О сегрегации частиц в магнитной жидкости в однородном магнитном и гравитационном полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 1 (19)

УДК 537.84

О сегрегации частиц в магнитной жидкости в однородном магнитном и гравитационном полях

А. Ф. Пшеничникова, Е. Н. Буркова13

a Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Ак. Королева, 1 ь Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В работе исследована сегрегация частиц в магнитной жидкости, заполняющей длинный цилиндр квадратного сечения. Причиной сегрегации является магнитофорез частиц, связанный с размагничивающими полями, и седиментация частиц в поле тяжести. В качестве примера приведены картины изолиний концентрационного и размагничивающего полей в квадратной полости при вертикальной ориентации внешнего магнитного поля. Показано, что в случае слабых гравитационных полей ключевую роль в пространственной сегрегации частиц играют магнитодипольные межчастичные взаимодействия. Получены зависимости коэффициента сегрегации частиц от параметра агрегирования. Показано, что наличие агрегатов в системе приводит к многократному усилению сегрегации.

Ключевые слова: магнитная жидкость, магнитофорез, диффузия, агрегаты, равновесное распределение.

1. Введение

Как известно, первоначально однородная

магнитная жидкость со временем становится пространственно неоднородной по концентрации магнитной фазы вследствие гравитационной седиментации и магнитофореза частиц (движения частиц под действием неоднородного магнитного поля). В отсутствии конвективного движения единственным фактором, препятствующим этому расслоению, является градиентная диффузия. Распределение концентрации в полости для произвольного момента времени может быть найдено путем решения краевой задачи, включающей уравнения Максвелла для магнитного поля и динамическое уравнение диффузии с учетом членов, ответственных за магнитофорез и седиментацию частиц [1-3]. В случае разбавленных растворов эффекты, связанные с размагничивающими полями и магнитодипольными межчастичными

взаимодействиями в магнитных жидкостях,

играют второстепенную роль и ими можно пренебречь. Но в концентрированных системах стерические, магнитодипольные и

гидродинамические взаимодействия между коллоидными частицами становятся

существенными, поэтому магнитная и диффузионная части задачи должны решаться совместно.

В случае однородной намагниченности

величина размагничивающего поля полностью определяется формой тела и не зависит от его размеров. Если внешнее поле однородно, задача имеет точное аналитическое решение для тела в виде произвольного трехосного эллипсоида и его предельных конфигураций [4]. В этом случае напряженность поля внутри тела связана с напряженностью внешнего поля Н0 простым соотношением Н = Н0 - кМ, где к = const -размагничивающий фактор, зависящий только от отношения осей эллипсоида и их ориентации в магнитном поле. Размагничивающий фактор максимален (к= 1) для плоской пластины, намагниченной в поперечном направлении, и минимален (к —— 0) для тела, вытянутого вдоль силовых линий. В приближении однородно намагниченного тела (постоянные магниты, разбавленные магнитные жидкости или сильные магнитные поля) аналитическое решение может быть найдено также для произвольного прямоугольного параллелепипеда и круглого цилиндра конечной длины [5]. В остальных случаях необходимо численное решение задачи с использованием приближенных методов.

Ситуация с вычислением намагниченности и напряженности поля внутри магнитной жидкости существенно усложняется, если жидкость неоднородна по концентрации частиц. В этом случае магнитные силовые линии деформируются не только на границе тела, но и внутри объема. Причиной неоднородности является магнитофорез

© Пшеничников А. Ф., Буркова Е. Н., 2012

- дрейф частиц в неоднородном магнитном поле -или седиментации - дрейф частиц под действием силы тяжести. Если размеры полости с магнитной жидкостью малы по сравнению с высотой барометрического распределения, а внешнее магнитное поле однородно, размагничивающие поля оказываются единственной причиной сегрегации частиц в жидкости. Именно такая ситуация рассматривается в настоящей работе. Ее цель - демонстрация эффектов сегрегации, вызванных размагничивающими полями. Задача рассматривается на примере полости в виде длинного цилиндра квадратного сечения, помещенной в однородные внешние магнитное и гравитационное поля. Конвективные течения отсутствуют.

2. Магнитофорез и диффузия частиц в магнитных жидкостях

Различные варианты уравнения массообмена, отличающиеся полнотой учета межчастичных взаимодействий и анизотропии коэффициентов переноса, предлагались ранее в [1, 6-11]. Нами используется уравнение, полученное в [12] как наиболее полное из известных. Оно описывает изменение объемной доли ф коллоидных частиц во времени и пространстве. Применительно к рассматриваемой ниже задаче (отсутствие конвективных течений) оно имеет вид

£>0к (р)*

\рЩе )У(£ )+рОТе-

| 2р( 4-р) У (р2С) (1-^)4 ^ др2

Ур

,(1)

стерические взаимодействия и последнее - за эффективное притяжение частиц, связанное с магни-тодипольными взаимодействиями. Интенсивность магнитофореза и намагниченность жидкости М определяются эффективным магнитным полем Не согласно модифицированной модели [13, 14]:

М, (Н) 3

1 +

1 іМ, (Н) 48 іН

Ыь = тпЬ(Е,)

н

М = тпЩе)-, =

Н

И тНе

кТ

(3)

где п = 6р/ті - числовая плотность частиц. Уравнения (3) многократно проверялись различными методами. Они хорошо согласуются с экспериментальными данными по начальной восприимчивости магнитных жидкостей и с результатами численного моделирования в области малых и умеренных значений параметра магнитодипольных взаимодействий [15-17]. Коэффициент при Ур в фигурных скобках в правой части (1) можно рассматривать как эффективный коэффициент диффузии В коллоидных частиц:

В = В0 К (р)

1,2Р( 4-Р) уд 2 (р2° )

(1 -Р)4

др2

.(4)

Последнее слагаемое в (4) описывает добавку, связанную с магнитодипольными взаимодействиями. Разложение свободной энергии для системы взаимодействующих сферических диполей в ряд по концентрации частиц приведено в [12] с точностью до квадратичных по ф слагаемых. В этом случае

о(х,р) = 4я- (1+004Я'>

3 (1 + 0.308Яр)

ф(1 + 1.28972р + 0.72543р2) (1 + 0.83333Яр)

(2)

Здесь К(ф) = Ь/Ь0, Ь и Ь0 - подвижности частиц в магнитной жидкости и жидкости-носителе соответственно, Б0 = Ь0кТ - эйнштейновское значение коэффициента диффузии, / = 4л-10-7 Гн/м,

X = / ш2 / 4л с1ъ к Т - параметр магнитодипольных взаимодействий (отношение энергии магнитоди-польных взаимодействий к энергии теплового движения), ш, С - магнитный момент и полный диаметр частицы соответственно, 0(Л, ф) - относительный вклад магнитодипольных взаимодействий в плотность свободной энергии, е - единичный вектор, направленный вдоль ускорения свободного падения, ву - обратная высота барометрического распределения. Первое слагаемое в (1) отвечает за магнитофорез, второе - за диффузию, третье - за

8 ( 5 Я2

Д° = -~ЯрВК(р)И-2ЯР + ^+ . I. (5)

Аппроксимация (2) для свободной энергии обеспечивает хорошее количественное согласие с результатами численного моделирования при X < 2. В области X >3 количественного сопоставления не проводилось, однако фазовая диаграмма для спинодального распада системы, полученная на основе уравнения (4), выглядит вполне реалистично [12]. Уравнение (1) в целом хорошо описывает результаты численных экспериментов по сегрегации частиц в широкой области безразмерных параметров (X < 2 и ф < 0.4), однако не допускает модификацию, которая позволила бы учесть влияние агрегатов, так как невозможно рассчитать аналитически свободную энергию частично агрегированной системы. По этой причине нами в дальнейшем используется

приближенное выражение для коэффициента диффузии, полученное ранее в [18]:

АО = - Б0К фф)

24Хф (3 + 4Хф)2

8 (8

-~х2фО0К (ф) 1 -~Х(Р + •

3 у 3

. (6)

Видно, что коэффициенты диффузии (5) и (6) совпадают в линейном по ф приближении, а квадратичные слагаемые отличаются примерно на 7%. Второй подход менее строг, но позволяет записать систему уравнений, описывающую взаимодействующие потоки индивидуальных частиц и агрегатов в рамках двухфракционной модели. Он использовался для анализа пространственного распределения частиц в тонком слое концентрированной магнитной жидкости, помещенном в неоднородное магнитное поле. Концентрационные профили, полученные в результате расчета, дали хорошее согласие с экспериментом [19, 20].

Как видно из (1), (6), процессы магнитофореза и диффузии в концентрированных системах описываются нелинейным динамическим уравнением массообмена, содержащим слагаемое, зависящее от намагниченности и напряженности поля в веществе. Последнее обстоятельство особенно важно. Из-за него размагничивающее поле и неоднородность концентрации частиц в полости оказываются взаимосвязаны и усиливают друг друга. Это означает, что магнитная и диффузионная части задачи должны решаться совместно. Главной особенностью этой проблемы является то, что характерное время затухания концентрационных возмущений тО * Ь2/п2О минимум на шесть-семь порядков превышает время релаксации магнитного момента тБ * 3ц¥/кТ (Ь - характерный размер полости, О -коэффициент диффузии, ц - вязкость магнитной жидкости, V - объем коллоидной частицы). По этой причине намагниченность жидкости можно считать термодинамически равновесной с очень хорошей степенью точности, а концентрационное поле считать замороженным на этапе вычисления магнитного поля. В данной работе динамическое уравнение массообмена (1) решалось численно, методом конечных объемов в двумерной постановке.

3. Двухфракционная модель

Рассмотрим в качестве основной двухфракционную модель магнитной жидкости, в которой первая фракция представлена одиночными частицами, а вторая - агрегатами, включающими в себя от нескольких частиц до нескольких десятков частиц. Полидисперсностью частиц внутри первой фракции и разбросом агрегатов по размерам пре-

небрегается. Ранее такая модель успешно использовалась для описания результатов диффузионных опытов с разбавленными растворами [20, 6, 21]. Это предположение оправдано тем, что в линейном по концентрации частиц приближении приращение к эффективной вязкости раствора и относительной подвижности частиц определяется их суммарной объемной долей, независимо от распределения частиц по размерам. Коэффициент диффузии достаточно слабо зависит от размера частиц (обратно пропорционально), поэтому расчет по средним размерам частиц удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными [20]. Менее очевидна возможность применения двухфракционной модели в задачах с магнитофо-резом частиц, так как сила, действующая на коллоидную частицу со стороны градиентного магнитного поля, пропорциональна ее магнитному моменту ш, т.е. кубу диаметра магнитного ядра [4]. Это уже сильная зависимость. Положение спасают два обстоятельства. Во-первых, самые крупные частицы, вносящие наибольший вклад в намагниченность жидкости, объединяются в агрегаты, влияние которых учитывается отдельно. Во-вторых, мелкие частицы вносят малый вклад в намагниченность системы и их присутствие в жидкости можно учесть приближенно. Оставшаяся часть частиц имеет относительно узкое распределение частиц по размерам и может быть заменена одной фракцией. Отличие в размерах отдельных частиц и агрегатов уже не может быть проигнорировано. Применительно к рассматриваемой здесь задаче это означает, что потоки одиночных частиц и агрегатов должны описываться отдельными уравнениями.

При записи потока индивидуальных частиц будем учитывать относительно малую скорость диффузии агрегатов и их большой (по сравнению с одиночными частицами) размер. В этом случае влияние отдельного агрегата аналогично влиянию неподвижного круглого диска эквивалентного радиуса. Поток одиночных частиц описывается уравнением типа (1), но с учетом уменьшения “проницаемости” среды. В отсутствие силы тяжести и конвективных течений плотность объемного потока частиц будет равна

Ф2

.1, = ЦК (ф)|1 -^

У

ф№е )У(£е) -

1 +

2ф (4 -ф) (1 -ф)4 .

Уф +

24ХФ (3 + 4Хф):

-Уф

(7)

где ф1, ф2 - объемные доли одиночных и агрегированных частиц соответственно, у - коэффициент упаковки частиц в агрегате. Дополнительный множитель в круглых скобках в правой части (7) описывает уменьшение площади поперечного се-

чения, свободного от агрегатов. Кроме того, при записи последнего слагаемого в (7) принято во внимание, что поток частиц, обусловленный маг-нитодипольными взаимодействиями, пропорционален концентрации индивидуальных частиц и градиенту магнитной восприимчивости, т. е. градиенту полной концентрации ф = фх + ф2. Все остальные слагаемые получаются из (1) заменой объемной доли ф на объемную долю одиночных частиц фх.

В свою очередь, агрегаты дрейфуют в коллоидном растворе мелких одиночных частиц, который можно рассматривать как сплошную среду с относительной вязкостью, зависящей от гидродинамической концентрации одиночных частиц ф1. В качестве формулы для этой вязкости можно взять, например, аппроксимацию Чонга - Христиансена, применимость которой к магнитным жидкостям в широком интервале концентраций магнитной фазы продемонстрирована в [22, 23]:

Л\(ф\) = Щ [1 + 0.75<ф /(Уш -ф)]2, (8)

где уш = 0.605 - коэффициент случайной плотной упаковки для сферических частиц, а ц0- вязкость жидкости-носителя. Для относительной подвижности частиц такой проверенной формулы нет. В дальнейшем, следуя [8], будет использоваться аппроксимация Рассела, согласно которой относительная подвижность равна

К ф) = (1 -ф)65.

(9)

Что касается коэффициента диффузии Эйнштейна для агрегатов, то в предположении о ква-зисферической форме агрегатов он будет равен

А = Д.3

N ^(ф)

где N - среднее число частиц в агрегате. При малых и умеренных значениях параметра магнито-дипольных взаимодействий X < 1 корреляция между магнитными моментами частиц в агрегате несущественна, поэтому сила, действующая на агрегат во внешнем поле, увеличивается в N раз по сравнению с силой, действующей на одиночную частицу. С учетом вышесказанного, плотность потока агрегированных частиц можно записать в виде

Nф Щ. )У(£) -

1 +

2ф2ї2(4ї-ф2) (Ь-ф2)4 .

Уф2 +

24уХ2ф

------------7,

(3 + 4Хф)2

Уф

.(1о)

Динамика магнитофореза в отсутствие конвективного движения жидкости описывается системой из двух уравнений диффузии стандартного типа

дф = - ¿™(а,)

ді

(11)

с очевидным условием непроницаемости границ полости для коллоидных частиц:

(12)

Система уравнений (7) - (10) с граничными условиями (12) решалась численно методом конечных объемов.

4. Расчет размагничивающего поля

Размагничивающее поле определяется обычно путем решения сопряженной краевой задачи для некоторой геометрической области, включающей в себя собственно намагниченное тело и окружающее пространство. Если в намагничивающейся среде нет электрических токов, то задача сводится к решению статических уравнений Максвелла и материального уравнения, связывающего намагниченность М с напряжен-ностью поля Н внутри вещества. На границе тела накладывается условие непрерыв-ности

нормальной компоненты магнитной индукции В = цо(Н + М) и тангенциальных компонент напряженности. При таком подходе и численном решении задачи возникает серьезная проблема, связанная с дальнодействующим характером магнитных полей, создаваемых магнитной жидкостью. Границы внешней области должны быть достаточно удалены от центра полости, чтобы обеспечить затухание магнитного поля, но достаточно близки, чтобы размер массива переменных оставался в разумных пределах и соответствовал возможностям компьютера. Вынужденный компромисс является источником некоторой трудно оцениваемой систематической погрешности.

Эта погрешность отсутствует при использовании метода узкой щели, предложенной в [24]. В этом методе используется то обстоятельство, что в узкой щели, вырезанной в пробной элементарной ячейке и содержащей точку Р(х, X), продольная компонента напряженности совпадает с продольной компонентой напряженности в самом теле и такое же соотношение выполняется для поперечной компоненты индукции. Это обстоятельство является прямым следствием граничных условий для индукции и напряженности магнитного поля. Согласно принципу суперпозиции вклад магнитной жидкости в напряженность Н в точке Р(х, X) определяется суммированием вкладов АН всех элементарных ячеек, содержащих магнитную жидкость, но вклад пробной ячейки, содержащей

точку Р(х, х), вычисляется отдельно. Если размер элементарной ячейки достаточно мал и намагниченность внутри нее можно считать однородной, то для вычисления АН можно использовать формулы из [5]. В частном случае плоской задачи и прямоугольной формы элементарных ячеек вклад отдельного элемента АV = Ах Ах в напряженность поля в точке Р(х, х) определяется системой уравнений

М М7

АН =----------ААгс -------АЬg,

2п 4п

М Мг

АНг =---------ААгс---------АLg

2л 4п

АLg = 1п

+ 1п

(гх + Ах /2)2 + (гх + Ах /2)2 (гх + Ах / 2)2 + (гх -Ах / 2)2

(гх-Ах/2)2 + (гх-Ах/2)2

(гх-Ах/2)2 + (гх +Ах/2)2

гх + Ах / 2 гх - Ах / 2

ААгс = атС^--------------------------+ arctg--------------------

гх + Ах / 2 гх - Ах / 2

гх - Ах / 2 гх + Ах / 2

- аг^-------------------- аг^

(13)

гх + Ах /2

гх - Ах /2

Н (х,х) = Н0х(х,х) + £ДНХ -

2М (х, х) ( Ах

-----х--------аг^ | —

л у Ах

(14)

2МТ (х, х) ( Ах

Нх (х, х) = Н 0 х (х, х) + Е АНх-----------arctg | —

л у Ах

Добавка к внешнему полю в правой части (14) и есть размагничивающее поле, т.е. поле, создаваемое самой магнитной жидкостью. Если намагниченность среды М(х, х) как функция координат известна, то формулы (13), (14)

однозначно определяют напряженность магнитного поля как внутри, так и снаружи жидкости. При решении динамического уравнения (1) шаг по времени сопровождался уточнением намагниченности и магнитного поля путем последовательного применения уравнений (3), (13) и (14). Мы использовали двухшаговый итерацион-

ный алгоритм, обеспечивающий лучшую сходимость по сравнению с пошаговым алгоритмом.

5. Магнитная жидкость без агрегатов

Для демонстрации важной роли размагничивающих полей в задачах о сегрегации частиц в магнитной жидкости были рассчитаны магнитные и концентрационные поля в длинном цилиндре квадратного сечения в однородном магнитном поле, ориентированном перпендикулярно оси цилиндра (плоская задача). Для численного решения уравнения магнитодиффузии (1) использовался метод конечных объемов и явная схема с выбором шага по времени, обеспечивающим устойчивость решения. Уравнение магнитодиффузии приведено к безразмерному виду. В качестве единицы длины выбиралась сторона квадрата с, а единицы измерения времени - время затухания концентрационных возмущений в разбавленном растворе т = с /О0. Шаг А( по времени изменялся в процессе счета в зависимости от максимального значения эффективного коэффициента диффузии О в полости, который, в свою очередь, зависел от локальной концентрации частиц. В безразмерной форме шаг по времени был равен

А/ =-

0,45

О у Ах

тах 4

Ах

где гх = х - х0, гх = х - х0 - проекции радиуса-вектора, соединяющего центр элемента АV (х0, х0) с точкой Р (х, х), на координатные оси. Просуммировав вклады АН всех внешних (по отношению к точке Р) элементарных ячеек, прибавляя к этой сумме вклад пробной ячейки и напряженность внешнего поля, получим выражение для напряженности поля в магнитной жидкости:

Границы полости непроницаемы для частиц, поэтому нормальная компонента полного потока частиц на границе равна нулю. Для выполнения этого условия для пограничных и угловых ячеек записывались отдельные уравнения баланса частиц, в которых изначально отсутствовал локальный поток через границы полости. В качестве основных параметров, определяющих интенсивность магнитофореза и структуру концентрационных полей, выступали средняя по объему концентрация < ф >, параметр Ланжевена £о, определенный через внешнее поле, и параметр магнитодипольных взаимодействий X.

Внешние магнитное и гравитационное поля были однородны. В качестве начального условия использовалось однородное распределение частиц, соответствующее отсутствию размагничивающих полей. Равновесное неоднородное распределение частиц в полости устанавливалось через некоторое время в диапазоне от 5 до 50 безразмерных единиц в зависимости от значений параметра магнито-дипольных взаимодействий. Систематическую ошибку, связанную с небольшой задержкой установления размагничивающих полей по сравнению с концентрационным полем в динамической задаче, можно считать достаточно малой, поскольку общее число итераций в системе было на два порядка выше, чем число итераций, требуемых для получения приемлемой точности

+

-1

решения статической задачи. Представленные ниже результаты получены для средней по объему концентрации частиц <ф> = 0.1 и параметра Ланжевена |0 = 6.

В полости квадратного сечения горизонтальная и вертикальная ориентация магнитного поля становятся равноправными и приводят к идентичным картинам изолиний концентрации. На рис. 1 в качестве примера приведены изолинии концентрации для вертикально направленного магнитного поля и X = 2. Видно, что частицы вытесняются из центральной области

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 1. Изолинии концентрации частиц в полости квадратного сечения при вертикальной ориентации внешнего поля. X = ,

<ф> = 0.1, £о = 6,Оу = 0

Рис. 2. Изолинии размагничивающего поля в квадратной полости при вертикальной ориентации внешнего поля. X = 2,

<ф> = 0.1, 10 = 6,Оу = 0

и концентрируются вблизи вертикальных границ, вдоль которых формируются относительно тонкие “пограничные” слои с высокой концентрацией частиц. Появление таких слоев связано, оче-

видно, с тем, что вблизи вертикальных границ размагничивающие поля минимальны, а напряженность поля внутри полости максимальна. Структура размагничивающих полей в поперечном сечении цилиндра приведена для сравнения на рис. 2. Размагничивающее поле приведено в безразмерном виде - как значение параметра Ланжевена, определенного через модуль напряженности размагничивающего поля.

Наибольшей величины размагничивающее поле достигает вблизи горизонтальных границ, на которых нормальная компонента напряженности испытывает скачок. По этой причине там наблюдается минимум напряженности поля и минимальная концентрация частиц.

Для оценки степени сегрегации частиц (т.е. меры неоднородности системы) нами выбран коэффициент сегрегации К - отношение максимального перепада концентрации к ее минимальному значению:

К =фтах _ 1. (15)

фтт

Этот же коэффициент может рассматриваться как индикатор термодинамической неустойчивости системы, или параметр порядка. Система считается неустойчивой, если коэффициент сегрегации изменяется скачком или обнаруживает расходимость при непрерывном изменении какого-либо безразмерного параметра, определяющего свойства системы (средней концентрации части, параметра Ланжевена, параметра агрегирования или форм-фактора). Зависимость коэффициента сегрегации частиц в полости от параметра магнитоди-польных взаимодействий X приведена на рис. 3 для различных значений внешнего поля. Численные значения К получены экстраполяцией концентрационных профилей на границы полости, где наблюдаются максимальные градиенты плотности. Видно, что в однородном внешнем поле сегрегация частиц полностью обусловлена межчастичны-ми взаимодействиями: в системе невзаимодействующих частиц (X = 0) сегрегации нет. При X >1 эффекты сегрегации становятся очень сильными. Благодаря им локальные концентрации частиц могут отличаться друг от друга на сотни процентов.

С ростом напряженности внешнего поля сегрегация увеличивается и в области ^ > 6, X >3 коэффициент сегрегации обнаруживает расходимость (кривая 1 на рис. 3). Эта расходимость трактуется нами как признак неустойчивости системы (спинодального распада), приводящей к расслоению жидкости на слабо и сильно концентрированные области с резкой границей между ними. Причиной расслоения являются магнитодипольные межчастичные взаимодействия. Подобного рода расслоение рассматривается обычно как фазовый переход типа “газ - жидкость”. Оно исследовалось ранее во многих работах по магнитным жидкостям

с использованием различных методов [25-30]. Критические значения параметра агрегирования X*, найденные в этих работах, зависят от метода решения задачи и принятых допущений. Так, для случая нулевого внешнего поля X* варьируется от 2.82 до 4.45, а критические значения концентрации

- от 0.034 до 0.13.

к

Рис. 3. Коэффициент сегрегации частиц в зависимости от параметра агрегирования в вертикальном магнитном поле.

<Ф> = 0.1, Оу = 0. Кривая 1 соответствует £,о = 6; 2 - £о = 4

В рамках принятой здесь модели условием фазового расслоения (спинодального распада) системы в нулевом поле является обращение в нуль эффективного коэффициента диффузии (4). Решение соответствующего уравнения, полученное в [11], показывает, что критической точке соответствуют X* = 4.2 и ф* = 0.034. Включение внешнего поля понижает X* до трех. Полученные в настоящей работе результаты вполне согласуются с известными данными с тем только существенным отличием, что благодаря размагничивающим полям рассматриваемая здесь система неоднородна по концентрации уже при X < X*, а выбранная нами средняя концентрация частиц <ф > = 0.1 вряд ли совпадает с критическим значением.

В области умеренных значений параметра Ланжевена коэффициент сегрегации изменяется немонотонно с ростом энергии взаимодействий, а при больших параметрах X начинает уменьшаться (кривая 2 на рис. 3). Этот результат оказался несколько неожиданным, так как X >3 мы ожидали появление концентрационных структур, напоминающих лабиринтные структуры в ячейке Хеле -Шоу, частично заполненной магнитной жидкостью [29, 30]. Возможно, что отсутствие таких структур - артефакт, связанный с ограниченной областью применения уравнения массообмена (1). В любом случае к результатам, полученным в области X > 3, нужно относиться с некоторой осторожностью в силу того, что уравнение массообмена (1) имеет ограниченную область применения.

Включение сильного гравитационного поля существенно усложняет процесс сегрегации. В

этом случае в зависимости от взаимной ориентации двух полей магнитное поле может как усиливать, так и ослаблять концентрационную неоднородность. На рис. 4 в качестве примера приведен коэффициент сегрегации для системы в вертикальном магнитном поле. Видно, что коэффициент сегрегации частиц примерно на порядок выше, нежели на рис. 2. При больших параметрах агрегирования магнитодипольные взаимодействия многократно усиливают разделение, однако включение магнитного поля уменьшает его. Причина такого поведения системы в конкуренции между гравитационной седиментацией и размагничивающими полями. Оседание частиц в поле тяжести уменьшает толщину “атмосферы” из коллоидных частиц и гравитационную составляющую потенциальной энергии, но увеличивает размагничивающее поле и магнитостатическую энергию системы. Увеличение магнитного поля препятствует оседанию частиц в поле тяжести, что и демонстрирует рис. 4.

К

Рис. 4. Коэффициент сегрегации частиц в зависимости от параметра агрегирования в магнитном и гравитационном полях.

<ф> = 0.1, 0=5. Кривая 1 соответствует

£о = 2;2-£о = 4

6. Частично агрегированная жидкость

Приведенные выше результаты описывают перераспределение магнитной жидкости, которая состоит из одиночных частиц. В том случае, когда в магнитной жидкости дрейфуют не только одиночные частицы, но и агрегаты, состоящие из большого числа N частиц, для описания концентрационных полей можно воспользоваться двухфракционной моделью и системой уравнений (7), (10), (13). В этом случае потоки частиц, связанные с магнитофорезом и седиментацией в поле тяжести, увеличиваются в N раз каждый, но их отношение остается неизменным.

Численное решение уравнений (7) и (10) проводилось методом конечных объемов, с явной схемой и постоянным шагом по времени. Средняя по объему концентрация оставалась неизменной в процессе счета < ф > = 0.1. Объемная доля агрегированных частиц принималась равной

< ф2 > = 0.03, а среднее число частиц в агрегате N =50. Агрегаты полагались рыхлыми (коэффициент упаковки частиц в агрегате у = 0.3), а магнитное поле умеренным (|0 = 1). Влияние гравитационного поля не учитывалось (О = 0).

К

Рис. 5. Коэффициент сегрегации частиц в зависимости от параметра агрегирования в вертикальном магнитном поле £о = 1, <ф> = 0.1

Результаты расчета в виде зависимости коэффициента разделения от параметра агрегирования приведены на рис. 5. Как и следовало ожидать, наличие агрегатов в системе даже при малых значениях параметра агрегирования и в отсутствие гравитационного поля приводит к многократному усилению сегрегации. Как видно из сравнения рис. 3 и рис. 5, при Х= 1.5 коэффициент сегрегации увеличивается примерно в шесть раз - с 0.5 до трех единиц.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-96038) в рамках программы ОЭММПУ РАН (проект 12-Т-1-1008).

Список литературы

1. Blums E. Ya., Mayorov M. M., CebersA. O. Magnetic fluids / Walter de Gruyter. Berlin, 1997.

2. Bashtovoi V. G., Polevikov V. K., Suprun A. E. et al. Influence of Brownian diffusion on static of magnetic fluid // Magnetohydrodynamics. 2007. Vol. 43, N 1. P. 17-25.

3. Bashtovoi V. G., Polevikov V. K., Suprun A. E. et al. The effect of magnetophoresis and Browian diffusion on the levitation of bodies in a magnetic fluid // Magnetohydrodynamics. 2008. Vol. 44, N2. P. 121-126.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

5. Пшеничников А. Ф. Магнитное поле в окрестности уединенного магнита // Магнитная гидродинамика. 1993. № 1. С. 37 - 40.

6. Ivanov A. S., Pshenichnikov A. F. Magnetophore-sis and diffusion of colloidal particles in a thin layer of magnetic fluids // J. Magn. Magn. Mater. 2010. Vol. 322. P. 2575 - 2580.

7. Буевич Ю. А., Зубарев А. Ю., Иванов А. О. Броуновская диффузия в концентрированных ферроколлоидах // Магнитная гидродинамика. 1989. № 2. С. 39 -43.

8. Иванов А. О. Фазовое расслоение магнитной жидкости: дис... докт. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1998. 295 с.

9. Morozov K. I. The translational and rotational diffusion of colloidal ferroparticles // J. Magn. Magn. Mater. 1993. Vol. 122. P. 98 - 101.

10. Morozov K. I. Gradient diffusion in concentrated ferrofluid under the influence of a magnetic field // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, N 3. P. 3841 -3846.

11. Pshenichnikov A. F., Elfimova E. A. Influence of interparticle interactions on diffusion processes in magnetic fluids // Physics Procedia. 2010. Vol. 9. P. 101-104.

12. Pshenichnikov A. F., Elfimova E. A., Ivanov A. O. Magnetophoresis, sedimentation and diffusion of particles in concentrate magnetic fluids // J. Chem. Phys. 2011. Vol. 134. P. 184508.

13. Ivanov A. O., Kuznetsova O. B. Magnetic properties of dense ferrofluids: An influence of interparticle correlations // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 041405 (7 pp).

14. Ivanov A. O. et al. Magnetic properties of polydisperse ferrofluids: A critical comparison between experiment, theory, and computer simulation//Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. 061405.

15. Pshenichnikov A. F., Lebedev A. V. Low-temperature susceptibility of concentrated magnetic fluids // J. Chem. Phys. 2004. Vol. 121, N

11. P. 5455-5467.

16. Пшеничников А. Ф., Лебедев А. В. Магнитная восприимчивость концентрированных ферроколлоидов // Коллоидный журнал. 2005. Т. 67, №2. С. 218 -230.

17. Ivanov A. O. et al. Magnetic measurements as a key for the particle size distribution in ferrofluids: experiment, theory, and computer simulations // Magnetohydrodynamics. 2007. Vol. 43, N 4. P. 393 - 399.

18. Пшеничников А. Ф. О влиянии межчастичных взаимодействий на диффузионные процессы в магнитных жидкостях // Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем: сб. науч. тр. / Ставр. ун-т. Ставрополь, 2009. С. 143 - 149.

19. Пшеничников А. Ф., Иванов А. С. Магнитофо-рез частиц и агрегатов в концентрированной магнитной жидкости // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2011. Вып. 3 (18). С. 34 - 40.

20. Ivanov A. S., Pshenichnikov A. F. Dynamics of magnetophoresis in dilute magnetic fluids // Mag-netohydrodynamics. 2010. Vol. 46. P. 125 - 136.

21. Buzmakov V. M., Pshenichnikov A. F. Magneto-phoresis and diffusion of colloidal particls in a thin layer of microaggregates in magnetite col-

25. TsebersA. O. Thermodynamic stability of magnetofluids // Magnetohydrodynamics. 1982. Vol. 18, N2. P. 137- 142.

26. Морозов К. И. Термодинамика магнитных жидкостей // Изв. АН СССР, сер. физическая, 1987. Т. 51, № 6. С. 1073 - 1080.

27. Пшеничников А. Ф., Шурубор И. Ю. Расслоение магнитных жидкостей: условия образования и магнитные свойства капельных агрегатов // Изв. АН СССР, сер. физическая, 1987. Т. 51, № 6. С. 1081- 1087.

28. Bacri J. C. et al. Phase-diagram of an ionic magnetic colloid - experimental stady of the effect of ionic strength // J. Colloid Interface Sci. 1989. Vol. 132, N1. P. 45 -53.

29. Buyevich Yu. A., Ivanov A. O. Equilibrium properties of ferrocolloids // Physica A. 1992. Vol. 190, N3-4. P. 276-294.

30. Tsebers A. O., Maiorov M. M. Magnetostatic instabilities in plane layers of magnetizable liquids //Magnetohydrodynamics. 1980. Vol. 16, N 1. P. 21-27.

On the segregation of particles in a magnetic fluid in uniform magnetic and gravitational fields

A. F. Pshenichnikovа, E. N. Burkovab

a Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Korolyov St. 1, 614013, Perm bPerm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

We studied the segregation of particles in a magnetic fluid that fills in a long a cylinder of square cross section. The reason for segregation is magnetophoresis particles associated with the demagnetizing fields, and sedimentation of particles in a gravitational field. For example, we have presented a picture of isolines of the concentration and the demagnetizing field in a square cavity with vertical orientation of the external magnetic field. It is shown that in the case of weak gravitational fields, a key role in the spatial segregation of the particles are magnetic dipole interparticle interactions. The dependences of the coefficient of segregation of particles on the parameter of aggregation. It is shown that the presence of aggregates in the system leads to a multiple increase segregation.

Keywords: magnetic fluid, magnetophoresis, diffusion, aggregates, equilibrium distribution.

loids // J. Colloid Interface Sci. 1996. Vol. 182. P. 63 -70.

22. Пшеничников А. Ф., Гилев В. Г. Реология и намагниченность концентрированных магнети-товых коллоидов // Коллоид. журн. 1997. Т. 59, № 3. С. 382 -389.

23. Лебедев А. В. Вязкость концентрированных коллоидных растворов магнетита // Коллоид. журн. 2009. Т. 71, № 1. С. 78 - 83.

24. Pshenichnikov A. F. Computation of demagnetizing fields and particle distribution in magnetic fluid with inhomogeneous density // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2012. Vol. 324. P. 1342- 1347.