawa conjugate gradient method for a system of linear algebraic equations of the saddle point type.

Keywords: Stokes equations, saddle-point problem, finite element method, Uzawa method, gradient method.

В настоящей работе рассматриваются двумерные уравнения Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в канале. На выходной границе используется модифицированное граничное условие «do nothing» [1; 2].

Для построения дискретного аналога используются конечные элементы Тэйлора-Худа. Компоненты вектора скорости аппроксимируются биквадратичны-ми элементами, давление - билинейными элементами [2]. В результате мы получаем линейную систему алгебраических уравнений (СЛАУ), для которой выполняется условие Ладыженской-Бабушка-Брецци [3], что гарантирует устойчивость по давлению. СЛАУ имеет следующий вид:

AU + Bp = F,

Здесь и и р есть искомые векторы скорости и давления.

Полученная СЛАУ относится к задачам с седловой точкой [4]. Для ее численного решения широко используется подход, основанный на совместном использовании метода Узавы и сопряжённых градиентов [5]. В настоящей работе предложена следующая модификация этого подхода.

Пусть С - произвольная симметричная положительно определенная матрица. Положим, что (С)п есть приближенное решение системы

С хп = fп, полученное за Ых итерационных шагов методом сопряженных градиентов с нулевым начальным приближением, т. е. С-1 f" — §к (С)п. Тогда построим следующий итерационный процесс приближённого решения задачи (1).

Итерационный процесс 1

Пусть п = 0. Выберем начальные приближения и0, р0 для векторов скорости и давления. Пока критерий останова не будет выполнен:

1. Вычисляем невязки:

гп = А ип+ В рп- F ;

qn = Втип .

2. Вычисляем поправки (отклонения) для давления и скорости:

Д = §Ыр((Ыи(А)В)п-вТ§Ыи(А)гп] ;

Дп =- § Ми (А )(гп + В Дп).

3. Вычисляем (n + 1) - приближение к решению: U"+1= Un +&U ;

pn+1= pn +др.

4. n = n + 1.

Как правило, широко используемые численные методы рассматриваются относительно неизвестных переменных задачи «скорость-давление». Предложенная модификация метода построена относительно отклонений этих переменных от искомой седловой точки конечномерной задачи. В случае линейных итерационных процессов такая замена в постановке задачи не влияет на результат вычислений. Однако эффективность вычислений значительно повышается при использовании нелинейного метода сопряженных градиентов [6; 7] для вычисления оператора Шура и его образа. Число внутренних (связанных с вычислением образа оператора Шура) и внешних (относительно оператора Шура) итераций являются параметрами итерационного метода. Если эти параметры положить равными единице, то обсуждаемый процесс будет аналогичен градиентному спуску. При отсутствии же ошибок округления метод приводит к точному решению при числе внутренних и внешних итераций, равном размерностям искомых компонент скорости и давления соответственно.

В предложенном итерационном алгоритме Узавы-сопряженных градиентов, как и в классическом методе Узавы, сначала вычисляется поправка (отклонение) для давления, а затем - для скорости. Такой подход позволяет удовлетворить уравнению неразрывности с хорошей точностью. В то же время, в отличие от большинства известных методов Узавы, предложенный метод не требует прямого обращения матрицы Шура для давления.

В работе проведены численные эксперименты на модельных задачах, подтверждающие сходимость и эффективность предложенного метода. В частном случае доказана теорема сходимости итерационного процесса 1.

Библиографические ссылки

1. Rannacher R. Incompressible Viscous Flow // Encyclopedia of Computational Mechanics. 2011. Vol. 3. Fluids. Chap. 6.

2. Dementyeva E., Karepova E., Shaidurov V. The semi-Lagrangian approximation in the finite element

method for the Navier-Stokes equations // AIP Conference Proceedings. 2015. Vol. 1684. Paper 090009, 8 p.

3. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New York : Springer-Verlag, 1991.

4. Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 349 с.

5. Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle-point problems: a unified approach // Mathematics of Computation. 2002. Vol. 71. P. 479-505.

6. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. 2nd edn. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2003. P. 1-547.

7. Wilkinson J. and Reinsch C. Handbook for Automatic Computation. Berlin : Heidelberg ; New-York : Springer-Verlag, 1976. P. 1-441.

References

1. Rannacher R. Incompressible Viscous Flow // Encyclopedia of Computational Mechanics. 2011. Vol. 3. Fluids. Chapter 6.

2. Dementyeva E., Karepova E., Shaidurov V. The semi-lagrangian approximation in the finite element method for the Navier-Stokes equations // AIP Conference Proceedings, 2015. Vol. 1684. Paper 090009, 8 p.

3. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Springer-Verlag, New York, 1991.

4. Bychenkov Y., Chizhonkov E. Iteracionnye metody reshenija sedlovyh zadach [Iterative Methods for Solving Saddle Point Problems]. BINOM. Knowledge Laboratory, Moscow, 2014. 349 p.

5. Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle-point problems: a unified approach // Mathematics of Computation, 2002. Vol. 71. P. 479-505.

6. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edn. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. P. 1-547.

7. Wilkinson J. and Reinsch C. Handbook for Automatic Computation. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New-York, 1976. Pр. 1-441.

© Дементьева Е. В., Карепова Е. Д., Киреев И. В., 2016

УДК 539.3

СТРЕЛА ПРОГИБА КОНСОЛИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ.

МОДИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ.

Д. М. Зуев*, Ю. В. Захаров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Рассмотрен изгиб консоли поперечной сосредоточенной силой на свободном конце. Предложен метод модификации уравнений линейной теории для рассматриваемого случая. Проведено сравнение предложенного метода с рядом аналитических решений в эллиптических функциях и линейной теорией.

Ключевые слова: консоль, поперечная нагрузка, стрела прогиба.

SAGGING DEFLECTION OF CANTILIEVER LOADED WITH A TRANSVERSAL LOAD.

MODIFICATION OF LINEAR THEORY

D. M. Zuev*, Yu. V. Zakharov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

This paper describes a bend of cantilever loaded with a transversal force of a free end-point. We propose a method of linear theory modification in the present case. We made a comparison of suggested method with some elliptic functions analytic solution and linear theory.

Keywords: cantilever, transversal load, sagging deflection.

Получение аналитических и приближенных реше- В данной работе рассматривается случай изгиба тон-ний для определения прогиба и форм изгиба тонких кой упругой нерастяжимой консоли под действием со-упругих стержней является актуальной задачей для средоточенной поперечной силы на свободном конце. космической и авиационной промышленности, разра- В работе [1] предложено двухточечное аналитиче-ботки микроэлектромеханических систем. ское решение в эллиптических функциях на основе