Сравнительный анализ аналитических решений для изгиба консольного стержня поперечной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 5З9.З

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ИЗГИБА КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКОЙ

Д. М. Зуев Научный руководитель - Ю. В. Захаров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», З1

E-mail: [email protected]

Для проектирования стержневых конструкций космических аппаратов необходимо иметь точные и приближенные решения для нелинейных изгибов тонких упругих стержней. В работе проведено сравнение аналитического решения изгиба нагруженного поперечной нагрузкой консольного стержня, предложенного в работе Рителли и Скарпелло с приближенным решением теории сопротивления материалов и аналитическим решением, предложенным Захаровым и Захаренко. В процессе работы были построены необходимые графические зависимости и проведено сравнение решений.

Ключевые слова: консоль, изгиб, поперечная нагрузка.

œMPARATIVE ANALYSIS OF ANALITYC SOLUTIONS FOR BENDING OF CANTILIEVER LOADED WITH A TRANSVERSAL FORCE

D. M. Zuev Scientific Supervisor - Yu. V. Zakharov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 66OO37, Russian Federation E-mail: [email protected]

For beam structure design of spacecrafts must have analytic and approximate solutions for various cases of nonlinear bending of thin elastic rods. In this paper made comparison nonlinear bend analytic solution proposed at Ritelli and Scarpello of thin elastic rod loaded by a transversal force with approximate stength of materials theory solution and analytic solution proposed at Zakharov and Zakharenko. Made necessary graphics and the comparison of solutions.

Keywords: thin elastic rod, bend, transversal load

Для задач проектирования устройств микромеханики и стержневых конструкций космических аппаратов необходимо иметь точные и приближенные решения для различных случаев геометрически нелинейных изгибов тонких упругих стержней. Актуально сравнение найденных точных решений для нахождения областей параметров, где целесообразно применять то или иное решение.

Целью данной работы является сравнение нелинейных решений для нелинейного изгиба консоли поперечной нагрузкой, представленных в работах Рителли и Скарпелло (далее решение РС) [1], Захарова и Захаренко (далее точное решение) [2], и приближенного решения теории сопротивления материалов [3].

Решение РС является одноточечным решением, получаемым при решении задачи Коши для уравнения Бернулли-Эйлера при начальных условиях, соответствующих консольному закреплению стержня. Решение выражается с помощью эллиптических интегралов первого и третьего рода. Действующая на конец стержня сила учитывается с помощью безразмерного параметра нагрузки ц = PL}/EJ, где P - действующая сила; L - длина стержня; E - модуль Юнга; J - момент инерции поперечного сечения консоли относительно нейтральной оси. Область применимости решения находится в интервале: O < ц < 1, за пределами интервала решение математически не существует.

Решения сравнивались в области применимости решения РС: O < ц < 1. Значения сил находятся ниже первого порога потери устойчивости, в единицах сил Эйлера: O < X < 8In2, где ц = n2XI8. Для

3O6

Секция ««ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ТЕХНОЛОГИИ»

сравнения были построены графики форм изгибов (рис. 1), стрелы прогибов (рис. 2), и отклонения сравниваемых решений (рис. 3).

Рис. 1. Формы изгиба стержня при различных значениях ц

Рис. 2. Стрела прогиба изогнутых стержней

Формы изгиба стержней представлены на рис. 1. Видно, что решение РС имеет возрастающее отклонение от других решений при увеличении параметра ц, в то время как формы изгиба остальных решений имеют незначительное отклонение друг от друга.

На рис. 2 представлены стрелы прогиба в зависимости от параметра ц. Видно, что величина прогиба всех решений совпадает в интервале: 0 < ц < 0.15 , что соответствует прогибу: 0 </ < 0,1. Принято считать, что область применимости решения теории сопротивления материалов составляет / < 0,05. Также видно, что прогиб для решения РС имеет близкое к решению теории сопротивления материалов значение на всем рассматриваемом интервале ц, что трактовалось авторами как хороший показатель точности.

Решение РС имеет большое отклонение от точного решения, в предельном случае ц ^ 1 отклонение составляет 25 % от точного решения. Такое расхождение и одновременно ограниченность области существования решения (0 < X < 8/п2) вызывает большие вопросы о применимости данного решения.

Рис. 3. Отклонения прогибов сравниваемых решений друг от друга

Можно резюмировать, что решение, полученное Рителли и Скарпелло, малопригодно для практического применения, так как имеет значительное расхождение с точным решением и малую область применимости.

Библиографические ссылки

1. Scarpello G. M., Ritelli D. Exact solutions of nonlinear equation of rod deflections involving the Lauricella hypergeometric functions // International J. of Mathematics and Mathematical Sciences, 2011.

2. Захаров Ю. В., Захаренко А. А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычисл. технологии. 1999. Т. 4. №. 1. С. 48-54.

3. Варданян Г. С. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности // М. : АСВ. 1995. С. 572.

© Зуев Д. М., 2016