Совместное использование полулагранжева подхода и метода конечных элементов при моделировании течения вязкой несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Решетневские чтения. 2017

УДК 519.6

СОВМЕСТНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОЛУЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА И МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*

Е. В. Дементьева, Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: e.d.karepova@icm.krasn.ru

Рассматривается нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале. На границе вытекания ставятся граничные условия «do nothing». Для построения дискретного аналога используется комбинация полулагранжева подхода и метода конечных элементов. Для обеспечения сходимости метода в среднеквадратичной норме используется локальное интегральное балансовое соотношение между соседними временными слоями. Численные эксперименты для модельных задач демонстрируют сходимость предложенного метода.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, вязкая несжимаемая жидкость, полулагранжев подход, конечные элементы Тейлора-Худа.

A COMBINATION OF A SEMI-LAGRANGIAN APPROACH AND THE FINITE ELEMENT METHOD FOR MODELING A VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID FLOW

E. V. Dementyeva, E. D. Karepova, V. V. Shaidurov

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: e.d.karepova@icm.krasn.ru

The two-dimensional time-dependent Navier-Stokes equations are considered for a viscous incompressible fluid in a channel. On the outlet boundary, the modified "do nothing" condition is imposed. To construct a discrete analogue, we use the conforming finite element method in the combination with a semi-Lagrangian approach. To guarantee the energy conservation and the stability in the mean-square norm, we use the discrete analogue of the local integral balance between two neighboring time levels. A numerical experiment shows the convergence of the proposed numerical method.

Keywords: Navier-Stokes equations, viscous incompressible fluid, semi-Lagrangian approach, Taylor-Hood finite element.

В работе обсуждается численное моделирование двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале с жесткими стенками на основе начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса с граничным условием типа «do nothing» на границе вытекания.

Для построения дискретного аналога используется метод конечных элементов совместно с полулагран-жевой аппроксимацией транспортных производных. Для дискретизации оператора Стокса используются конечные элементы Тейлора-Худа, удовлетворяющие условию Ладыженской-Бабушки-Брецци, гарантирующему устойчивость по давлению.

Для дискретизации нелинейного оператора транспортных производных используется полулагранжева

аппроксимация вдоль траектории назад по времени. В этом случае нелинейность присутствует только в диагональных членах, что существенно уменьшает количество итераций по нелинейности и позволяет обойтись без специальных приемов линеаризации.

Для обеспечения законов сохранения предлагается использовать консервативную версию полулагранже-вой аппроксимации, основанной на локальных балансовых соотношениях между соседними слоями по времени. Предлагаемый подход обеспечивает сходимость численного решения в среднеквадратичной норме.

СЛАУ дискретной задачи относится к задачам с седловой точкой с симметричной плохо обусловленной матрицей.

* Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 17-01-00270-а.

Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

Для ее решения разработана вычислительная технология, которая: 1) не требует сборки и хранения блоков глобальной матрицы системы (большого объема данных), сборка невязки и произведения матрицы на вектор проводится поэлементно с использованием только локальных матриц жесткости; 2) не требует прямого обращения глобальной матрицы жесткости и использует только итерационные методы; 3) эффективно решает седловую задачу, в частности, использует метод Узавы - сопряженных градиентов для вычисления оператора Шура и его образа.

В предложенных итерационных алгоритмах, как и в классическом методе Узавы, на каждой итерации

сначала вычисляется приближение для давления, а затем, - для скорости. Такой подход позволяет удовлетворить уравнению неразрывности с хорошей точностью. В то же время, в отличие от большинства известных методов Узавы предложенные методы не требует прямого обращение матрицы Шура для давления.

Предложенная вычислительная технология протестирована на модельных задачах с точным решением.

© Дементьева Е. В., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В., 201