Начальная восприимчивость системы взаимодействующих диполей: численное моделирование Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Физика Вып. 1 (6)

Начальная восприимчивость системы взаимодействующих диполей: численное моделирование

А. Ф. Пшеничников2’1’, А. В. Разумковь

‘Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, ул. Королева, 1 ьПермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Численно исследовано влияние межчастичных магнитодипольных взаимодействий на начальную восприимчивость высококонцентрированных ферроколлоидов. Предложен способ введения нестандартных одномерных периодических граничных условий при проведении численного эксперимента методом Монте-Карло. Начальная восприимчивость рассчитана в широком диапазоне температур и концентраций магнитной фазы. В отличие от работы Вейса (\VeisJ.J. II ]. С1тет. РЬуБ. 2005) признаков фазового перехода системы в магнитоупорядоченное состояние не обнаружено.

Л = ¿¿0т2/Ая^кТ, (1.1)

1. Введение

Систематическое изучение межчастичных взаимодействий в дииольных системах началось в начале 80-х гг., когда впервые было показано, что они оказывают сильное влияние на свойства концентрированных магнитных жидкостей, повышая начальную восприимчивость системы в два-четыре раза и расширяя спектр времен релаксации на несколько порядков [1,2]. Применительно к магнитным жидкостям интерес к проблеме связан с потенциальной возможностью синтеза жидких ферроколлоидов, имеющих аномально высокую начальную восприимчивость, и решения задач управления ими посредством слабых магнитных нолей. В последнее время в литературе активно обсуждается также вопрос о возможности перехода ферроколлоидов в магнитоупорядоченное состояние [3]. Хотя лабораторные эксперименты [2] и аналитические модели [4, 5] говорят об отсутствие перехода, численные эксперименты [6] и теория функционала плотности [7] его предсказывают.

При анализе систем с магнитодипольными взаимодействиями в качестве параметра, характеризующего интенсивность взаимодействий, обычно используется параметр агрегровапия - отношение энергии диполь-дипольного взаимодействия двух сферических частиц при минимальном расстоянии между их центрами, равном диаметру частицы, к энергии теплового движения:

где =4x10 7Гн/м, т, с! - магнитный момент и

диаметр частицы соответственно, к - постоянная Больцмана, 7’ - температура. В зависимости от величины этого параметра система может находиться в “газообразном”, “жидком” или двухфазном состоянии. В качестве примера на рис. 1 приведена фазовая диаграмма магнитной жидкости в координатах Я, ср, где (р - объемная доля магнитных частиц, включая защитные оболочки,

<р = —яс13п, (1.2)

6

а п - их числовая плотность [8].

<Р

Рис. 1. Фазовая диаграмма магнитной жидкости

© А. Ф. Пшеничников, Д. В. Разумков, 2007

Качественно эта диаграмма не отличается от таковых для обычных жидкостей и газов, однако необходимо отметить ряд особенностей, связанных со спецификой дипольных систем. В настоящее время свойства дипольных систем хорошо изучены для областей I и II фазовой диаграммы. Область I соответствует “газообразному” состоянию системы с температурой выше критической. Эта область параметров вполне удовлетворительно описывается в рамках ланжевсновского приближения. В области II температура ниже критической, но из-за малой концентрации магнитных частиц система по-прежнему находится в газообразном состоянии, хотя возможно образование кластеров, напоминающих короткие цепочки. Область III соответствует двухфазному состоянию. Ее особенность -очень медленное установление термодинамического равновесия и неоднозначность конечной конфигурации границы раздела фаз. В численных экспериментах термодинамическое равновесие оказывается недостижимым, а результаты сильно зависят от начальных условий, времени счета, алгоритма вычислений и не могуг считаться универсальными. Наконец, область IV соответствует высокой концентрации частиц, низкой температуре и “жидкому” состоянию. Она остается объектом дискуссий, поскольку именно этой области приписывается фазовый переход второго рода типа “парамагнетик-ферромагнетик”.

Основными проблемами численного моделирования дипольных систем являются ограниченность количества частиц в системе, связанная с ограниченностью вычислительных возможностей современных компьютеров, и влияние размагничивающих эффектов в случае образца конечных размеров. Размагничивающее поле приводит к тому, что начальная восприимчивость

X-

с1М

м

сіН н->о Н0- к-М

(2.1)

//0-»о

(М- намагниченность, И0, Н - внешнее и внутреннее поля соответственно, к - размагничивающий фактор) начинает сильно флуктуировать с повышением М, т.е. по мере приближения к нулю зна-

менателя правой части выражения (2.1).

В качестве стандартного приема преодоления первой проблемы обычно используют периодические граничные условия (РВС), второй - суммирование по Эвальду. Так как во всех работах по численному моделированию дипольных систем, где был обнаружен переход в магнитоупорядоченное состояние, использовались периодические граничные условия и суммирование по Эвальду, то возникает опасение, что этот переход является артефактом. Он мог возникнуть как следствие суммирования по Эвальду и появления в эффективном потенциале взаимодействия короткодействующих слагаемых [5] или как следствие периодических граничных условий, налагающих прямой запрет на любую пространственную неоднородность системы на макро- и мезоуровнях. При этом вопрос о том, какой из этих двух факторов является решающим при генерировании ложного (на наш взгляд) фазового перехода также остается невыясненным. Данное исследование имеет цель -разработку численного алгоритма для системы с одномерными периодическими условиями. Главное преимущество одномерных периодических условий - возможность приближенного суммирования парных потенциалов взаимодействия без использования техники Эвальда.

2. Описание численного эксперимента

Для прояснения вопроса об источнике фазового перехода второго рода нами предложена численная схема, позволяющая рассмотреть бесконечную систему и учесть дальнодействующую природу дипольных сил без алгоритма Эвальда. В качестве моделируемой системы использовался бесконечно длинный цилиндр, ориентированный вдоль внешнего поля. В этом случае, как известно, размагничивающий фактор пренебрежимо мал и проблема его учета автоматически отпадает. Расчетная ячейка представляла собой цилиндр конечной мины, содержащий четыре тысячи частиц, транслированный вдоль оси симметрии бесконечное количество раз в обоих направлениях. Конфигурация системы приведена на рис. 2.

к = -2

к = -1

к = 0

к = 1

->

Й

к = 2

Рис. 2. Моделируемая система, одномерные периодические граничные условия

Для расчета вклада пробной частицы с номером / в магнитостатическую энергию системы необходимо учесть ее взаимодействие с внешним полем, со всеми другими частицами и их отражениями:

N

и-4,■ кТ■ сов9,+У Уи[

7=1 к=-00

У*'

(2.2)

где к - порядковый номер отражения, N - число частиц в расчетной ячейке, £0 = ц^тН/кТ - параметр Ланжевена и и,,- энергия диполь-дипольного взаимодействия

, 3(е, • )(е. • /?*) (бГе.)

иі =-*■(" V (2.3)

я

/с

е,, е,-единичные векторы вдоль магнитных моментов /-й иу-й частиц соответственно.

Сумма бесконечного ряда ^ ук может быть

*=—<«

вычислена приближенно по следующей схеме: точно учитываются несколько (четное число) слагаемых с наибольшими амплитудами, а остальная часть суммы вычисляется приближенно путем замены ее соответствующими интегралами. Например, в случае, когда в сумме точно учитываются только два первых члена, апироксимационная формула имеет вид

где £/* ->и^к)- Погрешность аппроксимации находится на уровне 1-2%.

Численное моделирование проводилось методом Монте-Карло с использованием стандартного алгоритма Метрополиса, блок-схема которого приведена на рис. 3. Для повышения скорости работы алгоритма применялось сохранение данных на каждом МК-шаге. Эти данные использовались на последующих шагах для сокращения общего числа арифметических операций. Примененные методы позволили получить вполне надежные результаты на обычном персональном компьютере за суммарное время около тридцати часов.

3. Результаты расчетов

Мами была рассчитана начальная восприимчивость системы взаимодействующих сферических диполей в зависимости от амплитуды потенциала, температуры и концентрации частиц. Во всех случаях параметр Ланжевена полагался равным £0 =

0.3, что соответствовало верхней границе линейного участка на кривой намагничивания. 11ачальная восприимчивость рассчитывалась как отношение

т = 1 .. Мтах

>

>

и, = кТ- соз5,

І = 1 .. N ... I_______________

Генерация нового состояния частицы (случайное изменение положениям направления магнитного момента)

иГ-у<

II Сі) II ІТ

Принятие нового состояния с вероятностью р

Рис. 3. Блок-схема алгоритма Метрополиса применительно к вычислению начальной восприимчивости системы с магнитодипольными межчастичными взаимодействиями

суммарного момента частиц, находящихся в расчетной ячейке, к объему ячейки и напряженности магнитного поля. Благодаря нулевому размагничивающему фактору напряженность поля в образце совпадала с напряженностью Н внешнего (приложенного) поля. На приведенных ниже графиках начальная восприимчивость представлена как функция ланжевеновской восприимчивости

(3.0

т.к. последняя является удобным безразмерным параметром, строго пропорциональным концентрации частиц (р и обратно пропорциональным температуре. Кроме того, ланжевеновскую восприимчивость можно рассматривать как единственный параметр, определяющий влияние магни-

а) X = 1

7,

б) X = 4

г) ф = 0.45

Рис. 4. Начальная восприимчивость магнитной жидкости в зависимости от объемной доли частиц (а, б, в) и температуры (г). Сплошная линия соответствует формуле (3.2), пунктир - приближению Лан-жевена, точки □ - результатам данной работы при одномерных РВС, 0 - результатам [11], х - результатам [9] для сферического образца

тодипольных взаимодействий на намагниченность системы в области малых и умеренных концентраций частиц [9]. Результаты численного моделирования сопоставлялись в первую очередь с предсказаниями аналитической модели [10] -

модифицированного варианта эффективного поля

^ = й(1 + ЛГ;./3+^2/144) (3.2)

и с результатами Ванга, Холма и Мюллера [11], полученными методами молекулярной динамики с использованием РВС и суммирования по Эвальду.

На рис. 4,а,б,в представлена концентрационная зависимость восприимчивости при фиксированном параметре агрегирования (фиксированной температуре). Объемная доля (р коллоидных частиц из-

менялась от нуля до 0.45. Рис. 4,а соответствует области умеренных значений Л= 1, при которых корреляция магнитных моментов частиц и процессы агрегирования выражены слабо. Вычисления при Д=1 следует рассматривать как тестовые, т.к. область слабых и умеренных взаимодействий исследована подробно экспериментально и аналитически во многих работах. Именно в этой области хорошо работает формула (3.2), соответствующая на графике сплошной линии. Пунктирной линии соответствует теория Ланжевена, в рамках которой межчастичные взаимодействия не учитываются вообще. Расхождение между сплошной и пунктирной линиями демонстрирует степень влияния меж-частичных взаимодействий на начальную восприимчивость системы. Как видно из приведенных

графиков, это влияние может быть очень сильным даже в случае А. = 1. Хорошее согласие подученных нами данных на рис. 4,а с формулой (3.2) и результатами других авторов дает основания быть уверенным в надежности используемого алгоритма и результатах, полученных далее для умеренных и больших 1

На рис. 4,6,в представлена концентрационная зависимость восприимчивости при большом параметре агрегирования. Условие Л = 4 означает, что энергия магнитодипольных межчасгичных взаимодействий в четыре раза превышает энергию теплового движения и в системе должны наблюдаться интенсивные процессы афегирования [9]. Согласно фазовой диаграмме на рис. 1 система должна находиться в двухфазном состоянии, а результат вычисления начальной восприимчивости зависит от используемого алгоритма вычислений и геометрии системы. Рис. 4Дв в целом подтверждает это предсказание. Заниженные значения наших результатов относительно сплошной линии при 3<^,<12 можно интерпретировать как следствие образования квазисферических капельных агрегатов. Формула (3.2) получена в пренебрежении агрегированием и предсказывает более высокие значения восприимчивости. В области малых концентраций (0.5 < < 2 ) в системе пре-

обладают цепочечные агрегаты, поэтому численное моделирование предсказывает более высокую восприимчивость, нежели формула (3.2).

На рис. 4,г представлена зависимость восприимчивости от параметра афегирования при фиксированной концентрации частиц ср= 0.45. Как мы полагаем, эта концентрация достаточно высокая, чтобы предотвратить расслоение системы на слабо- и сильноконцентрированную фазы. Именно в таких системах можно было бы ожидать фазовый переход в магнитоупорядоченное состояние и увидеть расходимость восприимчивости по мере уменьшения температуры. Однако из рисунка видно, что признаков фазового перехода в магнитоупорядоченное состояние нет. Так как эта область параметров практически не исследована, то сопоставление с данными других авторов по восприимчивости пока невозможно, а полученные здесь результаты нуждаются в дополнительной проверке. Тем не менее предположение о том, что наблюдавшийся в ряде работ фазовый переход второго рода в дипольных системах является артефактом, получило косвенное подтверждение.

4. Заключение

В работе численно исследована начальная восприимчивость высококонцентрированных магнитных жидкостей в широком диапазоне значений параметра афегирования. Были использованы нестандартные одномерные периодические гра-

ничные условия, которые позволили провести суммирование парных потенциалов без применения техники Эвальда.

Отсутствие признаков спонтанного магнитного упорядочения подтверждает предположение о том, что наблюдаемый рядом исследователей в численном эксперименте фазовый переход второго рода типа “парамагнетик-ферромагнетик” является артефактом. Ввиду того, что во всех этих работах применялось суммирование по Эвальду, которое не использовалось в нашей численной схеме, можно предположить, что именно оно является источником этого артефакта. Для проверки этого предположения мы собираемся искусственно внести в потенциал диполь-дипольного взаимодействия короткодействующие слагаемые подобно тому, как это делается при применении алгоритма Эвальда. Если это приведет к расходимости начальной восприимчивости, решающая роль суммирования по Эвальду в генерировании ложного фазового перехода второго рода будет окончательно подтверждена.

Работа выполнена при частичной поддержке ШТАБ (проект 03-51-6064), а также РФФИ (грант 07-02-96015).

Список литературы

1. Пшеничников А. Ф., эксперим. теор. физ. 869.

Лебедев А. В. // Журн. 1989. Т. 95, вып. 3. С.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 11.

Pshenichnikov A. F. II i. Magn. Magn. Mater. 1995. Vol. 145. P. 319.

Huke B., Lucke M 11 Reports on Progress in Physics. 2004. Vol. 67. P. 1731.

Ivanov A. P. 11503.

О. II Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68.

Morozov K. 1. II J. Chem. Phys. 2003. Vol. 119. P. 4351.

Weis J. J. II Ibid. 2005. Vol. 123.

P.44503. Vol.

Szalai /., Dietrich S. II Mol. Phys. 2005.

103, N21-23. P. 2873.

Пшеничников А. Ф., Мехоношин В. В. II Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 72, вып. 4. С. 261.

Pshenichnikov A. F., Mekhonoshin V. V. II J. Magn. Magn. Mater. 2000. Vol. 213. P. 357.

Ivanov A. O., Kuznetsova О. B. // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 41405.

Wang Z., Holm C, Muller H. WII Ibid. E. 2002. Vol. 66. P. 021405.