Стрела прогиба консоли сосредоточенной поперечной силой. Модификация линейной теории Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

method for the Navier-Stokes equations // AIP Conference Proceedings. 2015. Vol. 1684. Paper 090009, 8 p.

3. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New York : Springer-Verlag, 1991.

4. Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 349 с.

5. Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle-point problems: a unified approach // Mathematics of Computation. 2002. Vol. 71. P. 479-505.

6. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. 2nd edn. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2003. P. 1-547.

7. Wilkinson J. and Reinsch C. Handbook for Automatic Computation. Berlin : Heidelberg ; New-York : Springer-Verlag, 1976. P. 1-441.

References

1. Rannacher R. Incompressible Viscous Flow // Encyclopedia of Computational Mechanics. 2011. Vol. 3. Fluids. Chapter 6.

2. Dementyeva E., Karepova E., Shaidurov V. The semi-lagrangian approximation in the finite element method for the Navier-Stokes equations // AIP Conference Proceedings, 2015. Vol. 1684. Paper 090009, 8 p.

3. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Springer-Verlag, New York, 1991.

4. Bychenkov Y., Chizhonkov E. Iteracionnye metody reshenija sedlovyh zadach [Iterative Methods for Solving Saddle Point Problems]. BINOM. Knowledge Laboratory, Moscow, 2014. 349 p.

5. Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle-point problems: a unified approach // Mathematics of Computation, 2002. Vol. 71. P. 479-505.

6. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edn. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. P. 1-547.

7. Wilkinson J. and Reinsch C. Handbook for Automatic Computation. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New-York, 1976. Pр. 1-441.

© Дементьева Е. В., Карепова Е. Д., Киреев И. В., 2016

УДК 539.3

СТРЕЛА ПРОГИБА КОНСОЛИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ.

МОДИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ.

Д. М. Зуев*, Ю. В. Захаров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: ZuevDmitriy93@yandex.ru

Рассмотрен изгиб консоли поперечной сосредоточенной силой на свободном конце. Предложен метод модификации уравнений линейной теории для рассматриваемого случая. Проведено сравнение предложенного метода с рядом аналитических решений в эллиптических функциях и линейной теорией.

Ключевые слова: консоль, поперечная нагрузка, стрела прогиба.

SAGGING DEFLECTION OF CANTILIEVER LOADED WITH A TRANSVERSAL LOAD.

MODIFICATION OF LINEAR THEORY

D. M. Zuev*, Yu. V. Zakharov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: ZuevDmitriy93@yandex.ru

This paper describes a bend of cantilever loaded with a transversal force of a free end-point. We propose a method of linear theory modification in the present case. We made a comparison of suggested method with some elliptic functions analytic solution and linear theory.

Keywords: cantilever, transversal load, sagging deflection.

Получение аналитических и приближенных реше- В данной работе рассматривается случай изгиба тон-ний для определения прогиба и форм изгиба тонких кой упругой нерастяжимой консоли под действием со-упругих стержней является актуальной задачей для средоточенной поперечной силы на свободном конце. космической и авиационной промышленности, разра- В работе [1] предложено двухточечное аналитиче-ботки микроэлектромеханических систем. ское решение в эллиптических функциях на основе

<Тешетневс^ие чтения. 2016

решения граничнои задачи уравнения нелинейного маятника. Решение представлено в виде линейных комбинаций эллиптических интегралов первого и второго родов. В работе [2] была получена стрела прогиба для данного решения и приближенные решения на основе разложений этого решения.

В работе [3] предложено одноточечное решение начальной задачи Коши для уравнения Эйлера-Бернулли, выраженное в виде линейной комбинации эллиптических интегралов первого и третьего родов. В работе используется безразмерный параметр нагрузки ц = 2PL/EJ, где Р - действующая сила; Ь -длина стержня; EJ - изгибная жесткость. Данный параметр может быть выражен в единицах эйлеровых сил X: ц = п2 Х/8. Решение было получено и существует на интервале безразмерных нагрузок 0 < ц < 1.

В классической теории сопротивления материалов такой изгиб консоли описывается линеаризованным решением уравнения Эйлера-Бернулли. Методом последовательного интегрирования при применении начальных условий у(Ь) = 0, у'(0) = 0 получим следующее выражение для формы изгиба:

П = п(£,ц) = |(2 " 3^ + £3),

где п и £ - безразмерные ордината и абсцисса соответственно. Стрела прогиба в линейной теории в рассматриваемом случае изгиба определяется в точке пересечения оси ординат формой изгиба, что соответствует условию сохранения проекции длины стержня на ось абсцисс:

2

/ = / = п(0,ц=3 ц.

Считается, что область применимости линейной теории составляет 3-5 % отношения прогиба к длине стержня, что достаточно для большинства инженерных задач [4].

В этой работе предлагается модификация линейной теории, которая состоит в наложении условия сохранения криволинейной длины стержня. Метод заключается в отслеживании точки конца стержня £к,

в которой измеряется максимальный прогиб. Таким образом, стрела прогиба находится из следующего выражения:

/ = п^м-К

где параметр вычисляется при решении уравнения, полученного из равенства единице интеграла криволинейной длины в пределах интегрирования от параметра до точки заделки стержня:

Ц ♦( ^ )*='.

Для сравнения были построены сравнительные графики стрел прогибов для всех рассмотренных решений и модифицированной линейной теории в интервале сил 0 < ц < 5 (см. рисунок, а) и график отклонения модифицированного решения от двухточечного решения в эллиптических функциях. Сравнительный анализ одноточечного, двухточечного решения и линейной теории для данного случая изгиба был проведен в [5].

На рисунке видно, что все решения совпадают в области сил 0 < ц < 0,05, что соответствует области применимости линейной теории. Видно, что линейная теория и одноточечное решение [3] имеют схожий вид стрелы прогиба в интервале 0 < ц < 1. Модифицированная линейная теория очень хорошо согласуется с двухточечным решением в эллиптических функциях [2] на всем интервале сил. Согласно рисунку, б, видно, что отклонение модифицированной линейной теории от двухточечного решения составляет не более 6 % на интервале сил 0 < ц < 5. Данный факт является очень интересным и требует дальнейшего изучения, так как данный интервал безразмерных нагрузок соответствует геометрически нелинейному изгибу стержня.

В данной работе предложена модификация линейной задачи теории сопротивления материалов для получения стрелы прогиба консоли под действием поперечной сосредоточенной силы на свободном конце. Построены стрелы прогибов, проведено сравнение с рядом точных аналитических решений.

Стрелы прогиба консоли (а), график отклонения стрелы прогиба (б)

Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

Библиографические ссылки

1. Захаров Ю. В., Захаренко А. А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычисл. технологии. 1999. Т. 4, №. 1. С. 48-54.

2. Захаров Ю. В., Охоткин К. Г., Власов А. Ю. Приближенные формулы для стрелы прогиба упругого стержня при поперечном нагружении // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43, № 5. С. 132-134.

3. Scarpello G. M., Ritelli D. Exact solutions of nonlinear equation of rod deflections involving the Lauricella hypergeometric functions // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2011.

4. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / Г. С. Варданян [и др.]. М. : АСВ, 1995. С. 572.

5. Zuev D. M., Zakharov Yu. V. Nonlinear bending of thin elastic rod loaded by a transversal force - comparison of analytic solutions // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. 2015. Т. 2. С. 1008-1009.

References

1. Zakharov Yu. V., Zakharenko A. A. [Dynamic instability at nonlinear problem of cantiliever]. Vychisl. tekhnologii. 1999. Vol. 4, No. 1. Pр. 48-54. (In Russ.)

2. Zakharov Yu. V., Okhotkin K. G., Vlasov A. Yu. [Approximate formulas for sagging deflection of elastic rod loaded with a transversal load]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2002, Vol. 43, No. 1, Pр. 132-134. (In Russ.)

3. Scarpello G. M., Ritelli D. Exact solutions of nonlinear equation of rod deflections involving the Lauricella hypergeometric functions. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2011. Available at: https://www.hindawi.com/journals/ ijmms/2011/838924/ (accessed: 16.09.2016).

4. Vardanyan G. S. et al. Soprotivlenie materialov s osnovami teorii uprugosti i plastichnosti [Strength of materials theory with theory of elasticity and plasticity basics]. Moscow, ACB., 1995. 572 p.

5. Zuev D. M., Zakharov Yu. V. [Nonlinear bending of thin elastic rod loaded by a transversal force -comparison of analytic solutions]. Aktual'nye problemy aviatsii i kosmonavtiki [Actual problems of aviation and cosmonautica]. Krasnoyarsk, 2015, Vol. 2, No. 11. Pр. 1008-1009.

© Зуев Д. М., Захаров Ю. В., 2016

УДК 678.027.74

РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ КОРОТКОАРМИРОВАННОГО ПОЛИМЕРА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ1

Е. И. Куркин*, В. О. Садыкова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королёва Российская Федерация, 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34 E-mail: eugene.kurkin@mail.ru

Выполнен гидродинамический расчет литья пластины из композиционного материала в программном комплексе Moldex 3D. Точное определение свойств материала, которые зависят от организации процесса литья, необходимо для создания сверхлегких конструкций аэрокосмического назначения.

Ключевые слова: композиционные материалы, литьё, полимер, короткие волокна, расчёт, механические характеристики.

CALCULATING SHORT-REINFORCED POLYMER FLOW IN FLAT CHANNEL

E. I. Kurkin*, V. O. Sadykova

Samara National Research University 34, Moskovskoe shosse, Samara, 443086, Russian Federation E-mail: eugene.kurkin@mail.ru

The research demonstrates hydrodynamic calculation of casting of plate from composite material in the program complex Moldex 3D. The precise determination of material properties which depend on organization of casting process is necessary to create extra light structures of space assignment.

Keywords: composite materials, casting, polymer, short fibers, calculation, mechanical characteristics.

Короткоармированные композиционные материалы в силу своих структурных свойств удачно аккуму-

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-60093 мол_а_дк.

лирует в себе уникальные свойства традиционных полимерных композиционных материалов и высокие технологические возможности изготовления литьём под давлением в формы [1; 2]. Жесткость и прочность композиционных материалов во многом определяется